2019年安徽省安庆一中高考数学三模试卷(理科)(解析版)

安徽省安庆市2019-2020学年高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.2．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>，故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.3．设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x …，即可求出x 的范围. 【详解】Q=|sin cos |x x =-sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴-… 即sin cos x x … 02x πQ 剟544xππ∴剟 故选：C 【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目. 4．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i iSSλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1 B ．1C ．32-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312SS S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u uu r u u u r u u u r ，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题. 5．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2 B ．1C ．2D 5【答案】A【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】 ∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．6．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r rr r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b rr 夹角为4π故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.7．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >【答案】D 【解析】 【分析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论. 【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x， 若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ， 则函数2()241=--g x ax ax 对称轴方程为1x = 在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）. 当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，只需0(1)210(4)1610a g a g a >⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或0(1)210(4)1610a g a g a <⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a >或12a <-.故选:D. 【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题. 8．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】令2()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x =有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【详解】令2()()30F x f x kx =-=， 可得2ln 3xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x =有两个交点， Q 312ln ()3xg x x-'=， 令12ln 0x -=，可得x =∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减.∴当x =max 1()6eg x =， ∴若直线y k =和2ln ()3x g x x =有两个交点，则10,6e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x - B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.10．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.11．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C 【解析】 【分析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b a c a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a ca-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 12．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省2019年安庆市市示范中学髙三联考理科数学试题考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A.C.2.）A.C.3.）B.4.）A. B. D.5.）A. B. D.6.）A. B.C. D.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，6780，93，其中若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. B. D.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. D.9.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. D.10.已知，则关于的不等式的解集为（）A.C.11.在正方体中，，为棱的中点，）A.B.D.12.设的最大整数，有且只有则实数）A.B.D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13..的展开式中的常数项为__________. 15.已知双曲线，则双曲线的离心率的取值范围是__________.16.的取值范围为____三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（1（218.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2菱形，ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB 的中点.（1（2.19.已知椭圆的焦距为的斜率为（1）求椭圆的标准方程；（2）（，.20.2018年“双十一”全网销售额达等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台.分）和女生的茎叶图如下：男生直方图女生茎叶图（1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）. （2）若网购为全国人均消费三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？（3. 21.（1. （2.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22..为极点，的极坐标为.（1（223.（1（2.。

安徽省安庆市2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 2．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 232322πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.3．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( )A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<< D ．{}12x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<. 故选:D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 4．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A BC ．2D【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】 解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ，则z ==故选：D. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.5．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2-【解析】 【分析】先根据题意，对原式进行化简可得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，然后利用累加法求得11=3-11n a n n +++，然后不等式21211n at at n +<+-+恒成立转化为2213t at +-≥恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案. 【详解】由题，()()11111n n n n n n a a a na n a ++-=+⇒=++即()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++ 由累加法可得：11121111121n n nn n a a a a a a a a n n nn n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 即1111111123311121n a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-< ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立 即22213240t at t at +-≥⇒+-≥令()[]()222424,2,2f a t at at t a =+-=+-∈-可得()20f ≥且()20f -≥即2212202120t t t t t t t t ⎧≥≤-⎧+-≥⇒⎨⎨≥≤---≥⎩⎩或或 可得2t ≥或2t ≤- 故选B 【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.6．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10 B ．32C ．40D ．80【答案】D 【解析】根据二项式定理通项公式1r r n rr n T C a b -+=可得常数项，然后二项式系数和，可得a ，最后依据1r r n rr n T C a b -+=，可得结果.【详解】由题可知：515r r r r T C x a -+=当0r =时，常数项为51T a =又()5x a +展开式的二项式系数和为52 由5522a a =⇒=所以5152r r rr T C x -+=当2r =时，223235280T C x x ==所以2x 项系数为80 故选：D 【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.7．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x x „B ．{|112}<x x „C ．{|110}-<x x „D ．{|56}-<x x „【答案】C 【解析】 【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论. 【详解】因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟， 则*{|61}=-<A B x x „，所以*(*){|110}=-<B A B x x „. 故选:C. 