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安庆一中高一数学试题（必修4模块检测）命题教师 吴显上一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．0tan 600的值是（ ） A．-．2.若α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( )A.sin α=sin βB.cos α=cos βC.tan α=tan βD.tan α·tan β=13. 下列命题正确的是（ ）A 若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B 若|||b -=+，则→a ·→b =0 C 若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D 若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =1 4．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）5．已知O 是在四边形ABCD 所在平面内的一点，且22OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形 B.平行四边形 C. 梯形 D. 菱形xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x,y 的大小关系为（ ） （A ）y x ≤（B ）y x >（C ）y x <（D ）y x ≥7．在下列四个函数中，在区间），（20π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y=tanx; B ．y=sin|x| C ．y=cos2x; D ．y=|sinx|;8. 计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③15tan 115tan 1-+ , ④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A.①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④ 8．把函数y=cos （3x+4π）的图象适当变换可以得到y=sin （-3x ）的图象。
2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}2357111319U 71=，，，，，，，,集合{}2711A =，，,集合{}51113B =，，,则()UA B ⋂=ð( )A ．{}5B ．{}13C ．{}513，D ．{}1113， 【答案】C【解析】根据补集和交集定义,即可求得()U A B ⋂ð答案. 【详解】{}2357111319U 71=，，，，，，，,{}2711A =，，∴ {}U 3,5,13,17,19A =ð则(){}U 5,13A B ⋂=ð. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用韦恩图来辅助分析问题.2．计算:33log 2log 6-=( ) A ．1 B ．1-C ．3log 2-D ．32log 2-【答案】B【解析】根据log log log a a a MM N N-=,化简33log 2log 6-即可求得答案. 【详解】log log loga a a M M N N-= 则333321log 2log 6log log 163-===- ∴ 33log 2log 61-=-故选:B. 【点睛】本题考查了对数运算.掌握对数公式log log log a a aMM N N-=,是解本题关键,属于基础题.3．已知幂函数()()222af x a a x =--⋅在区间()0,∞+上是单调递增函数,则a 的值为( ) A ．3 B ．1- C ．3- D ．1【答案】A【解析】因为()()222af x a a x =--⋅是幂函数,则2221a a --=,解得3a =或1a =-,结合()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数,即可求得a 的值.【详解】()()222af x a a x =--⋅是幂函数,则2221a a --=解得3a =或1a =- 又()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数∴ 3a =故选:A. 【点睛】本题考查了幂函数相关知识,掌握幂函数基础知识是解题关键,属于基础题. 4．在ABC 中,已知sin 2sin cos A B C =,则此三角形一定为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C【解析】将sin 2sin cos A B C =,化简为()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=,即()sin 0B C -=,即可求得答案. 【详解】sin 2sin cos A B C =∴ ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=故sin cos cos sin 0B C B C -=,即()sin 0B C -=∴ B C =,故此三角形是等腰三角形故选:C. 【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.5．若实数m ,n 满足22m n <,则下列不等关系成立的是( )A ．22log log m n <BC ．11m n> D ．33m n <【答案】D【解析】根据22m n <可得:m n <,逐一验证每个选项,即可得出答案. 【详解】22m n m n <\<对于A,因为无法判断,m n 的正负性,故无法保证22log ,log m n 真数有意义,故A 错误; 对于B, 因为无法判断,m n 的正负性,故无法保证二次根式下非负,故B 错误; 对于C, 因为当1m =-,1n =满足m n <,此时11m n<,故C 错误; 对于D, 因为3y x =在R 上单调递增,所以可得33m n <,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性，考查了对数和二次根式的定义，考查了幂函数的单调性，掌握基本初等函数的性质和利用特殊值法是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 6．下列关系式一定正确的是( ) A ．sin20<B ．cos30>C ．()sin π3sin3-=- D ．sin 22sin αα≤【答案】D【解析】根据诱导公式,正弦二倍角公式等基础知识,逐项判断,即可得出答案. 【详解】对于A,因为2弧度的角是第二象限角,所以sin20>,故A 错误; 对于B,因为3弧度的角是第二象限角,所以cos30<,故B 错误; 对于C,因为根据诱导公式可得:()sin 3sin3π-=,故C 错误; 对于D,因为sin 22sin cos 2sin αααα=≤,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了判断三角函数象限符号,诱导公式和正弦二倍角公式.掌握三角函数基础知识是解本题关键,属于基础题.7．若函数sin 2y x =的图像经过点()00,P x y ,则其图像必经过点( ) A ．()00,x y - B ．00,2x y π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．00,2x y π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()00π,x y -【答案】C【解析】因为函数sin 2y x =的图像经过点()00P x y ，,可得00sin 2y x =,根据诱导公式逐项检验,即可得出答案. 【详解】函数sin 2y x =的图像经过点()00,P x y ,∴ 可得:00sin 2y x =对于A,将()00,x y -代入sin 2y x =,可得()000sin 2sin 2x x y -=-=-,则函数sin 2y x =不一定经过点()00,x y -,故A 错误;对于B,将00,2x y π⎛⎫+⎪⎝⎭代入sin 2y x =,可得()0000sin 2sin 2sin 22x x x y ππ⎛⎫+=+=-=- ⎪⎝⎭,则函数sin 2y x =不一定经过点00,2x y π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故B 错误; 对于C,将00,2x y π⎛⎫-⎪⎝⎭代入sin 2y x =,可得()0000sin 2sin 2sin 22x x x y ππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭,则函数sin 2y x =经过点00,2x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故C 正确;对于D,将()00π,x y -代入sin 2y x =,可得()()0000sin 2sin 22sin 2x x x y ππ-=-=-=-,则函数sin 2y x =不一定经过点()0π,x y -,故D 错误.故选:C. 【点睛】本题考查了判断点是否在已知直线上,熟练使用诱导公式是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．已知tan 2α=,则tan tan 24παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭( ) A ．1- B ．1C ．53D ．1715【答案】A【解析】根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+和22tan tan21tan ααα=- ,化简tan tan 24παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,结合已知,即可求得答案.【详解】 根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+和22tan tan21tan ααα=- 化简2tan 12tan 2122tan tan 241tan 1tan 1214παααααα--⨯⎛⎫-+=+=+ ⎪+-+-⎝⎭ 14133=-=-. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握正切的差角公式和二倍角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.9．函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0,0,A ωϕπ>><)的图像如图所示,则ω,ϕ的值为( )A ．3ω=,π4ϕ=B ．3ω=,π4ϕ=- C ．6ω=,π2ϕ=- D ．6ω=,π2ϕ=【答案】A【解析】由函数的图像的顶点坐标求出A ,由周期求出ω, 点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上,结合已知即可求得答案. 【详解】由函数()f x 的图像的顶点坐标,可求得1A =541246T πππ=-= ∴ 223T ππω==，故3ω=，又点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，知34πϕπ+=解得4πϕ=,符合ϕπ<.故选:A.【点睛】本题主要考查由函数()()sin f x A x =+ωϕ的部分图像求解析式,由函数的图像的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,考查了分析能力,属于中档题. 10．某数学课外兴趣小组对函数()12x f x -=的图像与性质进行了探究,得到下列四条结论：① 该函数的值域为()0,∞+; ② 该函数在区间[)0,+∞上单调递增;③ 该函数的图像关于直线1x =对称;④ 该函数的图像与直线()2y a a R =-∈不可能有交点.则其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】画出()12x f x -=,逐项判断,即可求得答案.【详解】 画出()12x f x -=如图:对于①,根据()f x 图像可知,函数()f x 的值域为[)1,+∞,①错误;对于②, 根据()f x 图像可知,函数()f x 在区间[)0,1上单调递减,在[)1,+∞上单调递增,②错误;对于③, 根据()f x 图像可知,函数()f x 的图像关于直线1x =对称,③正确;对于④,因20y a =-≤,所以函数()f x 的图像与直线()2y aa R =-∈不可能有交点,④正确.综上所述,正确结论的个数为2 故选:B. 【点睛】本题考查根据函数解析式画出函数图像.掌握函数的基础知识和数形结合是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 11．函数2019sin log 22x xxy -=-在区间[)(]3,00,3-上的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 令()2019sin log 22x xxf x -=-（[)(]3,00,3x -∈），()()2019sin log 22x xxf x f x --=-=--，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D 两个选项. 当3x =时，2019sin 363log 8y =，而3为第二象限角，所以sin30>，而201963log 08>，所以2019sin 3063log 8y =>，由此排除C 选项.故B 选项符合.故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.12．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有()()12123f x f x x x ->--,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为( ) A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为等式()()12123f x f x x x ->--可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案. 【详解】不等式()()12123f x f x x x ->--可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-<∴2433x << 不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C. 【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题.二、填空题13．函数()()2lg 12f x x x =++-的定义域为______________. 【答案】()()1,22,-+∞U【解析】根据对数函数真数大于零和分式分母不为零,列出不等式组,即可求得()f x 的定义域. 【详解】根据对数函数真数大于零和分式分母不为零∴ 得1020x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且2x ≠,故其定义域为()()1,22,-+∞U . 故答案为:()()1,22,-+∞U . 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中熟记函数的定义域的概念,以及根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组是解答的关键. 14．计算：sin39cos21sin51sin 21︒︒+︒︒=____________.【解析】根据诱导公式和正弦的和角公式,化简sin39cos 21sin51sin 21+,即可求得答案. 