半角的正弦、余弦和正切
学习目标：
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程；
2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.
学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接：
1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α= ；
cos2α= = = ；
tan 2α= .
一、预习案：
问题1：若7cos 25α=
，且α为锐角，则sin 2
α
= ， cos
2
α
= ，tan
2
α
= .
1︒在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2α=
2︒在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2
α= 3︒以上结果相除得2tan 2
α
=
半角公式：sin
2
α
= （1）
cos
2
α
= （2）
tan
2
α
= = = （3）
问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？
问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？
1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8
π
二、学习案：
例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ
2
的值．
跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π
2，求sin φ，cos φ的值．
例2：化简：
1. (1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin α
2－cos α22＋2cos α
(180°＜α＜360°)
2.cot tan
1tan tan .2
22α
ααα⎛⎫⎛
⎫
-+⋅ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
跟踪训练： 化简：1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααα
αααα
+---+--+-
例3：求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －1
2(cos4x ＋cos2x )＝2(1＋cos 2x )．
练习：证明
2(1)1sin 2cos ()42παα+=- 2(2)1sin 2sin ()
42πα
α-=-
三、巩固案：
1．cos
2
π8－1
2
的值为( ) A ．1 B.12 C.2
2
D.
24
2．下列各式与tan α相等的是( )
A.
B. sin 1cos αα+
C. sin 1cos 2αα-
D. 1cos 2sin 2αα
-
3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan 2α
的值为( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
4．已知tan
2
α
＝3，则cos α为( )
A.45 B ．－45 C.415 D ．－3
5
5．已知cos α＝45，且3
2π<α<2π，则tan 2
α等于( )
A ．－13 B.13 C ．－13或1
3
D ．－3
四、课后作业：
1．求下列函数的精确值.
（1）sin 22.5= （2）cos67.5=
（3）13cos 12π= （4）5cot 8
π
= 2．已知3sin 5θ=，且322ππθ<<，则cos 2
θ
= （ ）
C. D. 3．已知等腰三角形顶角的余弦值为
7
25
，则底角的余弦值为 .
4．设(),2αππ∈等于 .
5．已知1
cos 22
α=-
，并且4590α<<，求sin α,cos α,tan α的值.
6．求下列函数的周期： (1)2
cos 2
x y = (2)2
2sin y x =
7．求22cos cos sin y x x x x =--的值域、单调性、周期性并判断其奇偶性.
8.求函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值．
9.已知02
π
α<<，5tan
cot
2
2
2α
α
+=
，求sin 3πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
10.已知3sin ,sin 20,5θθ=<求tan 2
θ
的值.
参考答案
知识链接：
2.解：2
237cos 12sin 122525α
α⎛⎫
=-=-⋅=
⎪⎝⎭
一、预习案：
问题1：35 45 3
4
半角公式：sin
2
α
= （1）
cos
2
α
= （2）
tan
2
α
==sin 1cos αα+=1cos sin α
α
- （3）
问题2：
特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半. 2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2
α
角的正弦、余弦、正切。 3︒根号前均有“±” ，它由角“
2
α
”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“±”应保留.
注意：公式（3）成立的条件,
,.2
2
k k z α
π
π≠+
∈
公式（1）、（2）、（3）叫做半角公式，实际是二倍角公式的推论 .用于三角函数的求值、化简和证明 .
问题3：1. （1）
4（2）4
（31 二、学习案：
例1：cos
2
θ
= tan 22
θ= 跟踪训练：12sin 13ϕ=
5
cos 13
ϕ=
