向量的线性相关性思考题及解答-陈建彪

习 题 四A 组1．填空题(1) 设T=(2,3,7)x ，T=(4,0,2)y ，T=(1,0,2)z ，且2()3()-++=x a y a z ，则a = ．解 由2()3()-++=x a y a z 得1523618-⎛⎫⎪=--+=- ⎪ ⎪-⎝⎭a x y z ．(2) 单个向量α线性无关的充分必要条件是 ．解 ≠α0．(3) 已知向量组(1,0,1)=1α,(2,2,3)=2α，(1,3,t)=3α线性相关，则 ．解 因为12310110022322125013131t t t ===-=-ααα，所以52t =． (4) 设有向量组,12ββ，又112=-αββ，2212=+αββ，2312=5-αββ，则向量组,,123ααα线性 ．解 123,,ααα可由12,ββ线性表示，所以123,,ααα的秩小于等于2，从而可知123,,ααα线性相关．(5) 若向量组,,123ααα线性相关，则向量组12+αα，23+αα，31+αα线性 ．解 因为121232313110011101+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααααααα，又11001120101=≠，所以矩阵110011101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，从而1112223331110011101-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααααααα， 即123,,ααα与122331,,+++αααααα等价．故12+αα，2331,++αααα线性相关．(6) 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则 ． 解 12a =．(7) 设向量组()()()123,0,,,,0,0,,a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式 ．解 0abc ≠．(8)设三阶矩阵122212304-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A =，三维列向量()T ,1,1a =α．已知A α与α线性相关，则a = ．解 1a =-．2．选择题(1) n 维向量组12s ,,,a a a (3≤s ≤n )线性无关的充分必要条件是 ．(A)存在一组全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k +++=ααα0； (B)存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k +++≠ααα0；(C)12s ,,,a a a 中任意两个向量都线性无关；(D)12s ,,,a a a 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．答 （D ）．12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是：12,,,s ααα中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示．所以12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是：12,,,s ααα中任意一个向量都不能由其余1s -个向量线性表示．(2) 设有两个n 维向量组,,,s 12ααα、,,,s 12βββ，若存在两组不全为零的数12,,,s k k k ；12,,,s λλλ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-=0ααββ；则 ．(A) ,,s s 11++αβαβ，,,s s 11--αβαβ线性相关；(B) ,,,s 12ααα、,,,s 12βββ均线性无关； (C) ,,,s 12ααα、,,,s 12βββ均线性相关；(D),,s s 11++αβαβ，,,s s 11--αβαβ线性无关．答 （A ）．因为111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-=ααββ0， 111111()()()()s s s s s s k k λλ-++-+++++=αβαβαβαβ0，所以1111,,,,,s s s s --++αβαβαβαβ线性相关．(3) 设向量组12,,,m ααα和向量组,,,m 12βββ为两个n 维向量组(2m ≥)，且1,,,m mm m 12321312-=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ 则有 ．(A) 12,,,m ααα的秩小于,,,m 12βββ的秩； (B) 12,,,m ααα的秩大于,,,m 12βββ的秩； (C) 12,,,m ααα的秩等于,,,m 12βββ的秩；(D) 无法判定．答 （C ）．因为1122011101110m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαβαβ，又1011101(1)(1)0110m m -=--≠，所以有11122011101110m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βαβαβα， 即12,,,m ααα与12,,,m βββ等价，从而知12,,,m ααα与12,,,m βββ的秩相等．(4) 设有两个n 维向量组12,,,m ααα和,,,m 12βββ均线性无关，则向量组12,,,m m 12+++αβαβαβ ．(A) 线性相关； (B) 线性无关；(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C ）．例如，121211110,1;0,10000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，则12,αα和12,ββ都线性无关，但1122,++αβαβ线性相关．又如， 121211110,1;0,1,0000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，1122,++αβαβ也线性无关．(5) 设有向量组12,,,s A : ααα与,,,t B 12:βββ均线性无关，且向量组A 中的每个向量都不能由向量组B 线性表示，同时量组B 中的每个向量也不能由向量组A 线性表示，则向量组12,,,,,,s t ,12αααβββ的线性相关性为 ．(A) 线性相关； (B) 线性无关；(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C ）．例如，当121211000,1;0,1,0011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，且12,αα不能由12,ββ线性表示，12,ββ也不能由12,αα线性表示．但12,αα，12,ββ线性相关．又例如121211000100,;,,00010011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，且12,αα不能由12,ββ线性表示，12,ββ也不能由12,αα线性表示．但12,αα，12,ββ线性无关．(6) 设向量组I:12,,,r ααα可由向量组Ⅱ:12,,,s βββ线性表示，则 ．（A ）当r s <时，向量组II 必线性相关；（B ）当r s >时，向量组II 必线性相关； （C ）当r s <时，向量组I 必线性相关； （D ）当r s >时，向量组I 必线性相关． 答 （D ）． (7) 设12,,,s ααα均为n 维向量，下列结论不正确的是 ．(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有1122s s k k k +++≠0ααα，则12,,,sααα线性无关；(B) 若12,,,s ααα线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有1122s s k k k +++=0ααα；(C) 12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D) 12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．答 （B ）．(8) 设A ,B 为满足AB =O 的任意两个非零矩阵，则必有 ． (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关． 答 （A ）． 3．将b 表示为123,,a a a 的线性组合.(1)T 1(1,1,1)=-a ，T 2(1,2,1)=a ，T 3(0,0,1)=a ，T(1,0,2)=-b ； (2)T 1(1,2,3)=a ，T 2(1,0,4)=a ，T 3(1,3,1)=a ，T(3,1,11)=b ．解（1） 令112233x x x ++=a a a b ，即123110112001112x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为11012010111D ==≠-，所以由Cramer 法则，得 1232,1,1x x x ==-=，故1232=-+b a a a ．（2） 令112233x x x ++=a a a b ，即1231113203134111x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为11120330341D ==≠，所以由Cramer 法则，得123810,,33x x x ===．故12381033=++b a a a ．4．已知向量组12,,,r a a a 线性无关，且112=+b a a ，223=+b a a ，…，1r r =+b a a ．证明当r 为奇数时12,,,r b b b 线性无关；当r 为偶数时12,,,r b b b 线性相关．解 令1122r r x x x +++=b b b 0，得1122231()()()r r x x x ++++++=a a a a a a 0， 111221()()()r r r r x x x x x x -++++++=a a a 0．因为12,,,r a a a 线性无关，所以有11210,0,0r r r x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩．该方程组的系数行列D 为11000111000011002, 1(1)0, .0001000011r r D r +⎧==+-=⎨⎩为奇数为偶数；当r 为奇数时0≠D ，方程组只有零解，即12,,,r b b b 线性无关；当r 为偶数时0D =，方程组有非零解，即12,,,r b b b 线性相关．5．已知12,,,r a a a 线性无关，且11=b a ，212=+b a a ，…，12r r =+++b a a a ，证明12,,,r b b b 线性无关．证明 因为1122100110111r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b a ，100110111⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可逆，即 11122100110111r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a b a b ． 从而12,,,r a a a 与12,,,r b b b 等价，于是得12,,,r a a a 线性无关．