【详解】根据诱导公式()sin 90sin αα︒-=则sin 51=cos39化简sin39cos 21sin51sin 21sin39cos 21cos39sin 21+=+()3sin 3921sin 60=+==故答案为:2. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握诱导公式和正弦的和角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题. 15．已知函数()2tan 41xf x x =++,则()()()()()21012f f f f f -+-+++=________.【答案】5【解析】因为()2tan 41x f x x =++,故()020tan 0141f =+=+,()()()22tan tan 24141x xf x f x x x -+-=+++-=++,即可求得答案. 【详解】()2tan41x f x x =++故()020tan 0141f =+=+ ∴ ()()()22tan tan 4141x x f x f x x x -+-=+++-++22424141xx x ⨯=+=++ ()()()()22112f f f f ∴-+=-+= ()()()()()210125f f f f f ∴-+-+++=故答案为:5. 【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值,解题关键是求出()()f x f x +-是定值,考查了分析能力和计算能力.16．若A 为不等边ABC 的最小内角,则()2sin cos 1sin cos A Af A A A=++的值域为____________.【答案】(1⎤⎦【解析】因为A 为不等边ABC 的最小内角,得0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设sin cos t A A =+,故(sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭,22sin cos 1A A t =-,化简()2sin cos 1sin cos A Af A A A=++,即可求得答案.【详解】A 为不等边ABC 的最小内角∴ 得0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设sin cos t A A =+∴ (sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭ 得:22sin cos 1A A t =-∴()(22sin cos 1111sin cos 1A A t f A t A A t -⎤===-∈⎦+++故答案为:(1⎤⎦. 【点睛】本题考查了辅助角公式与正弦函数的单调性,以及换元法的应用和基本不等式的应用,考查了分析能力和计算能力,属于中档题目．三、解答题17．已知集合{}|1A x x =≥,集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈. （1）当4a =时,求AB ；（2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞【解析】（1）当4a =时,[]1,7B =-,根据并集定义,即可求得AB ;（2）因为B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当4a =时,[]1,7B =-∴ 又[)1,A =+∞,则[)1,A B ⋃=-+∞（2）因为{}|1A x x =≥, B A ⊆当B =∅时,33a a ->+,解得0a < 当B ≠∅时,3331a aa -≤+⎧⎨-≥⎩,解得02a ≤≤综上所述,实数a 的取值范围为(],2-∞. 【点睛】本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当B A ⊆时,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18．已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点()3,4P -. （1）求sin cos αα-的值；（2）求()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-的值.【答案】（1）75-（2）87【解析】（1）因为角α的终边经过点()3,4P -,则5OP ==,根据三角函数的定义,即可求得答案;（2）根据诱导公式化简()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-,结合已知,即可求得答案.【详解】 （1）角α的终边经过点()3,4P -∴5OP ==根据三角函数的定义可知43sin ,cos 55αα=-=∴437sin cos 555αα-=--=-故7sin cos 5αα-=-.（2）根据诱导公式化简:则()()()sin sin co sin cos 2cos 2si s in n s ππααπαααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++---=-4822sin 855734cos sin 7555ααα⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴ ()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-的值为:87. 【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式.在三角求值时,充分利用相关公式和已知条件进行化简,着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平,属于中等题. 19．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭图像两条相邻对称轴间的距离为π2. （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间; （2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x =的图像,求函数()y g x =图像的对称中心坐标.【答案】（1）20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）(),024k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）化简()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,得()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据正弦最小正周期:222T πππω==⨯=,结合已知解得2ω=,则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,结合正弦函数单调区间即可求得答案; （2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x =,得()sin 2cos 266y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即可求得()y g x =图像的对称中心坐标.【详解】（1）化简1()sin cos sin cos cos 622f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭1cos sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 根据正弦最小正周期:222T πππω==⨯=∴02ωω>∴=,则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭根据正弦函数单调性其单调增区间为:222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈∴解得:()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈又[]0,x π∈,∴ 函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为:20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x = ∴ ()sin 2cos 266y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令22x k =+ππ，解得,24k x k Z =+∈ππ∴ 故()y g x =图像的对称中心坐标为(),024k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数的单调区间和求三角函数的对称中心, 解题关键是掌握辅助角公式:()sin cos a x b x x ϕ+=+ ,(tan baϕ=),考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．已知函数()24f x ax bx =++,其中,a b ∈R ,且0a ≠.（1）若函数()y f x =的图像过点()3,1-,且函数()f x 只有一个零点,求函数()f x 的解析式;（2）在（1）的条件下,若a Z ∈,函数()()ln g x f x kx =-⎡⎤⎣⎦在区间[)2,+∞上单调递增,求实数k 的取值范围.【答案】（1）()244f x x x =++或()214493f x x x =++（2）(),8-∞ 【解析】（1）因为()24f x ax bx =++,根据函数()y f x =的图像过点()31，-,且函数()f x 只有一个零点,联立方程即可求得答案;（2）因为a Z ∈,由（1）可知:()244f x x x =++,可得()()()2ln ln 44g x f x kx x k x ⎡⎤=-=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦,根据函数()g x 在区间[)2,+∞上单调递增,即可求得实数k 的取值范围. 【详解】 （1）()24f x ax bx =++根据函数()y f x =的图像过点()31，-,且函数()f x 只有一个零点 ∴ 可得22(3)341160a b b a ⎧--+=⎨∆=-=⎩,整理可得23116b a b a =+⎧⎨=⎩,消去b ∴ 得291010a a -+=,解得1a =或19a =∴ 当1a =时,4b =,()244f x x x =++当19a =时,43b =,()214493f x x x =++ 综上所述,函数()f x 的解析式为:()244f x x x =++或()214493f x x x =++ （2）当a Z ∈,由（1）可知:()244f x x x =++∴ ()()()2ln ln 44g x f x kx x k x ⎡⎤=-=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦要使函数()g x 在区间[)2,+∞上单调递增∴则须满足()242224240kk -⎧-≤⎪⎨⎪+-⨯+>⎩解得8k <,∴ 实数k 的取值范围为(),8-∞.【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快．．．．．．.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型()0,1xy k ak a =⋅>>与()0y q p =>可供选择.（1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;（2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍?(参考数据1.73,lg 20.30,lg 30.48≈≈≈≈) 【答案】（1）答案见解析（2）17 【解析】（1）因为函数()0,1xy k ak a =⋅>>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越快,而函数()0y q p =>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选()0,1xy k ak a =⋅>>更合适,结合已知,即可求得该模型的函数解析式;（2）由（Ⅰ）知,当0x =时,8y =,所以原先投放的此生物的面积为8平方米,设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则有38810002x⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】 （1）函数()0,1xy k ak a =⋅>>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越快,而函数()0y q p =>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选()0,1xy k ak a =⋅>>更合适由已知得231827k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩,解得328a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴函数解析式为()382xy x N ⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭（2）由（1）知,当0x =时,8y =,所以原先投放的此生物的面积为8平方米; 设经过x 个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,∴ 有38810002x⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭解得lg1000317lg3lg 20.480.30x =≈≈--∴ 约经过17个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.【点睛】本题考查了求解模型解析式和求解指数方程,解题关键是掌握函数的基础知识解题关键,考查了分析能力和计算能力.22．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.（1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()()20f x mf x m --≤恒成立,求实数m 的取值范围; （2）是否同时存在实数a 和正整数n ,使得函数()()g x f x a =-在[]0πn ，上恰有2019个零点?若存在,请求出所有符合条件的a 和n 的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）)2,⎡+∞⎣（2）答案见解析【解析】（1）化简()f x 得:()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 要使()()20f x mf x m --≤对任意,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,令()t f x =,则t ⎡∈⎣,()20h t t mt m =--≤对任意t ⎡∈⎣恒成立,即可求得答案.（2）若同时存在实数a 和正整数n 满足条件,函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点,即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,对a 进行讨论,即可求得答案. 