新人教A版高中数学必修四 《平面向量的实际背景及基本概念》课件

A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(4).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
能判定向量a与b平行的是①__③__④_.
2019/10/6
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
* 数学中我们把年龄，身高，长度，面积， 体积，质量等叫数量；
*把位移，力，速度，加速度等叫向量。 数量只有大小，没有方向； 向量有大小，也有方向。
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一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量.
二.向量的表示
向量通常用有向线段（带有方向的线段）来表示;
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
A(起点） B（终点）
a
以A为起点，B为终点的向量表示为：A B
注意：用a,b,c……表示向量时，
印刷用黑体a，书写用 a
2019/10/6
或a
（ ×）
（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；（√ ）
（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向
量；
（√）
（4）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（×）
2.已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量
A D 的模 A D 。
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2
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向量的相反向量
长度相等
A
的有15个
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根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1）AD=BC ； （2）AB=DC且 AB = AD

此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行
和共线相混淆.
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思考2 如果非零向量 A→B与C→D 是共线向量，那么点A、B、C、D 是否一定共线？ 答 点A、B、C、D不一定共线.
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思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之， 若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备 传递性吗？ 答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与 b相等，则向量a与b平行(或共线). 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c， 这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有 a∥b，b∥c⇒a∥c.
不正确；
C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向
无关，所以C不正确；
D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.
答案 D
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2.如图，在四边形ABCD中，若 A→B＝D→C，则图中相等的
向量是( D )
A.A→D与C→B
B.O→B与O→D
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跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个
小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； 解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a
平行，且长度相等(作图略). (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ 5，并说出向量c的
终点的轨迹是什么？
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a、b、c 是一组平行向量，任作一条与 a 所在直线平行的直线 l，在

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人教A版 · 必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4 第二章 平面向量
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课堂典例讲练
第二章 2.1
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思路方法技巧
第二章 2.1
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∴AC=2 000.又 ∠ACD=45° ,CD=1
000 2,
∴△ADC 为等腰直角三角形 . ∴AD=1 000 2,∠CAD=45° .
故向量 ������������ 的模为1 000 2 km,方向为东南方向 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 下列语句: ①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ③两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :以 A 为原点 ,正东方向为 x 轴正方向 ,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系 . 根据题设 ,点 B 在第一象限 ,点 C 在 x 轴 正半轴上 ,点 D 在第四象限 ,向量 ������������ , ������������ , ������������ 如图所示. 由已知可得 ,△ABC 为正三角形,
反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再 确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 已知飞机从 A 地按北偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 B 地 ,再从 B 地按南偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 C 地 , 最后从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达������地 . 画图表示向量 ������������ , ������������ , ������������ , 并指出向量 ������������ 的模和方向.
【例 3】 一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 千米到达点 B, 然后又改变方向向西偏北 50° 行驶了 200 千米到达点 C,最后又改变 方向,向东行驶了 100 千米到达点 D. (1)作出向量������������ , ������������ , ������������ ; (2)求|������������|. 分析:先根据行驶方向和距离作出向量,再求解 .

精选ppt
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（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a 与 b 相等，记作a b.
C
D
A
BC
D A
B
注意： （1）两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别.
（2）零向量与零向量相等；
（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动
的.因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并
-1 0 1 2 3
一个实数，可用数轴上的点表示； 一个二次函数，可用一条抛物线表示； 一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线(有向线段) 表示… 数学中有许多量都可以用几何方式表示.
精选ppt
5
B（终点）
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序， 假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有
方向，具有方向的线段叫做有向线段.
精选ppt
6
（2）向量的几何表示 ——用有向线段表示.
画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度） 画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示 向量的方向.
B
a
A
（3）向量的表示方法：
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 AB,CD,
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体
且与有向线段的起点的选取无关；
精选ppt
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向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素； 只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同， 尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
即向量和有向线段是两个不同的概念.由于有向线段具有 长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但 不能说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系.

