第11讲 位值原理

⼩学思维数学讲义：位值原理-带详解位值原理1. 利⽤位值原理的定义进⾏拆分2. 巧⽤⽅程解位值原理的题位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越⼤，如果这种联系过程中，只⽤我们的⼿指头，那么到了“⼗”这个数，我们就⽆法数下去了，即使象古代墨西哥尤⾥卡坦的玛雅⼈把脚趾也⽤上，只不过能数⼆⼗。

我们显然知道，数是可以⽆穷⽆尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表⽰它们，如何对它们进⾏运算。

这就涉及到了记数，记数时，同⼀个数字由于所在位置的不同，表⽰的数值也不同。

既是说，⼀个数字除了本⾝的值以外，还有⼀个“位置值”。

例如，⽤符号555表⽰五百五⼗五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表⽰五个⼀，最左边的五表⽰五个百，中间的五表⽰五个⼗。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三⼤法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同⼀个数字，由于它在所写的数⾥的位置不同，所表⽰的数值也不同。

也就是说，每⼀个数字除了有⾃⾝的⼀个值外，还有⼀个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表⽰2个⼀，写在百位上，就表⽰2个百，这种数字和数位结合起来表⽰数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值⼀共有三⼤法宝：（1）最简单的应⽤解数字谜的⽅法列竖式（2）利⽤⼗进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列⽅程解答模块⼀、简单的位值原理拆分【例 1】⼀个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，⼗位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以⼗位数字加个位数字等于100÷10＝10。

位值原理模块一、位值原理的认识例1．填空：（1）365= ×100+ ×10+ ×1；20220=2× 2× +2× ；（2）aaa= ；abc= ；aabb= ；+++=a× +b× +c× +d× ；（3）abcd abc ab aab= a× +b× +1× +2× +3× +4（4）1234=ab× +12× +34× ；解：（1）365=3×100+6×10+5×1；20220=2×10000+2×100+2×10；（2）aaa=a×100+a×10+a；abc=a×100+b×10+c；aabb=a×1000+a×100+b×10+b；+++=a×1111+b×111+c×11+d×1；（3）abcd abc ab aab= a×100000+b×10000+1×1000+2×100+3×10+4（4）1234=ab×10000+12×100+34×1；例2．（1）用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是；（2）三个不同的非零数字a、b、c共可以组成6个不同的三位数，这六个三位数之和一定是的倍数；（3）三个互不相同的数字，可以组成6个不同的三位数，知道这6个三位数的和是2886，那么这三个数字的和为；这六个三位数中最小可能值是；这六个三位数中最大可能值是。

解：（1）用数字1、2、3各一个可以组成6个三位数，在个位上有2个1、2个2、2个3，个位上的数字和是12；同样十位上的数字和也是12，百位上的数字和也是12，于是这六个数的和是111×12=1332；（2）由第（1）问的答案可以知道，这六个三位数的和一定是222的倍数；（3）三个互不相同的数字，可以组成6个不同的三位数，所以三个数字都不是0，2886÷222=13，13=1+3+9，所以这六个三位数中最小的可能是139，最大的是931.模块二、位值原理的完全拆分例3．一个两位数，是它各个数位数字和的（1）9倍，求这个两位数；（2）5倍，求这个两位数；（3）7倍，求这个两位数 ； 解：（1）设这个两位数为ab =10a +b ， 10a +b =9(a +b )，所以a =8b ，b =1，a =8，所以ab =81。

5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

5-7.位置原理与数的进制.题库教师版page 1 of 95-7.位置原理与数的进制.题库 教师版 page 2 of 9模块一、位置原理 【例 1】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；【解析】 本题属于基础型题型。