6．设有两个n 维向量组12:(,,,)i i i in A a a a =a ，12:(,,,)n i ip ip ip B a a a =b ，其中1,2,,i m =，而12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的某个排列，证明向量组A 与向量组B 的线性相关性相同．证明 令1122m m x x x +++=a a a 0，即1112121121222211220,0,0m m m mn n mn m a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，上下交换方程，可得1112221122112211220,0,0n n n p p mp m p p mp m p p mp m a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩．即1122m m x x x +++=b b b 0．因为1122m m x x x +++=a a a 0与1122m m x x x +++=b b b 0同解，所以12,,,m a a a 与12,,,m b b b 的线性相关性相同．7．m 个r 维向量的每个向量添上n r -个分量，成为m 个n 维向量．若m 个r 维向量线性无关，证明m 个n 维向量亦线性无关． 证明 设有m 个r 维向量111211212,,,m m r r rm a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ，因为12,,,m a a a 线性无关，所以当1122m m x x x +++=a a a 0时，有且仅有120m x x x ====，即方程组111122111220,m m r r rm m a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩只有零解，从而方程组1111221112211220,0,0m m r r rm m n n nm n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩ 也只有零解．令11121112212,,,m r r m rm n n nm a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b b b则当1122m m x x x +++=b b b 0时，有120m x x x ====，所以12,,,m b b b 线性无关．8．判别下列向量组的线性相关性． (1) (1,1,0)，(0,1,1)，(3,0,0)；(2) (1,1,3)，(2,4,5)，(1,1,0)-，(2,2,6)； (3) (2,1)，(3,4)，(1,3)-；(4) (2,1,7,3)-，(1,4,11,2)-，(3,6,3,8)-； (5) (1,0,0,2)，(2,1,0,3)，(3,0,1,5)．解 （1） 因为 11011303=≠，所以（1，1，0），（0，1，1），（3，0，0）线性无关． （2） 4个3维向量一定线性相关． （3） 3个2维向量也一定线性相关． （4） 因为2131461460117113000328000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ， 所以()2R =A ，所以向量组的秩也等于2，故3个向量线性相关．（5） 因为在矩阵100221033015⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 中，有一个3阶子式10021010301=≠，所以3个向量线性无关．9．利用初等行变换，求下列矩阵的列向量组的最大无关组．（1）2531174375945313275945413425322048⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； （2）11221021512031311041⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭． 解（1） 因为123425311743253117437594531320123(,,,)7594541340135253220480135⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a a2531174325311743012301230012001200120000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以123,,a a a 或124,,a a a 是最大无关组．（2） 因为()123451122102151,,,,2031311041⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭a a a a a 11221021510011100000⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪⎝⎭， 所以123,,a a a 或124,,a a a 或125,,a a a 是最大无关组．10．求下列向量组的秩，并求一个最大无关组．（1）12319221004,,1102448-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ； （2）123141213,,154367⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ． 解（1） 因为12319219221004010(,,)1102000448000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A a a a ，所以向量组的秩等于2．12,a a 或23,a a 都是最大无关组．（2） 因为123141141213095(,,)154000367000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A a a a ， 所以向量组的秩等于2．12,a a 或13,a a 都是最大无关组．23,a a 也是最大无关组．11．已知n 维单位坐标向量12,,,n e e e 可由n 维向量组12n ,,,a a a 线性表示，证明12,,,n a a a 线性无关．证明 因为12,,,n e e e 可由12,,,n a a a 线性表示，所以12,,,n e e e 的秩小于或等于12,,,n a a a 的秩，即12,,,n a a a 的秩大于或等于n ，从而可得12,,,n a a a 的秩等于n ．故12,,,n a a a 线性无关．12．证明n 维向量组12n ,,,a a a 线性无关的充分必要条件是，任一n 维向量都可由12,,,n a a a 线性表示．证明 必要性．已知12,,,n a a a 线性无关，又对于任意n 维向量a ，有12,,,,n a a a a 线性相关，所以a 可以12,,,n a a a 线性表示（且表示式惟一）．充分性．根据已知可得，12,,,n e e e 可由12,,,n a a a 线性表示，所以由11题可知，12,,,n a a a 线性无关．13．向量组12,,,s ααα的秩为1r ，向量组,,,t 12βββ的秩为2r ，向量组12,,,,,,s t ,12αααβββ的秩为3r ，证明12312max{,}r r r r r ≤≤+．证明 因为1,,s αα可由11,,,,,s t ααββ线性表示，又1,,t ββ也可由11,,,,,s t ααββ线性表示，所以得13r r ≤且23r r ≤，即123max{,}r r r ≤．设1,,s αα的最大无关组为121,,,r n n n ααα，1,,t ββ的最大无关组为122,,,r m m m βββ，则1,,s αα，1,,t ββ可由121212,,,,,,,r r n n n m m m αααβββ线性表示，所以312r r r ≤+．14．设,A B 是同型矩阵， 证明()()()R R R +≤+A B A B ． 证明 将同型矩阵m n ⨯A ，m n ⨯B 表示为1212(,,,),(,,,)n n ==A a a a B b b b则1122(,,,)n n =+++A B a b a b a b +．因为1122,,,n n +++a b a b ab 可由12,,,n a a a ，12,,,n b b b 线性表示，所以1122,,,n n +++a b a b a b 的秩小于或等于12,,,n a a a ，12,,,n b b b 的秩．又根据13题可知，1122,,,n n +++a b a b a b 的秩小于或等于12,,,n a a a 的秩与12,,,n b b b 的秩之和，所以()()()R R R +≤+A B A B ．15．判别下列向量集合V 是否为向量空间？为什么？ (1) T11{(,,)|0;,1,2,,}nn i i i V x x x x i n ====∈=∑R x ；(2) T11{(,,)|1;,1,2,,}nn i i i V x x x x i n ====∈=∑R x ；(3) T 11{(,,)|;,1,2,,}n n i V x x x x x i n ====∈=R x ．解 （1）V 是向量空间．因为任取,V ∈αβ，T 12(,,,)n x x x =α，T 12(,,,)n y y y =β，则T 1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ．由于0)(111=+=+∑∑∑===ni i n i i ni i iy x y x，故V +∈αβ．又当λ为任意实数时，T 12(,,,)n x x x λλλλ=α，由于∑∑====ni ni i ix x110λλ，故V λ∈α．（2）V 不是向量空间．因为，若V ∈α，则有T 12(,,,)n x x x =α，且∑==ni ix11．对于2=λ，有T 122(2,2,,2)n x x x λ==αα，其中12nii x==∑1221ni i x ==≠∑，故V λ∉α．（3）V 是向量空间．因为任取,V ∈αβ，则有T 12(,,,)n x x x =α，T 12(,,,)n y y y =β，且12n x x x ===，12n y y y ===．于是T 1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ，且1122n n x y x y x y +=+==+，所以V +∈αβ．又当V ∈α，λ为任意实数，则有T 12(,,,)n x x x λλλλ=α，且n x x x λλλ=== 21，所以V λ∈α．16． 证明由T T T 123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)===ααα所生成的向量空间就是3R ．证明 设123,,ααα所生成的向量空间为112233123{|,,}V k k k k k k ==++∈R x ααα．任取V ∈α，则有123,,k k k ，使得T 112233233112(,,)k k k k k k k k k =++=+++αααα．可知3∈R α，从而得3V ⊂R ．又任取3∈R α，则123,,,αααα线性相关，又因为123,,ααα线性无关，所以α可用123,,ααα线性表示且表示式惟一，即有惟一的123,,k k k ，使得112233k k k =++αααα．从而可知V ∈α，于是得3V ⊂R ．综上可知3V =R ．17．设V 1是由T1(1,1,0,0)=a ，T 2(1,0,1,1)=a 所生成的向量空间，V 2是由T 1(2,1,3,3)=-b ，T 2(0,1,1,1)=--b 所生成的向量空间，试证V 1= V 2．