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高中思维训练班《高一数学》第1讲-----集合与函数(上)『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ,若A={y | y=x 2 }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M △N =（M-N)∪(N-M ），求A △B2.集合A=}3,2,1{中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=},,3,2,1{n ,则所有子集的元素之和是 .3.已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,并且都是正整数.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.*4. 函数⎩⎨⎧<+≥-=1000)),5((10003)(n n f f n n n f ，求)84(f (本讲重点迭代法)5. 练习:定义:*,)))((()(N n x f f f x f n n ∈=个.已知)(x f 是一次函数.当10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．(本讲重点迭代法)*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋xy 。
求f(x) (本讲重点顺序拼凑法)『课后作业』:7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
求f(n) (n ∈N +)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集作业答案:,n 2+3n+1,9.略,10. x<1/n 或x>1/m答案:1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x ＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A △B={x|-3≤x＜0或x ＞3}2. 【解】〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=ni n n i S 集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n3. 【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a 又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A5【解】解：设f(x)=ax ＋b (a ≠0)，记f{f[f …f(x)]}=f n (x)，则n 次f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋b(a ＋1)f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)]＋b=a 3x ＋b(a 2＋a ＋1)依次类推有：f 10(x)=a 10x ＋b(a 9＋a 8＋…＋a ＋1)=a 10x ＋aa b --1)1(10由题设知：a 10=1024 且aa b --1)1(10=1023∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)=－2x －38. 解：令y=1，得f(x ＋1)=f(x)＋x ＋1再依次令x=1，2，…，n －1，有f(2)=f(1)＋2f(3)=f(2)＋3……f(n －1)=f(n －2)＋(n －1)f(n)=f(n －1)＋n依次代入，得f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n=2)1(+n n ∴f(x)=2)1(+x x (x ∈N +)高中思维训练班《高一数学》第2讲-----函数(下)『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题*1例 f(x)在x>0上为增函数,且)()()(y f x f yxf -=.求:(1))1(f 的值.(2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f2例 f(x)对任意实数x 与y 都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R 上是增函数(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 33练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值(2) 证明f(x)在x>1上是增函数(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x 的取值范围4例几个关于周期的常见的规律:5练习:f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________(2) = 0(x) = f(x+4)(x)的图象关于直线x=0对称(x+2) = f(-x)『课后作业』:6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y).(1)证明f(x)在x>0上为增函数(2)若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证f(x)是周期函数7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