第3讲 二项式定理基础学问整合1．二项式定理的内容(1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r na n －rb r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是□04相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n 2＋1项的二项式系数最大，最大为，当n 为奇数时第□07n －12＋1或n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为.(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□112n －1.1．留意(a ＋b )n与(b ＋a )n虽然相同，但详细到它们绽开式的某一项时是不同的，肯定要留意依次问题．2．解题时，要留意区分二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2024·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的绽开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 答案 C解析 由题可得T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r .令10－3r ＝4，则r ＝2，所以C r 5·2r ＝C 25×22＝40.故选C.2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.3．(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10 答案 B解析 (x ＋y )5的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·x5－r·y r，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35＝－5.故选B.4．设(5x －x )n的绽开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则绽开式中x 3的系数为( )A ．500B ．－500C ．150D ．－150 答案 C解析 N ＝2n，令x ＝1，则M ＝(5－1)n＝4n＝(2n )2.∴(2n )2－2n＝240,2n＝16，n ＝4.绽开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r ＝2，此时C 24·52·(－1)2＝150.5．(2024·绍兴模拟)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的绽开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________.答案 －2 解析6．(2024·南昌模拟)(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的绽开式中的常数项为________．答案 －5解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－2r (－1)r ，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的常数项为C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝3时)与C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝4时)之和，所以常数项为C 36(－1)3＋C 46(－1)4＝－20＋15＝－5.核心考向突破考向一 求绽开式中的特定项或特定系数例1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的绽开式中含x 15的项的系数为( )A ．153B ．－153C ．17D ．－17 答案 C 解析(2)(2024·山东枣庄模拟)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)(2024·浙江高考)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的常数项是________．答案 7解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r8·12r ·x8－4r3，令8－4r 3＝0得r ＝2，故所求的常数项为C 28·122＝7.触类旁通即时训练 1.(2024·广州调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x9的绽开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92 C.92 D.212答案 A解析 二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，绽开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A.2．(2024·河南信阳模拟)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是( )A ．5B ．－10C ．－32D ．－42 答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r ·(－2)r ＝C r 5(－2)r·xr －52，故(x 2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42.故选D.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式中x 3的系数为94，则a ＝________. 答案 4 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r9⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－x 2r＝(－1)r ·a 9－r·2－r2·C r9·x 32r －9.令32r －9 ＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4.考向二 二项式系数与各项的系数问题角度1 二项式绽开式中系数的和例2 (1)(2024·金华模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，则绽开式中x7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，得3n＝243，即n ＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r ·C r 5·x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，∴绽开式中x 7的系数为22×C 25＝40.故选B.(2)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝________，a 2＋a 4＋a 6＝________.答案 126 2187 1092 解析 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7. ① 又∵a 7＝C 77(－2)7＝(－2)7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1－a 0－a 7＝126. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37＝2187. ②①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1093，∴a 2＋a 4＋a 6＝1092. 触类旁通求二项式系数和的常用方法是赋值法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子，求其绽开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．即时训练 4.(2024·黄冈质检)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( )A ．284B ．356C ．364D ．378 答案 C解析 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36①； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1 ②.①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.5．