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第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。
第七节 极端法与递推法一、 方法介绍所谓极端法，就是依据题目所给的具体备件，把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而得出正确判断或导出一般结论的方法。
通常情况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程复杂，很难直接把握其变化规律进而对其做出准确的判断．但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论．像这样将问题从一般状态推到特殊状态进行分析处理的解题方法就是极端法．用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采用什么方法处理．具体来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态出发，回过头来再去分析待分析问题的变化规律．其实质是将物理过程的变化推到极端，使其变化关系变得明显，以实现对问题的快速判断．通常可采用极端值、极端过程、特殊值、临界值、函数求极值等方法．递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法，即当问题中涉及相互联系的物体或过程较多，相互作用或过程具有一定的重复性并且有规律时，应根据题目特点应用归纳的数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。
具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。
用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。
二、极端法的典型应用1、物理分析法解极值问题 (1)利用临界条件求极值临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。
即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
第十一讲 极端原理 考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式。在具体解题过程中，常用到的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等。 运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决。
A类例题 例1在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )
(A) 2,nn (B) 1,nn
(C) 0,2 (D) 21,nnnn(1994 年全国高中联赛题) 分析 利用图形的极端位置解题。 解 当正n棱锥的顶点S向下无限趋近底面正n边形中心时, 所求值趋于π；当S向上运动, 趋向无穷远时, 正n棱锥趋于正n棱柱,所求值趋于正n边形的一个内角(即2nn),故选A.
例2有201人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999
分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。 分析 考虑无三人得分相同时的得分取值情况。 解 无三人得分相同的最低分值为：2³(0+1+„99)+100=10000。 无三人得分相同的最高分值为：2³(1+2+„100)+ 0=10100。 即无三人得分相同时的得分取值情况为10000，10001，„，10100。所以（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。 说明 从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得0，1，„，99分各2人，得100分1人；无三人得分相同的最高分值是得1，2，„，100分各2人，得0分1人。
情景再现
1．已知长方形的4 个顶点A(0 ,0) ,B(2 ,0) ,C(2 ,1) 和D(0 , 1),一质点从AB 的中点P0 沿与AB夹角为θ的方向入射到BC上的点P1后依次反射到CD 、DA和AB上的点是P2 、P3和P4 (入射角等于反射角). 设P4的坐标为(x4 ,0),若1
(A) 1,13 (B) 12,33
(C) 21,52 (D) 22,53 (2003年全国高考题) 2．已知A(2 , 3) ,B ( -3 , -2), 若直线l过点P(1 , 1), 且与线段AB相交, 则直线l的斜率k的取值范围为( ) (A) k≥34. (B) 34≤k≤2. (C) k≥2 或k≤34 (D) k≤2. B类例题 例3已知对任意正自然数n,不等式nlga< (n +1) lgaa ( a >0)恒成立, 求实数a的取值范
围. 分析 用分离变量的方法处理恒成立的问题，即a>f(x)对任意x恒成立等价于a>max｛f(x)｝. 解 当lg a >0 ,即a >1 时, 则不等式1nan对任意正自然数n 恒成立, 因为当n 无限增大时,n 无限接近于1 ,且1nn<1 , 所以a >1 ; 当lg a <0 ,即0< a <1 时,要使1nan对任意正自然数n 恒成立,因为1nn的最小值为12，所以a < 12,即0< a <12 .
故所求实数a 的取值范围是0< a <12 或a >1. 说明 本题考虑了1nn取值中的极端情形，而极值的取得充分利用了函数f(n)= 1nn单调递增的性质。 例4 已知二次函数y = ax2+ bx + c( a >0) 的图象经过M( 1-, 0),N
( 1+ , 0) , P (0 , k) 三点, 若∠MPN是钝角, 求a的取值范围. 分析 若利用余弦定理, 并由-1杂的不等式. 我们从钝角的极端情形直角着手。 解 当∠M PN 为直角时, 则点P 在以MN 为直径的圆周⊙O1 上, 于是P是该圆与y轴的交点, 如图, 由勾股定理不难得k =±1 , ∴当∠M PN为钝角时, 点P在⊙O1内, 由a >0 知: 点P 应在y 轴的负半轴上. 把P (0 , k) 的坐标代入y = a( x -1+ )( x -1 -) 得a =-k, 因此,0< a <1. 说明 根据平面几何的知识∠MPN是钝角意味着P点在以MN为直径的圆内。 例5黑板上写着从1开始的n个连续正整数,擦去其中一个数后,其余各数的平均值是
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17,求擦去的数.
