半角的正弦余弦和正切公式

常用三角函数公式及口诀常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

半角的正弦余弦正切公式正弦的半角公式是指，对于任意角x，有sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)。

余弦的半角公式是指，对于任意角x，有cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2)。

正切的半角公式是指，对于任意角x，有tan(x/2) = ±√((1 - cos x)/(1 + cos x))。

这些半角公式在三角学中起到了重要的作用，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为另一个角的正弦、余弦或正切值的函数。

这些公式可以用来简化计算，减少计算复杂度。

我们来证明正弦的半角公式：根据泰勒级数展开，我们知道sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + ...。

将x替换为(2y)，则有sin (2y) = (2y) - (2y)^3/3! + (2y)^5/5! - (2y)^7/7! + ...=2y-(8y^3/3!)+(32y^5/5!)-(128y^7/7!)+...再将y替换为(x/2)，我们有sin x = sin (2(x/2))=2(x/2)-(8((x/2)^3)/3!)+(32((x/2)^5)/5!)-(128((x/2)^7)/7!)+...根据幂函数的乘法法则和阶乘的定义，我们可以简化上述等式：sin x = 2(x/2) - (8(x^3/2^3)/3!) + (32(x^5/2^5)/5!) -(128(x^7/2^7)/7!) + ...=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...然后我们考虑sin(x/2)的幂级数展开：sin (x/2) = (x/2) - ((x/2)^3/3!) + ((x/2)^5/5!) -((x/2)^7/7!) + ...我们可以将sin x的幂级数展开与sin (x/2)的幂级数展开进行比较：x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...=(x/2)-((x/2)^3/3!)+((x/2)^5/5!)-((x/2)^7/7!)+...通过对比可以看到，两个展开式的各项对应系数相等。

三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 sinα/cosα＝tanαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。

）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝co sαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝———----———1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝—————-------—1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2) cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式Sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2 ] 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切目标索引1．了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程．2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.学前预习1．半角公式 sin α2＝± 1－cos α2； cos α2＝±1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 小试身手1．cos 2π8－12＝( )A ．1B .12 C.22 D.242．设α∈(π，2π)，则1－cos π＋α2等于( )A ．sin α2 B.cos α2 C ．－sin α2 D.－cos α23．已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2＝________.题型探究题型一 给值求值例1 已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2，求sin φ，cos φ的值．【分析】 先求出cos2φ的值，再利用半角公式求sin φ，cos φ值．变式训练1-1 已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B.－22C ．2 D.2或－22题型二 化简例2 化简下列各式：(1) 12－12 12＋12cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π； (2)1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ.变式训练2-1 化简4cos 2α÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2等于( ) A.12sin αcos α B.sin2αC ．－sin2α D.2sin2α题型三 半角公式的综合应用例3 已知3π4＜α＜π，tan α＋cot α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2的值．【分析】 (1)解关于tan α的方程可得tan α的值；(2)利用降幂扩角公式，最后将所求式化为关于tan α的关系式求值．变式训练3-1 在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( )A ．等边三角形 B.等腰三角形C ．不等边三角形 D.直角三角形当堂检侧知识点一 给值求值1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为() A ．－33 B.33C.63D.－632．已知sin θ＋2cos θ＝0，求cos2θ－sin2θ1＋cos 2θ的值．3．下列各式与tan α相等的是( )A. 1－cos α1＋cos2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos2α D.1－cos2αsin2α4.1＋cos100°－1－cos100°等于( )A ．－2cos5° B.2cos5°C ．－2sin5° D.2sin5°5.3cos10°－1sin170°＝________.【参考答案】小试身手1．D【解析】cos 2π8－12＝1＋cos π42－12＝12cos π4＝24，故选D. 2．D【解析】1－cos π＋α2＝ 1＋cos α2＝ cos 2α2＝－cos α2，故选D.3．2－62 【解析】∵α为第四象限角，∴α2为二、四象限角，∴tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－ 1－331＋33＝2－62. 题型探究例1 解 ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169.又∵π4＜φ＜π2，∴π2＜2φ＜π，sin φ＞0，cos φ＞0，∴cos2φ＜0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169， ∴sin φ＝ 1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213， cos φ＝1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 变式训练1-1 B 【解析】解法一：tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， ∴2tan 2θ－tan θ－2＝0，∴tan θ＝－22或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，∴tan θ<0，∴tan θ＝－22，故选B.解法二：∵π<2θ<2π，且tan2θ＝－22<0，∴3π2<2θ<2π， ∴cos2θ>0， ∴cos2θ＝ 11＋tan 22θ＝13，π2<θ<π，∴tan θ<0， ∴tan θ＝－1－cos2θ1＋cos2θ＝－22，故选B. 题型二 化简例2 解 (1)∵3π2＜α＜2π， ∴ 12＋12cos2α＝|cos α|＝cos α.又∵3π4＜α2＜π，∴ 12－12cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2. ∴原式＝sin α2.(2)1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ＝2sin4θcos4θ＋2sin 24θ2sin4θcos4θ＋2cos 24θ＝2sin4θsin4θ＋cos4θ2cos4θsin4θ＋cos4θ＝tan4θ. 变式训练2-1 B【解析】原式＝4cos 2α·sin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin2α，故选B.例3 解 (1)由tan α＋cot α＝－103，得3tan 2α＋10tan α＋3＝0.即tan α＝－3或tan α＝－13.又3π4＜α＜π，所以tan α＝－13为所求．(2)原式＝5×1－cos α2＋4sin α＋11×1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526. 变式训练3-1 B【解析】由sin A sin B ＝cos 2C 2，得sin A sin B ＝1＋cos C 2， 即2sin A sin B ＝1－cos(A ＋B )，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，即A ＝B ，故△ABC 是等腰三角形．当堂检侧1．B2．解 由sin θ＋2cos θ＝0得sin θ＝－2cos θ，∴cos2θ－sin2θ1＋cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ－2sin θcos θsin 2θ＋2cos 2θ＝cos 2θ6cos 2θ＝16. 3．D【解析】1－cos2αsin2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α，故选D.4. C 【解析】1＋cos100°－1－cos100° ＝ 2cos 250°－2sin 250°＝ 2cos50°－2sin50°＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos50°－22sin50° ＝2(sin45°cos50°－cos45°sin50°)＝－2sin5°.故选C.5. －4【解析】3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°＝2sin10°－30°12sin20°＝－4.。