【详解】（1）化简:()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 144x x x ππ⎫=+⋅-⎪⎭22sin cos 2cos 1sin 2cos 2x x x x x =+-=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴ []sin 20,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()f x ⎡∈⎣要使()()20fx mf x m --≤对任意,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,令()t f x =,则t ⎡∈⎣,()20h t t mt m =--≤对任意t ⎡∈⎣恒成立, 只需()0020h m h m ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩∴解得2m ≥,∴实数m的取值范围为)2,⎡+∞⎣.（2）假设同时存在实数a 和正整数n 满足条件,函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点,即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点 当[]0,x π∈时,92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, ①当a >a <,函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上无交点,②当a =a =,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上仅有一个交点,此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,则2019n =; ③当1a <或1a <<时,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上有两个交点,此时函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有偶数个交点,不可能有2019个交点,不符合;④当1a =时,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上有2个交点,此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,则1009n =; 综上所述,存在实数a 和正整数n 满足条件:当a =,2019n =;当a =,2019n =; 当1a =时,1009n =. 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数和求函数交点个数问题.掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法,数形结合是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.。
2023-2024学年安徽省安庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．集合{}N 5215A x x =∈-<-<的子集个数为（）．A ．4B ．7C ．8D ．16【正确答案】C【分析】解出集合A ，再计算集合的子集个数.【详解】因为{}{}{}N |5215N|230,1,2A x x x x =∈-<-<=∈-<<=，所以该集合的子集的个数为328=，故选：C ．2．命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是（）．A ．5x ∀>，5log 1x ≤B ．05x ∃>，50log 1x ≤C ．5x ∀≤，5log 1x ≤D ．05x ∃≤，50log 1x ≤【正确答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】含全称量词的命题的否定是含存在量词的命题，命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是05x ∃>，50log 1x ≤．故选：B ．3．下列各式中，与5πsin 3的值相等的是（）．A ．πcos6B ．2πsin3C ．4πsin3D ．7πsin3【正确答案】C【分析】结合诱导公式求出各三角函数值后可得．【详解】因5ππsin sin 33=-=πcos 6=，2πsin 3=4ππsin sin 33=-=-7ππsinsin 332==，故选：C ．4．“角α是第三象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角α是第三象限角时，sin 0α<，tan 0α>，于是sin tan 0αα⋅<，所以充分性成立；当2sin sin tan 0cos αααα⋅=<，即cos 0α<时，角α是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A ．5．已知函数()11cos 33xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】计算函数值(π)f 后可得．【详解】由条件知()ππ1111πcos π03333f ⎛⎫⎛⎫=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 符合，其它均不符合，故选：A ．6．已知tan 2a =，31log 3b =，20.99c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】结合正切函数性质、指数函数性质，借助中间值1-比较可得．【详解】因23πtan 2tan 10.990.98014a b c =<=-=<=-=-，故选：A ．7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）与3log 100x成正比，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s ．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s ，则它的耗氧量的单位数是原来的（）倍．A ．4B ．8C ．9D ．27【正确答案】C【分析】根据初始值求得比例系数k ，然后设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，由速度差列等式求解．【详解】根据条件设3log 100x v k =，当2700x =时， 1.5v =，代入得327001.5log 3100k k ==，解得12k =，所以31log 2100x v =，设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，则2123331111log log log 1210021002x x xx -==，所以22139x x ==，故选：C ．8．已知函数()ln 2f x x x =+-的零点为0x ，则下列说法错误的是（）．A ．()01,2x ∈B ．020e ex x =C ．()0021xx -<D ．0201x x -<【正确答案】D【分析】由零点存在定理及单调性确定零点0(1,2)x ∈，再利用零点的性质结合对数函数与指数函数性质判断各选项．【详解】由条件知函数()f x 在其定义域内单调递增，所以其最多有一个零点，又()110f =-<，()2ln 20f =>，于是()01,2x ∈，A 正确；所以000l 2n x x +-=，整理得()0000ln ln e ln e 2x x x x +==，所以020e e x x =，B 正确；因()01,2x ∈，所以()020,1-∈x ，于是()0021xx -<，0201x x ->，C 正确，D 错误，故选：D ．二、多选题9．下列各式中，其中运算结果正确的是（）．A π4=-B ．()233log 937⨯=C ．lg 4lg 252+=D ．42log 9log 3=【正确答案】BCD【分析】利用开偶次方的性质以及对数的运算性质逐项分析即可.【详解】A π44π=-=-，A 错误；B 选项：()23733log 93log 37⨯==，B 正确；C 选项：2lg 4lg 25lg100lg102+===，C 正确；D 选项：22422log 9log 3log 3==，D 正确．故选：BCD ．10．已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（）．A ．函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()y f x =的最小正周期为π2D ．函数()y f x =是偶函数【正确答案】AB【分析】由正切函数性质判断AB ，利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD ．【详解】π()tan 004f -==，A 正确；ππ(,44x ∈-时，ππ(0,)42x +∈，因此此时()f x 递增，B 正确；π(04f -=，但π()4f 不存在，C ，D 均不正确，故选：AB ．11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D ．若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12πcos cos 6x x +==故D 错误．故选：AB ．12．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则下列关于函数()y f x =的判断中，其中正确的判断是（）．A ．函数()y f x =的最小正周期为4B ．11124f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()y f x =在[]2,4上单调递增D ．不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈．【正确答案】ABD【分析】由奇函数的性质与对称性得出函数的周期性，结合周期性、奇偶性、对称性及函数在[0,1]上的解析式可得函数的性质，从而判断各选项．【详解】由()()11f x f x +=-得()()2f x f x +=-，于是()()()()()422f x f x f x f x f x +=--=-+=--=，所以函数()y f x =的最小正周期为4，A 正确；211311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 正确；()f x 在[0,1]上递增，由()f x 是奇函数得()f x 在[1,0]-上递增，即在[1,1]-上递增，又()f x 图象关于直线1x =对称（∵(1)(1)f x f x +=-），因此()f x 在[1,3]上递减，而()f x 是周期为4的周期函数，因此()f x 在[3,5]上递增，C 错误；由选项C 的讨论，可得到不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知23x =，则2222x x -+=________．【正确答案】829##199【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．【详解】由已知得()()22221822222999x x xx --+=+=+=．故829．14．已知函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，且点P 在角α的终边上，则sin cos αα=________．【正确答案】25-【分析】先由指数型函数过定点的性质求得P 的坐标，再利用三角函数的定义即可求得sin ,cos αα，从而得解.【详解】因为函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，令10x +=，则1,2x y =-=，所以()1,2P -，于是sin α===cos α=-所以2sin cos 555αα⎛==- ⎝⎭．故答案为.25-四、双空题15．已知幂函数()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，则实数m =________；函数()212log y x mx =-+的单调递增区间为________．【正确答案】2[)1,2（或()1,2）【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得m 的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得()212log y x mx =-+的单调递增区间.【详解】因为()23my m x =-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，又()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，所以0m >，则2m =；于是()()221122log log 2y x mx x x =-+=-+，由220x x -+>，解得02x <<，则()212log 2y x x =-+的定义域为()0,2，又()2221x x x μ=-+=--，其开口向下，对称轴为1x =，所以22x x μ=-+在(]0,1（或()0,1）上单调递增，在[)1,2（或()1,2）上单调递减，又12log y μ=在其定义域内单调递减，所以()212log y x mx =-+的单调递增区间为[)1,2（或()1,2）．故2；[)1,2（或()1,2）．五、填空题16．已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b +=，则3241ac c b ab c +++的最小值为________．【正确答案】18【分析】先化简提公因式再应用1a b +=，a ，b 应用基本不等式，()246161c c ++-+再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可.【详解】由条件知()232432411a b ac c a c b ab c b ab c ⎡⎤+++=++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()4242424242266161111a b c c c c b a c c c c ⎛⎫⎛⎫=+++≥+=+=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭618≥-=，当且仅当4a b b a =，()24611c c +=+，又因为1a b +=，即13a =，23b =，1c =时，3241ac c b ab c +++的最小值为18．故18.六、解答题17．已知集合{}25,R A x x x a a =-≤∈，集合{}2log 1B x x =≤．(1)当4a =-时，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)[]1,2A B = (2)[)0,a ∈+∞．【分析】（1）解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）由并集的结论得B A ⊆，转化为25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，求出25x x -在2(]0,x ∈时的取值范围后可得参数范围．【详解】（1）当4a =-时，2540x x -+≤，解得14x ≤≤，所以[]1,4A =,{}(]2log 10,2B x x =≤=，所以[]1,2A B = ．（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，又(]0,2B =，所以25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，当(]0,2x ∈时，[)2252556,024x x x ⎛⎫-=--∈- ⎪⎝⎭．所以0a ≥，于是实数a 的取值范围为[)0,a ∈+∞．18．已知函数()2f x x bx c =++（b ，c ∈R ）是定义在R 上的偶函数，且满足()104f f ⎡⎤=-⎣⎦．