复变函数及积分变换第三章-PPT精选

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复变函数与积分变换第3章

y
Z
C z n −1
zk
z0
把曲线C分割为n个小段. (如图)
o
z1 z2
zk −1
x
在每个小弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,⋯ , n ) 上任取一点 ζ n ( k = 1, 2,⋯ , n ), 做和数
n
S n = ∑ f (ζ k )∆zk ,
k =1
其中， ∆zk = zk − zk −1
∫
C
f ( z )dz 存在，并且
n k =1
n k =1
∑ f (ζ k )∆zk = ∑ [u(ξ k ,ηk )∆xk − v(ξ k ,ηk )∆yk ]
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆xk + u(ξ k ,η k )∆yk ]
k =1
∫C f ( z )dz = ∫C udx − vdy + i ∫
其中C是圆周: z − z0 = r ( r > 0) 的正向. 解积分路径的参数方程为
y
z
θ ⋅ z r
0
θ
z = z0 + re iθ
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
o
x
∫C
2π 1 ire iθ dz = ∫ n+1 i ( n+1)θ dθ n+1 0 r ( z − z0 ) e i 2π − inθ = n ∫ e dθ , r 0
C
∫
C
zdz 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分
路径的关系? 注意2 一般不能将函数f (z)在以α为起点, 以β 为终点的曲线C上的积分记成
∫
β
α
f ( z )dz , 因为

复变函数与积分变换-第3章

第三章
第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式
复合闭路定理
上述Cauchy定理都是考虑的单连通区域内解析函数的积分，如果换成多连通区域会有什么样的结果呢？我们该怎么处理呢？
D
C
C
第三章
第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式
复合闭路定理
C C正向： D 逆时针方向
K
C
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
第三章
第三节 Cauchy积分公式
f ( z ) f ( z0 ) | f ( z ) f ( z0 ) | dz | dz | z z0 | z z0 | K K

dS 2 R R R
C C C
C2

f ( z )dz =
C1 C2

f ( z )dz
第三章
第一节复变函数的积分
积分计算
x x(t ), y y (t ), 则合成z (t ) x(t ) iy (t ), z (t ) x(t ) iy(t )
b
C
f ( z )dz = {u ( x(t ), y(t )) x(t )dt v( x(t ), y (t )) y(t )dt}
C C
因此
f ( z )连续
C
f ( z )dz存在
第三章
第一节复变函数的积分
(1) kf ( z )dz =k f ( z )dz (2) f ( z ) dz = f ( z ) dz
C C C C
积分性质
(3) f ( z )dz
C1

复变函数与积分变换-PPT课件

i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2

x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n

2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2

复变函数与积分变换课件 3.3

4
由牛顿-莱布尼兹公式知,
b
z
3dz
1
z4
b
1 (b4 a4 ).
a
4a 4
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8
例2 求 i z cos zdz 的值. 0
i
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z)
[z sin z]0i
i
sin zdz
0
[z sin z cos z]0i e1 1.
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
D
z0 •
z z z
K
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4
因为 f (z) 在 D 内解析, 所以连续, 故 0, 0, 使得 z 时, 即 z 时, 有
从而
f ( ) f (z) ,
F (z z) F (z) f (z) z
证因为 z f ( )d 也是 f (z) 的原函数, z0
所以 z f ( )d (z) c, z0
当 z z0 时, 得 c (z0 ),
所以
z z0
f ( )d
(z) (z0 ).
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7
例1
求
b 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z4 ,
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
1 z .
z
即 F(z) f (z).
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5
原函数和不定积分的定义: 设函数f (z)在区域D内连续，若D内的一个函数 (z)满足
(z) f (z), z D
则称(z)为f (z)的一个原函数，f (z)的所有原函数的集合称为函数f (z)的不定积分.