高二数学人教B版选修2-3课下作业：第一章 1.2 1.2.1 第一课时应用创新演练 Word版含答案1．4·5·6·…·(n－1)·n等于( )A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：原式可写成n·(n－1)·…·6·5·4，故选D.答案：D2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．答案：B3．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为( )A．4 B．5C．6 D．7解析：由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：B4．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) A．8 B．12C．16 D．24解析：设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，解得n＝12(n＝－11舍去)．答案：B5．满足不等式A 7n A 5n>12的n 的最小值为________． 解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2.又n ≥7，所以n >9，所以n 的最小值为10.答案：106．集合P ＝{x |x ＝A m4，m ∈N ＋}，则集合P 中共有________个元素．解析：因为m ∈N ＋，且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24，即集合P 中有3个元素．答案：37．求证：(1)A nn ＝A m n ·A n －m n －m ；(2)k ·A k k ＝(k ＋1)！－k ！.证明：(1)A mn ·A n －m n －m ＝n ！n －m ！(n －m )！＝n ！＝A nn ， ∴等式成立．(2)左边＝k ·A kk ＝k ·k ！＝(k ＋1－1)·k ！＝(k ＋1)！－k ！＝右边，∴等式成立．8．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A 44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A 25＝20种选法，形成的排列是： 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.。
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C = 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
高中数学奥林匹克基础教程江苏沛县孙统权前言2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。
编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。
夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。
教程共8讲，每讲4学时，共32学时。
指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。
对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。
在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。
本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。
同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。
在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。
本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。
将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。
虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。
本版版本号1.2。
编者电子信箱：suntrain@。
第一讲赛题选例一、课堂讨论：1证明：任何四面体上都存在一个顶点，可以用由它发出的三条棱组成三角形。
2用不在形内相交的对角线将正奇数边形划分为一系列三角形。
证明：其中有且只有一个锐角三角形。
3证明：可以找到4个绝对值大于10000的整数a,b,c,d，使11111+++=。
第一章 1.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( B )A ．513B ．－513C ．512D ．－512[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0． ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－513．2．已知cos α＝23，则sin 2α等于( A )A ．59B ．±59C ．53D ．±53[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝59．3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( D )A ．15B ．－15C ．513D ．－513[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝512，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝513，∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513．4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] 原式＝(1＋sin 2αcos 2α)·cos 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1．5．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( B ) A ．95 B ．65 C ．3D ．4[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， 又sin 2α＋sin αcos α＝sin 2α＋sin αcod αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α1＋tan 2α＝1210＝65． 6．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角． 二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝__60°__．[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°．