【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.8．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题. 9．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.10．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9-【答案】D 【解析】 【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +„，设2cos x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 62cos 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 62cos 8|θθ-+，22cos 62cos 8(cos 32)100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 62cos 8962cos 962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…，故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-. 故选：D ． 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．1【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值． 因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 12．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年安徽省安庆市市示范中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4-x2≤0}，则A∩B=（）A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}2.若复数z1=2+i，z2=2-i，则下列结论错误的是（）A. z1+z2是实数B. z1z2是纯虚数 C. z1⋅z2是实数 D. z12−z22是纯虚数3.设x，y 满足约束条件{3x−2y−6≤0x+y−2≥0x−4y+8≥0，则z=x-2y的最小值是（）A. −4B. −2C. 0D. 24.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）是C上一点，|AF|=2p，则p=（）A. 8B. 4C. 2D. 15.若函数f（x）=m+sin x-cos x的最大值为0，则m=（）A. −√2B. −2C. −1D. √26.函数y=lnx4x的图象大致是（）A. B.C. D.7.某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，67，m，80，93，其中m＞0，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. 70B. 75C. 80D. 858.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 43B. 2 C. 52D. 839.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. 316B. 38C. 516D. 71610.已知sin40°sin10°+m cos10°cos50°=cos170°，则关于x的不等式2sin x≤m的解集为（）A. [2π3+2kπ,7π3+2kπ],k∈z B. [5π6+2kπ,13π6+2kπ],k∈zC. [4π3+2kπ,5π3+2kπ],k∈z D. [7π6+2kπ,11π6+2kπ],k∈z11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE=2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为（）A. √212B. √26C. 5√212D. 5√2612.设[x]表示不大于实数x的最大整数，函数f(x)={e−x−ax−1,x≤0ln2x−[lnx]−2,x>0，若f（x）有且只有5个零点，则实数a的取值范围为（）A. (−∞,−e]B. (−∞,−e)C. (−∞,−1]D. (−∞,−1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，|b⃗ |=3，a⃗，b⃗ 的夹角为120°，则|2a⃗+b⃗ |=______．14.(3x+1)(1x−1)5的展开式中的常数项为______．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的渐近线上存在点P，使得|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围是______．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，且BC边上的高等于tan A，则△ABC的周长的取值范围为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5=18，S3+S5=50．数列{b n}为等比数列，且b1=a1，3b2=a1a4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=4(log3b n2+3)⋅a n，其前n项和T n，证明：T n＜23．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A-PE-C的余弦值．19.设椭圆x2a2+y2b2=1（0＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的焦距为2√5，直线AB的斜率为-23．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于MN两点，且点M在第二象限，l与AB延长线交于点P，若△BNP的面积是△BMN面积的3倍，求k的值．20.2018年“双十一”全网销售额达3143.25亿元，相当于全国人均消费225元，同比增长23.8%，监测参与“双十一”狂欢大促销的22家电商平台有天猫、京东、苏宁易购、网易考拉在内的综合性平台，有拼多多等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台．某大学学生社团在本校1000名大一学生中采用男女分层抽样，分别随机调查了若干个男生和60个女生的网购消费情况，制作出男生的频率分布表、直方图（部分）和女生的茎叶图如下：分组（百元）男生人数频率[0，1）10.025[1，2）30.075[2，3）60.150[3，4）12[4，5）0.200[5，6）50.125[6，7）40.100[7，8]10.025合计 1.000（1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）．（2）若网购为全国人均消费的三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？从抽样数据中网购不足200元的同学中随机抽取2人发放纪念品，则2人都是女生的概率为多少？（3）用频率估计概率，从全市所有高校大一学生中随机调查5人，求其中“剁手党”人数的分布列和期望．21.已知函数f（x）=x lnx-kx2-x，a，b是函数（x）的两个极值点（a＜b）．（1）求k的取值范围；（2）证明：a•b＞e2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{y=3+sinαx=2+cosα，（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(3，π2)．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求|ON||AM|．23.已知函数f（x）=|x+2a|，a∈R．（1）当a=1时，解不等式f（x）+|x-a|≤5；（2）若f（x）+|x-1|≤2的解集包含[1，2]，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x≤2}，B={x|x≤-2，或x≥2}；∴A∩B=（-∞，-2]∪{2}．故选：D．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．2.【答案】B【解析】解：∵z1=2+i，z2=2-i，∴z1+z2=4是实数；；z1•z2=5是实数；=（z1+z2）（z1-z2）=8i是纯虚数．∴结论错误的是B．故选：B．利用复数代数形式的加减及乘除运算化简逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的加减及乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由z=x-2y得y=x-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-，过点B时，直线y=x-的截距最大，此时z最小，由，解得B（0，2）．代入目标函数z=x-2y，得z=0-2×2=-4，∴目标函数z=x-2y的最小值是-4．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．4.【答案】B【解析】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程x=-，点A在C上，|AF|=2p，可得：6+=2p，解得：p=4．故选：B．利用抛物线的定义，通过|AF|=2p，求解p即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解：由题意可得：f（x）=m+sinx-cosx=m+sin（x-）≤0，即：sin（x-）≤-m，又sin（x-）≤，可得：-m=，解得：m=-．故选：A．由题意，利用两角差的正弦函数公式可得sin（x-）≤-m，结合正弦函数的性质即可得解．本题主要考查了两角差的正弦函数公式以及正弦函数的性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：的定义域为{x|x≠0}，排除B，由f（x）=0得lnx4=0得x=±1，f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称．排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D，故选：A．根据函数的定义域，奇偶性以及对称性，以及函数值的符号进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合定义域，奇偶性以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，67，m，80，93，其中m＞0，该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，∴m≤80，∴得分的平均数：≤=81，∴得分的平均数不可能为85．故选：D．由该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，得到m≤80，由此能求出得分的平均数不大于81．本题考查实数值的判断，考查中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：根据三视图知该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，画出直观图如图所示，则该几何体的体积为V=V三棱柱+V三棱锥=×1×1×3+××1×1×3=2．故选：B．根据三视图知该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，结合图中数据计算它的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成，则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形，则对应概率P=，故选：D．根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：sin40°sin10°+mcos10°cos50°=cos170°，∴sin40°sin10°+mcos10°sin40°=-cos10°=-sin80°，∴sin10°+mcos10°=-2cos40°，∴sin10°+mcos10°=-2（cos30°cos10°-sin30°sin10°）=-cos10°+sin10°，∴m=-，∴关于x的不等式2sinx≤m化为sinx≤-；解得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；∴不等式的解集为[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．故选：C．