证明 因为12121120112010110131()0131000001310000⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a ab b ， 可见，12,a a 及12,b b 都线性无关，但121,,a a b 和122,,a a b 都线性相关，且121,,b b a 和122,,b b a 也都线性相关，即12,a a 可由12,b b 线性表示，12,b b 也可由12,a a 线性表示，所以12,a a 与12,b b 等价，从而21V V =．18．验证T 1(1,1,0)=-α，T 2(2,1,3)=α，T 3(3,1,2)=α为3R 的一个基，并求T (5,0,7)=α在这个基下的坐标．解 因为()12312311160,032=-=-≠ααα所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是3R 的基．对于T(5,0,7)=α，令112233x x x ++=αααα，则有12312323235,0,327,x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩解之得122,3,1x x x ===-３，所以α在基123,,ααα下的坐标是(2,3,1)-．B 组1．已知向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，证明 (1) 1α可由23,αα线性表示； (2) 4α不能由123,,ααα线性表示．证明 （1）因为234,,ααα线性无关，所以23,αα线性无关；又因为123,,ααα线性相关，所以1α可由23,αα线性表示（且表示式惟一）．（2）反证法，假设4α可由123,,ααα线性表示，又由（1）知，1α可由23,αα线性表示．所以4α可由23,αα线性表示，这与234,,ααα线性无关相矛盾．于是得1α不能由123,,ααα线性表示．2．设A 是n 阶方阵，123,,a a a 是n 维列向量，且1≠a 0，11=Aa a ，212=+Aa a a ，323=+Aa a a ．证明123,,a a a 线性无关．证明 根据已知条件，得12132(),(),()-=-=-=A E a 0A E a a A E a a ，设112233λλλ++=a a a 0，上式两边左乘-A E ，得2132λλ+=a a 0，上式两边再左乘-A E 得31λ=a 0，因为1≠a 0，所以得30λ=．又由2132λλ+=a a 0及112233λλλ++=a a a 0可得，210λλ==，所以123,,ααα线性无关．3．设12,,s ααα线性无关，12+++s s λλλ12=βααα，其中i λ≠0，证明11+1,,,,,i -i sααβαα线性无关． 证明 令111111i i i i i s s k k k k k --++++++++=ααβαα0，则由1122s s λλλ=+++βααα，得111111()()i i i i i i i i k k k k k λλλ---+++++ααα111()()i i i i s i s s k k k k λλ++++++++=αα0，从而有1111110,0,0,0,0i i i i i i i i i s i s k k k k k k k k k λλλλλ--+++=⎧⎪⎪⎪+=⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎪+=⎩．因为0i λ≠，所以得0i k =，根据上述方程组又可得1110i i s k k k k -+======，即111,,,,,,i is-+ααβαα线性无关． 4． 设向量组12,,,m A :ααα线性无关，向量1β可由向量组A 线性表示，而向量2β不能由向量组A 线性表示．证明向量组1212,,,,m l +αααββ线性无关(其中l 为常数)．证明 若122,,,,m αααβ线性相关，而12,,,m ααα线性无关，由定理２可知2β可由1,,m αα线性表示，矛盾．所以122,,,,m αααβ线性无关．因为1β可由1,,m αα线性表示，所以有一组数m μμμ,,,21 使111m m μμ=++βαα．又令1122112()n m m k k k k l ++++++=αααββ0，则有1111112()()m m m m m m k lk k lk k μμ++++++++=ααβ0，从而有111212110000m m m m mm k lk k lk k lk k μμμ+++++=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪=⎪⎩，，，．解之得，1210m m k k k k +=====，所以112,,,m l +ααββ线性无关． 5．设有一个含m 个向量的向量组12,,,m ααα(m ≥2),且12+++m =βααα，证明向量组12,,,m β-αβ-αβ-α线性无关的充分必要条件是12,,,m ααα线性无关．证明 因为12312132121011110111110m m m m m --+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，βαααααβαααααβααααα 又101101010(1)(1)0111m m -=--≠，于是有11122011110111110m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβααβααβα 即12,,,m ααα与12,,,m ---βαβαβα等价．故12,,,m ααα与12,,,m ---βαβαβα的线性相关性相同，即12,,,m ααα线性无关的充分必要条件为12,,,m ---βαβαβα线性无关．6．设向量组12:,,,r B b b b 能由向量组12:,,,s A a a a 线性表示为 1212(,,,)(,,,)r s =b b b a a a K ，其中K 为s r ⨯矩阵，且向量组A 线性无关，证明向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩()R r =K ．证明 令12(,,,)r B =b b b ，12(,,,)s A =a a a ，并将K 按列分块为12(,,,)r K =k k k ．必要性．由于B 组向量线性无关，有()()r R R r =≤≤B K故()R r =K ．充分性．设有一组数12,,,r λλλ使1122r r λλλ+++=b b b 0，则有112212121122(,,,)(,,,)s r r r r r λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++=a a a K =b b b b b b 0.而12,,,s a a a 线性无关，所以12r λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K =0， 即1122r r λλλ+++=k k k 0，而12,,,r k k k 线性无关，故120r λλλ====．说明12,,,r b b b 线性无关．7．设有两个向量组12:,,,r A ααα；112:B =-βαα，223=-βαα,…,11r r r --=-βαα，1r r =+βαα，证明向量组A 的秩等于向量组B 的秩．证明 因为11221100001100001000001110001r r -⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭βαβαβα， 由于11000011000010200001111--=≠-，所以11122110000110000100000111001r r --⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭αβαβαβ， 即12,,,r ααα与12,,,r βββ等价，所以12,,,r ααα与12,,,r βββ有相同的秩．8．设A 是n 阶方阵，α是n 维列向量，若1m -≠αA 0, m =αA 0，试证α,αA ,2αA ,…,1m -αA 线性无关(2m ≥)．证明 因为m =αA 0，所以12m m ++===ααAA 0．令210121m m λλλλ--++++=ααααA A A 0，上式两边左乘1m -A ，则有10m λ-=αA 0．因为1m -≠αA0，所以00=λ，从而有21121m m λλλ--+++=αααA A A 0，上式两边左乘2m -A，则有11m λ-=αA 0，从而，又得01=λ．以此类推，还可以得012===-m λλ ，所以21,,,,m -ααααA A A 线性无关．9．已知向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，而向量组1235,,,αααα的秩为4．证明向量组12354,,,-ααααα的秩为4．证明 因为123,,ααα的秩为3，所以123,,ααα线性无关．又由1234,,,αααα的秩为3，可得1234,,,αααα线性相关．故4α可由123,,ααα线性表示，即存在一组数123,,λλλ．使4112233λλλ=++αααα．令112233454()k k k k +++-=ααααα0，则有11223345112233[()]k k k k λλλ+++-++=ααααααα0，得14112422343345()()()k k k k k k k λλλ-+-+-+=αααα0．因为1235,,,αααα的秩为4，所以1235,,,αααα线性无关．从而有14124234340,0,0,0k k k k k k k λλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩．解之得12340k k k k ====．于是可知12354,,,-ααααα线性无关．10．已知向量组12,,m ααα中任一向量i α都不是它前面i -1个向量的线性组合，且1≠0α，证明12,,m ααα的秩为m ．证明 令1122m m k k k +++=ααα0．首先证明0m k =．反证法，假设0m k ≠，则有1111m m m m m k k k k --⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ααα． 这与题设矛盾．所以得0m k =．同理可证120m k k -===，最后得11k =α0．又因为1≠α0，所以又得10k =．综上得120m k k k ====，故12,,,m ααα线性无关，即12,,,m ααα的秩为m ．11．设12:,,n A ααα；,,,n B 12:βββ都是n 维空间V 的基．;),,1,2,,n ni i i i i i i i W x x x i n =1=1⎧⎫=|=(-=∈=⎨⎬⎩⎭∑∑R ααααβ0 证明W 是V 的子空间．证明 任取W ∈α，则有1122n n x x x =+++αααα因为12,,,n ααα是n 维向量，所以α也是n 维向量，即V ∈α，故W V ⊂．又设,W ∈αβ，则有11n n x x =++ααα且11n n x x =++αββ， 11n n y y =++βαα且11n n y y =++βββ，从而111()()n n n x y x y +=++++αβαα，且111()()n n n x y x y +=++++αβββ，于是可知W +∈αβ．又对于V ∈α及实数λ，有11n n x x =++ααα且11n n x x =++αββ，从而11n n x x λλλ=++ααα且11n n x x λλλ=++αββ，即W λ∈α．所以W 是向量空间，且是V 的子空间．。