(1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断函数()()()023axg x a f x =>+在[)1,+∞上的单调性并证明．【正确答案】(1)()212f x x =-(2)函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，证明见解析【分析】（1）由偶函数的定义，利用恒等式知识求解；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）由条件可知()()f x f x -=，即()()22x b x c x bx c -+-+=++对任意的x ∈R 恒成立，所以0b =．于是()2f x x c =+，所以()()2104f f f c c c ⎡⎤==+=-⎣⎦，解得12c =-，所以函数()f x 的解析式为()212f x x =-．（2）由（1）可知()()22322ax axg x f x x ==++，当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．证明如下：设1x ∀，[)21,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()()()()221221211212122222221212121112222211211a x x x x a x x x x ax ax g x g x x x x x x x ⎡⎤+-+--⎣⎦-=-==++++++，因121x x ≤<，所以210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x ++>，又0a >，所以()()120g x g x ->即()()12g x g x >，因此当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．19．在△ABC 中，3tan 4A =-．(1)求()sin B C +，()cos B C +的值；(2)求sincos 22sin cos22AAAA +-的值．【正确答案】(1)()3sin 5B C +=，()4cos 5B C +=(2)2【分析】（1）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos A A ，再由诱导公式可得结论；（2）由正切的二倍角公式求得tan 2A，然后由弦化切求值．【详解】（1）由3tan 04A =-<知角A 为钝角，所以sin 0A >，cos 0A <因sin 3tan cos 4A A A ==-，22sin cos 1A A +=，解得3sin 5A =，4cos 5A =-，于是()()3sin sin πsin 5B C A A +=-==，()()4cos cos πcos 5B C A A +=-=-=．（2）由22tan32tan 41tan 2AA A ==--，整理得23tan 8tan 3022A A --=，解得tan 32A =或1tan 23A =-，因ππ422A <<，所以tan 32A =．所以sin cos tan 131222231sin cos tan 1222A A A A A A +++===---．20．已知函数()e e 2x x f x --=，()e e 2x x g x -+=，其中e 是自然对数的底数．(1)求证：()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(2)求函数()()()722h x g x g x =-的零点．【正确答案】(1)证明见解析(2)零点为(ln 2，(ln 2-．【分析】（1）分别计算(2)g x 和22[()][()]f x g x +可证；（2）用换元法解方程()0h x =可得．【详解】（1）由条件知()22e e 22x xg x -+=，()()2222222222e e e e e 2e e 2e e e 22442x x x x x x x x x xf xg x -----⎛⎫⎛⎫-+-++++⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．（2）因()()()()22222e e 222e e221222x xx x g x g x g x --+-⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤====-⎣⎦，令()0h x =，则()()272102g x g x ⎡⎤--=⎣⎦即()()24720g x g x ⎡⎤--=⎣⎦，即()()2410g x g x ⎡⎤⎡⎤-⋅+=⎣⎦⎣⎦，解得()2g x =或()14g x =-，又()e e 12x xg x -+==，当且仅当e e x x -=，即0x =时取等号，所以()2g x =，于是e e 22x x-+=整理得2e 4e 10x x -+=，于是e 2x =+e 2x =-，解得(ln 2x =或(ln 2x =，所以函数()()()722h x g x g x =-的零点为(ln 2，(ln 2．21．2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：x（万元）235y（万元）145494(1)根据表中数据，分别用模型()logay x m b=++（0a>且1a≠）与y d=建立y 关于x的函数解析式；(2)已知当9x=时， 3.3y=，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：7.55≈）【正确答案】(1)()()21log124y x x=-+≥，()124y x=-≥(2)选用模型()()21log124y x x=-+≥更合理，理由见解析【分析】（1）根据已知数据列方程组求解即得；（2）9x=代入两个模型计算后比较可得．【详解】（1）若选用()logay x m b=++，则依题意可得()()()1log245log349log54aaam bm bm b⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得2a=，1m=-，14b=，则()()21log124y x x=-+≥．若选用yd=+，则依题意可得145494ddd⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得c=158n=-，14d=-，则()124y x =≥．（2）对于函数()21log 14y x =-+，当9x =时，13 3.254y ==（万元）；对于函数14y =，当9x =时，1 3.5254y =≈（万元）；因3.525 3.3 3.25 3.3->-，所以选用模型()()21log 124y x x =-+≥更合理．22．已知函数()()2sin 2cos R f x x x a a =-+∈，且满足________．从①函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 的图象经过点π3⎛ ⎝．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：(1)求实数a 的值并求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知函数()()22lg lg R g x x m x m m =--∈，若对任意的1ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]21,100x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)a =()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)[]3,1-．【分析】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，选①，由π(06f =求得a ，再由正弦函数性质得单调增区间；选②，由结合正弦函数的最大值求得a ，再由正弦函数的单调性求得增区间；选③，由π()3f =a ，再由正弦函数的单调性得增区间；（2）求出(),()f x g x 的最大值，由()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦可得参数范围．【详解】（1）由条件知())2sin 22cos 1f x x x a=--sin 22x x a =--π2sin 23x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭若选①，则π06f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选②，则函数()f x 的最大值为22a +=，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选③，则πππ2sin 2333f a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由题意可知只需()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即可．当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此函数()f x 的最大值为1．令lg x t =，则[]0,2t ∈，则()22g x t mt m=--当12m ≤即2m ≤时，函数()g x 的最大值为242m m --，于是2421m m --≥，整理得2230m m +-≤，解得31m -≤≤，均满足2m ≤，所以31m -≤≤；当12m >即>2m 时，函数()g x 的最大值为2m -，于是21m -≥，无实解；综上所述，实数m 的取值范围为[]3,1-．。
2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．125．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞27．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1 三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ ．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= ．．15．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是 ． 16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k 和x ∈[﹣1，3]，使不等式f （x 2﹣kx ）+f （2﹣x ）＞0成立？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）设m 为给定的实常数，若函数y ＝f （x ）在其定义域内存在实数x 0，使得f （x 0+m ）＝f （x 0）+f （m ）成立，则称函数f （x ）为“G （m ）函数”．（1）若函数f （x ）＝2x 为“G （2）函数”，求实数x 0的值； （2）证明：函数h （x ）＝2x +x 2为“G （1）函数”； （3）若函数f(x)=lg ax 2+1为“G （1）函数”，求实数a 的取值范围．2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：sin600°＝sin （720°﹣120°）＝﹣sin120°＝﹣sin （180°﹣60°）＝﹣sin60°=−√32，故选：D ．2．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]解：由{1−x ＞0log 2(1−x)≥0，得{1−x ＞01−x ≥1，解得x ≤0，所以函数的定义域为（﹣∞，0]．故选：D ．3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）解：A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12解：∵x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，∴T ＝2（3π4−π4）＝π=2πω∴ω＝2，故选：A ． 5．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵f （﹣x ）=1+e −x 1−e −x •cos （﹣x ）=e x +1e x −1•cos x =−1+e x1−e xcos x ＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，排除选项A 和C ；当0＜x ＜1时，e x ＞1，cos x ＞0，∴f （x ）＜0，排除选项B ， 故选：D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞2解：当a ＝0时，不等式化为﹣2x +1＞0，解得x ＜12，在R 上不恒成立；当a ≠0时，若不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 恒成立，则{a ＞0Δ=4−4a ＜0，解得a ＞1．综上所述，“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的充要条件为“a ＞1”，因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含（1，+∞），对照各项可知A 项“a ＞0”符合题意． 故选：A ．7．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]解：由2kπ+π2≤wx +π4≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得2kπw +π4w ≤x ≤2kπw +5π4w，k ∈Z ， 即函数的单调递减区间为[2kπw +π4w ，2kπw +5π4w]，k ∈Z ， 令k ＝0，则函数f （x ）其中一个的单调递减区间为：[π4w ，5π4w]， 函数f （x ）在区间[π2，π]内单调递减，则满足{5π4w ≥ππ4w ≤π2，得{ω≥12ω≤54，所以w 的取值范围是[12，54]． 故选：D ．8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）解：由g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a ＝0得[f （f （x ））﹣1][f （f （x ）﹣a ]＝0， 则f （f （x ））＝1或f （f （x ））＝a ，作出f （x ）的图象如图，则若f （x ）＝1，则x ＝0或x ＝2，设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝1得f （t ）＝1， 此时t ＝0或t ＝2，当t ＝0时，f （x ）＝t ＝0，有两个根，当t ＝2时，f （x ）＝t ＝2，有1个根， 则必须有f （f （x ））＝a ，（a ≠1）有5个根， 设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝a 得f （t ）＝a ，若a ＝0，由f （t ）＝a ＝0得t ＝﹣1，或t ＝1，f （x ）＝﹣1有一个根，f （﹣x ）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a ＞1，由f （t ）＝a 得t ＞2，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若a ＜0，由f （t ）＝a 得﹣2＜t ＜﹣1，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若0＜a ＜1，由f （t ）＝a 得﹣1＜t 1＜0，或0＜t 2＜1或1＜t 3＜2，当﹣1＜t 1＜0时，f （x ）＝t 1，有一个根，当0＜t 2＜1时，f （x ）＝t 2，有3个根， 当1＜t 3＜2时，f （x ）＝t 3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件． 