利用三角恒等变换求出m的值，再求关于x的不等式的解集．本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与选择的应用问题，是中档题．11.【答案】C【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为6，∵E为棱CD上一点，且CE=2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，∴B1（6，6，6），G（0，0，1），=（-6，-6，-5），平面ABCD 的法向量=（0，0，1），设B1G与平面ABCD所成角为θ，则sinθ==，∴tanθ=，∴B1G与平面ABCD所成角的正切值为．故选：C．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1G与平面ABCD所成角的正切值．本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：当x＞0时，由f（x）=ln2x-[lnx]-2=0得ln2x=[lnx]+2≥0，则[lnx]≥-2，若[lnx]=-2，则-2≤lnx＜-1，此时方程等价为ln2x=[lnx]+2=-2+2=0，此时lnx=0，方程无解，不满足条件．若[lnx]=-1，则-1≤lnx＜0，此时方程等价为ln2x=[lnx]+2=-1+2=1，此时lnx=-1，此时x=，有一个解．若[lnx]=0，则0≤lnx＜1，此时方程等价为ln2x=[lnx]+2=0+2=2，此时lnx=，方程无解，不满足条件．若[lnx]=1，则1≤lnx＜2，此时方程等价为ln2x=[lnx]+2=1+2=3，此时lnx=，x=e，有一个解．若[lnx]=2，则2≤lnx＜3，此时方程等价为ln2x=[lnx]+2=2+2=4，此时lnx=2，x=e2，有一个解．若[lnx]=3，则3≤lnx＜4，此时方程等价为ln2x=[lnx]+2=3+2=5，此时lnx=±，方程无解，不满足条件若[lnx]=4，则4≤lnx＜5，此时方程等价为ln2x=[lnx]+2=4+2=6，此时lnx=±，方程无解，不满足条件，即当[lnx]≥4时，方程ln2x=[lnx]+2无解，即当x＞0时，f（x）只有3个零点，若f（x）有且只有5个零点，则等价为当x≤0时，f（x）=e-x-ax-1=0有2个根，当x=0时，f（0）=1-1=0即此时x=0时函数f（x）的一个零点，则等价为当x＜0时ax=-1=，只有一个根，即a=无解，设g（x）=，则g′（x）==，设h（x）=-x-1+e x，当x＜0时，h′（x）=e x-1＜0，即h（x）是减函数，则h（x）＞h（0）=0，则g′（x）=＞0，即g（x）在（-∞，0）上是增函数，当x→0，f（x）→-1，则g（x）的图象如图：则要使a=只有一个根，则a＜-1即可即实数a的取值范围是（-∞，-1），故选：D．根据分段函数的表达式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为3个，则条件等价为当x≤0时，函数f（x）的零点只有2个，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点的应用，利用分段函数的表达式判断当x＞0时函数f（x）的零点个数为3个是解决本题的关键．综合性较强，难度较大13.【答案】√13【解析】解：||=2，||=3，，的夹角为120°，则|2+|===．故答案为：．直接利用向量的数量积以及向量的模，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．14.【答案】14【解析】解：因为（-1）5的展开式的通项为T r+1=（-1）r x r-5，则的展开式中的常数项为：3×（-1）4+（-1）5=14，故答案为：14．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为（-1）5的展开式的通项为T r+1=（-1）r x r-5，则的展开式中的常数项为：3×（-1）4+（-1）5=14，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．15.【答案】（1，3]【解析】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，则有，解得x=4a，y=2a，∵在△PF1F2中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，∴1＜3，又因为当三点一线时，4a+2a=2c，综合得离心率的范围是（1，3]，故答案为（1，3]．可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了关于离心率范围的确定．可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法．16.【答案】（√5+1，+∞）【解析】解：∵a=1，且BC边上的高等于tanA ，∴S△ABC==•b•c•sinA，解得：cosA=＞0，∴由余弦定理可得：cosA==，可得：b2+c2=3，bc=，∵A∈（0，），可得：cosA∈（0，1），可得：bc=∈（1，+∞），可得：3+∈（5，+∞），∴b+c===∈（，+∞），∴△ABC的周长a+b+c∈（+1，+∞）．故答案为：（+1，+∞）．由已知利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求cosA=，由余弦定理可得b2+c2=3，由范围A∈（0，），可得3+∈（5，+∞），从而可求b+c==∈（+1，+∞），可得三角形周长的取值范围．本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，a3+a5=18，S3+S5=50，可得2a1+6d=18，3a1+3d+5a1+10d=50，化为a1+3d=9，8a1+13d=50，解得a1=3，d=2，即a n=2n+1；数列{b n}为等比数列，且b1=a1，3b2=a1a4．可得b1=3，3b2=a1a4=27，即b2=9，公比q=3，b n=3n；（2）证明：c n=4(log3b n2+3)⋅a n=4(2n+1)(2n+3)=2（12n+1-12n+3），即有前n项和T n=2（13-15+15-17+…+12n+1-12n+3）=2（13-12n+3）＜23．【解析】（1）等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；再由等比数列的通项公式，计算可得所求；（2）求得==2（-），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，结合不等式的性质，可得证明．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，以及方程思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则P （-1，0，2√3），A （0，-√3，0），E （12，−√32，0），C （0，√3，0），AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，√3，2√3），AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（12，√32，0），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，√3，−2√3），CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（12，−3√32，0）， 设平面APE 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =（√3，−1，1）， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =（3√3，1，2）， 设二面角A -PE -C 的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ=-|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=-10√5⋅√32=-√104． ∴二面角A -PE -C 的余弦值为-√104．【解析】（1）连结DE ，BD ，推导出DE ⊥AB ，PD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PDE ，进而AB ⊥PE ，由此能证明PE ⊥CD ．（2）设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PE-C 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得{−b a =−23√a 2−b 2=c =√5，解得a =3，b =2， 所以椭圆的方程为．x 29+y 24=1（2）设点P （x 0，y 0），M （x 1，y 1），（x 0＜x 1＜0）．则N （-x 1，-y 1）．∵△BPN 的面积是△BMN 面积的3倍，∴|PN |=3|MN |， 即PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，（-x 1-x 0，y 1-y 0）=3（-2x 1，-2y 1） 从而-6x 1-x 0=3-x 1， ∴x 0=5x 1，易知直线AB 的方程为：2x +3y =6． 由{y =kx 2x+3y=6消去y ，可得x 0=63k+2，由方程组{x 29+y 24=1y =kx 消去y ，可得x 1=-6√9k 2+4．由x 0=5x 1，可得63k+2=-30√9k 2+4，整理得18k 2+25k +8=0，解得k =-89或k =-12．当k =-89时，x 0=-9＜0，符合题意；当k =-12时，x 0=12＞0，不符合题意，舍去． 所以，k 的值为-89 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得，解得a=3，b=2，即可．（2）设点P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），（x 2＞x 1＞0）．则Q （-x 1，-y 1）．由△BNP 的面积是△BMN 面积的3倍，可得x 2-x 1=2[x 1-（-x 1）]，x 2=5x 1，联立方程求出由x 1．x 2，可得k ．本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 20.【答案】解：（1）由题意得：1-0.025-0.075-0.15-0.200-0.125-0.100-0.025=0.300，男生总人数为：10.025=40， 40×0.200=8，∴表格数据依次为0.300，8，40． 中位数是：（4-0.050.3）×100≈383（元）．（2）由图表知男女生抽取样本比率为40：60，其中“剁手党”有2+8=10人，频率为0.1， ∴估计该校大一学生中，剁手党有100人，由图表知男、女生不足200元的各用有4人，3人， 故2人都是女生的概率为P =C 32C 72=17．（3）由（2）知该市大一学生剁手党的概率为0.1，随机调查5人中， 剁手党人数设为X ，则X 服从二项分布X ～B （5，0.1），∴分布列为P （X =k ）=C 5k(910)5−k (110)k ，k =0，1，2，3，4，5． E （X ）=5×0.1=0.5． 【解析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出频率栏的空格，根据第一组男生人数和频率可求出男生总人数和第五组男生人数，再由中位数的求法公式能求出结果．（2）分别计算出男生和女生人数，再利用古典概型概率计算公式能求出结果．（3）从全市所有高校大一学生中随机调查，“剁手党”人数服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式及期望公式能求出结果．本题考查频率分布直方图求中位数、古典概型求解，以及二项分布的分布列及期望的计算，意在考查学生对于这些知识的掌握水平和分析推理能力．21.【答案】解：（1）函数f （x ）=x lnx-kx 2-x 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=ln x -2kx ．∵函数f （x ）在其定义域内有两个不同的极值点a ，b ． ∴方程f ′（x ）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即ln x -2kx =0得2k =lnx x，转化为函数g （x ）=lnx x，与函数y =2k 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点． 又g ′（x ）=1−lnx x 2，即0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，x ＞e 时，g ′（x ）＜0，故g （x ）在（0，e ）上单调增，在（e ，+∞）上单调减．故g （x ）极大=g （e ）=1e．