线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案 一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。

二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C） 三、计算题1、 秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。

2、 0,0a b ≠=。

3、 3a =。

4、 讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。

5、 1k =±。

四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。

证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。

令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。

证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。

第4章 向量组的线性相关性 (作业1)一．填空题 1T )2,1,2(-=α，T )3,2,4(-=β，T )5,8,8(-=γ，若使γβα=+k 2，则k=__________.解：由γβα=+k 2，得k 4228-⨯=-，所以3=k 。

2 若齐次线性方程组AX=0只有零解，则A 的列向量组线性 . 解：0=Ax 只有零解即011=++n x x nαα 只有零解，即A 的列向量组线性无关。

3 若向量),,0(2k k =β能由向量)1,1,1(1k +=α,)1,1,1(2k +=α)1,1,1(3+=k α唯一线性表示，则k 应满足解：若向量),,0(2k k =β能由向量)1,1,1(1k +=α,)1,1,1(2k +=α)1,1,1(3+=k α唯一线性表示，即方程组()03213,2,1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x ααα有唯一解，此时系数行列式不为0，即.3,0-≠≠k k二选择题：1设n 阶方阵 A 是奇异阵，则A 中（ ）(A)必有一列元素为零； (B) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (C) 必有两列元素对应成比例； (D) 任意一列向量是其余列向量的线性组合。

解：n 阶方阵 A 是奇异阵，说明A 的列向量组线性相关，所以必有一列向量是其余列向量的线性组合。

选B 。

2 设n m ij a A ⨯=)(，若m<n, 则（ ）(A)A 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关； (C)A 的行向量组无关； (D) A 的列向量组无关。

解：因为n m <，所以m A R ≤)(，从而A 的列向量组的秩为n m A R <≤)(，所以A 的列向量组线性相关。

选B 。

三.已知3R 中的向量组321,,ααα线性无关，向量组211ααk b -=，322αα+=b , 133ααk b +=线性相关，求k 值解：由题设()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11001013,2,13,2,1k k b b b ααα。