复变函数与积分变换课件第三章

(1) 当 z z0 R时, f ( z ) ncn z z0
n 1 n 1
;
(2) 设C是 z z0 R 内的一条分段光滑曲线, 则

C
f ( z )dz cn z z0 dz .
n n 0 C

特别地, 如果C是圆内部的以z0为起点、z为终点的分段光滑曲线, 则

§3.2
幂级数
1 幂级数的概念 2 幂级数的敛散性 3 幂级数的性质
3.2.1
称
幂级数的概念
设 f n ( z )是定义在区域D上的复变函数列,
f
n 1

n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
为复变函数项级数.
S n ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
n
n 0
z n 发散. 级数
n 0

zn 所以收敛半径 R 1, 在 z 1 内, 级数
n 0

绝对收敛, 且有
1 z 1 z . n 0
n
收敛半径的计算方法(一) 定理3.7 (比值法)
cn z n . 如果设级数
n 0
cn 1 lim , n c n
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n 1 n 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 绝对收敛级数的性质定理3.4 并且若级数 n 绝对收敛, 则它收敛,
n 1

n 1
n

n
n .
n 1

n 1

复变函数与积分变换课件

1. 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 sin z 1 与 cos z 1 不再成立.
28
本章内容总结
可导
复变函数
25
五、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义
设 z cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arc cos z .
e e 由 z cos w , 得 e 2iw 2ze iw 1 0, 2 iw 2 方程的根为 e z z 1, 两端取对数得
第三节初等函数
一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考
一、指数函数
1.指数函数的定义:
复变数 z 的指数函数记为 , exp z e x (cos y i sin y) 或 e z e x (cos y i sin y )
解 (1) Arge 23i 3 2k, arg e 23i 3;
( 2) Arge 34i 4 2k, arg e 34i 4 2;
4
二、对数函数
1. 定义
满足方程 ew z ( z 0) 的函数 w f ( z ) 称为对数函数, 记为
正弦函数和余弦函数都是以 2 为周期的.
sin( z 2) sin z , cos( z 2) cos z .
18
例6
求 cosi 和 sin(1 2i) 的值.
19
正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.
(sin z ) cos z , (cos z ) sin z .

复变函数PPT第三章

2
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2

1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z

z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.

复变函数与积分变换第3章积分PPT课件

0
0
22
例2 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1
C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向;
C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方向.
解: 1)C1 : z ei ,0 .
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C1
2)C2 : z ei , 0.
第三章复变函数的积分
（与实函数中二型线积分类比）
• §3.1复积分的概念 • §3.2 Cauchy积分定理 • §3.3 Cauchy积分公式 • §3.4解析函数的高阶导数
§3.1复积分的概念
1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质
1. 积分的定义
y
定义设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径
不同，积分的值也不同．
练习计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段的参数方程为 z it t :1 1
i
例3
计算
C
(z
dz z0
)n1
这里C表示以
z0为中心,
r为半径的正向圆周, n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
y z z0 rei
dz C (z z0 )n1
2 0
ire i r e n1 i(n1)
d
o
z
z0
2 i 0 r ne in

复变函数与积分变换__第3章

C
y
解 (1) 曲线 C1 的方程为 z x , x : 0 1 ,
i C3 C1 1 C2
曲线 C2 的方程为 z 1 i y , y : 0 1 ,
I z dz z dz ,
C1 C2
x
x d x (1 i y ) d(1 i y )
0 0
0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。
一、柯西基本定理
定理设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，
则有
Γ f ( z ) d z 0 .
G
注 (1) 定理中的曲线 G 可以不是简单闭曲线。 (2) 定理中的条件还可以进一步减弱。定理设单连域 D 的边界为 C，函数 f (z) 在 D 内解析，在 D D C 上连续，
当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i; 当 n 0 时,
y
z
0 z
o

r
x
C
1 i 2π n 1 dz n 0 (cos n i sin n )d 0. ( z z0 ) r
2i , 1 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
C
f (z k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 k 1
n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1
n
C f ( z )dz C udx vdy i
C
vdx udy .

复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt

解
由上例可知

(z
1 a)n1
dz

2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求

(z
1 a)n1
dz
,

为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.