又g （x ）有且只有一个零点是1，且在x →0时，g （x ）→-∞，在在x →+∞时，g （x ）→0， 故g （x ）的草图如右图，∴0＜2k ＜1e ，即0＜k ＜12e ．故k 的取值范围为（0，12e ）． （2）由（1）可知a ，b 分别是方程ln x -2kx =0的两个根， 即ln a =2ka ①，ln b =2kb ②，要证明ab ＞e 2．只需证明ln ab =ln a +ln ab ＞2 ①②两式相加，得：2k （a +b ）=ln a +ln b ，即2k =lna+lnb a+b，③①②两式相减，得：2k （a -b ）=ln a -ln b ，即2k =lna−lnb a−b，④联立③④，得lna+lnb a+b=lna−lnb a−b，∴ln a +ln b =(a+b)(lna−lnb)a−b=(a+b)(lnb−lna)b−a=(1+ba )ln bab a−1 设t =ba ，∵0＜a ＜b ，∴t ＞1， ∴ln a +ln b =(1+t)lnt t−1，t ＞1，∴只需证明当t ＞1时，不等式(1+t)lnt t−1＞2成立即可，即不等式ln t ＞2(t−1)t+1成立，设函数φ（t ）=ln t -2(t−1)t+1，φ′（t ）=1t -4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0，∴在[1，+∞）上单调递增，故t ＞1时，φ（t ）＞φ（1）=0， ∴φ（t ）=φ（1）=0，即证得当t ＞1时，ln t ＞2(t−1)t+1，即证得ln a +ln b ＞2，∴ln ab ＞2，即证得ab ＞e 2． 【解析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x ）=lnx-2kx=0在（0，+∞）有两个不同根；利用参数分离法进行转化求解即可（2）根据极值的定义得a ，b 分别是f′（x ）=lnx-2kx=0的两个根，不等式ab ＞e 2．只需证明lnab=lna+lnab ＞2，根据条件构造函数，求出函数的导数，利用导数与不等式之间的关系进行证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数极值与导数之间的关系，转化为f′（x ）=0的两个根，根据不等式之间的关系进行转化，构造函数，利用导数进行证明是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）由{y =3+sinαx=2+cosα消去α得曲线C 的直角坐标方程为：（x -2）2+（y -3）2=1，即x 2+y 2-4x -6y +12=0， 由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0 （2）点A 的极坐标为(3，π2)．所以点A 的极坐标为A （0，3）， |AC |=2，|OC |=√22+32=√13，∴|AM =√|AC|2−1=√4−1√3，|ON |=√|OC|2−1=√13−1=2√3， ∴|ON||AM|=2√3√3=2． 【解析】（1）由消去α得曲线C 的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x 2+y 2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解（1）a =1时，f （x ）+|x -1|≤5⇔|x +2|+|x -1|≤5⇔{−x −2−x +1≤5x≤−2或{x +2−x +1≤5−2<x<1或{x +2+x −1≤5x≥1，解得-3≤x ≤2，所以原不等式的解集为{x |-3≤x ≤2}（2）∵f （x ）+|x -1|≤2⇔|x +2a |+|x -1|≤2的解集包含[1，2]，∴|x +2a |+x -1≤2在[1，2]上恒成立⇔|x +2a |≤3-x 在[1，2]上恒成立， ∴x -3≤x +2a ≤3-x ，即-3≤2a ≤3-2x 在[1，2]上恒成立， ∴-3≤2a ≤3-4，∴-32≤a ≤−12．a 的取值范围是[-32，-12] 【解析】（1）分3段去绝对值解不等式在相并；（2）问题转化为|x+2a|+x-1≤2在[1，2]上恒成立，再转化为-3≤2a≤3-2x 在[1，2]上恒成立，再转化为最值可解决．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

安徽省安庆市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.2．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】根据题意可得BC ⊥平面ACD ，EF BC ∥，则CBG ∠即异面直线BG 与EF 所成的角，连接CG ，在Rt CBG △中，cos BCCBG BG∠=，易得22BD AD AB ===所以6BG =所以cos CBG ∠=66=，故选B ．3．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 92344935 820036234869 69387481A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D 【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.4．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2 C ．32D 22【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．1或12C ．32D ．32±【答案】C 【解析】 【分析】由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以2q =，故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .6．二项式22)nx +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90C ．45D ．360【答案】A 【解析】试题分析：因为22)nx +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，551021101022•?()2r r rr r r r T C C xx--+==，令5502r -=，则2r ，23104180T C ==.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 7． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈ ∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选B 【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.8．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为23，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，1220123223PF F S c y c b b ∆=⋅⋅=⋅=，即233c b =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题.10．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．11【答案】A 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，画出可行域ABC 如图3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距， ∴z 最小的时候为过C 点的时候，解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -，此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.11．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】B 【解析】 【分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan2αα-=+222sin21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cossincos sin cos sin cos sin 2222222221cos2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 12．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义可得220a a =>,为实数,则由22a b b a =可得22a b b a =,根据共线的性质,可判断a b =；再根据a a b b =判断a b =,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若22a b b a =成立,则22a b b a =,则向量a 与b 的方向相同,且22ab b a =,从而a b =,所以a b =；若a a b b =,则向量a 与b 的方向相同,且22a b =,从而a b =,所以a b =. 所以“22a b b a =”为“a a b b =”的充分必要条件. 故选:B 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省安庆市中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A．B． C.D．参考答案：A本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.因为,,所以.由，得，，所以.又,将选项代入验证可知是一条对称轴方程.2. 设为椭圆与双曲线的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且，若椭圆的离心率．则双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D)参考答案：B略3. 定义在上的函数满足，任意的都有是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C因为；，且关于对称，所以时，反之也成立：时，，所以选C.4. 正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为A. B. C. D.参考答案：C5. 某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D6. 已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形 D . 无法确定参考答案：B∵，∴，即，∵不共线，故有，即，∴可得△的形状为直角三角形，故选B.7. 已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{a n}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013参考答案：B【考点】等差数列的通项公式；导数的运算．【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由数列{a n}是以为公差的等差数列，可得a n=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化简可得6a2﹣=．利用单调性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵数列{a n}是以为公差的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，则g′（x）=6+sin在R上单调递增，又=0．∴a2=．则==2015．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（A）0 （B）1 （C）3 （D）5参考答案：答案：D解析：定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5，选D。