(2024·郑州一测)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为________．答案 90解析 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r53rxr5－32，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.角度2 二项式系数的最值问题例3 (1)(2024·广东广州模拟)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n的全部二项式系数之和等于128，那么其绽开式中含1x项的系数是( )A ．－84B ．－14C ．14D ．84 答案 A解析 由二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 的绽开式中全部二项式系数的和是128，得2n＝128，即n ＝7，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r ·C r 7·x 14－3r.令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴绽开式中含1x项的系数是－4×C 57＝－84.故选A.(2)(2024·安徽马鞍山模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，则绽开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 答案 D解析 依据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r · C r20·x20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．故选D.触类旁通求二项式系数最大项(1)假如n 是偶数，那么中间一项(第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项)的二项式系数最大．即时训练 6.已知(1＋x )n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为绽开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以依据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的绽开式中只有第6项的二项式系数最大，则绽开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是绽开式通项为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，所以常数项为22C 210＝180.故选A.角度3 项的系数的最值问题例4 (1)(2024·承德模拟)若(1＋2x )6的绽开式中其次项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112<x <15B.16<x <15C.112<x <23D.16<x <25答案 A解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >C 06，C 162x >C 262x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >112，0<x <15，即112<x <15. (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n的绽开式中第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252 答案 A解析 ∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数， ∴n 的值可能是9,10,11. 设常数项为T r ＋1＝C r n x3(n －r )x －2r＝C r n x3n －5r， 则3n －5r ＝0，其中n ＝9,10,11，r ∈N ， ∴n ＝10，r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210. 触类旁通求绽开式系数最大项如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的绽开式系数最大的项，一般是采纳待定系数法，设绽开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得．即时训练 8.(2024·宜昌高三测试)已知(x 23＋3x 2)n的绽开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求绽开式中二项式系数最大的项； (2)求绽开式中系数最大的项． 解考向三二项式定理的应用例5 (1)(2024·潍坊模拟)设a∈Z，且0≤a<13，若512024＋a能被13整除，则a＝( ) A．0 B．1 C．11 D．12答案 D1＋1，又由于13解析由于51＝52－1，(52－1)2024＝C020********－C12024522024＋…－C2024202452整除52，所以只需13整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.(2)0.9910的第一位小数为n1，其次位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为( )A．9,0,4 B．9,4,0 C．9,2,0 D．9,0,2答案 A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010·110·(－0.01)0＋C110·19·(－0.01)1＋C210·18·(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.触类旁通二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)绽开后的每一项都含有除式的因式．2二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，1＋x n≈1＋nx.即时训练9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)． 答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.1．(2024·江苏模拟)(x 2＋x ＋y )5的绽开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由二项绽开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t·x t ＝C t 3x6－t，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.2．在⎝⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412的绽开式中x 5的系数为________． 答案 264解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x －x 2024202412的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r12(2＋x )12－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 20242024r ，若要出现x 5项，则需r ＝0，则T 1＝(2＋x )12，∴x 5的系数为22C 1012＝4C 212＝264.答题启示二项式定理探讨两项和的绽开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x 2－x ＋1)10绽开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30 答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.故选A.2.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式中不含x 的项的系数之和为( ) A ．－C 37C 3443－47B ．－C 27C 2443＋47C ．－47D ．47答案 A11 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r ·(－4y )r，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r 的绽开式的通项公式为M k ＋1＝C k 7－r · x 7－r －4k 3，0≤k ≤7－r,0≤r ≤7，k ，r 均为整数，令7－r ＝4k 3，解得k ＝0，r ＝7或k ＝3，r ＝3，则不含x 的项的系数之和为(－4)7＋C 37C 34(－4)3＝－C 37C 3443－47.。

