二倍角的正弦、余弦、正切
王业奇
α
1tan tan
二、提出问题：若β
=
α
让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题：
例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22
30’cos22
30’=4
2
45sin 21=
2．=-π
18
cos 22
224cos =
π 3．=π
-π8
cos 8sin 22
224cos -
=π- 4．=ππππ12
cos 24cos 48
cos 48
sin 8
2
16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ
例二、 1．5555(sin
cos )(sin cos )12121212ππππ
+- 2
25553
sin cos cos 121262
πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44
α=α
-αα+αcos )2
sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3．
=α+-α-tan 11tan 11α=α
-α
2tan tan 1tan 22
4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+
例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。
解：sin2
cos2
=
57
tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22
22222=θ
+-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、
条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ
+θ2
cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？
解：=
θ+sin 1a =θ
+θ2)2
cos 2(sin
即a =θ
+θ|2
cos 2sin
| 当
在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。
例五、（P43 例一）
已知),2
(,135sin ππ
∈α=
α，求sin2，cos2，tan2的值。
解：∵),2
(,135sin ππ
∈α=α
∴1312
sin 1cos 2-=α--=α
∴sin2 = 2sin cos = 169
120
-
cos2 = 169
119
sin 212=
α-
tan2 = 119
120
-
——降次
∵1)4
2sin(1≤π
+≤-x ∴]221,221[+-∈y
例二、求证：)6
(sin )3cos(cos sin 22α-π
-α+πα+α的值是与
无关
的定值。 证：
)3
cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+π
α+α-π--α-=
原式 ——降次
)sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ
-απα+α-α-π=
21(cos cos 2sin sin 2cos 2)23313cos cos sin )22
ππ
αααααα=
+-+- 13113cos 2sin 2cos 2(1cos 2)sin 2)4224414ααααα=
+-++-= ∴)6
(sin )3cos(cos sin 22α-π
-α+πα+α的值与无关
例三、化简：θ
-θ+θ
-θ-+θ-θ-θ-θ+sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1 ——升幂
解：2
cos
2sin 22cos 22cos
2sin 22sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 22222θθ-θθθ-θ+θθ-θθθ-θ=
原式
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