安徽省安庆市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集. 【详解】构造函数()()()11111x x g x f x ex e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x xh x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1xx h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤， 等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.2．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）【答案】D 【解析】【分析】原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B 【解析】 【分析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.4．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i + B ．43i -C ．43i -+D ．43i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解.由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.5．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ） A．12-+ B．12i + C．12-D．12i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r的坐标，逆时针旋转6π，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1）， ∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r绕原点O 逆时针旋转6π得到OB uuu r ， 设OB uuu r＝(a ，b)，0,0a b <>，则cos 6OZ OB b OZ OB π⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，即b =， 又221a b +=，解得：1,2a b =-=，∴1,22OB ⎛=- ⎝⎭u u u r ，对应复数为122-+. 故选：A.本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+【答案】A 【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为2131143423423834233V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =I ( ) A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x -+=-+>，故B R =，所以A B =I {}2,1,0,1,2--. 故选：D.本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.8．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

2019年安庆市高三模拟考试(三模)数学试题(理科)安庆市高考课题命题研究组 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：1.设集合2{|1}A x y x ==-，2{|1}B y y x ==-，2{(,)|1}C x y y x ==-，则正确的是( ) A.A B C = B.B C = C.A B ⊆ D.B C =∅2.对于函数()cos f x x x +，下列命题中正确的是A.x R ∀∈，()2f x <B.x R ∃∈，()2f x <C.x R ∀∈，()2f x >D.x R ∃∈，()2f x > 3.若31i a bi i -=++(a 、b R ∈，i 是虚数单位)，则ba=( ) A.4 B.2- C.1- D.24.圆222650x y x y a +-++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则a b -的取值范围是( ) A.(,4)-∞ B. (,0)-∞ C. (4,)-+∞ D. (4,)+∞5.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同平面，下列四个命题中正确的序号是( ) ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ； ③若//m α，//n α，则//m n ；④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥. A.①② B.②③ C.③④ D.①④6.已知数列{}n a 满足13a =，1110n n n a a a ++⋅++=，则2011a =( ) A.43-B.14- C.3 D.3- 7.现有男大学生6名，女大学生4名，其中男、女班长各1人.从这10人中选派5人到某中学顶岗，班长中至少有一人参加，则不同的选派方法种数是( ) A.169 B.140 C.126 D.1968.已知20x OA x OB OC ⋅+⋅-=()x R ∈，其中A 、B 、C 三点共线，则满足条件的x ( ) A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.以上情况均有可能9.若1(2)n x x+的展开式中，二项式系数最大的项只有第三项，则展开式中常数项的值为( )A.12B.18C.24D.3210.如图，在等腰梯形ABCD 中，且2AB AD =，设DAB θ∠=，(0,)2πθ∈，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则( ) A.随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B.随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值 C.随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D.随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(25分)：11.执行如图所示的程序框图，若输入0x =，则输出y 的值为12.已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2x ，y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为13.在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则||AB =14.在周长为a 的长方形中，其面积的最大值是216a .请利用类比推理，写出长方体的结论: 15.某中学对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：①函数()f x 在[,0]π-上单调递增，在[0,]π上单调递减；②存在常数0M >使|()|||f x M x …对一切实数x 均成立；③点(,0)2π是函数()y f x =图像的一个对称中心；④函数()y f x =图像关于直线x π=对称. 其中正确的是 三、解答题(75分)：16.(12分)设函数2()1cos(2)cos 3f x x x π=++-.⑴若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值；⑵设A 、B 、C 为ABC ∆三个内角，若1cos 3B =，1()24C f =-，且C 为锐角，求sin A . 17.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M、(N -，若圆C 的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点(,)A x y 为圆C 上的一点. ⑴求椭圆的标准方程和圆的标准方程；⑵求2||AC AO AC AO ⋅+-(O 为坐标原点)的取值范围 18.(13分)四棱锥P ABCD -及其三视图，PBC ∆为正三角形. ⑴若E 是PB 的中点，求证://CE 平面PAD ； ⑵求证：平面PAD ⊥平面PAB ； ⑶求二面角P AD B --的余弦值.19.(12分)某班同学利用五一国际劳动节进行社会实践，对[25,55]习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：⑴补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；⑵从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .20.(13分)定义(,)(1)y F x y x =+，x 、(0,)y ∈+∞.⑴令函数22()(1,log (49))f x F x x =-+的图像为曲线1C ，曲线1C 与y 轴交于点(0,)A m ，过坐标原点O 作曲线1C 的切线，切点为(,)B n t (0)n >.设曲线1C 在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值；⑵当x 、*y N ∈且x y <时，证明：(,)(,)F x y F y x >. 21.(13分)已知数列{}n a 中，11a =，112nn i i na a +==∑.⑴求{}n a 的通项公式；低碳族 占本组 [25,30) [30,35) 组数 第一组第二组第三组第四组 第五组第六组 [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 分组 120 195 100 a 30150.6 p0.5 0.4 0.3 0.3人数 频率)⑵设数列{}n b 满足112b =，2 1 21nn n b b b a ++=+.证明：①21111(1)n n b b n +->-+；②1n b <. 2019年安庆市高三模拟考试（三模）数学（理科）试题参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B ADCDCCB二、填空题：每小题5分，共25分 11、23-. 12、328. 13、14、在所有棱长之和为a 的长方体中，其体积的最大值是17283a .15、②.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）x x x f 2cos )32cos(1)(-++=πx x 2sin )32cos(++=π=1cos 21cos 2cossin 2sin23322x x x x ππ--+=……………4分 ]3,6[ππ-∈x ∴当6π-=x 时，函数)(x f 有最大值为45………… 6分 （Ⅱ）)2(C f=12C =－41,所以sin C =……………7分 因为C 为锐角, 所以3C π=, …………… 8分又因为在ABC ∆中,31cos =B ,所以sin B =, ……………10分∴11sin sin()sin cos cos sin 23A B C B C B C =+=+=+=………12分17、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221mx ny +=，依题意可得41,51415m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得1,15m n ==，所以，所求椭圆的标准方程为2215x y +=.…………………………………………3分 因为圆的圆心C 和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长，故圆的标准方程为22(2)1x y -+=.…………………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）得圆心C （2，0），所以42||222+-+=-+⋅x y x AO AC AO AC ……………………………………9分 而22430,x y x +-+=则2243,x y x +=- 所以，221AC AO AC AO x ∙+-=+而22(2)1,x y -+=则2(2)1x -≤，即121,x -≤-≤即13x ≤≤，因此，2AC AO AC AO ∙+-（O 为坐标原点）的取值范围为[3,7].………12分 18、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）证明：由三视图知：BC AB ⊥,BC CD ⊥,且CD AB 2=,因此CD ∥AB 取PA 的中点F ，连结DF ，则EF ∥AB 且EF AB 21= 所以CD ∥EF 且EF CD =，即四边形CDFE 为平行四边形， 所以CE ∥DF .又CE⊄平面PDA ，故CE ∥平面PDA .……………4分（Ⅱ）证明：由三视图知：平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面BC ABCD =, ⊥∴⊥AB BC AB 平面PBC ，⊂CE 平面PBC CE AB ⊥∴ 又PBC ∆为正三角形CE PB ⊥∴⊥∴CE 平面PAB 又由(1)知DF ∥CE ⊥∴DF 平面PAB .而⊂DF 平面PAD ∴平面⊥PAD 平面PAB .……………9分 (Ⅲ)记二面角B AD P --的平面角为α，设P 在底面上的射影为H ，由三视图H 为BC 的中点，连结DH AH ,，则PAD ∆在面A B C D 上的射影为HAD ∆，不难求得23,6==∆∆HAD PAD S S . 所以46cos =α，即二面角B AD P --的余弦值为46 . ……………13分 （其它解法参考给分）19、（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：……………2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．……………5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．……………6分2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． ……………10分∴数学期望012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………12分 20、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）yx y x F )1(),(+=942))94(log ,1()(2)94(log 2222+-==+-=∴+-x x x x F x f x x…………………2分故A （0，9）42)('-=x x f ，过O 作1C 的切线，切点为)0)(,(>n t n B ，⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=∴42942n ntn n t ，解得B （3，6）…………………………………4分 9|)9331()2943023230=+-=-+-=∴⎰x x x dx x x x S ……………………6分（Ⅱ）令2)1ln(1)('),1()1ln()(xx x xx h x x x x h +-+=≥+=………………8分 令)0)(1ln(1)(>+-+=x x xxx P 0)1(11)1(1)('22<+-=+-+=∴x x x x x P [)+∞∴,0)(在x P 单调递减。