第四章向量组的线性相尖性441基础练习1.设有斤维向量组e，，•••、％与几，02,...，仇若存在两组不全为零的数人、入，…，九和k], kzM使(人+灯⑦+—(心+k丿a卄(石一k) 0汁…+(入一n『#m=0则( )(A)(X、，吆…,J和0户卩2,…,“也都线性相矢(B)(ZI,么2,…，么加和0F“2,..., 0加都线性无矢(C)么汁伤，…，时门曲g—fip…，久线性无矢(D)e+伤，…，皤//”，5_卩[，…，线性相尖2.设如如一os与为，卩2,…，久为两个料维向量组，且R@\, a2, -,a s) = /?(/?… /?2,= r，则( )(A)当s = t吋，两向量组等价；(B)两向量组等价；(C)幻…,冬，卩7几)二”(D)当向量组如S被向量组伤，卩2,…,戸,线性表示时，两个向量组等价.3.设/是4阶方阵，且同=0,则/中( )(A)必有一列元素全为零；(B)必有两列元素成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.4.设力是矩阵，〃是矩阵，贝％)(A)当m > n时，必有14B | HO ；(B)当m > n时，必有(C)当HKD时，必有IMIW；(D)当m < n时，必有IMIP5.设向量组勺，血，他线性无尖，向量几可由勺，么2,么3线性表示，而向量02不能由(A) z a2,k/?7+/?2线性无尖；(B)血竝,冬，k/?7+y?2线性相矢；(C) a J9购么3, 0/+k“2线性无尖；(D)么勿，/ 线性相尖.6.设有向量组勺=(1,- 1,2,4), « = 0,3,1,2), «=(3,0,7,14),勺=(1,-2,2,0)与冬=(2丄5,10), 则向量组的极大线性无尖组是( )(A) °人3 ；(B) ar a2,弘；(C) ap a?, a.门(D) z av a4, as.7.设有向量组a=(a,0,c)fa=(b,c,0),a5=(0,a,b)线性无尖，则a,也c必须满足矢系式.& 向量组a=(l,2,3,4), (i2=(2,3,4,5), a3=(3,4,5,6),恥=(4,5,6,7)的秩等于 ___________________ . 9•已知向量组a =(1,2,-1,1),血=(2,0,0),购=(0,-4,5,-2)的秩为2,则.r 1 2 -2-10 •设矩阵/=2 1 2，向量a=(a,l,l),,已知/la与么线性无矢，则心_________________30 411•向量空间r二(x,2x,y)lx,yG R ｝的维数是______________________________ ，它的基a= _________ ,a2 = __________ .向量么=(3,6,-4)在基勺下的坐标是________________ . 12 ・设有向量组a, =(2,4,7); a2 =(3,2,5);^=(5,6,Q; “ = (1,3,5),当上为何值时，“能由舛42 线性表示？13.设有向量组a, =(2,1,5,3)；血=(1,-1,2,1);佝=(0,3,1,1);恥=(1,2,3,2);少=(-1,1,-2,-8)求向量组的秩和它的一个极大线性无尖组•14.设有向量组© =(1,1,1);血=(1,1,-1);试把P表为a, ,a2用3的线性组合.X,-2X2+X3+X4 • X5 二02XI+x 厂Xq-Xd+Xq 二015 •求方程组12 3 4 5的基础解系和通解.X(+7X2 ・ 5%3 ・5x4+5x5 二03x r X2-2X3+X4-X5 二0*X!-2X2+3X3-4X4=4x?-x.+xd =316•求方程组 2 3 4的通解.XI • 3X2-3X4 二1-7X2+3X3+X4 二-34.4.2提高练习1 .已知a, =(1,0,2,5/, a? =(1,1,3,5/, =Q,」a + 2,l)r他二(l,2,4，a+ 8 几0 = (1,10 +3,5)T(1)a,b为何值时，0不能表示为a…a2,a3,a4的线性组合；(2)a, b为何值时，“有⑦皿2,偽皿4的唯一线性表示，并写出该表达式.2.设向量线性相矢，而其屮任何卩1个向量线性无矢，证明存在不全为零的数《,©, • • •& 便滋+••• + ©%=()・3•设ai9a29a3线性无尖，证明 /?( =a)-2a2 +2a3，/?2 二加-a A py = 2a)-a2 +3a3 线性无尖•4.验证向量a. =(l,-l,0)r,a2 =(2丄3/,=(3,1,2/是疋的一个基，并分别将向量件二(5Q7)丁，仏二(一9,一&・13卩用这个基表示.5.已知H的两个基T3<3<5><A:a)=1/<2 二11；B卩严3,02 =-1'03 二4<2<2><2<3,J2求基力到基〃的过渡矩阵C6•设由向量么〕二(0丄2),血二(1,3,5)，么3二(2丄0)生成的向量空间为V】，由向量几二(1,2,3),仏二(一1，0,1)生成的向量空间为V2,试证匕二V2・7•设/?”的3个基分别为1）求由基（2）到基（1）的过渡矩阵;2）求向S.a 二e 【+e2"・e3在基（2）下的坐标; 3） 求向量fl = 3ej+ 2es -3A4在基（1）下的坐标;4） 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8.设加个n 维向量a 〕9ay«”线性无矢，P 为n 阶方阵‘证明:向量组Pa?Pa2, - .Pan1,<o>v9、6具有相同的秩，且“3可由向量组（2）线「7(3)： VI(--I疋2 =1 0 <0 • •<i>r-P了-1 1 、6 二 ?.1<o><0,[1 1 ?也二 311d 丿线性无尖的充耍条件是IPL0.na29•已知向量组（1）：fi 二T0]],“2= ri 丿< 1、n3向量组（2） : a2，亿>二佝二严）A \/(?)作性表不，求* b 的值.，03=10•已知3阶方阵力与3维向量X，使得向量组X9AX9A2X线性无尖，且满足A3X =3A X-2A2X ;1)记P二(x, Axjxj.求3 阶方阵B使A = PBP-;2）计算行列式・A%! + 兀 2 + 兀 3= 1问2取何值时,(1) o 可由勺，J 么3线性表示，且表达式唯一？ (2) "可由勺，《2,冬线性表示，但表达式不唯一？ (3) “不能由勺，色线性表示？x ( +X2+&3 =413. k 为何值时，线性方程组w -x, + kx 2 + x 3 = A:2X]_ 勺 + 2 兀 3 =-4有唯一解、无解、有无穷个解?在有解时求出其全部解. 14. 己知二（1，0,2,3）,力二（1丄3,5）,«3二（1，一 1 卫 + 2,1）,如二（124卫 + &）,，（1 丄/? +3,5）.(1)心b 为何值时，“不能表示为勺，j s 他的线性组合?(2)么/?为何值时，“可表示为么” J 5么4的线性组合？并写出该表示式.11 •讨论并求解方程组<%! + AX2 +X3 = A.12•设有3维列向量a =x]+兀 2+ 7C 3 = Q215. 已知下列线性方程组 兀1+兀〉一2兀4 = 一6(1){4 西-X2 -X3-X4 = 1； 3兀L 兀2_兀3 = 3 ⑴求出方程组⑴的通解；(2)当⑵中的参数明/为何值时‘方程组⑴与(2)同解?X] + inx? -XS -XA --5 72X1 —七一2 兀二—1 121第四章参考解答4.4.1基础练习：1. （D ）提示：由题设知，入 5+0） + 希 a+02 + - • • + An J&+Q + kg-卩）+・・・=o又知人，易，…，无，k 、，心…，红不全为零，均+伤,a 2+#2,臥盘，a 厂卩p 卩卫…，亦仇线性相尖.2. （D ）提示：设向量组A ：弘幻 …，匕：向量组B ： P],'T（因向量组/可被向量组B 表示），则用為？仞二/? （C ）o L所以％® r 故选（D ）3. （C ）提示：因仏2,则R （/） v4, /经初等列变换化为阶梯阵〃，〃必有零列，该列就是其余列的线性组合.4. （B ）提示：也习 时，R （4） <n<m,又R （4B ）vR 么），则«BX m ，为降阶方阵,所以AB=O.«/'a /A =orf4-k(A ir/+A 2 厂2+7丿Ta 、 M =B «3«3g+02_A_又勺，j 冬线性无尖，且肉不能由勺，叫冬线性表示，则R勺，J 他，妙+几线性无尖•这个结论肯定了（A ）而排除了（B ），对条件（C ），取R 二0即与5. （A ）提示：由可由勺,5幺3线性表示知件二人勺+入么仝+入冬，那么 (4)二R0?>4,即题设矛盾，可排除•对于（D），取21时与（A）中炉1相同，已知（A）正确，从而否定（D）・6.(B)1. abcO ・提示:ar n 冬线性无尖。