8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝2． [解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52．又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52．三、解答题9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α．[证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．10．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α．[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝813．(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1＝49＋7＋349＋1＝5950．B 级 素养提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( C )A ．74B ．－916C ．－932D ．932[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－932．2．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( D )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α[解析] 原式＝－cos α21－cos 2α＋＋cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α．3．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417． 4．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( A )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－34[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225，∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43．二、填空题 5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则tan θ＝ －34或－512． [解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8．m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34； m ＝8时，sin θ＝513，cos ＝－1213，tan θ＝－512．6．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝ 11．[解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211． 7．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1． [解析] 由tan 2α＝2tan 2β＋1，可得tan 2β＝12(tan 2α－1)，即sin 2βcos 2β＝12(sin 2αcos 2α－1)，故有sin 2β1－sin 2β＝12(sin 2α1－sin 2α－1)＝12×2sin 2α－11－sin 2α，整理得sin 2β1－sin 2β＝sin 2α－121－sin 2α， 即sin 2β(1－sin 2α)＝(1－sin 2β)(sin 2α－12)，展开得12sin 2β＝sin 2α－12，即sin 2β＝2sin 2α－1．8．化简下列式子．(1)cos 6α＋sin 6α＋3sin 2αcos 2α； (2)若x 是第二象限角，化简sin x1－cos x·tan x －sin xtan x ＋sin x．[解析] (1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＋3sin 2α·cos 2α＝cos 4α＋2sin 2αcos 2α＋sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1．(2)原式＝sin x1－cos x·sin x －sin x cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin x1－cos x·1－cos x1＋cos x＝sin x1－cos x·＋cos x －cos x ＋cos x 2＝sin x 1－cos x ·|sin x |1＋cos x． ∵x 为第二象限角，∴sin x >0，∴原式＝sin 2x1－cos 2x＝1．C 级 能力拔高设A 是三角形的内角，且sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根． (1)求a 的值； (2)求tan A 的值．[解析] (1)∵sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根，∴由韦达定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝15a ，①sin A ·cos A ＝－1225a ，②将①两边分别平方得sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝125a 2，即1－2425a ＝a225，解得a ＝－25或a ＝1.当a ＝－25时，sin A ＋cos A＝－5不合题意，故a ＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝a5，sin A cos A ＝－1225a ，得sin A >0，cos A <0，∴sin A ＝45，cos A ＝－35.∴tan A＝sin A cos A ＝－43． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
数学教育专业《中学数学奥林匹克》课程教学大纲一、课程说明《中学数学奥林匹克》是数学教育专业的一门必修课。
任务是让学生了解数学奥林匹克历史、内容、特征、思想和方法；掌握数学奥林匹克解题方法与技巧。
考虑学生的实际水平和培养目标，本课程先介绍数学奥林匹克基本知识，然后分专题讲授数学奥林匹克基本解题方法与技巧。