位值原理知识框架位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答重难点（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数的各位数字的和是 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10.【答案】10【巩固】 一个两位数，加上它的十位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数是 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 设为ab ，10a+b+9a=19a+b=100，a=5，b=5.【答案】55【例 2】 学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，学而思杯，4年级，第5题【解析】 解设张老师年龄为ab ，则李老师的年龄为ba ，根据题意列式子为：18ba ab -=，整理这个式子得到：()918b a -=，所以2b a -=，符合条件的最小的值是1,3a b ==，但是13和31不符合题意，所以，答案为2a =与4b =符合条件的为：244266+=岁.【答案】66岁【巩固】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，学而思杯，5年级，第3题【解析】 设为ab ，即101102b a a b +++=，整理得1981a b =+，3,7a b ==，两位数为37 【答案】37【例 3】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，10题【解析】 肯定是1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是15，十位加1后，数字和是15＋1＝16，此时十位和个位和是6的倍数，个位不是1，只能是2，十位原来是9，百位是4，所以是在1492年.【答案】1492【巩固】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛，第11题【解析】 设小明出生那年是，则1＋9＋a ＋b ＝95－10a －b从而11a ＋2b ＝85在a ≥8时，11＋2b ＞85；在a ≤6时，11a ＋2b ≤66＋2×9＝84，所以必有a ＝7，b ＝4.小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).【答案】21岁【例 4】 一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍.【考点】简单的位值原理拆 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，复赛，第4题，5分【解析】 令这个三位数为0a b ，则由题意可知，10067()a b a b +=+，可得2a b =，而调换个位和百位之后变为：0100102b a b a b =+=，而3a b b +=，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102334b b ÷=倍.【巩固】 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第18题，10分【解析】 abc cba -个位是7，明显a 大于c ，所以10+c -a =7，a -c =3，所以他们的差为297【答案】297【例 5】 三位数abc 比三位数cba 小99，若,,a b c 彼此不同，则abc 最大是________【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第7题，6分【解析】 由题意，99abc cba +=，有9a c =+，要abc 最大，如果9a =，那么0c =，与cba 为三位数矛盾；如果8a =，那么9c =，剩下b 最大取7，所以abc 最大是879.【答案】879【巩固】 一个三位数abc 与它的反序数cba 的和等于888，这样的三位数有_________个.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试，第4题，5分【解析】 显然a c +、b b +都没有发生进位，所以8a c +=、8b b +=，则4b =，a 、c 的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种.所以这样的三位数有7种.【答案】7个【例 6】 将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是__________.-□□□□□□□□【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取234，所以这两个四位数应该是5987和6234，差为247.【答案】247【巩固】用1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是___________.【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，复赛，第5题，5分【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取123，所以这两个四位数应该是4987和5123，差为136.【答案】136【例 7】xy，zw各表示一个两位数，若xy+zw=139，则x+y+z+w= .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第5题，4分【解析】和的个位为9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位x+z=13，所以x+y+z+w=22【答案】22【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】解答【关键词】美国，小学数学奥林匹克【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，-=+--=-=，5ab ba a b b a a b(10)(10)9()45-=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a bb=，原来的两位数中最大的是94．9a=，4【答案】94【例 8】 一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位数是______.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，初赛，第13题，6分【解析】 设这个两位数是ab ，则100a+b=8(10a+b)-1，化为20a+1=7b ，方程的数字解只有a=1，b=3，原来的两位数是13.【答案】13【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设第一个2位数为10a +b ；第二个为10b +a ；第三个为100a +b ；由题意：(100a +b )-（10b +a ）=( 10b +a )-（10a +b ) ；化简可以推得b =6a ，0≤a ,b ≤9，得a =1，b =6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【答案】11小时【例 9】 abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd —abc —ab —a =1787，则这四位数abcd = 或 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，初赛，16题【解析】 原式可表示成：8898991787a b c d +++=，则知a 只能取：1或2，当1a =时，b 无法取，故此值舍去.当2a =时，0b =，0c =或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.【答案】2009或2010【巩固】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，111b ＋11c ＋d ＝259推知b ＝2；则222＋11c ＋d ＝259，11c ＋d ＝37进而推知c ＝3，d ＝4所以abcd ＝1234.【答案】1234【例 10】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】第五届，希望杯，培训试题【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【答案】1，2，4【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所 有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【答案】139【例 11】 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法三：设两位数为x ，则有（10x ＋1）－（100＋x ）＝414，解得：x ＝57.【答案】57【巩固】 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设三位数为x ，则有（6000＋x ）＋（10x ＋6）＝9999，解得：x ＝363.【答案】363课堂检测【随练1】 在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若abcd dcba -=□997，那么□中应填 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分【解析】 由题意知，a ≥d ,由差的个位为7可知，被减数个位上的d 要向十位上的c 借一位，则10+d －a =7,即a －d =3.又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b =c ，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即()12a d --=,因此□内应填入2.【答案】2【随练2】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c .由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的它们组成的三位数最小为159，最大为951.【答案】最小为159，最大为951【随练3】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A.【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设这个数为x，则10x+5-x＝1111A，化简得9x＝1106A，等号右边是9的倍数，试验可得A＝1，x＝1234.【答案】A＝1，x＝1234复习总结（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答家庭作业【作业1】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”.例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99.可以证明，所有的巧数都是两位数.请你写出所有的巧数.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设这个巧数为ab，则有ab+a+b＝10a+b，a(b+1)＝10a，所以b+1＝10，b＝9.满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【作业2】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()⨯++．因为223422210a b c++>．a b c>⨯，所以10若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．【答案】652【作业3】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5.如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5.设原两位数是ab ，则b =5，变成的三位数为5ab ，由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9，化简得a ＋b ＝4.变成的三位数只能是405，315，225，135.【答案】三位数只能是405，315，225，135【作业4】 如果70ab a b ⨯=，那么ab 等于几？【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将70ab a b ⨯=，展开整理得：(10)71000a b a b ⨯+⨯=⨯++，707100a b a b +=+，306a b =，5a b =，由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，得出1a =，5b =.【答案】15【作业5】 如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A .【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个数码为x ，则有：（10x ＋3）－x ＝123450＋A ,解得，9x ＝123447＋A ，右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A ＝6，故：x ＝13717.【答案】6。