第三章 向量组的线性相关性1.验证}0{是向量空间，其中0 为n 维零向量.证明 设}0{, ∈βα，则}0{000∈=+=+βα，且R ∈∀λ，}0{00∈==λαλ，集合}0{ 对向量的加法和数乘向量封闭，所以}0{ 是向量空间. 2.验证：（1）向量空间必含有零向量；（2）若向量空间含有向量α ，则一定含有α-.证明 （1）设有向量空间V ，任取向量V ∈α ，R ∈∀λ，都有V ∈αλ，取定0=λ，则V ∈==00ααλ，所以向量空间中一定含有零向量.（2）设有向量空间V ，则可知V ∈0 ，于是存在V ∈βα,，使得V ∈=+0 βα，于是V ∈-=αβ，所以若向量空间含有向量α ，则一定含有α -. 3.判定3R 的下列子集是否是3R 的子空间： （1）{}R z z W ∈=|),1,0(1；解 因为1,W ∈∀βα ，设),1,0(1z =α，),1,0(2z =β ， +=+),1,0(1z βα),1,0(2z ),2,0(21z z +=1W ∉，集合1W 对加法不封闭，所以1W 不是3R 的子空间.（2）{}R y x y x W ∈=,|)0,,(2；解 因为2,W ∈∀βα ，设)0,,(11y x =α，)0,,(22y x =β ， )0,,()0,,(2211y x y x +=+βα22121)0,,(W y y x x ∈++=，且R ∈∀λ， 211)0,,(W y x ∈=λλαλ ，集合2W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以2W 是3R 的子空间.（3）{}R z y x z y x z y x W ∈=+-=,,,03|),,(3；解 因为3,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=+-=+-0303222111z y x z y x ⇒0)(3)()(212121=+++-+z z y y x x ，3W ∈+∴βα，且R ∈∀λ，3111),,(W z y x ∈=λλλαλ，集合3W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以3W 是3R 的子空间.（4）{}R x x x x x x x x x W ∈=++=3213213214,,,1|),,(；解 因为4,W ∈∀βα ，设),,(321x x x =α，),,(321y y y =β ， ),,(),,(321321y y y x x x +=+βα),,(332211y x y x y x +++=而1321=++x x x ，1321=++y y y ，从而有2321321=+++++y y y x x x 即有2)()()(332211=+++++y x y x y x 4W ∈，对加法不封闭，故4W 不是3R 的子空间.（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==-=R z y x z y x z y x W ,,,2321|),,(5； 解 因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，而1112321z y x -==-，2222321z y x -==-，)(2322212121z z y y x x +-=+=-+21)(21-+≠x x 5W ∉，对加法不封闭，故5W 不是3R 的子空间.（6）{}R z y x y x z y x z y x W ∈==++=,,,,032|),,(6解 因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=++=++032032222111z x x z x x ⇒0)(3)(2)(212121=+++++z z x x x x ，所以有6W ∈+βα，且R ∈∀λ，),,(111z x x λλλαλ=，032111=++z x x ⇒032111=++z x x λλλ，所以有6W ∈αλ ，该集合对加法与数乘都封闭，所以6W 是3R 的子空间.4．设)0,4,3(),1,1,0(),0,1,1(321===ααα，求21αα-及32123ααα-+.解 21αα-)1,1,0()0,1,1(-=)10,11,01(---=)1,0,1(-=32123ααα-+)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=).2,1,0(= 5．设)(5)(2)(3321αααααα +=++-，其中)3,1,5,2(1=α，)10,5,1,10(2=α ，)1,1,1,4(3-=α，求.α解 由)(5)(2)(3321αααααα+=++-整理得)523(61321αααα-+=)]1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61--+=).4,3,2,1(=6．设r r αααβααβαβ+++=+==2121211,,,，且向量组r ααα,,,21线性无关，证明向量组r βββ ,,,21线性无关.证明 设02211=+++r r k k k βββ，则++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(22110 =+r r k α因向量组r ααα,,,21线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= ， 故方程组只有零解则021====r k k k ，所以r βββ,,,21线性无关.7．设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++ββββx x x x则 0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααx x x x0)()()()(443332221141=+++++++ααααx x x x x x x x(1) 若4321,,,αααα线性相关，则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=，212x x k +=，323x x k +=，434x x k +=，由4321,,,k k k k 不全为零，知4321,,,x x x x 不全为零，即4321,,,ββββ线性相关.(2) 若4321,,,αααα 线性无关，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知，此齐次方程存在非零解 则4321,,,ββββ线性相关. 综合得证.8.讨论向量组的线性相关性：（1）)1,1,1(1=α ，)5,2,0(2=α ，)6,3,1(3=α；解 显然有312)1(ααα +-=，所以321,,ααα是线性相关的. （2）)0,1,1(1=α ，)0,2,0(2=α ，)1,0,0(3=α.解 设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ，于是有 ()()())0,0,0(,0,00,2,00,,3211=++k k k k ， 从而有 ())0,0,0(,2,3211=+k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧==+=00203211k k k k 0321===⇒k k k ， 故321,,ααα是线性无关的.9.设T )1,1,1(1=α ，T )3,2,1(2=α ，Tt ),3,1(3=α .（1）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？（2）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？（3）当向量组321,,ααα 线性相关时，将3α 表示为1α 和2α的线性组合.解 设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ， 于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++000332321321321tk k k k k k k k k从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++030320321321321tk k k k k k k k k ①（1）当向量组321,,ααα线性相关时，方程组①有非零解，则031321111=t⇒5=t ，故当5=t 时，向量组321,,ααα线性相关. （2）当5≠t 时，向量组321,,ααα线性无关.（3）设矩阵),,(321TT T A ααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=531321111−−→−--1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420210111 −−→−--2321r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210101，从最后一个矩阵看出，.2213ααα+-=10.用矩阵的秩判别下列各向量组的线性相关性：（1）T)2,0,1,3(1=α ，T)1,2,1,1(2--=α ，T)4,4,3,1(3-=α；解 设矩阵),,(321ααα =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412420311113−−→−--↔14122123r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=210420840311 −−→−--24234121r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000000840311，32)(<=A R ，所以向量组（1）线性相关. （2）T )1,0,1(1=α ，T )0,2,2(2=α ，T)3,3,0(3=α ；解 设矩阵),,(321ααα=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301320021−−→−-13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-320320021−−→−+23r r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600320021，33)(==B R ，所以向量组（2）线性无关. （3）T )0,1,1,4,2(1=α ，T )1,1,0,2,1(2-=α ，T)1,0,1,3,1(3=α .解 ),,(321ααα=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011101324112−−→−↔31rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110011112324101−−→−---14131224r r r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110*********−−→−+--↔252423252r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100200200110101−−→−+-353421rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000200110101，33)(==C R ，所以向量组（3）线性无关.11.已知向量组)1,2,1,1(1=α ，)2,0,0,1(2=α ，),8,4,1(3k ---=α线性相关，求k 的值.解 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==k A T T T 21802401111),,(321ααα −−→−---1413122rr r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----110620310111k −−→−+-24232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----200000310111k −−→−↔43r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000200310111k 从最后一个矩阵可以看出，当2=k 时，32)(<=A R ，向量组321,,ααα才线性相关.12.设向量组4321,,,αααα线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一组全不为零的数4321,,,λλλλ，使.044332211=+++αλαλαλαλ证明 由已知4321,,,αααα线性相关，所以存在一组不全为0的数4321,,,λλλλ 使得 .044332211=+++αλαλαλαλ (下证4321,,,λλλλ全不为0)假设01=λ，则0443322=++αλαλαλ，由已知4321,,,αααα其中任意三个向量都线性无关，所以432,,ααα线性无关，于是0432===λλλ， 这与4321,,,λλλλ不全为0矛盾. 故01≠λ.同理可证432,,λλλ不等于0 故4321,,,λλλλ全不为0.13.设向量x 可由r ααα ,,,21线性表示，r ααα,,,21可由s βββ ,,,21线性表示，证明x可由s βββ ,,,21线性表示.证明 根据题意可知存在常数r λλλ,,,21 和),2,1,(s j i x ij =，使得r r x αλαλαλ +++=2211；s is i i i x x x βββα+++=2211，r i ,,2,1 =++++++++=)()(2222121212121111s s s s x x x x x x x βββλβββλ)(2211s rs r r r x x x βββλ++++++++++++=2222212111212111)()(βλλλβλλλr r r r x x x x x xs rs r s s x x x βλλλ)(2211++++由上式可知，x可由s βββ ,,,21线性表示.14.求作一个秩为4的方阵，它的两个行向量是：)0,0,1,0,1(，)0,0,0,1,1(-. 解 设)0,0,1,0,1(1=α ，)0,0,0,1,1(2-=α ，显然21,αα线性无关，因为它们都是5维的，所以所求方阵A 应该含有5个5维的向量，又因为所求的方阵A的秩为4，所以可设)0,,,,(4321T T T T T A αααα=，只要4321,,,αααα线性无关就满足条件了，所以取)0,0,1,0,0(33==εα ，)0,1,0,0,0(44==εα就能满足条件，故满足条件的一个方阵为.0000001000001010001000011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A15. 设向量组m ααα,,,21线性无关，向量1β 可用它们线性表示，向量2β 不能用它们线性表示，证明向量组2121,,,,ββλααα+m )(为常数λ线性无关.证明 据题意存在常数m λλλ,,,21 ，使得m m αλαλαλβ+++=22111，设0)(2112211=++++++ββλαααm m m k k k k 将1β代入上式，得0])([2221112211=+++++++++βαλαλαλλαααm m m m m k k k k0)()()(21122121111=+++++++++++βαλλαλλαλλm m m m m m m k k k k k k k因为221,,,,βαααm 线性无关，所以有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+++++000011212111m m m mm m k k k k k k k λλλλλλ ⇒100010001000121m λλλλλλ01≠=，所以齐次方程组只有零解，故向量组2121,,,,ββλααα+m 线性无关.线性表示？能否由）（线性表示？能否由）（试讨论：线性无关，线性相关，向量组设向量组1211321m 32-1m 21,,2,,,1,,)3(,,.16--≥m m m m αααααααααααααα.,)1(321线性表示能由解ααα线性无关，，由于m 32ααα，.,,,132也线性无关其部分组-m ααα线性相关又1321,,,,-m αααα ，.,,,1321线性表示能由故-m αααα.,,,)2(-1m 21m 线性表示不能由αααα反证如下：线性表示，即能由设-1m 21m ,,αααα-1m 12211m αλαλαλα -+++=m ，由（1）的结论，1133221--++=m m αμαμαμα设，代入上式得， ,)()()(11-1m 133312221m --++++++=m m αλμλαλμλαλμλα 线性表示能由即132m ,,,-m αααα ，,,,,,m 132线性相关从而αααα-m 这与已知矛盾！.,,,-1m 21m 线性表示不能由故αααα17．设n ααα ,,,21是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量n εεε,,,21能由它们线性表示，证明n ααα,,,21线性无关.