二、课程教学目标思想教育目标：通过对中学数学奥林匹克的学习和研究，激发学生学习数学的兴趣，开阔视野，培养学生的创新精神，提高学生的数学素养、思维能力等。
同时我国中学生在IMO历史上辉煌成绩也会在学生的人格培养上发挥十分重要的作用。
知识教育目标：通过本课程学习，让学生了解数学奥林匹克的历史、内容、特征、思想和方法；掌握数学奥林匹克解题方法与技巧，开拓发展学生的思维能力与探究问题的能力，使他们走上工作岗位后，能胜任中小学数学课外辅导工作。
三、课时分配章节课内讲授课时第1章数学奥林匹克的原理一、数学奥林匹克的历史与现状二、数学奥林匹克的基本特征三、数学奥林匹克在数学教育中的地位和作用四、数学奥林匹克的命题研究3 3第2章奥林匹克的内容和方法 3 第3章华罗庚数学教育思想及治学原则 3第4章数学解题思想与原则（上）数学解题思想与原则（下）3 3第5章数学解题方法（上）数学解题方法（下）3 3第6章几何证明方法与几何变换一、对称变换二、平移变换三、旋转变换3 3 3第7章梅耐劳斯与塞瓦定理 3 第8章面积问题与面积方法 3课时可以根据每学期的具体周数作适当调整。
四、教学内容第一章数学奥林匹克的原理（一）教学目标及要求：知识要求：[了解]：数学奥林匹克的原理与方法[掌握]：数学奥林匹克的基本特征及命题原则。
（二）教学内容：一、数学奥林匹克的历史与现状。
二、数学奥林匹克的基本特征。
三、数学奥林匹克在数学教育中的地位和作用。
四、数学奥林匹克的命题研究。
（三）教学方法：讲授法、讨论法。
第二章奥林匹克的内容和方法（一）教学目标及要求：知识要求：[了解]：数学奥林匹克的内容[掌握]：奥林匹克的方法（二）教学内容：1、多项式问题：基本内容、方法评析。
高中数学奥数教程教案
课程名称：高中数学奥数教程
教学目标：
1.了解奥林匹克数学的基本概念和解题方法；
2.培养学生的数学思维能力和解题技巧；
3.激发学生对数学的兴趣和学习动力。
教学内容：
1.奥数基础知识：数学基本概念、数学定理和公式；
2.奥数解题技巧：数学逻辑推理、数学证明方法；
3.奥数经典题型：数列、概率、几何等常见题型。
教学步骤：
第一步：导入
引导学生了解奥数的重要性和意义，激发学生对数学的兴趣。
第二步：讲解基础知识
介绍奥数的基础知识，包括数学基本概念、数学定理和公式等内容。
第三步：解题技巧讲解
讲解奥数解题的基本技巧，包括数学逻辑推理、数学证明方法等。
第四步：练习奥数经典题型
布置奥数经典题型的练习题，让学生通过实际操作提升解题能力。
第五步：总结
总结本节课的重点内容，强调学生在日常学习中要多练习奥数题目，提高数学水平。
教学评价：
通过上述教学内容和步骤的设计，学生将能够加深对奥数的理解，提高解题技巧，培养数学思维能力，从而进一步提高数学成绩。
同时，鼓励学生在奥数学习中发现乐趣，不断挑战自我，激发学习兴趣和探索精神。
高中数学奥林匹克基础教程江苏沛县孙统权前言2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。
编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。
夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。
教程共8讲，每讲4学时，共32学时。
指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。
对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。
在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。
本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。
同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。
在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。
本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。
将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。
虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。
本版版本号1.2。
编者电子信箱：suntrain@。
第一讲赛题选例一、课堂讨论：1证明：任何四面体上都存在一个顶点，可以用由它发出的三条棱组成三角形。
2用不在形内相交的对角线将正奇数边形划分为一系列三角形。
证明：其中有且只有一个锐角三角形。
3证明：可以找到4个绝对值大于10000的整数a,b,c,d，使11111+++=。
a b c d abcd4能否用两个边长小于1的正三角形盖住一个边长等于1的正三角形？5能否用两个半径小于1的圆盖住一个半径等于1的圆？6a>0，为了能盖住一个边长为4a的正方形，最多需要几个半径为3a的圆？7数学老师让课代表走出教室，接着让学生随意在黑板上写上十几个数字，然后老师擦去一个数字，让课代表进来。
结果发现课代表居然能准确地猜出被擦去的数字，且屡试不爽。
请问这里面可能有什么秘诀？二、课后思考：1对于整数n>3，我们用n?表示所有小于n的素数的乘积。
解方程：n?=2n+16 2在黑板上写有100个分数，它们的分子刚好为整数1-100各出现一次，分母也是这样。
这100个分数之和可化为分母为2的最简分数。
求证：可以交换某两个分数的分子，使这100个分数之和可化为分母为奇数的最简分数。
310个人聚会，每个人在其余与会者中都至少有5个熟人。
证明：可以从他们中叫出4个人围成一圈，使每两个邻座都是熟人。
4平面上有25个给定点，其中任何3点中都有两个点的距离不大于1。
证明：可以用1个单位圆至少盖住其中13个点。
5在凸20边形的每个定点上都写有两个不同的数。
证明：可以从每个顶点上划去一个数，使得任意两个相邻顶点上剩下的数都互不相同。
6 将边长为n的正三角形的每边n等分，过每个分点分别作另两边的平行线。
得到若干个单位正三角形。
设f(n)是从最上面的单位正三角形到最下面一行中间的单位正三角形的通路的数目，求f(2005)的值。
（05年加拿大奥林匹克）（通路是指可以从一个单位正三角形走向另一个与其有公共边，且与其在同一行或在其所在行的下一行。
同时，每个单位正三角形不能经过2次或2次以上。
如图是n=5的一条通路的例子。
）一、上一讲思考题讨论二、组合问题讨论：●在数学竞赛中，组合题泛指非常规数学问题。
这类题目往往只是涉及常识性知识，然而相当灵活。