解因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B

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解：积分路径可分为四段：
C1:z=t(-2≤ t ≤ -1);
C2:z= e i , 从到0;
C3:z=t(1≤ t ≤ 2);
C4:z=2 e i , 从0到.
Ñ z dz z dz z dz z dz z dz
Cz
z C1
z C2
z C3
z C4
1t 2 t
dt
0
π
ei ei
其中zk zkzk1.记为n个小弧段长度中的最大值.当
趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点k的取法
如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作
n
C
f(z)dzlim 0k1
f
(k)zk,
f(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.
若C为闭曲线，则函数f(z)沿曲线C的积分记作 Ñ f ( z ) d z C
§3.1 复变函数积分的概念
1.复变函数积分的定义
设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A 和B.对曲线C而言，有两个可能方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B 的方向)为正方向，则称C为有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C.
f(z )d z f(z)d z f(z)d z L f(z)d z .
C
C 1
C 2
C n
性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对 zC ,满足 f (z) M , 曲线C的长度为L,则
f(z)dz f(z)dsML,
C
C
其中dsdz dx2dy2, 为曲线C的弧微分.
记sk为zk-1与zk之间的弧长
n
f (k )zk (u(k,k )iv(k,k))(xk iyk)
k1
k1
n
(u(k,k )xk v(k,k )yk ) k1
n
i (v(k,k )xk u(k,k)yk). k1
n
n
f(k)zk (u(k,k)xk v(k,k)yk)
k1
k1
n
i (v(k,k)xk u(k,k)yk). k1
(2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.
解： (1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1 .
z2dz 1((1i)t)2d((1i)t) 1(1i)((1i)t)2dt
0
0
C
(1i)3t3310
(1i)3. 3
(2) 这两直线段分别记为C1和C2, C1的参数方程为：y=0, x 从0到1; C2的参数方程为：x=1, y 从0到1.
ieid
2
1
t t
dt
π
0
2ei 2ei
2ieid
1 21 4 4. 3 33
例半径3.3的计正算向积圆分周ÑC， (zn为1z0整)n数1 d.z ,其中C为以z0为中心，r为
解：曲线Cd的z 方程2为π ：ireziz0rei(02π) Ñ I C ( z z0 )n1 0 r e n1 i(n1)
已知f(z) 沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且
f(z)dzudxvdyivdxudy.
C
C
C
参数方程法
设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为
z z ( t ) x ( t ) i y ( t )( a t b ) ,
参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点.
z 2dz 1 x2dx 1 (1 iy)2
i
y
y3 3
iy
2
1 0
1i
2i 2 (1 i)3
i 1
.
33
3
3
Im (z)dz10dx1yd(1+iy)i.
0
0
C
2
例3.2 计算积分Ñ
的正向边界. C
z z
dz
,其中C为图3.2所示半圆环区域
f(z)dzudxvdyivdxvdy.
C
C
C
证明：z k x k i y k , k k i k , x k x k x k 1 , y k y k y k 1 ,
zk zk zk1(xk iyk)(xk1iyk1) (xk xk1)i(yk yk1) xk iyk.
n
定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点：
A=z0,z1,…,zn-1,zn=B,
将曲线C划分成 n个小弧段.
在每个小弧段 z·k 1 z k
(k=1,2,…,n)上任取一点k,
n
并作和式 Sn f (k )zk. k 1
2.复变函数积分的性质
性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则
f(z)dzf(z)dz.
C
C
性质3.2（线性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则
(f(z) g (z))d z f(z)d z g (z)d z ,
C
C
C
其中,为任意常数.
性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C 可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则
设f(z)沿曲线C连续，则 f ( z ( t ) ) u ( x ( t ) , y ( t ) ) i v ( x ( t ) , y ( t ) ) u ( t ) i v ( t ) .
f(z)dzudxvdyivdxudy
C
C
C
b
b
a(u(t)x(t)v(t)y(t))dtia(u(t)y(t)v(t)x(t))dt,
R e(f(z(t))z(t))u(t)x(t)v(t)y(t),
Im (f(z(t))z(t))u(t)y(t)v(t)x(t).
b
f(z)dza f(z(t))z(t)dt.
C
例3.1 分别沿下列路径计算积分 z 2 d z 和 Im ( z )d z
C
C
(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；
n
n
n
f(k) zk f(k) zk f(k) sk.
k 1
k 1
k 1
0 两端取极限 f (z)dz f (z) ds.
C
C
n
n
f(k)skM skML, f(z)dz f(z)dsML.
k1
k1
C
C
3.复变函数积分的基本计算方法
定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z) 沿C可积，且