证明 n 维单位向量n εεε,,,21线性无关，不妨设: n nn n n n nn n n k k k k k k k k k αααεαααεαααε +++=+++=+++=22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121 两边取行列式，得T n T T nn n n n n T n TT k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121=由002121≠⇒≠T nTTT n T T αααεεε即n 维向量组n ααα ,,,21所构成矩阵的秩为n ，故n ααα,,,21线性无关.18．设n ααα ,,,21是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k ),,,(21=α则有n n k k k εεεα+++=2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n ααα ,,,21线性无关，且n ααα,,,21能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα +++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k εεεααα 2121222211121121 两边取行列式，得T n TTnn n n n n Tn TTk k k k k k k k k εεεααα2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n nnTnTTk k k k k k k k kααα令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T A A εεεαααεεεααα212112121 即n εεε ,,,21都能由n ααα,,,21线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n ααα,,,21线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n ααα,,,21线性表示，则单位向量组： n εεε ,,,21可由n ααα ,,,21线性表示，则n ααα,,,21线性无关.19．设向量组A :s ααα,,,21的秩为1r ，向量组B :t βββ ,,,21的秩2r向量组C : t s βββααα,,,,,,,2121的秩3r ，证明21321},ma x {r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,，含有的向量个数(秩)分别为321,,r r r ，则C B A ,,分别与C B A ''',,等价，易知B A ,均可由C 线性表示，则秩(C )≥秩(A )，秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤.设A '与B '中的向量共同构成向量组D ，则B A ,均可由D 线性表示，即C 可由D 线性表示，从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D )，D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.20.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明：设Tn a a a A ),,,(21 =T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα ,,,21 ， T s T T βββ,,,21显然，存在矩阵B A '',，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT n T TA a a a ααα 2121，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T s T TT n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T nTT TT b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此()()()B R A R B A R +≤+ 21.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来： （1）)3,1,2,1(1=α，)6,5,1,4(2---=α，)7,4,3,1(3----=α，)0,2,1,2(1=α； （2）T)0,2,3,1(1=α ，T)3,14,0,7(2=α ，T)1,0,1,2(3-=α ，T)2,6,1,5(4=α，T )1,4,1,2(5-=α；（3）)2,1,2,1(1=α ，)1,3,0,1(2=α ，)1,0,1,2(3-=α ，)2,2,1,2(4-=α，)3,4,2,2(5=α.解 （1）设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2112203111022211A −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310422035202211−−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310352021102211−−→−++-2423212r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------4400770021104301−−→−--÷-÷3443)4()7(r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000110021104301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110010101001，从最后一个矩阵中看出，3)(=A R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且.3214αααα+-=（2）设矩阵),,,,(54321ααααα=B ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121304601421110325271B −−→−--131223r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1213004400714721025271 −−→−-÷)7(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12130044001213025271−−→−-÷-)4(324r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001213025271−−→−--12312r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001103023071−→−÷32r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001100313101023071−−→−-217r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000011003131010313201，从最后一个矩阵中看出，3)(=B R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且32143132αααα++=，.031313215αααα ++-= （3）设矩阵),,,,(54321TT T T T C ααααα =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32112420312110222211C −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310242202352022211 −−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310235201211022211−−→−++-2423212r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------04400077001211014301−−→−--÷-÷3443)4()7(rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000011001211014301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000011001101011001，从最后一个矩阵中看出，3)(=C R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα，且 3214αααα +-=，.03215αααα ++=等价的充要条件是与矩阵矩阵，证明：矩阵都是与设B A n m B A ⨯.22 ).()(B r A r =证明 必要性),,,,(),,,,(2121n n B A βββααα==设),,,,,,,,(),(2121n n B A C βββααα==因为A 与B 等价，即A 的列向量与B 的列向量等价，则它们可以相互线性表示； 因此A （或B ）的列向量与C 的列向量可以相互线性表示； 由推论3“等价的向量组有相同的秩”，得),()()(B A r B r A r ==充分性.,,,,)2(;,,,)1(2121s s B βββααα=设s γγγ ,,,)3(21分别是A ，B ，C 的极大无关组.因为向量（1）是C 的列向量的一部分且线性无关， 又(1)和(3)的秩相等，所以(1)也是C 的极大无关组. 同理(2)也是C 的极大无关组. 于是(1)与(2)是等价的. 从而矩阵A 与B 等价.23.求向量组:)1,5,1,1(1--=α ，)3,2,1,1(2-=α ，)1,8,1,3(3-=α，)7,9,3,1(4-=α的所有最大无关组.解 设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7131982531111311−−→−+-+1413125r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---84401477042201311−−→−-+÷24232472r r rr r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000021101311−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000021101201，所以从而最后一个矩阵中看出所有最大无关组为：21,αα ；31,αα ；41,αα ；32,αα ；42,αα ；43,αα.24．试证:由)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321===ααα 所生成的向量空间就是3R .证明 设TA ),,(321ααα = 011101110321==αααA 02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,ααα均为三维，且秩为3，所以321,,ααα 为此三维空间的一组基，故由321,,ααα所生成的向量空间就是3R .25．由),1,1,0,1(),0,0,1,1(21==αα所生成的向量空间记作1V ，由),1,1,1,0(),3,3,1,2(21--=-=ββ所生成的向量空间记作2V ，试证：21V V =.证明 设{}R k k k k x V ∈+==1122111,αα，{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量，可写成2211αα k k +，要证22211V k k ∈+αα，从而得21V V ⊆由22112211βλβλαα+=+k k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中，把21,k k 看成已知数，把21,λλ看成未知数，0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解，21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故.21V V =26．验证)2,1,3(),3,1,2(),0,1,1(321==-=ααα为3R 的一个基，并把)13,8,9(),7,0,5(21---==v v在这组基下的坐标.解 由于06230111321321≠-=-=ααα即矩阵),,(321ααα的秩为3， 故321,,ααα 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111αααk k k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故1v在这组基下的坐标为).1,3,2(- 设3322112αλαλαλ++=v ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故2v在这组基下的坐标为).2,3,3(--27.设有向量组)5,2,3(1=α，)7,4,2(2=α ，),6,5(3λα=，)5,3,1(=β，当λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示？解 设矩阵),,,(321TT T T A βααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=57536421523λ−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---57536422121λ−−→−--131252rr r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---15517078802121λ−−→−↔-32232r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----7880111102121λ−−→−-+232182rr r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----18960011110023201λλλ−−→−--÷323)1(r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--196800085710023201λλλ，从最后一个矩阵中看出βαα ,,21是线性无关的，要使β 能由321,,ααα 线性表示，必需当321,,ααα线性无关才满足条件，即当0968≠-λ时，即12≠λ时，β 才能由321,,ααα线性表示.28.证明向量组)1,,1,1(:1 =βB ，)1,,1,0(2=β，…)1,,0,0(=n β为n R 的一组基，求向量),,(21n a a a=α在这组基下的坐标.证明 设矩阵),,,(21Tn T T A βββ =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111011001 A ，因为01||≠=A ，所以向量组B 线性无关，且向量组的秩为n ，故向量组B 为nR 的一组基.设矩阵),,,,(21αβββT n T T C =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a C 21111011001−−→−------12211r r r r r r n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1121100010001n n a a a a a C所以 ).,,,()(1121---=n n B a a a a aα 29.计算：（1）设A 为三阶矩阵),,(321A A A A =，)3,2,1(=i A i 是A 的第i 个列向量，且3||-=A ，计算3212,2,2A A A A --的值.（2）设四阶矩阵),,,(432r r r A --=α，),,,(432r r r B -=β，其中432,,,,r r r βα均为四维列向量，且已知行列式4||=A ，1||=B ，计算行列式||B A -的值.解 （1）32123212,2,2,2,2A A A A A A A A --=-- |,,|2,2,2322312A A A A A A --+-= 312,,4A A A -=0+312,,4A A A -=3213,,)4()1(A A A --=||4A =.12-= （2）4322,2,2,||r r r B A ---=-βα 432,,,8r r r ---=βα432,,,8r r r --=α432,,,8r r r ---+β||8A =4324,,,8)1(r r r --+β||8||8B A +=.40832=+=。

