数学竞赛之组合数学选讲

奥数数字排列组合解题技巧在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，数字排列组合是一个常见的考查点，涉及到的技巧和方法有很多。

以下是一些常见的解题技巧：1. 全排列与重复排列：-全排列：n个元素的全排列有n!种情况，其中n!表示n的阶乘。

-重复排列：有重复元素时，全排列的总数要除以重复元素的阶乘。

2. 循环置换：-对于n个元素的排列，可以通过循环置换的方式进行计算。

循环置换的计算可以借助循环节的长度和总元素个数。

3. 组合公式：-对于从n个元素中选取m个元素的组合数，使用二项式系数的组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)4. 二项式定理：-利用二项式定理展开多项式，特别是在计算特殊值时，如计算(x+y)^n的展开式。

5. 递推关系：-有时候可以通过递推关系，找到某一项与前面项之间的关系，从而简化计算。

6. 逆向思维：-有时候可以从目标结果出发，逆向思考，找到排列组合的解。

7. 利用对称性：-利用对称性质，减少计算量。

例如，当问题中存在对称性时，可以利用对称性简化问题。

8. 鸽巢原理：-当分配的对象多于容器的个数时，至少有一个容器中含有两个或两个以上的对象。

这个原理在一些排列组合问题中经常被使用。

9. 图论中的排列组合：-在一些图论问题中，可以利用排列组合的知识，特别是在解决路径计数等问题时。

10. 二叉树与组合数学的关系：-一些问题可以通过构建二叉树的方式来求解，从而转化为组合数学的问题。

总的来说，对于奥数中的数字排列组合问题，关键是灵活运用数学知识，善于发现问题中的规律，并通过巧妙的思考和计算得到正确的结果。

组合数学竞赛试题及答案1. 排列问题给定一个包含n个不同元素的集合，求这个集合的所有排列的数量。

2. 组合问题从n个不同元素的集合中选取k个元素（k≤n），求所有可能的组合数量。

3. 二项式系数计算二项式系数C(n, k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数。

4. 鸽巢原理如果有m个鸽巢和n个鸽子（n > m），至少有一个鸽巢至少有几只鸽子？5. 包含与排除原理在一个有30个元素的集合中，有A和B两个子集，A有15个元素，B有20个元素。

求同时属于A和B的元素数量。

6. 组合恒等式证明：\( \sum_{k=0}^{n} C(n, k) = 2^n \)。

7. 组合优化问题给定一个由n个元素组成的集合，要求找到一个子集，使得子集中任意两个元素的和都不是2的倍数，求这个子集的最大可能大小。

8. 组合图论问题在一个无向图中，有n个顶点和m条边。

如果图中的每个顶点至少有一个邻接点，求证图是连通的。

9. 组合几何问题在一个平面上，有n个点，没有任何三个点共线。

求这些点可以形成多少条直线段。

10. 组合设计问题给定一个有限集合，设计一个方案，使得对于任意两个不同的元素，它们要么完全相同，要么互不相交。

答案1. 排列的数量是n!（n的阶乘）。

2. 组合的数量是C(n, k) = n! / [k! * (n - k)!]。

3. 二项式系数C(n, k)可以通过组合公式计算。

4. 根据鸽巢原理，至少有一个鸽巢有 \( \lceil \frac{n}{m}\rceil \) 只鸽子，其中 \( \lceil x \rceil \) 表示向上取整。

5. 同时属于A和B的元素数量可以通过公式|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B| 来计算。

6. 组合恒等式可以通过二项式定理证明。

7. 这个问题可以通过构造性地选择元素来解决，最大可能大小是\( \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \)。

第七讲创新题选讲一、基础知识在中考或大型竞赛考试中，总是有一些题目类型新颖，在平时的解题训练中很难看到；因此我们这一讲主要针对初一知识点中可能出现的新题目，新类型做一个讲解。

所谓创新题，绝不是凭空捏造出来的题目。

一般来说，它都是由我们平时在课堂所学的基础知识拓展而来。

因此，我们应该明确两点：1是题目虽然很新，但因为扎根于基础知识，题目难度没有想象的那么高；2是要想解好这类题目，扎实的基本功是解题中最重要一环，所以解题时，要围绕基本知识点思考，适当拓宽思维。

主要的题型有：✓新运算、新定义✓极值问题✓不定方程✓不等式解应用题✓比例面积二、例题第一部分新运算、新定义1．（★★★第十四届希望杯）规定：正整数的“H运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果是11，经过3次“H运算”的结果是46．请解答：(1)数257经过257次“H运算”得到的结果．(2)若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值．2．（★★★第三届希望杯）一个自然数，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．3．（★★★第一届希望杯）对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by-cxy 其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x(m≠0)，则m的数值是．4．（★★第九届希望杯）对于不小于3的自然数72．规定如下一种操作：表示不是n的约数的最小自然数，等等，则(式中的×表示乘法)第二部分极值问题5．（★★★第十三届希望杯）计算机中的最小存储单位是“位”，位有0与1两个状态．一个字节由8个“位”构成．利用固定位数的存储空间每位不同的状态可以记忆数字．如果用两个字节共16位记忆不小于0且不大于N的整数，那么N最大可以是_______．现在用两个字节记忆不小于m且不大于M的整数，如果M+m=-1，m<M，那么m最小可以是．6．（★★★第十二届希望杯）已知a<0，且的最小值是______。

A版选修2-3重难点易错点解析题一：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出3人参加A活动；(2)选出5人参加B活动；(3)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；(4)选出4人参加一项活动，女生甲不能参加.题二：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中有且只有1名女生，则选派方案共有多少种？金题精讲题一：若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种 C．65种 D．66种题二：5个男生3个女生，满足下列条件，有多少种方法？选3人参加数学竞赛，至少有一名男生.同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方案？题四：(1)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),则四位“渐升数”共有多少个？(2)5个男生3个女生排成一排，自左至右，男、女生分别都从高到矮排(任意两人身高不同)，有多少种不同排法？组合讲义参考答案重难点易错点解析题一：(1) 56 (2) 56 (3) 35 (4) 35 题二：108金题精讲题一：D 题二：55 题三：110 题四：(1) 150 (2) 56 (3) 1260中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。