故0＜a ＜1，即实数a 的取值范围是（0，1）， 故选：A ．二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]解：根据题意，依次分析选项：对于A ，命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3≥0，故A 不正确； 对于B ，若奇函数g(x)=1x，x ＝0时，g （x ）无意义，故B 不正确；对于C ，已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1) 在 R 上是增函数，首先当x ＞1时，f(x)=ax单调递增，则a ＜0，其次当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2﹣ax ﹣5（对称轴为x =−a 2）单调递增，则−a2≥1，即a ≤﹣2，但若要保证函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1)在 R 上是增函数，还需满足−12−a ×1−5≤a1，即a≥﹣3，所以实数a 的取值范围是[﹣3，﹣2]，故C 不正确；对于D ，若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域满足﹣2≤2x ﹣1≤2，解得−12≤x ≤32，故D 正确． 故选：ABC ．10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位解：对于A ，由图可知A =2，T 4=13−112=14，所以T ＝1，又因为T =2πω， 所以ω＝2π，所以f （x ）＝2sin （2πx +φ）， 又函数图象最高点为(112，2)， 所以f(112)=2sin(π6+φ)=2，即sin(π6+φ)=1， 所以π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π3+2kπ，k ∈Z ，由题意|φ|＜π2，所以只能k ＝0，此时φ=π3，故A 选项正确；对于B ，由A 选项分析可知f(x)=2sin(2πx +π3)，因为f(16)=2sin(π3+π3)=√3≠0，所以函数f （x ）的图象不关于(16，0)对称，故B 选项错误；对于C ，当x ∈[16，23]时，2πx ∈[π3，4π3]，所以t =2πx +π3∈[2π3，5π3]，而函数y ＝2sin t 在[2π3，3π2]上单调递减，在[3π2，5π3]上单调递增，所以当x ∈[16，23]时，−2=2×(−1)≤f(x)≤2×√32=√3，所以函数f （x ）在[16，23]的值域为[−2，√3]，故C 选项正确；对于D ，若将函数f(x)=2sin(2πx +π3)的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为h （x ）＝2sin[2π（x +14）+π3]＝2sin[（2πx +π3）+π2]＝2cos （2πx +π3）＝g （x ），故D 选项正确． 故选：ACD ．11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x解：对于A ：sin 2x +4sin 2x≥2|sinx|⋅|2sinx |=4，当且仅当|sinx|=|2sinx|，即当且仅当sinx =±√2时等号成立， 但sinx =±√2不成立，所以sin 2x +4sin 2x的最小值取不到4，故选项A 错误； 对于B ：因为2x ＞0，2﹣x ＞0，则2x +22−x ≥2√2x ⋅22−x =4， 当且仅当2x ＝22﹣x ，即x ＝1时，等号成立，所以2x +22﹣x的最小值为4，故选项B 正确；对于C ：8+log 2(2x)⋅log 2x=8+(1+log 2x)(log 2x −3)=log 22x −2log 2x +5=(log 2x −1)2+4，当x ＝2时，取得最小值4，故选项C 成立；对于D ：由题意sin 2x ＞0，cos 2x ＞0， 则1sin 2x+1cos 2x=(sin 2x +cos 2x )(1sin 2x+1cos 2x)=cos 2x sin 2x+sin 2x cos 2x+2≥2√cos 2x sin 2x ⋅sin 2x cos 2x+2=4，当且仅当cos 2x sin 2x=sin 2x cos 2x，即tan x ＝±1时，等号成立，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1解：对于A 选项，由f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，得f （x +1）﹣1+f （﹣x +1）﹣1＝0，设F （x ）＝f （x +1）﹣1，则F （x ）+F （﹣x ）＝0，所以F （x ）是奇函数，图象关于（0，0）对称，所以根据函数图象变换的知识可知f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称，A 选项正确；对于B 选项，y ＝f （x ）与y ＝f （﹣x ）的图象关于y 轴对称，所以y ＝f （x ﹣1）与y ＝f [﹣（x ﹣1）]＝f （1﹣x ）的图象关于直线x ＝1对称，B 选项错误；对于C 选项，g （x +2）＝g （x +1+1）＝﹣g （x +1）＝g （x ），所以g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2，C 选项正确；对于D 选项，设x 0是方程x ﹣g （f （x ））＝0的一个解， 则x 0﹣g （f （x 0））＝0， 所以x 0＝g （f （x 0））， 所以f （x 0）＝f [g （f （x 0））]， 令t ＝f （x 0）， 则t ＝f （g （t ）），即方程x ＝f （g （x ））有解，当f （g （x ））＝x 2+x +1时，方程x ＝x 2+x +1无解，所以D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ 3 ．解：m 2﹣2m ﹣2＝1，解得m ＝3或﹣1，当m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣2，不满足在区间（0，+∞）上单调递增，舍去，当m ＝3时，f （x ）＝x 2，满足f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意， 故m ＝3． 故答案为：3．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= 2√2 ．解：∵m ＝2sin18°，∴由m 2+n ＝4，得n ＝4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4cos 218°， 则m+√n sin63°=2sin18°+2cos18°sin63°=2√2sin(45°+18°)sin63°=2√2sin63°sin63°=2√2，故答案为：2√215．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是： [1，43] ．解：因为函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”， 所以存在x 0∈[﹣1，1]，使f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）， 即−3x 0−tanx 0+2m −1=3−x 0+tan(−x 0)−2m +1， 即4m −2=3x 0+3−x 0，令t =3x 0，则t ∈[13，3]，所以4m −2=t +1t≥2，当且仅当t ＝1，即x 0＝0时取等号， 解得m ≥1，m ＝1时，存在两点关于原点对称，∴m ≥1， 当t =13或t ＝3时，(4m −2)max =3+13=103，解得m ≤43，所以1≤m ≤43．故答案为：[1，43]．16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 (−3712，−3] ． 解：由函数f(x)=√x +1+a 单调递增，且函数f （x ）存在“倍值区间”， 存在﹣1≤m ＜n ，使得{3m =√m +1+a3n =√n +1+a，设{u =√m +1≥0v =√n +1＞0，则0≤u ＜v ，且{m =u 2−1n =v 2−1，所以{3u 2−u −3−a =03v 2−v −3−a =0，因此二次函数g （x ）＝3x 2﹣x ﹣3﹣a 在[0，+∞）上有两个零点u ，v 且u ＜v ， 则{g(0)=−3−a ≥012×3＞0Δ=1+12(3+a)＞0，解得−3712＜a ≤−3． 故答案为：(−3712，−3]． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．解：（1）(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3=lg2(lg2+lg50)+2lg5+313×2−13×316×213×312=lg2×lg100+2lg5+313+16+12=2(lg2+lg5)+3=2×lg10+3=5.（2）因为2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1， 所以cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α+cos 2α﹣1＝0，所以cos 2α+3cos αsin α﹣4sin 2α＝0⇒（cos α﹣sin α）（cos α+4sin α）＝0， 所以cos α＝sin α或cos α＝﹣4sin α，即tan α＝1或tanα=−14，又α∈(−32π，−π)，α为第二象限角，所以tan α＜0，所以tanα=−14；所以2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα=2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9=2×(−14)−34×(−14)−9=720． 18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．解：（1）f(x)=12cos2x −√32sin2x +1−cos2x =−sin(2x +π6)+1，由2x +π6=kπ，得x =kπ2−π12，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心为(kπ2−π12，1)，k ∈Z ； （2）由f(α)=25，得1−sin(2α+π6)=25，即sin(2α+π6)=35，由α∈(π4，π2)，2α+π6∈(23π，76π)，知cos(2α+π6)=−45，所以sin2α=sin[(2α+π6)−π6]=sin(2α+π6)cos π6−cos(2α+π6)sin π6=35⋅√32−(−45)⋅12=3√3+410．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）设﹣2≤x 1＜x 2≤2， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 因为﹣2≤x 1＜x 2≤2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＜4⇒x 1x 2﹣4＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在[﹣2，2]单调递增；（2）由于对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 所以函数f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集，由（1）知f （x ）在[﹣2，2]单调递增，f(−2)=−14，f(2)=14，所以f （x ）的值域为[−14，14]，当k ＞0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递增，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[1﹣k ，8k +1]，由{1−k ≤−1414≤8k +1，解得：k ≥54， 当k ＜0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递减，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[8k +1，1﹣k ]，由{8k +1≤−1414≤1−k ，解得：k ≤−532， 综上所述，k ∈（﹣∞，−532]∪[54，+∞）．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．解：（1）设|BC |＝a ．∵∠CAB ＝30°，则|AB |=√3a ． tan ∠EAB =5+b 3b ，tan ∠DAB =10+b3b． ∴tan ∠DAE =√39=tan （∠DAB ﹣∠EAB ）=√3b −√3b 1+10+b √3b ⋅5+b √3b．化为：2b 2﹣15b +25＝0，解得b ＝5或52．∵AC ＞5．∴b ＝5．∴AC ＝10．（2）设AP →=k AC →，A （﹣5√3，0），C （0，5）． 则P （5√3k ﹣5√3，5k ）．（0≤k ≤1）． 作PF ⊥BC ，垂足为F 点，则F （0，5k ）． ∴tan ∠DPF =DF PF =15−5k 5√3(1−k)，tan ∠EPF =EF PF =10−5k5√3(1−k)． tan θ＝tan （∠DPF ﹣∠EPF ）=tan∠DPF−tan∠EPF1+tan∠DPFtan∠EPF =√3(1−k)4k 2−11k+9=f （k ），f ′（k ）=2√3(2k 2−4k+1)(4k 2−11k+9)2，k =2−√22时， f （k ）取得最大值，CP =√(5√3k −5√3)2+(5k −5)2=10（1﹣k ）＝5√2．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k和x∈[﹣1，3]，使不等式f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0成立？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由f（x）是定义在R的奇函数，则有f（0）＝0，得a＝1，把a＝1代入函数得f(x)=1−2x2x+1+2，而f(−x)=1−2−x2−x+1+2=(1−2−x)2x(2−x+1+2)2x=2x−12+2x+1=−f(x)，所以a＝1符合题意；（2）f(x)=1−2x2x+1+2=−2x−1+22(2x+1)=−12+12x+1，因为函数2x+1＞0且在R单调递增，所以y=12x+1在R上单调递减，从而f（x）在R上单调递减．f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0⇔f（x2﹣kx）＞f（x﹣2），因为f（x）在R上单调递减．得x2﹣kx＜x﹣2，即x2﹣（k+1）x+2＜0，令f（x）＝x2﹣（k+1）x+2，x∈[﹣1，3]，则依题意只需g（x）min＜0，易得g（x）的对称轴是x=k+1 2，①当k+12≥3，即k≥5时，g（x）在[﹣1，3]上单减，g（x）min＝g（3）＝8﹣3k＜0，即k＞83，所以k≥5；②当−1＜k+12＜3，即﹣3＜k＜5时，由g(x)min=g(k+12)=2−(k+1)24＜0，解得：k＜−1−2√2或k＞−1+2√2，所以−1+2√2＜k＜5；③当k+12≤−1，即k≤﹣3时，g（x）在[﹣1，3]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+k＜0，即k＜﹣4，所以k＜﹣4，综上知：存在实数k∈(−∞，−4)∪(−1+2√2，+∞)满足题设．22．（12分）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则称函数f（x）为“G（m）函数”．（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；（2）证明：函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”；（3）若函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，求实数a的取值范围．解：（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得f（x0+2）＝f（x0）+f（2），即2x0+2=2x0+22，解得x0=log243，故实数x0的值为log243．（2）证明：由h（x）＝2x+x2，则ℎ(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，ℎ(x0)+ℎ(1)=2x0+x02+3，令2x0+1+(x0+1)2=2x0+x02+3，得2x0=−2x0+2，设y＝2x，g（x）＝﹣2x+2，如图可知，两函数由一个交点，即存在实数x0，使得h（x0+1）＝h（x0）+h（1）成立，所以函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”．（3）函数f(x)=lgax2+1有意义，则a＞0，定义域为R，因为函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，所以存在实数x0使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，即存在实数x0使得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，所以存在实数x0使得2x02+2(x0+1)2+1=a成立，即(a−2)x02+2ax0+2a−2=0，所以当a＝2时，x0=−12，满足题意；当a≠2时，Δ＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得3−√5≤a≤3+√5且a≠2，所以实数a的取值范围是[3−√5，3+√5]．。