第四章 向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2,a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解 设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解 有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1, b2,b3,b4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一 记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二 因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明 令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明 将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1,α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0. 解 原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T , ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T , ⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且R (B )=2.解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA ,所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-0432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解. 解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x .取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程III :⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000021*********11110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x .取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R nA R n A R 当当当.证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1,η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T ,及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r. (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000013101201 ~r,方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R .因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1, 即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解 由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解.由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系. 方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1, k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, λ∈∈R , 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =0, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =0,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0, λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明 设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成 的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明 设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=00000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解 设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示 为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ,b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解 设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组 , 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ,1321321*********) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a e e e ,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a ,由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P。

线性代数第四章答案解析第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1,3)T ,a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301~r ????? ?------531400251552000751610421301 ~r-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R(B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由- ??- ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示;(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1,a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1,a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关.（具体看书后相应答案）8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. （也可看书后答案）解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ? ? ?,a m 线性表示. 解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a 2=a 3= ? ? ? =a m =0, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ? ? ?, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0,原式可化为λ1(a1+b1)++λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,,a m=e m=-b m,其中e1,e2,,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,,a m和b1,b2,,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0才能成立,则a1,a2,,a m线性无关, b1,b2,,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式由λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)++λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,,a m+b m线性无关.取a1=a2==a m=0,取b1,,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,,a m线性相关.(4)若a1,a2,,a m线性相关, b1,b2,,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,,λm使λ1a1++λm a m=0,λ1b1++λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成=100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).。

习题四A 组1 •填空题⑴设x =(2,3,7)T , y =(4,0,2)T , z = (1,0, 2)T,且2 X- a ) 3y a 扌，z 则a = ____________ •解由2(x -a) - 3(y a) = z得=15 'a =—2x -3y +z=—61-18」(2)单个向量：•线性无关的充分必要条件是______________ •解為-0•(3)已知向量组：•= (1, 0,1) ■= (2, 2,3), : ^(1, 3,t)线性相关，则__________________相关.a - -1选择题(A) 存在一组全为零的数 k 1, k 2,|l( , k s ,使 k r 1 k 2： 2 丨1( ■ k s ： s = 0 ; (B) 存在一组不全为零的数 k 1,k 2,|l(,k s ，使k ；-1 - k^^\人»= 0 ; (C) a 1, a 2 JU , a s 中任意两个向量都线性无关;匕 +口广1 1 0¥务、1 1 0(1 1 0、解因为5+^3 = 0 11卜2 ,又 0 1 1 =2老,所以矩阵0 1 1«^«1」0 1人1 0 10 b可逆，从而■1 1 0④ +a 2a2 = 0 1 103丿<1 0 h03 +% J：3»11 0 11 0 0= 2 2 3 = 2 2 1 «31 3 t1 3 t -15=2t -5 =0，所以 t 二一2(4)设有向量组又:---——、，】、= '---2^- 2、，则向量组：••,〉、,「；线1'可由-1,j 线性表示，所以：'1, ：'2, ：'3的秩小于等于 2,从而可知：'1, ：' 2, ■■ 3线性若向量组 —，〉、，〉线性相关，则向量组即：'1, ：'2, ：'3 与 M >2, >2*3,->1 等价.故 >1*2 , ：' 2 *3, >3：'1 线性相关.设行向量组(2,1,1,1), (2,1,a,a), 1 a =2设向量组(3,2,1, a), (4,3,2,1)线性相关，且(8)设三阶矩阵「1 p a, 0 c ：，2 耳b c , 0,3,令 a 线性无关， 则a, b, c 必满足关系-2维列向量a = (a,1,1/ .已知A 与〉线性相关，则(1)n 维向量组 a 1, a2^1, a s (3 < s w n)线性无关的充分必要条件是解因为(D) a i, a2, |l(, a s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.答(D ). G1,鱼，川，O s线性相关的充分必要条件是：。