分析 此题的常规方法是转变为列出并处理一个不定方程的问题, 但运算复杂,而从其极端情形考虑, 很快获解, 运算简洁、解法扼要. 解 考虑擦去数的极端情形, 显然擦去1 与n 是其极端情形,若擦去的数是1 , 则得
平均值为(1)12212nnnn；若擦去的数是n, 则平均值为(1)212nnnnn,根据极端状态下的平均值与已知平均值的联系,显然有2n≤73517≤22n, 从而69≤n≤70 ,即68≤n -1 ≤69. 而n -1 个整数的平均数是73517, 所以n -1 是17 的倍数,故n -1=68 ,即n = 69. 最
后,设擦去的数为x, 则12697356817x. ∴x =7 ,即擦去的数是7. 说明 本题用到等差数列前n项的和 1+2+3+„+n=(1)2nn。 例6若干只箱子的总重量为10吨，每一只箱子重量不超过1吨，问为了把这些箱子用
载重3吨的卡车运走。 （1）证明：有一个办法至多分5次就可以把这此批货物全部运完； （2）至少需要多少次一定可以把货物全部运完。 分析 把这此批货物全部运完需构造装货最多的极端情形，4次不一定能运完需构造“最不利”的极端情形。 解 （1）先往车上尽量装货，一直装到不超过3吨，但再加上一箱便超过3吨为止，照此办理5次至少运输5³2＝10吨，得证；
（2）可知3次至多运输3³3＝9吨，考察4次的情况，设每次装x吨，则由31033xx，
得73x。取2.3x，每箱重2.33吨，即12只箱子2.33吨，一只箱子重0.8吨，则4次不一定能运完。而由（1）5次一定可以把这此批货物全部运完，所以至少5次一定可以把货物全部运完。 说明 请注意“最不利”的极端情形的构造方式，当然方式不唯一。
情景再现
3．已知函数f( x)=14(x +1)2.若存在t∈R,只要x∈[ 1 , m](m >1),就有f(x+t)≤x, 则m的最大值是( ) (A)8. (B) 9. (C)10. (D)11. 4．现有20 张扑克牌,分别是4 张10 , 4 张9 ,4 张8 ,4 张7 ,4 张6. 为了确保摸出4 对同数字扑克牌,则至少要摸出多少张?
C类例题 例7 给定平面上不全在一直线上的有限个点，试证：必有一条直线只经过其中的两点．
分析 该命题是英国著名数学家西勒维斯特（Sylvester，1814-1897）提出的，故称之为西勒维斯特问题．这个问题也可以叙述为： 设是平面上的有限点集，若过中任意两点的直线上还存在有的点，则集合中的所有点共线． 西勒维斯特问题初看起来结论似乎比较“显然”，应该不难证明．但实际上这个问题提出近50年的时间内无人解决． 解 设所有的点（有限）构成集合，点P，集合表示由至少过A中两点的全体
直线构成的集合，l．,dPl表示点P到直线l的正距离（l不通过点P），表示所有
,dPl的集合．
因为中的点不全在一直线上，所以非空，又是有限集，所以也是有限集，于是中有一个最小元素，设为0,dPm．下面证明：直线m只经过中的两点．
假定m经过中的至少三个点，例如经过1P，2P，3P．设0P点在直线m上的垂足为Q，那么Q点的一侧必有两个点（其中一个点可能和Q重合），设为2P，3P，且32QPQP．另直线n为经过0P、3P的直线，显然20,,dPndPm．这与0,dPm的最小性矛盾，从而m只能经过两个点． 说明 与西勒维斯特问题相应，有一个对偶的命题：在平面上给定n条两两互不平行的直线，若对于它们中任何2条直线的交点，都有这n条直线中的另一条过这点．则这n条直线共点． 例8设有2n³2n的正方形方格棋盘，在其中任意的3n个方格中各放一个棋子，求证：
可以选出n行n列，使得3n枚棋子都在这n行n列中。 分析 考虑尽可能选取棋子数目较多的n行。
解 在各行棋子中，一定有一行棋子最多，设有1p枚棋子。 从剩下的12n行中找一
行棋子最多的，设有2p枚，„，找n行，共有nppp21枚棋子，则所选n行至少有n2枚棋子。否则，若nppp21≤12n，则nnnppp221≥1n。∴
1p，2p，„，np中必有一个不大于1，1np，2np，„，np2中必有一个大于1，与1p≥
2p≥„≥np2矛盾。∴剩下的n枚棋子从n列中选即可。 说明 本题是极端原理在操作策略上解题的一个应用。 情景再现
5．已知：在△ABC中，∠A＞90°，AD是BC边上的高，求证：AB＋AC＜AD＋BC。 6．已知有10张圆纸片，它们盖住的平面图形的面积为1。证明：可以从中选出若干张
互不重叠的圆纸片，使得它们的面积之和不小于91。
习题 A 1．把16个互不相等的数排成下表： 11a 12a 13a 14a
21a 22a 23a 24a 31a 32a 33a 34a
41a 42a 43a 44a