安徽省安庆市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）经过点的直线的倾斜角为，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·吉安模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A . 2.5B . 3C . 3.2D . 43. （2分）已知正方形的四个顶点分别为，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（）A .B .C .D .4. （2分）四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°5. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b6. （2分） (2017高一下·扶余期末) 过点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .7. （2分）如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（）A . 任意梯形B . 直角梯形C . 任意四边形D . 平行四边形8. （2分）若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）A . 1，-1B . 2，-2C . 1D . -19. （2分）如图，平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,,将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·静海开学考) 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A . [1﹣，1+ ]B . （﹣∞，1﹣]∪[1+ ，+∞）C . [2﹣2 ，2+2 ]D . （﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为________．14. （1分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是115. （1分）(2016·新课标Ⅰ卷理) α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n ，m⊥α ，n∥β ，那么α⊥β.②如果m⊥α ，n∥α ，那么m⊥n.③如果α∥β ， m α ，那么m∥β.④如果m∥n ，α∥β ，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）16. （1分） (2016高一下·大丰期中) 从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为________．三、解答题： (共6题；共45分)17. （10分） (2016高三上·洛阳期中) 等腰△ABC中，AC=BC= ，AB=2，E，F分别为AC，BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP= ．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．18. （5分）已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l的方程.19. （5分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E 为棱A1C1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1C1D⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣C1的余弦值．20. （10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的极坐标为（5，0），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l和圆C的位置关系．21. （5分）(2017·朝阳模拟) 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．点Q为线段A1B上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：A1F⊥BE；（Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小．22. （10分） (2017高二下·营口会考) 已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题）1．已知全集U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，集合A＝{2，7，11}，集合B＝{5，11，13}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5} B．{13} C．{5，13} D．{11，13}2．计算：log32﹣log36＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣log32 D．﹣2log323．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．14．在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．若实数m，n满足2m＜2n，则下列不等关系成立的是（）A．log2m＜log2n B．C．＞D．m3＜n36．下列关系式一定正确的是（）A．sin2＜0 B．cos3＞0C．sin（π﹣3）＝﹣sin3 D．|sin2α|≤2|sinα|7．若函数y＝sin2x的图象经过点P（x0，y0），则其图象必经过点（）A．（﹣x0，y0）B．C．D．（π﹣x0，y0）8．已知tanα＝2，则＝（）A．﹣1 B．1 C．D．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则ω，φ的值为（）A．ω＝3，B．ω＝3，C．ω＝6， D．ω＝6，10．某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝2|x﹣1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①该函数的值域为（0，+∞）；②该函数在区间[0，+∞）上单调递增；③该函数的图象关于直线x＝1对称；④该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点．则其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．函数y＝在区间[﹣3，0）∪（0，3]上的图象为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的函数，f（1）＝1．若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2有，则不等式f[log2（3x﹣2）]＜log216﹣3log2（3x﹣2）的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．13．函数的定义域为．14．计算：sin39°cos21°+sin51°sin21°＝．15．已知函数，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝．16．若A为不等边△ABC的最小内角，则的值域为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3﹣a≤x≤3+a，a∈R}．（Ⅰ）当a＝4时，求A∪B；（Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4）．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．19．已知函数图象两条相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）图象的对称中心坐标．20．已知函数f（x）＝ax2+bx+4，其中a，b∈R，且a≠0．（Ⅰ）若函数y＝f（x）的图象过点（﹣3，1），且函数f（x）只有一个零点，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a∈Z，函数g（x）＝ln[f（x）﹣kx]在区间[2，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围．21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝k•a x（k＞0，a＞1）与y＝p可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；（Ⅱ）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48）22．已知函数．（Ⅰ）当时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，集合A＝{2，7，11}，集合B＝{5，11，13}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5} B．{13} C．{5，13} D．{11，13}【分析】进行补集、交集的运算即可．解：∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，A＝{2，7，11}，B＝{5，11，13}，∴∁U A＝{3，5，13，17，19}，（∁U A）∩B＝{5，13}．故选：C．2．计算：log32﹣log36＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣log32 D．﹣2log32【分析】利用对数的性质和运算法则求解．解：log32﹣log36＝＝＝﹣1，故选：B．3．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．1【分析】利用幂函数的定义和单调性即可算出结果．解：∵幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，∴，解得a＝3，故选：A．4．在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．解：因为sin A＝2sin B cos c，所以sin（B+C）＝2sin B cos C，所以sin B cos C﹣sin C cos B＝0，即sin（B﹣C）＝0，因为A，B，C是三角形内角，所以B＝C．所以三角形是等腰三角形．故选：C．5．若实数m，n满足2m＜2n，则下列不等关系成立的是（）A．log2m＜log2n B．C．＞D．m3＜n3【分析】直接利用用不等式的应用求出结果．解：实数m，n满足2m＜2n，所以m＜n．由于没有确定m和n的符号，所以ABC都错误．对于选项D：n3﹣m3＝（n﹣m）（n2+mn+m2）＝（n﹣m）[]＞0，所以n＞m．故选：D．6．下列关系式一定正确的是（）A．sin2＜0 B．cos3＞0C．sin（π﹣3）＝﹣sin3 D．|sin2α|≤2|sinα|【分析】对于A，B，由于0＜2＜π，＜3＜π，利用正弦函数，余弦函数的图象即可判断错误；对于C，由于sin（π﹣3）＝sin3，即可判断错误；对于D，利用二倍角公式化简，即可证明正确．解：对于A，由于0＜2＜π，可得sin2＞0，故错误；对于B，由于＜3＜π，可得cos3＜0，故错误；对于C，由于sin（π﹣3）＝sin3，故错误；对于D，由于|sin2α|＝2|sinα||cosα|≤2|sinα|⇔sinα＝0，或|cosα|≤1，成立，故正确．故选：D．7．若函数y＝sin2x的图象经过点P（x0，y0），则其图象必经过点（）A．（﹣x0，y0）B．C．D．（π﹣x0，y0）【分析】由已知可得y0＝sin2x0，利用诱导公式逐项求值验证即可得解．解：∵y＝sin2x的图象经过点P（x0，y0），可得y0＝sin2x0，对于A，由于y＝sin2（﹣x0）＝﹣sin2x0＝﹣y0≠y0，故错误；对于B，由于y＝sin2（+x0）＝sin（π+2x0）＝﹣sin2x0＝﹣y0≠y0，故错误；对于C，由于y＝sin2（﹣x0）＝sin（π﹣2x0）＝sin2x0＝y0＝y0，故正确；对于D，由于y＝sin2（π﹣x0）＝sin（2π﹣2x0）＝﹣sin2x0＝﹣y0≠y0，故错误．故选：C．8．已知tanα＝2，则＝（）A．﹣1 B．1 C．D．【分析】由题意利用两角和差的正切公式、二倍角的正切公式，求得要去式子的值．解：∵tanα＝2，则＝+＝+＝﹣1，故选：A．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则ω，φ的值为（）A．ω＝3，B．ω＝3，C．ω＝6， D．ω＝6，【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象，可得A＝1，•＝﹣，求得ω＝3．再根据五点法作图可得3•+φ＝π，求得φ＝，故选：A．10．某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝2|x﹣1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①该函数的值域为（0，+∞）；②该函数在区间[0，+∞）上单调递增；③该函数的图象关于直线x＝1对称；④该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点．则其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在①中，该函数的值域为[1，+∞）；在②中，该函数在区间[0，+∞）上先减后增；在③中，该函数的图象关于直线x＝1对称；在④中，该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点．