数论专题典型结论汇总整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除；3。

如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4。

如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5。

如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立。

）二、整除性质性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ,c ︱b ，那么c ︱（a ±b )．性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ，c ∣b ，那么c ∣a ．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那么b ∣a ，c ∣a ．性质4 如果数a 能被数b 整除,也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ．例如：如果3∣12,4∣12，且(3，4）=1,那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果 b |a ,那么bm ｜am (m 为非0整数）;性质6 如果数a 能被数b 整除,且数c 能被数d 整除,那么ac 也能被bd 整除．如果 b |a ，且d ｜c ，那么bd |ac ；质数合数一、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数），使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了;但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。

数论是什么？ 可以理解为是关于整数的一些结论、论断、定论、推论，比如： 一个数的末尾数如果能被 2 或者 5 整除，那么这个数就能被 2 或者 5 整除， 偶数加偶数一定等于偶数，奇数乘以奇数一定等于奇数， 如果两个数除以同一个数得到的余数相同，那么这两个数的差一定能被这个数整除， ……， 等等。

数论在数学中的地位是很独特的，享有“数学王子”之称的德国著名数学家高斯就曾说过 “如果说数学是科学的皇后，那么数论就是数学中的皇冠”，历史上的一些悬而未决的数论疑 难问题，常被人们称为“皇冠上的明珠”，而“摘取”这些明珠的人往往会获得极其崇高的荣 誉并名载史册。

数论是数学的一个重要分支，位值原理（有的书称为位值原则）属于数论的一部分。

位值原理是什么咱们暂且不用理会，咱们从一道例题开始。

例题 ：有三个不同的数（都不为 0）组成的所有的三位数的和是 1332，这样的三位数中最大的数是多少？（2001 年·小学数学奥林匹克预赛试题）临□题□分□析□试题中只有一个数字，是什么样的三位数是未知的，那么要计算出每位数字吗？信息似乎太 少了，可能不是的。

关键在于试题给出的信息，“三个不同数组成的所有三位数字的和是 1332”、 “三位数中最大数”，主要是这两个条件，你能从这两条信息中提炼出什么？可能因此要得出 三位数字之间的关系，进而要做一些推导才能得到答案。

从题目得信息中理出解题头绪，需要靠你平时的训练积累，一般的数论试题都需要做一些推 导和推理才能得出所要的答案。

解□题□过□程□_____ _____假设这三个不为零的不同的数分别是 a、b、c，根据题目描述所有的三位数的和 a b c + a c b_____ _____ _____ _____+ b a c + b c a + c a b + c b a = 1332。

即 （100×a + 10×b + c） + （100×a + 10×c + b） + （100×b + 10×a + c） + （100×b + 10×c + a） + （100×c + 10×a + b） + （100×c + 10×b + a）=1332进一步 222×a + 222×b + 222×c=1332222×（a + b + c）=1332所以a + b + c=6因为 a、b、c 各不相同，所以 a、b、c 只能是 1、2、3 这三个数，那么组成的最大三位数就是 321。

