第五节塑性成形时应力应变关系-2013年编辑

2 加载条件
单轴情况
f 0, 且 f 0, 且 f 0, 且
多轴情况
f d ij 0时，加载 ij f d ij 0时，中性变载 ij f d《0时，卸载 ij ij
对理想塑性材料，则为
f f 0, and d ij 0 ij f f 0, and d ij 0 ij
5 塑性应力应变关系的推导
有
0
p ii
（塑性体积应变为零）
令
f f n / σ σ
（屈服面外法向单位向量）
f f f f f : σ σ σ ij ij
n :n 1
f d nij σ
p ij
（流动法则）
作为塑性变形的度量，引进等效塑性变形及其增量
加载或中性变载
卸载
f<0 and f>0是什么？
3 强化模型
各向同性强化：假设屈服面均匀膨胀，没有崎 变和移动，此时屈服面可表达为
f ( ij , k ) f ( ij ) k ( ) 0
强化模型实际上表示后继屈服面的变化规律， 即如何随硬化参数而变。强化参数可以取累积 塑性变形。
e d ij
1 1 d ij dsij d kk ij dsij 2G 9K 对刚塑性材料，不计弹性部分，为 d ij dsij 此为Levy Mises方程
d的确定 理想塑性
对理想塑性J 2材料，有 2 2 2 sij sij e2 y (1) 3 3 两边求导，有 2 sij dsij 0 (2) 偏应变增量可写为 1 dsij dsij (3) 2G 上式两边同乘以sij并求和有 deij sij deij 1 sij dsij dsij sij dsij sij 2G ( 4)

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3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
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上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
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另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
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5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
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一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s

塑性应变增量偏量与应力偏张量主轴重合，即塑性应变 增量与应力主轴重合。
应变增量与应力偏张量成正比。
e
0 .5 为泊松比
x y z 0 1 2 0 0.5
p p p
体积不变
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虚线为理想塑性材料
塑性应力应变为不一一对应
σs
理想塑性材料应力应变非单值性
同一σs可对应不同的应变值 ε1、ε2
同一σe 可对应不同的应变 值 εe 、εf′
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为什么塑性变形与加载路径和加载历史有关？




广义虎克定律


E —弹性模量; ν—泊松比;
G—剪切弹性模量.
三个弹性常数E、ν、G之间有以下关系：
G E 2(1 )
9
弹性变形中包含了体积和形状变化
金 属 塑 性 成 形 原 理
三式相加：
x y z
1 2 ( x y z ) E
1 2 m m E
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1924年汉基(Henky)又采用米塞斯屈服准则提出另一理 论，对于解决塑性微小变形问题很方便。 1920年路易斯(Reuss)依照普朗特(Pandtl)观点，考虑 了弹性应变分量，把普朗特所得二阶方程式推广到三阶 表达式，使列维—米塞斯理论完善化。
1937年那达依 (Nadai)考虑了材料的加工硬化，建立了大 变形情况下的应力应变关系。 1943年依留申(Илъюшин)的“微小弹塑性变形理论”相 继问世，由于计算更方便得到欢迎。
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把它推广到一般应力状态下的各向同性材料，便称为 广义虎克定律。
yz 1 x x ( y z ) ; yz E 2G xz 1 y y ( z x ) ; xz E 2G xz 1 z z ( y x ) ; yx E 2G

d 1 p : d 2 p : d 3 p d 2 : d 1 : d 1 d 2 ( 1 ) : : 1
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p