2019届安徽省安庆一中高三下学期5月第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()168z i i +=+（其中i 为虚数单位)，则复数z 的虛部为（ ） A ．5 B ．5-C ．5iD ．5i -【答案】B【解析】根据复数的模的计算公式及复数代数形式的除法运算将复数化成标准形式，即可得解； 【详解】解：()168z i i +=+Q()110z i ∴+ ()()()1011055111i z i i i i -∴===-++-，z ∴的虚部为5-， 故选：B 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算及复数的相关概念，属于基础题.2．已知集合2}2{|0A x x x =+-≤，集合{|B x y ==，则集合{}2|x x <-=（ ）A ．AB I B ．A B UC ．()()R R C A C B ⋃D ．()()R R C A C B I【答案】D【解析】首先求出集合A 、B ，再根据集合的运算法则计算可得； 【详解】解：2{|}20A x x x =+-≤Q ，{}1|2A x x ∴=-≤≤，{|B x y =Q ，{}|0B x x ∴=≥，{}|01A B x x ∴=≤≤I ，{}|2A B x x ⋃=-≤， ()()(){}R R R |2A B A B x x ∴==<-U I 痧?故选：D【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．“1k =”是“函数()2k f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】先求出“函数()2k f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”的等价条件，再根据充分条件，必要条件的定义即可求出． 【详解】当函数()2k f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数时，k 为奇数，所以1k =⇒k 为奇数， 但k 为奇数⇒1k =，故“1k =”是“函数()2k f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，以及余弦函数的性质应用，属于基础题． 4．已知3(),a ππ∈，且365sin a π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，则cosa =（ ）A B ．310+ C D 【答案】C【解析】先根据α的范围利用平方关系求出cos 6a π⎛⎫ ⎪⎝⎭+，再利用两角差的余弦公式即可求出． 【详解】因为3(),a ππ∈，所以7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即有4cos 65a π+⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ∴cos cos cos sin sin 666666cos ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4331343525210-⎛⎫=-⨯+⨯=⎪⎝⎭. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式和同角三角函数基本关系的应用，属于基础题． 5．已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为是定义在上的增函数，所以关于轴对称，所以在上递增，在上递减，所以选B.【考点】1.函数的图像；2.函数的性质.6．1221010101010999C C C ++⋅⋅⋅+除以11所得余数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】A【解析】根据二项式定理可将1221010101010999C C C ++⋅⋅⋅+合并化简，即可求得其除以11所得余数． 【详解】因为()()101012210101010109991911111C C C ++⋅⋅⋅+=+-=-- ()()()29101928910101011111111111C C C =+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-L而()()()29101928910101011,111,111,,111C C C ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-L 每一项都可以整除11． 故1221010101010999C C C ++⋅⋅⋅+除以11所得余数为0．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用二项式定理的应用，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，正视图是正方形，侧视图是直角梯形，俯视图由一个半圆和一个等腰直角三角形组成，则该几何体体积为（ ）A ．42π+ B ．4π+ C ．43π+D ．83π+【答案】D【解析】根据三视图还原几何体，知该几何体是由一个四棱锥和半圆柱构成，即可求出其体积． 【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和半圆柱构成，如图所示：其中四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2，半圆柱的底面半径为1，高为2， 故该几何体的体积为：211822221323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并计算其体积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，若输出85a =，判断框内应填写（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <【答案】B【解析】根据程序功能模拟运算，即可知晓判断框内的限制条件． 【详解】当第一次执行循环前，1k =，判断框条件成立，循环后，此时，1a =； 当第二次执行循环前，2k =，判断框条件成立，循环后，此时，5a =； 当第三次执行循环前，3k =，判断框条件成立，循环后，此时，21a =； 当第四次执行循环前，4k =，判断框条件成立，循环后，此时，85a =； 当第五次执行循环前，5k =，判断框条件不成立，跳出循环，此时，85a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，补全程序框图中缺失的语句，属于基础题． 9．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，其中PA ⊥平面3ABC PA AB BC ===,，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，假设有一只蜜蜂在球O 内自由飞行，则其飞入鳖臑内的概率是（ ） A 3 B 3 C 3 D 3【答案】C【解析】根据几何概型的概率公式，分别计算出三棱锥P ABC -和其外接球的体积，即可求出．【详解】由题意可知，三棱锥P ABC -的体积为1119333322V =⨯⨯⨯⨯=； 三棱锥P ABC -的外接球即是以,,AB BC PA 的长为长，宽，高的正方体的外接球，所以外接球的半径为R ==，其体积为3324433V R ππ==⨯=⎝⎭．根据几何概型的概率公式可知，蜜蜂飞入鳖臑内的概率是129V p V ===． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题．10．已知等轴双曲线的左、右焦点分别为12, F F ，点P 为其右支上一点(异于顶点)，若点M 为12PF F ∆的内心，1212,,MPF MPF MF F ∆∆∆的面积分别记作123,,S S S ，若312()S S S R λλ=+∈，则λ的值为（ ）ABCD．2【答案】D【解析】由题意，建立方程关系，结合等轴双曲线的性质以及a ，b ，c 的关系进行求解即可． 【详解】解：设内切圆的半径为R ，Q 1212PMF PMF MF F S S S λ=+V V V 成立，∴1212PMF PMF MF F S S S λ-=V V V ，即1212111||||||222PF R PF R PP R λ-=g g g g， 即112222a R c R λ⨯=g gg g ， a c λ∴=，Q 双曲线为等轴双曲线，故a b =，∴ b a c λ==，222a b c +=Q ，22222c c c λλ∴+=，即221λ=，即212λ=， 得2λ=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，根据三角形的面积公式，建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于中档题．11．现有6位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的年龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另--位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（ ） A ．10种 B ．40种 C ．70种 D ．80种【答案】B【解析】按照亮亮参与，不参与游戏分类讨论，即可求出所有的寻找方案． 【详解】(1)若亮亮不参与游戏，可以分三步完成萌娃的分配：①安排一位萌娃陪同亮亮，有5种选择：②从剩下的4个萌娃选择2个去近处，有246C =种选择；③最后剩下的2个去远处，完成分配，所以有5630⨯=种方案．(2)若亮亮参与游戏，可以分两步完成萌娃的分配：①从5个萌娃选择2个和亮亮去近处，有2510C =种选择；②剩下的3个萌娃去远处，完成分配，所以有10种方案．综上，不同的寻找方案有301040+=种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理和分类加法计数原理的应用，意在考查学生的知识应用能力，属于基础题．12．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】根据题意可将1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln xf x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值． 【详解】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以 当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．二、填空题13．已知平面向量()2,1,a b a b ==+=r r r r，则a b -=r r __________.【答案】3【解析】首先根据平面向量的数量积的运算律求出a b ⋅r r的值，再根据a b -==r r【详解】解：()2,1,3,7a b a b ==+=r r rrQ ，22215a ∴=+=r ，()()227a b +=r r ，即2227a a b b +⋅+=r r r r ，21a b ∴⋅=-r r()()()()2222225133a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=--+=r r r r r r r r ，故答案为：3 【点睛】本题考查平面向量的数量积及运算律，属于基础题.14．