半角的正弦、余弦和正切学案编制单位：临朐七中 编制人 ：王世红 审核人： 编号：5学习目标：1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程；2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接：1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α= ；cos2α= = = ；tan 2α= . 2. 已知3sin 25α=，求cos α的值.学习过程一、课内探究问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2α= ， cos2α= ，tan2α= .1︒在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2α=2︒在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2α= 3︒以上结果相除得2tan2α=半角公式：sin2α= （1）cos2α= （2）t a n 2α= = = （3）问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？1、求值：（1）sin15（2）cos15（3）tan 8π二、典例剖析例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2的值．跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2，求sin φ，cos φ的值．例2：化简：1. (1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°＜α＜360°)2.cot tan1tan tan .222αααα⎛⎫⎛⎫-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭跟踪训练： 化简：1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα+---+--+-例3：求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos4x ＋cos2x )＝2(1＋cos 2x )．练习：证明2(1)1sin 2cos ()42παα+=- 2(2)1sin 2sin ()42παα-=-三、小结反思本节课我最大的收获是什么？四、当堂检测1．cos2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22D.242．下列各式与tan α相等的是( )A.sin 1cos αα+ C. sin 1cos 2αα- D. 1cos 2sin 2αα-3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan 2α的值为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－34．已知tan2α＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－35 5．已知cos α＝45，且32π<α<2π，则tan 2α等于( )A ．－13 B.13 C ．－13或13D ．－3五、课后巩固1．求下列函数的精确值.（1）sin 22.5= （2）cos67.5=（3）13cos 12π= （4）5cot 8π= 2．已知3sin 5θ=，且322ππθ<<，则cos 2θ= （ ）A.1010 C.10± D. 10± 3．已知等腰三角形顶角的余弦值为725，则底角的余弦值为 .4．设(),2αππ∈等于 .5．已知1cos 22α=-，并且4590α<<，求sin α,cos α,tan α的值.6．求下列函数的周期： (1)2cos 2x y = (2)22sin y x =7．求22cos cos sin y x x x x =--的值域、单调性、周期性并判断其奇偶性.8.求函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值．9.已知02πα<<，5tancot222αα+=，求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.10.已知3sin ,sin 20,5θθ=<求tan 2θ的值.六、学习后记参考答案知识链接：2.解：2237cos 12sin 122525αα⎛⎫=-=-⋅= ⎪⎝⎭学习过程一、课内探究问题1：35 45 34半角公式：sin2α= （1）cos2α= （2）tan2α==sin 1cos αα+=1cos sin αα- （3）问题2：特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半. 2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切。