1 已知平面上10个圆，任意两个都相交。
是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论。
2 在一张矩形纸上画有一个圆。
米老鼠在其中选了一个点，让唐老鸭猜。
唐老鸭在纸上每指出一个点，米老鼠就告诉他是否猜中，如果没有，就告诉他离被猜点有多大距离。
唐老鸭带着刻度尺和圆规。
问：他至少要猜几次，才能一定猜出米老鼠所选的点？怎样猜？3教室里有n排椅子，每排n张，每张椅子上坐一个学生。
现在有求按以下规则调换座位：(1)每个学生必须换到新的座位上；(2)每个学生只能换到相邻（前、后、左、右）的座位上（允许两个学生互换座位）。
证明：n为偶数时，可以完成座位调换，但n为奇数时不可以。
（06年海湾）48个人围着桌子坐成一圈，有多少种握手方法，使得4对握手的人胳膊不交叉？（据01年英国试题简化）5现有长为150cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值。
（02年江苏初中）三、课后思考：1在正n边形的每个定点上各停有一只喜鹊。
偶受惊吓，众喜鹊都飞去。
一段时间后，它们又都飞回这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点。
求所有的正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形。
（01年中国）2T称为淘气子集：若对于任意的u、v∈T(u,v不必不同)，u+v∉T。
求证：{1,2,3,…，2006}的任意一个淘气子集至少有1003个元素。
（06年越南）3 高一（1）班语文、数学、英语三门课测试，成绩优秀的分别有15、12、9名，并且这三门课中，至少有一门课优秀的共有22名。
那么，三门课全是优秀的最多有多少名？最少有多少名？（00年江苏初中）4把7个两两不同的球分给两个人，使每人至少分得两个球，则不同的分法共有多少种？（01年五羊杯初中）5N为自然数，且61<+<+,那么N的值是多少？（02年希望杯初N N中）613名小运动员，他们着装的运动服号码分别是1-13号。
问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5？如果能，试举一例。
如果不能，请说明理由。
（03年北京初中）一、上一讲思考题讨论二、组合几何问题讨论：● 凸多边形：如果多边形位于它任何一条边所在直线的同侧，则称其为凸多边形。
● 凸包：给定平面上若干个点，用一根松紧性很强的线圈住它们，当线绷紧时，所形成的凸多边形就可以视作这些点的凸包。
1 给定平面上n 个点，无三点共线。
证明：在这n 个点中可以挑出三个点，使得从其中一个点引出的到其他两个点的射线之间的夹角不超过nπ。
2 平面上给出22个点，其中无三点共线。
证明：可以将这些点配成11对，使每对点连成的线段之间至少有五个交点。
3 证明：存在一个三角形，可以被分割成1989个全等的三角形。
（提示：题目中，若将1989改成13，原理相同。
）4 已知格点图形面积=+ ,,S aN bN c a b c R +∈边内格，，试确定a,b,c 的值并通过多种格点图形验证之。
三、课后思考：1 平面上给出2n+3个点，其中任意三点不共线，任意四点不共圆。
证明：从这些点中能够选取三个点，使得剩余的点中有n 个位于过这三点的圆的内部，而另n 个点位于这个圆的外部。
2 在平面上给出有限个点，证明：在它们之中可以选出这样的点，使得与它最近的已知点：（1）不超过6个；（2）不超过3个。
3 证明：任意三角形可以（用直线）分解成三部分，使得由它们能拼成一个长方形。
4 平面上任给n 个不同的点（n ≧2）,确定并证明：以这些点为端点的线段，至少有多少个不同的中点。
5 证明：整点三角形不能是正三角形。
一、上一讲思考题讨论二、极端原理问题讨论：1平面上有n个点，任意三个点构成面积不超过1的三角形。
证明：存在面积不超过4的三角形覆盖这n个点。
2平面上有n个点不共线。
证明：存在三个点A、B、C使得其余n-3个点都在△ABC外面（至少有5种方法）。
3有n(n≧3)个排球队参加单循环赛（排球赛的每场都要分出胜负），比赛结束后，发现没有一个队全胜。
求证：必存在三个队A,B,C，使A胜B,B胜C，C 又胜A。
4平面上有n个红点与n个蓝点，任意三点都不共线。
求证：可以用n条线段连接这2n个点，每条线段连接一个红点和一个蓝点，且这n条线段没有公共点。
三、课后思考：1在边长为一的正方形四边上各任取一点，连成一个四边形。
证明：这一四边。
2证明：在任意的凸五边形中能找到三条对角线，用他们可以构成一个三角形。
3平面上一个有限点集，其中任何三点都是直角三角形的顶点。
试确定这个点集最多可包含多少个点。
4平面上100个点，任意两点之间的距离≦1，任意三点为一个钝角三角形的顶点。
证明：可作一个直径为1的圆，盖住这100个已知点。
5在某个星系的每一个星球上，都有一位天文学家在观测最近的星球。
若每两个星球间的距离都不相等，证明：当星球的个数为奇数时，一定有一个星球没有被观测。
一、抽屉原理基本题讨论：1在边长为1的正三角形中，任意放置5个点，则必有两点之间的距离不超过0.5。
2在3行9列共27个小方格一一涂上红色或蓝色。
证明无论如何涂法，其中至少有两列涂色方法相同。
二、上一讲思考题讨论三、抽屉原理问题讨论：1在坐标平面上，任取5个格点，其中一定存在两个格点，它们的中点仍是格点。
2有99个人参加了一次聚会，聚会正式开始前他们之间相互握手问候。
统计发现他们每个人都恰好和66个人握过手。
证明：可能出现这种情况，在任何四人中都一定存在两个人没有握过手。
3有6个点，任意3点不共线，证明：若将其中任意两点间的连线染成红色或蓝色之一，则必存在一个三边颜色相同的三角形。
4在边长为1的正方形内部，放置若干个圆，这些圆的周长之和等于10。
证明：可作一条直线，至少和其中四个圆有交点。
5在边长为1的正方形内部有一条长度为1000的不自身相交的折线。
证明：存在一条直线，它垂直于正方形的某一条边，并且与折线至少有500个交点。
四、课后思考：1如图，编号为1到8的两组滚珠均匀放在内外两个圆环上，开始时每两个相对滚珠号码均不相同。
证明：当两个圆环按照相反方向转动时，必有一时刻，内外两环中至少有两对同号码滚珠相对。
2作一个圆的任意2003条直径，在它们和圆的4006个交点上任意填写不大于1001的正整数（可以重复填写）。
证明：一定可以找到两条直径，它们两端的两个数字的和相等。
3把1到10的自然数摆成一个圆周。
证明：一定存在三个相邻的数，它们的和数不小于18。
4把1到10的自然数摆成一个圆周。
证明：一定存在三个相邻的数，它们的和数不小于17。
5在3×4。
6在边长为1的正方形内任取51个点。
证明：它们中有三个点能被半径为17的圆覆盖。