已知实数,x y 满足300x y x x y+-≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则11y x -+的最大值是__________.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，根据11y x -+表示的几何意义即可求出其最大值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：11y x -+可认为是区域中的点(),P x y 与定点()1,1A -两点连线的斜率， 由图可知，当点P 为()0,3时，斜率最大，最大为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查利用几何意义解决非线性规划问题，属于基础题．15．已知函数()2444f x x xsin x π=-+的两个零点分别为(),a b a b <，则24ax dx -=⎰__________.【答案】2π【解析】根据零点定义求出,a b ，再根据24bax dx -⎰的几何意义即可求出．【详解】因为()2444f x x xsin x π=-+，()2444f x x xsin x π-=-+，所以()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，令()24404f x x xsin x π=-+=，因为216sin 1604x π∆=-≤，而由题可知，()f x 有两个零点，所以2sin14x π=，可解得2x =或2x =-，即2,2a b =-=．故222244b ax dx x dx --=-⎰⎰，几何意义表示半圆24y x =-与x 轴围成的几何图形的面积，所以222214222x dx ππ--=⨯⨯=⎰．故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查零点定义的应用，以及利用定积分的几何意义求定积分，属于基础题． 16．如图是一个类似“杨辉三角”的图形，记,1,2,,,.....,n n n n a a a 分别表示第n 行的第1个数，第2个数，······第n 个数，当2,*n n N ≥∈时，,2n a =__________.【答案】223n n -+【解析】从第二行起，将每一行的第二个数字排列起来，归纳出通项公式，即可求出． 【详解】从第二行起，将每一行的第二个数字排列起来，可得：3,6,11,18,27,38,L ， 若将该数列记作{}n b ，所以,21n n a b -=因为21324313,5,7,21n n b b b b b b b b n --=-=-=-=-L ，将这些式子相加得，()()2132135721112n n b b n n n +--=++++-=⨯-=-L ，即22n b n =+（2n ≥），而13b =，也符合该式，所以22n b n =+（1n ≥），所以()22,211223n n a b n n n -==-+=-+． 故答案为：223n n -+． 【点睛】本题主要考查观察法和累加法求数列的通项公式，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为4，其外接圆的半径为3，求ABC ∆的周长.【答案】（Ⅰ）23B π=；（Ⅱ）5 【解析】（Ⅰ）由由正弦定理得()sin 2sin cos 0A C B B ++=，进而得到sin 2sin cos 0B B B +=，求得1cos 2B =-，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得5b =，再由余弦定理得2225a c ac =++，利用三角形的面积公式，求得3ac =，进而求得a c +的值，得出三角形的周长. 【详解】（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c A b B ++=， 由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=， 即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=， 又由(0,)B π∈，则sin 0B >， 所以12cos 0B +=，解得1cos 2B =-， 又因为(0,)B π∈，所以23B π=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=，且外接圆的半径为3，由正弦定理可得5323=⨯，解得5b=，由余弦定理得2222cosb ac ac B=+-，可得2225a c ac=++，因为ABC∆的面积为3313sin2ac B ac==，解得3ac=，所以()()2222253a c ac a c ac a c=++=+-=+-，解得：27a c+=，所以ABC∆的周长275L a c b=++=+.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．如图，圆锥PO中，AB是圆O的直径，C是底面圆O上一点，且6CABπ∠=，点D为半径OB的中点，连PD.（1）求证：PC在平面APB内的射影是PD；（2）当APB△是正三角形时，求OC与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】（1）根据射影定义只需证明CD⊥平面APB即可，而易证CD OB⊥，CD OP⊥，即可证出CD⊥平面APB；（2）根据OC与平面PBC所成角的正弦值等于点O到面PBC的距离与OC的比值，利用等积法求出点O到面PBC的距离即可求出．【详解】（1）因,3OB OC BOC π=∠=，所以BOC V 是正三角形，又D 点是OB 的中点，CD OB ∴⊥， 又PO ⊥平面,ABC CD OP ∴⊥，,OP OB O =Q I CD \^平面PAB所以PC 在平面APB 内的射影是PD（2）设底面圆的半径为r，则,2PO PB PC r ==，231134P OBCV r -==，212PBC S r ∆=⨯=． 设点O 到平面PBC 的距离为d ，则213P OBC O PBC V V d --==⨯，解得d =．所以OC 与平面PBC所成角的正弦值为5r =． 【点睛】本题主要考查射影定义的理解，线面垂直判定定理的应用，线面角的求法，等积法的应用等，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．19．某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程.在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物.该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，其质量指标的等级划分如下表1： 表1为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种.并随机抽取了甲、乙两个品种的各10000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图（图1和图2）.（1）若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出乙品种产品中至少1件良好品或以上”为事件A ，求事件A 发生的概率()P A ；(结果保留小数点后3位)(参考数值：2 0.1520.0225=，340.150.0033750.150.00050625==,) （2）若甲、乙两个品种的销售利润率y 与质量指标值k 满足表2 表2质量指标值k 90k ≥ 8090k ≤<7580k ≤<75k <销售利润率y 3t 25t2tt -其中1164t <<，试分析，从长期来看，种植甲、乙哪个品种的平均利润率较大？ 【答案】（1）0.997（2）种植乙品种的平均利润率较大【解析】（1）先求出“从乙品种产品中抽取一件为良好品或以上”的概率，再利用二项分布的概率公式求出事件A 的对立事件发生的概率，即可求出；（2）分别计算出种植甲、乙两种产品的利润率的数学期望，比较它们的大小即可得出． 【详解】（1）设“从乙品种产品中抽取一件为良好品或以上”的概率为p ， 则根据频率分布直方图可得()0.030.080.040.0250.85P =+++⨯=，则()()33331110.150.997P C P A =--=-≈（2）由频率分布直方图可得，甲品种产品的利润率的分布列为y 3t25t 2tp0.2 0.7 0.1()2220.230.750.1 3.60.6E y t t t t t =⨯+⨯+⨯=+甲乙品种产品的利润率的分布列为()()2220.330.5550.10.05 2.850.85E y t t t t t t =⨯+⨯+⨯+-=+乙()()()()2223.60.6 2.850.850.750.250.2531E y E y t t t t t t t t -=+-+=-=-乙甲由于1164t <<，所以()()0E y E y -<乙甲，即()()E y E y <甲乙. 故种植乙品种的平均利润率较大. 【点睛】本题主要考查对立事件概率公式和二项分布的概率公式的应用，以及离散型随机变量的数学期望的求法，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．20．在平面直角坐标系xOy 内，有一动点P 到直线3x =的距离比值是3（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知点(),2,0A P (异于点A )为曲线C 上一个动点，过点O 作直线AP 的垂线l 交曲线C 于点D ，E ，求DE AP的最小值.【答案】（1）2214x y +=（2）12【解析】（1）直接根据题意设点，列式，化简，即可求出动点P 的轨迹C 的方程； （2）先考虑特殊情况，当直线AP 的斜率为0时，可计算出12DE AP=，再考虑一般情况，当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为()2y k x =-，与椭圆C 的方程联立求出点P 的坐标得出AP 的长，同理，将直线DE 的方程与椭圆C 的方程联立求出DE ，继而得到DE AP的表达式，最后根据函数知识即可求出DE AP的最小值．【详解】（1）设动点P 的坐标为(,)x y=，再考虑一般情况，当化简得曲线C 的方程为：2214x y +=．（2）当直线AP 的斜率为0时，4AP DE =,为椭圆C 的短轴，则2DE =.所以12DE AP=当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为()2y k x =-，则直线DE 的方程为1=-y x k由()22214y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +-+-=. 设()00,P x y ，所以20216241k x k +=+，2028241k x k -=+故AP ==，得AP 设(,)D x y ，由椭圆对称性可知2DE OD =.由22114y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得222112244,44k x y k k ==++OD =DE =所以2DE AP =设t =，则224,2k t t =->()()224414152t DE t t APtt-+-==>，令()()24152t g t t t -=>，则()224150t g t t +'=> 所以()g t 是一个增函数，所以24154415122DEt AP t -⨯-=>= 综上，DE AP的最小值是12. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长的求法，以及利用函数的单调性解决最值问题，意在考查学生的数学运算能力，转化能力和分类讨论思想的应用，属于中档题．21．设函数()()()11f x ax ln x x a R =-+-∈,. （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()0f x ≥对任意的[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调增区间为()1,0-，减区间为(0,)+∞（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）根据函数的单调性与导数的关系，分别在定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（2）根据题意可知，只需()min 0f x ≥即可，再通过导数研究函数()f x 在[]0,1x ∈的单调性，求出()min f x ，由()min 0f x ≥即可解出实数a 的取值范围． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞， 当0a =时，函数()()1,f x ln x x =+- 对函数()f x 求导得，()1111xf x x x-'=-=++ 所以， 由()0f x '>，解得()1,0x ∈-；由()0f x '<，解得(0,)x ∈+∞． 