解：由函数f（x）＝2|x﹣1|的图象与性质，得：在①中，该函数的值域为[1，+∞），故①错误；在②中，该函数在区间[0，+∞）上先减后增，故②错误；在③中，该函数的图象关于直线x＝1对称，故③正确；在④中，∵f（x）＝2|x﹣1|≥1，y＝﹣a2≤0，∴该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点，故④正确．故选：B．11．函数y＝在区间[﹣3，0）∪（0，3]上的图象为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数排除AD，由f（3）＞0排除C．解：，故函数为奇函数，由此排除AD，又，排除C，故选：B．12．已知函数f（x）是定义在R上的函数，f（1）＝1．若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2有，则不等式f[log2（3x﹣2）]＜log216﹣3log2（3x﹣2）的解集为（）A．B．C．D．【分析】构造函数令g（x）＝f（x）+3x，结合其单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵对任意的x1，x2∈R且x1＜x2有，∴f（x1）﹣f（x2）＜﹣3x1+3x2，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，令g（x）＝f（x）+3x，则可得g（x1）＜g（x2），∴g（x）在R上单调递增，且g（1）＝f（1）+3＝4，∵f[log2（3x﹣2）]＜log216﹣3log2（3x﹣2），∴f[log2（3x﹣2）]+3log2（3x﹣2）＜4，即g[log2（3x﹣2）]＜g（1），∴log2（3x﹣2）＜1，∴0＜3x﹣2＜2∴故不等式的解集为（）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．13．函数的定义域为（﹣1，2）∪（2，+∞）．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解：函数中，令，解得x＞﹣1且x≠2；所以函数f（x）的定义域为（﹣1，2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣1，2）∪（2，+∞）．14．计算：sin39°cos21°+sin51°sin21°＝．【分析】由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得结果．解：sin39°cos21°+sin51°sin21°＝sin39°cos21°+cos39°sin21°＝sin（39°+21°）＝sin60°＝，故答案为：．15．已知函数，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝ 5 ．【分析】解题的关键是根据式子结构，推导出f（x）+f（﹣x）＝2，进而得解．解：＝，∴f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝5．故答案为：5．16．若A为不等边△ABC的最小内角，则的值域为（0，﹣1] ．【分析】根据条件可得0＜A＜，求出cos A+sin A的取值范围后，令t＝sin A+cos A，从而得到f（A）＝＝t﹣1，再根据t的范围求出f（A）的值域．解：∵A为不等边△ABC的最小内角，∴0＜A＜，∴sin A+cos A＝sin（A+）∈（1，]．令t＝sin A+cos A，则2sin A cos A＝t2﹣1，∴＝＝t﹣1∈（0，﹣1]．∴f（A）的值域为（0，﹣1]．故答案为：（0，﹣1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3﹣a≤x≤3+a，a∈R}．（Ⅰ）当a＝4时，求A∪B；（Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝4时，求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．（Ⅱ）当B＝∅时，3﹣a＞3+a，当B≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝4时，集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|﹣1≤x≤7}．∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．（Ⅱ）∵集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3﹣a≤x≤3+a，a∈R}，B⊆A，∴当B＝∅时，3﹣a＞3+a，解得a＜0，当B≠∅时，，解得0≤a≤2．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4）．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα的值，即可得解sinα﹣cosα的值．（Ⅱ）由条件利用诱导公式，即可求解．解：（Ⅰ）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4），故x＝3，y＝﹣4，r＝|OP|＝＝5，∴sinα＝＝﹣，cosα＝＝．∴sinα﹣cosα＝﹣﹣＝﹣．（Ⅱ）＝＝＝．19．已知函数图象两条相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）图象的对称中心坐标．【分析】（I）先结合两角和的正弦公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解，（II）结合函数的图象平移及正弦函数的对称性可求．解：（I），＝ωx+cosωx，＝sin（ωx+），∵图象两条相邻对称轴间的距离为，∴，即T＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+），令﹣≤2x+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间[0，]，[，π]；（Ⅱ）由题意可得y＝g（x）＝sin（2x+），令2x+＝kπ可得x＝﹣+kπ，k∈Z，∴函数y＝g（x）图象的对称中心坐标（﹣+kπ，0），k∈Z．20．已知函数f（x）＝ax2+bx+4，其中a，b∈R，且a≠0．（Ⅰ）若函数y＝f（x）的图象过点（﹣3，1），且函数f（x）只有一个零点，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a∈Z，函数g（x）＝ln[f（x）﹣kx]在区间[2，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意得，1＝9a+3b+4，即b＝3a+1①，△＝b2﹣4a×4＝b2﹣16a＝0②，即可解得a，b，进而得出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）因为a∈Z，由上可知a＝1，f（x）＝x2+4x+4，函数g（x）＝ln[x2+（4﹣k）x+4]在区间[2，+∞）上单调递增，由复合函数的单调性得，y＝x2+（4﹣k）x+4在区间[2，+∞）上单调递增，且任意x∈[2，+∞），x2+（4﹣k）x+4＞0，即可解得k的取值范围．解：（Ⅰ）根据题意得，1＝9a+3b+4，即b＝3a+1，①△＝b2﹣4a×4＝b2﹣16a＝0，②由①②解得或，所以函数f（x）＝，或f（x）＝x2+4x+4，（Ⅱ）因为a∈Z，由上可知a＝1，f（x）＝x2+4x+4，函数g（x）＝ln[f（x）﹣kx]＝ln[x2+（4﹣k）x+4]在区间[2，+∞）上单调递增，由复合函数的单调性得，y＝x2+（4﹣k）x+4在区间[2，+∞）上单调递增，且任意x∈[2，+∞），x2+（4﹣k）x+4＞0，可得2≥且22+（4﹣k）×2+4＞0，k≤8且k＜8，所以k的取值范围k＜8．21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝k•a x（k＞0，a＞1）与y＝p可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；（Ⅱ）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】（Ⅰ）判断两个函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与与y＝p在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．（Ⅱ）由题意列指数方程，求解得答案．解：（Ⅰ）因为y＝k•a x（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，而y＝p增长速度越来越慢，故依题意应选择y＝k•a x（k＞0，a＞1），则有，解得，所以y＝8•；（Ⅱ）当x＝0时，y＝8，设经过x个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，则8•＝8×1000，解得x＝＝＝≈17.03；故，经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．22．已知函数．（Ⅰ）当时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）化简，先求得当时，函数，再还原转化为二次函数在给定区间上的恒成立问题，进而得解；（Ⅱ）先研究一个周期的情形，再结合a的范围即可得解．解：由已知得，＝，（Ⅰ）当时，，，要使f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，令t＝f（x），则，h（t）＝t2﹣mt﹣m≤0对任意均成立，故，解得，∴实数m的取值范围为；（Ⅱ）假设同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2019个零点，即函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2019个交点，当x∈[0，π]时，，①当或时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；②当时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，要使函数y ＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2019个交点，则n＝2019；③当或时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有两个交点，此时函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上有偶数个交点，不可能有2019个交点，不符合；④当a＝1时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有三个交点，要使函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2019个交点，则n＝1009；综上可得存在实数a和正整数n，当时，n＝2019，当a＝1时，n＝1009．。
2023-2024学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x∈R||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{3，4}B．（1，4]C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．函数f（x）＝ln（x﹣2）+x﹣4的零点所在区间为（）A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）3．log23⋅log34−10lg3=（）A．2B．1C．﹣1D．04．命题∀x∈[1，2]，2x+x﹣5≥a”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]5．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为2π3，则该扇面的面积为（）A．4π3B．8π3C．10π3D．16π36．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，f（1）＝2，则f（﹣2）＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知a＝log23，b＝log35，c=32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b8．已知关于x的不等式（4x﹣2x+1﹣8）（ax+b）≥0（其中a≠0）在R上恒成立，则有（）A．a＜0B．b＞0C．a+b＞0D．a﹣2b＞0二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知实数a，b满足a＞|b|＞0，则（）A．lga＞lgb B．a2＞b2C．a3＞b3D．1a＜1b10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．ω=45B ．φ=9π10C ．点(π4，0)是函数f （x ）图象的一个对称中心D ．直线x =−74π是函数f （x ）图象的一条对称轴11．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，则下列关于函数f （x ）＝sin[sin 2x ]+cos[cos 2x ]的判断，其中正确的是（ ）A ．函数f （x ）是以π为周期的周期函数B ．函数f （x ）的最大值为√2C ．函数f （x ）在(π2，π)上单调递减D ．当x ∈(−π2，0)时，f （x ）＝112．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数sinℎ(x)=e x −e −x2，双曲余弦函数cosℎ(x)=e x +e −x2（其中e 为自然对数的底数），则下列判断正确的是（ ） A ．sinh （x ）为奇函数，cosh （x ）为偶函数B ．sinh （2x ）＝sinh （x ）•cosh （x ）C ．函数cosh （x ）在R 上的最小值为1D ．函数g （x ）＝cosh （2x ）﹣cosh （x ）在R 上只有一个零点 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={x 2，x ≤1log 4x ，x ＞1，则f [f （﹣2）]＝ ．14．已知关于x 的不等式ax 2+bx ＞c （x ﹣2）的解集为{x |1＜x ＜3}，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为 ．15．若函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω＞0)在[0，π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ．16．（3分）已知x ，y ∈R 且2x 2+2y 2＝1+xy ，则x 2+y 2的最大值为 ，最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分。