第１１讲六年级暑期数论中的计数六年级秋季数论中的规律六年级秋季进位制进阶六年级寒假数论模块综合选讲（一）六年级春季数论模块综合选讲（二）掌握进位制间的相互转化，利用n进制解决数论相关问题漫画释义知识站牌1.掌握进制间的互化，尤其是特殊进制间的简便互化；2.掌握用进位制的思想解决问题；3.探索其他进制下小数的意义．二进制在计算机中的运用由于人的双手有十个手指，人类发明了十进位制记数法．然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻．究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计算机联系最自然的计数方法又是什么呢？这要从计算机的工作原理说起．计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的状态只有两个：通电和断电．计算机信息存储用硬磁盘和软磁盘，对于磁盘上的每一个记录点而言，也只有两个状态：磁化和未磁化．近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上每一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用．由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点（可有十六个信息状态），但此时又有六个信息状态闲置，这势必造成资源和资金的大量浪费．因此，十进位制不适合于作为计算机工作的数字进位制．那么该用什么样的进位制呢？人们从十进位制的发明中得到启示：既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制．二进位制所需要的计数的基本符号只要两个，即0和1．可以用1表示通电，0表示断电；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹点，0表示凸点．总之，二进位制的一个数位正好对应计算机介质的一个信息记录点．用计算机科学的语言，二进位制的一个数位称为一个比特（bit ），8个比特称为一个字节（byte ）．那么生活中常用的十进制数在计算机中是怎么用二进制表示呢？一、进制的认识我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

第十一讲页码与数字问题这一讲的标题是从形式上定义的，其实本讲侧重的是奥数中七大重点模块中计数问题，和数论模块中的位值原理。

一、枚举计数分类枚举一定要选恰当的顺序和分类的标准才能不重不漏。

本讲的例1侧重的是分类枚举，是对加法原理的渗透。

补充小题：一本书共250页，求编码时需要多少个数码？分析与答：由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；而几位数就需要几个数码。

故须分类计数，再相加。

一位数：有9个，共需9×1=9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有250-99=151个，共需151×3=453个数码；共需9+180+453=642个数码。

【记住规律：一位数：1~9，有9个；两位数：10~99，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数：100~999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；四位数：9000个；……】例1：给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？分析与答：刚才例子是正着问，此题倒着问。

边尝试边计算：一位数：有9个，共计用去9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有900个，共需900×3=2700个数码；而此题只有723个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三位数。

一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有534÷3=178个三位数，第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。

学案1：一本书的页码，在印刷时必须用198个铅字，自这一本书的页码中数字1出现多少次？分析与答：此题是在例1的基础上再加深一步。

要想求1出现的次数，必须知道本书有多少页，这就完全转化成利1。

一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有9÷3=3个三位数，第3个三位数是102，故本书有102页。

5-7位置原理与数的进制本讲是数论知识体系中的两大基本问题'也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学 习•要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式'掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与 实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与&论相关的问題简单化。

— '位值原理位值原理的定义：同一个数字*由于它在所写的数里的位置不同*所表示的数值也不同。

也就是说， 每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”，写在个位上•就表示2个一，写在 百位上，就表示2个百*这科数字和数位结合起来表示数的原则'称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例："决心A =z/xlOOOOO+bxlOOOO+cxlOOO+dxlOO+cxlO+f 。

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中•除了十进制计数法外*还有其他的 大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制:在计算机中，所采用的计数法是二进制•即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1 -2'、22、2' ........... 二进制数也可以写做展开式的形式 > 例如IOOHO 在二进 制中表示为：(100110)2=1X 2M X 2'+0X 2'+1X 2%I X 2'+0X 2''^二进制的运算法则："满二进一”「偕一当二” > 乘法口i 夬是：零零得零 > 一零得零•零一得零* 一一得一。

注意:对于任意自然数/?，我们有/==!。

刀进制：/?进制的运算法则是“逢〃进一，借一当，/?进制的四则混合运算和十进制一样，先乘徐，后 加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号的。

进制间的转换：如右图所示。

学科培优数学“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的两大基本问题,也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习,要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式,掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识梳理一、位值原理位值原理的定义：同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。

也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。

二、数的进制我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。

在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制,八进制,十六进制等。

二进制：在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。

因此,二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,二=1进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一,借一当n”,n进制的四则混合运算和十进制一样,先乘除,后加减；同级运算,先左后右；有括号时先计算括号内的。

例题精讲【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除,商等于与的差；ab与ba 的差被9除,商等于与的差；ab与ba的和被11除,商等于与的和。

【试题来源】【题目】如果ab×7= ,那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个,用这三个数可组成六个不同的三位数。