故函数()f x 的单调增区间为()1,0-，减区间为(0,)+∞． （2）对函数()f x 求导得，()()1111axf x aln x x -'=-++-+.再次求导得()()()22121111a a ax a f x x x x +++'=--=-+++ ①当12a ≤-时，又()0,1x ∈，21210ax a a ++<+<，故在()0,1上，()0f x '>，所以()f x 在[]0,1上单调递增， 故()()00f x f ≥=，符合题意；②当0a ≥时，又()0,1x ∈，则()0f x '<，故()f x 在[]0,1上单调递减，故()()00f x f ≤=，不符合题意，舍去； ③当102a -<<时，令21min 1,a m a ⎧+=-⎫⎨⎬⎩⎭，则当()0,x m ∈时，有()()0,f x f x '<在[]0,m 上单调递减， 故()()00f x f ≤=，不符合题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，以及函数不等式恒成立问题的解法应用，涉及分类讨论思想的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题． 22．已知圆C 的参数方程为4x cosay sina=+⎧⎨=⎩(其中a 为参数)，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则曲线l 1 04cos πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的普通方程与l 的直角坐标方程；（2）点P 是曲线l 上一点，由P 向圆C 引切线，切点分别为A B 、，求四边形PACB 面积的最小值.【答案】（1）曲线()22:41C x y -+=；直线:10l x y -+=（2 【解析】（1）根据参数方程和极坐标方程和普通方程的关系进行转化即可．（2）由题意可知1222PACB PAC S S PA AC PA ==⨯⨯⨯=V ，要使四边形PACB 面积的最小，只需PA 最小即可，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由勾股定理求出切线长的最小值即可得解；【详解】解：（1）Q 直线l 104cos πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos sin 10ρθρθ∴-+=，即10x y -+=．Q 圆C 的参数方程4cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，∴消去参数得()22:41C x y -+=．即圆C 的普通方程为()2241x y -+=．（2）由条件知1222PACB PAC S S PA AC PA ==⨯⨯⨯=V ， 要使四边形PACB 面积的最小，只需PA 最小即可，又圆心()4,0C 到直线l=于是minPA =所以四边形PACB 面积的最小值为2【点睛】本题主要考查坐标系和参数方程的应用，利用此时方程和极坐标与普通方程的关系进行转化是解决本题的关键，属于中档题．23．已知函数()22f x x a x a =+++-，其中a R ∈. （1）若()25f -≤，求实数a 的取值范围；（2）记()1中的a 的最大值为M ，若正实数,,m n p 满足2m n p M ++=，求11m n n p+++的最小值. 【答案】（1）7,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）4 【解析】（1）利用分段函数表示出()2f -，再分类讨论计算可得；（2）由（1）可知1M =，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：（1）由条件知()32,02222,1032,1a a f a a a a a a +>⎧⎪-=++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，则函数图象如下所示：又()25f -≤，3250a a +≤⎧∴⎨>⎩或2510a a +≤⎧⎨-≤≤⎩或3251a a --≤⎧⎨<-⎩ 解得7,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1M =，21m n p ∴++=于是()1111m n n p m n n p m n n p ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭2242n p m n n p m nm n n p m n n p++++=++⋅++≥++=+， 当且仅当n p m nm n n p++=++时取等号， 故11m n n p+++的最小值为4. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题.。

安徽安庆2019年高三重点考试（三模）数学（理）试题4. 解析：双曲线的半焦距4=c ，由2=e 知2=a ，双曲线的两条准线之间的距离为222=c a .选B.5.解析：曲线C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，Q 点直角坐标为(11)，，故最大距离为2.选B.6. =1()1(21(222=-+⋅++-λλλ.假设“、b 夹角为锐角”，那么0a b ⋅>，又由题设知0≥λ，故1>λ；反之，假设1>λ，那么0a b ⋅>，但、b 夹角不一定为锐角.选B.7.解析：显然z 的算术平方根为椭圆1222=+z y z x 的短半轴长，故3≤z ，90≤<z .选C.8.解析：6421=-n ，那么7=n ，由7722107)1()1()1()]1(2[)1(+++++++=++-=-x a x a x a a x x n 故448)2(6171=-=C a .选B. 数学试题〔理〕参考答案〔共7页〕第1页9.解析：P 点坐标代入得21)32sin(=-ϕπ，因P 点在函数x y sin =的单调递减区间上，故 )](232,22[32Z k k k ∈++∈-ππππϕπ， 所以 )(,65232Z k k ∈+=-ππϕπ，得).(62Z k k ∈--=ππϕ 又2πϕ<，故6πϕ-=.选C.10.解析：令xx xf x g ln )()(-=，那么)(x g 为偶函数，且当0>x 时，'()0g x >，即函数)(x g 在区间(0)+∞，上为增函数，不等式xx xf ln 1)(+>即为)1()(g x g >，即有)1()(g x g >，化为1>x ，解得：1-<x 或1>x .选A.14.解析：由，)(2111+++=-n n n n r r r r ，*N n ∈， 故n n r r 311=+，而1r ＝1，所以1)31(-=n n r ，*N n ∈.数学试题〔理〕参考答案〔共7页〕第2页 15. 解析：正确的有①、②、⑤ ∵AC ∥11AC ，1BD ⊥1A D ，1BD ⊥1C D ，∴①、②正确；∵ 异面直线AC 和1A D 所成的角为60︒，∴过点B 与异面直线AC 和1A D 所成的角均为60︒的直线有且只有3条. 故③错误.设1AA a =，可求得四面体111DA C D，而正方体1111ABCD A BC D -内切球半径为12a体沿11D A 、11A B 、1B C 、CD 、1DD 易知截面多边形EFGHIJ 的周长为定值，等于 〔a 为正方体的棱长〕，故⑤正确.令ααsin cos -=t ，(0)4πα∈，，那么(01)t ∈，， ∴ 22113(1)(44428OMPN S t t =-+=--+四边形， 当22=t 时，OMPN S 四边形有最大值83.数学试题〔理〕参考答案〔共7页〕第3页此时，22sin cos =-αα，有21)4(cos =+πα，由于()442πππα+∈，， 所以12πα=为所求. …………………12分17、〔此题总分值12分〕解析：〔Ⅰ〕每次从5n +个球中任取两个，有25n C +种方法，它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有115n C C 种，∴23201420334122071510)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E . …………………12分数学试题〔理〕参考答案〔共7页〕第4页 18. 〔本小题总分值12分〕解析：〔Ⅰ〕由AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上不同于A 、B 的一点，知BC AC ⊥.∵ 面ACD ⊥面ABC ，∴BC ⊥面ACD ，∴BC AM ⊥.∵ AC AD =，M 是CD 的中点，∴AM CD ⊥，∴AM ⊥平面BCD . ………………… 6分〔Ⅱ〕作MG BD ⊥于G ，连接AG . 由〔1〕AM ⊥平面BCD ，根据三垂线定理得AG BD ⊥，∴AGM ∠就是二面角A DB C --的平面角.∵ 2AC AD ==，120CAD ∠=︒，M 是CD 的中点，∴ 1AM =，DM =在Rt MGD ∆中，sin 302MG MD MDG =∠=︒=.∴ 在Rt AMG ∆中，tan AM AGM MG ∠===. …………………12分19、〔此题总分值13分〕解析：〔Ⅰ〕由不等式x ex x x p x g x f 2ln 2)1()()(---⋅=-》0对],2[e x ∈恒成立，∴22ln 21x x ep x +>-对[2]x e ∈，恒成立.令22ln 2()1x x eh x x +=-，[2]x e ∈，，那么max [()]p h x >.∵2222(1)ln 2(2)2'()0(1)x x x e x h x x -+---=<-.∴)(x h 在区间[2]e ，上是减函数，∴max 4ln 22[()](2)3e h x h +==，故4ln 223ep +>. …………………7分〔Ⅱ〕依题意min min [()][()]f x g x >.数学试题〔理〕参考答案〔共7页〕第5页∵22'()0p f x p x x =+->，∴()f x 在[2]e ，单调递增.又2()e g x x =在[2]e ，单调递减，故(2)()f g e >，解得44ln 23p +>.…………………13分20、〔此题总分值13分〕 四边形1122F B F B 的解析：〔Ⅰ〕如下图，设内切圆与边22F B 的切点为G ，连接OG，那么OG =.由2222221122OB F S OB OF B F OG ∆=⋅=⋅，2OB b =，2OF c =，22B F a =，得bc =，又12c e a ==，222a b c =+，解得2a =，b =C 的方程为13422=+y x . ………………5分〔Ⅱ〕根据条件可设直线MN 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程，整理得2222(34)84(3)0k x k x k +++-=.设11()M x y ，，22()N x y ，，那么212221228344(3)34k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩. 又(43)P k --，，由1PM MF λ=，1PN NF μ=，得1141x x λ+=-+，2241x x μ+=-+.…………………9分∴12121212121212124425()825()811(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x λμ+++++++++=--=-=-++++++，数学试题〔理〕参考答案〔共7页〕第6页∵ 221212224(3)825()825()83434k k x x x x k k -+++=⋅+-+++ 2222824402432034k k k k --++==+，∴ 0λμ+=为定值. …………………13分 21.〔此题总分值13分〕解析：〔Ⅰ〕,666)('12=-=+x a x a x f n n n 由0)('=x f n 得：0112=+-+x a x a n n 所以=x n α、=x n β是上方程的两根，由韦达定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++nn n n n n na a a 11βαβα，由n n nn n βαβα21=-+， ,3,2,1=n ， 所以n nn n a a a 211=-+，即nn n a a 21+=+， ,3,2,1=n …………………3分（Ⅱ）由〔Ⅰ〕知：n n n a a 21=-+， ,3,2,1=n ，所以+-+-=---)()(211n n n n n a a a a a 112)(a a a +-+122221++++=-- n n 12-=n . ………………7分〔Ⅲ〕因01>=nn n a βα，所以11=≥T T n当2≥n 时，121121)12)(12(2)12)(12(12121111111---=--<---=-==-----n n n n n n n n n n n n a βαn n n T βαβαβα ++=2211)121121()311(11---++-+<-n n 21212<--=n综上，对一切*N n ∈，均有21<≤n T 成立. …………………13分数学试题〔理〕参考答案〔共7页〕第7页本资料由《七彩教育网》 提供！。