安徽省安庆市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）全集U={0，1，3，5，6，8}，集合A={1，5，8 }，B={2}，则集合（∁UA）∪B=（）A . {0，2，3，6}B . {0，3，6}C . {2，1，5，8}D . ∅2. （2分）设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0 ， y0），则x0所在的区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）3. （2分）函数y=的定义域是（）A . （1，2）B . [1，4]C . [1，2）D . （1，2]4. （2分） (2016高一下·九江期中) 下列函数中，周期为π的是（）A .B . y=sin2xC .D . y=tan2x5. （2分）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·兰州模拟) 已知非零单位向量满足，则与的夹角为（）A .B .C .D .7. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x 的图象，则只要将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度8. （2分）已知||=4，||=5，|+|=，则=（）A . -8B . -10C . 10D . 89. （2分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A . y=B . y=x+C . y=2x+D .10. （2分） (2019高一上·张家口月考) 函数、由下列表格给出，则（）123424314321A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分） (2016高一上·湖南期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（lgx）＞f（﹣2）的解集是（）A . （，100）B . （100，+∞）C . （，+∞）D . （0，）∪（100，+∞）12. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间，若与在上是关联函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·重庆模拟) 若，则 =________.14. （1分） (2016高三上·连城期中) 设g（x）= ，则g（g（））=________．15. （1分）(2020·随县模拟) 已知向量，，与的夹角为，则实数________.16. （1分） (2017高一上·淄博期末) 狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：①若x是无理数，则D（D（x））=0；②函数D（x）的值域是[0，1]；③函数D（x）偶函数；④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；⑤存在不同的三个点A（x1 ， D（x1）），B（x2 ， D（x2）），C（x3 ， D（x3）），使得△ABC为等边角形．其中正确结论的序号是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·綦江期末) 已知函数f（x）=2cos（﹣x）cos（x+ ）+ ．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0， ]上的值域．18. （15分） (2016高一下·抚顺期末) 已知 =（sinx，cosx）， =（sinx，sinx），函数f（x）= ．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；（3）若对任意实数，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．19. （10分） (2018高一下·四川期末) 已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称.（1）求的解析式；（2）先将函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.求的单调递增区间以及的取值范围.20. （5分）已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．21. （10分） (2016高二下·晋江期中) 某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数61418272015（1）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y= 试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82822. （5分） (2019高一上·阜阳月考) 设关于的二次方程和x2-5x+6=0的解集分别是集合和，若为单元素集，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2019-2020学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U＝{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，集合A＝{2, 7, 11}，集合B＝{5, 11, 13}，则(∁U A)∩B＝（）A.{5}B.{13}C.{5, 13}D.{11, 13}2. 计算：log32−log36＝（）A.1B.−1C.−log32D.−2log323. 已知幂函数f(x)＝(a2−2a−2)⋅x a在区间(0, +∞)上是单调递增函数，则a的值为（）A.3B.−1C.−3D.14. 在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，则该三角形的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5. 若实数m，n满足2m<2n，则下列不等关系成立的是（）A.log2m<log2nB.√m<√nC.1m >1nD.m3<n36. 下列关系式一定正确的是（）A.sin2<0B.cos3>0C.sin(π−3)＝−sin3D.|sin2α|≤2|sinα|7. 若函数y＝sin2x的图象经过点P(x0, y0)，则其图象必经过点（）A.(−x0, y0)B.(π2+x0,y0) C.(π2−x0,y0) D.(π−x0, y0)8. 已知tanα＝2，则tan(α−π4)+tan2α=()A.−1B.1C.53D.17159. 函数f(x)＝A sin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的图象如图所示，则ω，φ的值为（）A.ω＝3，φ=π4B.ω＝3，φ=−π4C.ω＝6，φ=−π2D.ω＝6，φ=π210. 某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝2|x−1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①该函数的值域为(0, +∞)；②该函数在区间[0, +∞)上单调递增；③该函数的图象关于直线x＝1对称；④该函数的图象与直线y＝−a2(a∈R)不可能有交点．则其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.411. 函数y=sin xlog2019|2x−2−x|在区间[−3, 0)∪(0, 3]上的图象为（）A. B.C. D.12. 已知函数f(x)是定义在R上的函数，f(1)＝1．若对任意的x1，x2∈R且x1<x2有f(x1)−f(x2) x1−x2>−3，则不等式f[log2(3x−2)]<log216−3log2(3x−2)的解集为（）A.(23,1) B.(−∞,43) C.(23,43) D.(43,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．函数f(x)=lg(x+1)+2x−2的定义域为________．计算：sin39∘cos21∘+sin51∘sin21∘＝________．已知函数f(x)=24x+1+tan x，则f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)＝________．若A为不等边△ABC的最小内角，则f(A)=2sin A cos A1+sin A+cos A的值域为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3−a≤x≤3+a, a∈R}．(Ⅰ)当a＝4时，求A∪B；(Ⅱ)若B⊆A，求实数a的取值范围．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(3, −4)．(Ⅰ)求sinα−cosα的值；(Ⅱ)求sin(π+α)+cos(π2+α)cos(2π+α)+sin(−α)的值．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+cosωx(ω>0)图象两条相邻对称轴间的距离为π2．(Ⅰ)求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间；(Ⅱ)将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位后得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)图象的对称中心坐标．已知函数f(x)＝ax2+bx+4，其中a，b∈R，且a≠0．(Ⅰ)若函数y＝f(x)的图象过点(−3, 1)，且函数f(x)只有一个零点，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若a∈Z，函数g(x)＝ln[f(x)−kx]在区间[2, +∞)上单调递增，求实数k的取值范围．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝k⋅a x(k>0, a>1)与y＝p√x+q(p>0)可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(Ⅱ)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48）已知函数f(x)=2√2sin(x+π4)⋅cos x−1．(Ⅰ)当x∈[−π8,π8]时，f2(x)−mf(x)−m≤0恒成立，求实数m的取值范围；(Ⅱ)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g(x)＝f(x)−a在[0, nπ]上恰有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．【答案】(−1, 2)∪(2, +∞)【答案】√32【答案】5【答案】 (0, √2−1]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】（1）当a ＝4时，集合A ＝{x|x ≥1}，集合B ＝{x|−1≤x ≤7}．∴ A ∪B ＝{x|x ≥−1}．（2）∵ 集合A ＝{x|x ≥1}，集合B ＝{x|3−a ≤x ≤3+a, a ∈R}，B ⊆A ，∴ 当B ＝⌀时，3−a >3+a ，解得a <0，当B ≠⌀时，{3−a ≤3+a 3−a ≥1，解得0≤a ≤(2) 综上，实数a 的取值范围是(−∞, 2]．【答案】（1）∵ 角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3, −4)， 故x ＝3，y ＝−4，r ＝|OP|=√9+16=5，∴ sin α=y r =−45，cos α=x r =35．∴ sin α−cos α=−45−35=−75． (2) sin (π+α)+cos (π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)=−sin α−sin αcos α−sin α=8535−(−45)=87． 【答案】(I)f(x)=sin (ωx −π6)+cos ωx(ω>0)，=√32sin ωx +12cos ωx ，＝sin (ωx +π6)，∵ 图象两条相邻对称轴间的距离为π2， ∴ 12T =12π，即T ＝π， ∴ ω＝2，f(x)＝sin (2x +π6)，令−12π+2kπ≤2x +π6≤12π+2kπ，可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，故函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间[0, π6]，[2π3, π]；（2）由题意可得y ＝g(x)＝sin (2x +π2)，令2x +π2=kπ可得x =−π4+12kπ，k ∈Z ， ∴ 函数y ＝g(x)图象的对称中心坐标(−π4+12kπ, 0)，k ∈Z ．【答案】（1）根据题意得，1＝9a +3b +4，即b ＝3a +1，①△＝b 2−4a ×4＝b 2−16a ＝0，②由①②解得{a =19b =43 或{a =1b =4 ， 所以函数f(x)=19x 2+43x +4，或f(x)＝x 2+4x +4， （2）因为a ∈Z ，由上可知a ＝1，f(x)＝x 2+4x +4，函数g(x)＝ln [f(x)−kx]＝ln [x 2+(4−k)x +4]在区间[2, +∞)上单调递增， 由复合函数的单调性得，y ＝x 2+(4−k)x +4在区间[2, +∞)上单调递增，且任意x ∈[2, +∞)，x 2+(4−k)x +4>0，可得2≥k−42且22+(4−k)×2+4>0，k ≤8且k <8，所以k 的取值范围k <(8)【答案】（1）因为y ＝k ⋅a x (k >0, a >1)的增长速度越来越快，而y ＝p √x +q(p >0)增长速度越来越慢，故依题意应选择y ＝k ⋅a x (k >0, a >1)，则有{ka 2=18ka 3=27 ，解得{a =32k =8 ，所以y ＝8⋅(32)x ；（2）当x ＝0时，y ＝8，设经过x 个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍， 则8⋅(32)x =8×1000，解得x =log 321000=lg 1000lg 32=3lg 3−lg 2≈17.03； 故，经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．【答案】由已知得，f(x)=2√2(√22sin x +√22cos x)cos x −1=2sin x cos x +2cos 2x −1=√2sin (2x +π4)，（1）当x ∈[−π8,π8]时，2x +π4∈[0,π2]，f(x)∈[0,√2]，要使f 2(x)−mf(x)−m ≤0恒成立，令t ＝f(x)，则t ∈[0,√2]，ℎ(t)＝t 2−mt −m ≤0对任意t ∈[0,√2]均成立，故{ℎ(0)=−m ≤0ℎ(√2)=2−√2m −m ≤0，解得m ≥2√2−2，∴ 实数m 的取值范围为[2√2−2,+∞)；（2）假设同时存在实数a 和正整数n ，使得函数g(x)＝f(x)−a 在[0, nπ]上恰有2019个零点，即函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，当x∈[0, π]时，2x+π4∈[π4,9π4]，①当a>√2或a<−√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上无交点；②当a=±√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上仅有一个交点，要使函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，则n＝2019；③当−√2<a<1或1<a<√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上有两个交点，此时函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上有偶数个交点，不可能有2019个交点，不符合；④当a＝1时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上有三个交点，要使函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，则n＝1009；综上可得存在实数a和正整数n，当a=±√2时，n＝2019，当a＝1时，n＝10(09)。