课本: 习题2.1 A组1, 5, 6 基础训练:2.1
选做:
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为过O点且
平行于AB的线段.
D
C
1.写出图中的各组共线向量;
E
2.写出图中的各组相等向量;
O
F
3.写出图中的各组同向向量.
A
B
2.1平面向量的实际背景及 基本概念
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和,向量的 几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量 和共线向量通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中 的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能 力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.[来
（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必
相同.
错
（5）若a 与 b 平行同向,且 a ＞ b ，则 a ＞ b .错
（6）由于0 方向不确定，故0 不能与任意向量平行. 错 a = b ，则它们的方向相同. 错
4.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东
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向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的，如物理学中的位 移、力、速度等概念，其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号， 教学时依然可以用位移、力等物理量为背景，理解上并不困难.因此本课从 “猫能否追到老鼠”和美伊战争导弹成否击中目标引出物理学中的矢量.
北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走
了5米到达D点. （1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
D
C
北
1m
西

思考6：如果表示向量的有向线段没有标
注起点和终点字母，向量也可以用黑体
字母a，b，c，…，或 a,b,c,
表示，如图. 此时向量的模怎样表示？
a
思考7：向量的模可以为0吗？可以为1吗？ 可以为负数吗？
思考8：模为0的向量叫做零向量，记作
0 ；模为1个单位的向量叫做单位向量.
怎样理解零向量的方向？怎样理解向
量
|
a a
|
？
理论迁移
例1 已知飞机从A地按北偏东30°方
向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏
东30°方向飞行2000km到达C地，再从C
地按西南方向飞行1000 2 km到达D地.
（1）画图表示向量 A B , B C , C D ；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应
的向量的模和方向.
个基本要素所确定？Leabharlann B（终点）A（起点）
起点、长度、方向
思考4：用有向线段 A B 表示向量，向量 A B 的大小和方向是如何反映出来的？
思考5：有向线段 A B 的长度就是指线段 AB的长度，也称为向量 A B 的长度或模，
它表示向量 的A大B 小，记作| |，A 两B 个 不同的向量可以比较大小吗？
2.由于有向线段具有长度和方向双重 特征，所以向量可以用有向线段表示， 但向量不是有向线段，二者只是一种对 应关系.
3.零向量是一个特殊向量，其模为0， 方向是不确定的.引入零向量将为以后的 研究带来许多方便，但须注意： 0 .0
演讲完毕，谢谢观看！
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速度：物 体运动的 位移与所 用的时间 的比值
人教A版高中数学必修4课件：2.1.1平 面向量 的实际 背景及 基本概 念(共3 6张PPT )
Ｖ
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共同点：力，位移，速度，它 们都是有大小和方向的量
在物理学里，我们 将既有大小,又有方向的量称为矢量
如：| CD | | EF | , 但CD EF无意义
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两个特殊向量 1.零向量: 长度（模）为0的向量，记作 0 规定：0 方向是任意的。
用有向线 段表示力
什么是有向线段？
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有向线段：
在线段AB的两个端点中， B（终点）
规定一个顺序，假设A为
起点，B为终点，我们就
说线段AB具有方向。具 有方向的线段叫做有向
A（起点）
线段。
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
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三、向量的模及两个特殊向量
向量 AB的模 (或长度) 就是向量 AB 的大小 记作： | AB |
注：向量的模是可以比较大小的
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规律方法 要充分理解与向量有关的概念， 明白它们各自所表示 的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关 键．
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【变式 1】 下列说法正确的是(
)．
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A
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解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它 们方向的关系． (2)错误.0 的模|0| ＝0. (3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意 移动的． (4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， → 、CD → 必须在同一直线上． 并不要求两个向量AB 答案 (3)
不能漏掉“→”．
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2．共线向量 (1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相 同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中 “共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义． (2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不 等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到 了共线向量与相等向量的关系， 即共线向量不一定是相等向量， 而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行 向量．
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【变式 3】 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分 别是 AC、AB、BC 的中点． → (1)写出与EF共线的向量； → (2)写出与EF的模相等的向量； → 相等的向量． (3)写出与EF

B→F、F→B. (3)向量A→O与C→O是否相等？
解 向量A→O与C→O不相等，因为A→O与C→O的方向相反，所以
它们不相等.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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当堂检测
1.下列说法正确的是( ) A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为0 D.任意两个单位向量方向相同
＝D→N，A→M＝N→C，M→B＝D→N，M→B＝N→C，D→N＝N→C，同理与A→M
反向的也有 6 对.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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(3)模为 5的相等向量共有 4 对，A→N＝M→C，N→A＝C→M，M→D＝ B→N，D→M＝N→B.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是 否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于 共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
6
(3)相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量)：方向 相同或相反 的 非零向量叫做 平行向量，也叫共线向量. ①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与 任一向量 平行.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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跟踪演练3 如图所示，O为正方形ABCD对角
线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形. (1)写出与A→O相等的向量； 解 与A→O相等的向量为：O→C、B→F、E→D.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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(2)写出与A→O共线的向量； 解 与A→O共线的向量为：O→A、O→C、C→O、A→C、C→A、E→D、D→E、