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k 1
n
[u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
n
i [v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
由于u,v都是连续,函 根据数 线积分的存在定理,
.
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论 C的 对分法 ,点 (任 k,k)的 何取法 , 如
下式两端 , 极限存在
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
如果A到B作为曲线C的正向, y
Bபைடு நூலகம்
那么B到A就是曲线C的负向,
记为 C.
A
o
x
.
关于曲线方向的说明:
在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向.
简单闭曲线正向的定义:
简单闭曲线C(周线)的正向 y
是指当曲线上的点P顺此方
P
向前进时, 邻近P点的曲线
的积分,并记号Cf(z)dz表示:
J C f (z)dz.
y
b
C
C称 为 积 分 路 径 .
zn1
Cf(z)d z表 示 沿 C 正 方 向 积 分 , 1 a
2
z1
z2
k zk z k 1
C f(z)d z表 示 沿 C 负 方 向 积 分 .o
x
.
关于定义的说明:
(1)如 果 J存 在 ,一 般 不 能 把 J写 成 bf(z)dz,因 为 a
C f(z ) d z C u d x v d y iC v d x u d y
证明 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
.
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
的内部始终位于P点的左方. o
与之相反的方向就是曲线的负方向.
P
P
P
x
.
2. 定义3.1 设有向曲线C
zz(t),(t)
以 a z()为 起 点 ,b z()为 终 点 ,f(z)沿 C 有
定 义 , 顺 着 C 从 a 到 b 的 方 向 取 设 分 点
a z 0 ,z 1 ,L ,z k 1 ,z k ,L ,z n b ,
径的正 ,n为 向整 .圆数 周 y z
解 积分路径的参数方程为
z0 r
z z 0 rie( 0 2 π ),o
x
C
(z
1 z0)n1
dz
2π irie
0 rn1ei(n1)
d
rin
2πeind,
0
.
当 n0时 ,
C
(z1z0)n1dzrin
2πeind,
0
y
z
C
(z1z0)n1dz i
{ u [ x ( t ) y ( t , ) i ] [ x v ( t ) y ( t , )x ] ( t ) } i y ( t { ) d t}
f[z(t)z](t)dt.
注 用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分
路径的参数方程着手,称为参数方程法.
.
例1 求C(z1 z0)n1dz,C为z0 以 为中 ,r为 心 半
即复函数积分可表为两个实积分.
.
二. 复变函数积分的计算问题
设有向曲线C
z z ( t) x ( t) iy ( t) ,( t)
f(z)沿C连续,则
C f(z)d z f[z(t)]z(t)d t (3 .2 )
或 Cf(z)dzRe{f[z(t)]z(t)}dt
iIm {f[z(t)]z(t)}dt
把曲线C分成若干弧段,
在每个弧段z¼ k1zk 上任意 y
取一点k(k1,2,L,n),
作和式
n
Sn f (k)zk, k1
.
a
1
2
z1
z2
o
b
C zn1
k zk z k 1
x
n
Sn f (k)zk, k1
其中zk zk zk1, 当分点无限增多, 而这些弧段 长度的最大值趋于零时,如果和数Sn的极限存在且等于 J,则称f(z)沿C(从a到b)可积,而称J为f(z)沿C(从a到b)
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
.
公式 C f(z)dz Cudxvdyi Cvdxudy
在形式上可以看成是 f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
C f(z)dz C (uiv )d (xid y) C u d x id v x id u y v d y C u d x v d y iC v d x u d y .
(3.3)
复积分的变量代换公式
.
证明
C
f (z)dz
udxvdyi vdxudy
C
C
{ u [x (t),y (t)]x (t) v [x ( t),y ( t)]y ( t)} d t
i{ v [x ( t) ,y ( t) ]x ( t) u [x ( t) ,y ( t) ]y ( t) } d t
第三章 复变函数的积分
Department of Mathematics
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第一节 复积分的概念及其简单性质 1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质
Department of Mathematics
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一、复变函数积分的定义
1.有向曲线:
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线.
设 kkik,
因 z k z k z k 1 为 x k i k ( y x k 1 i k 1 ) y ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) xki yk,
.
所以
n
Sn
f (k )zk
n k1
[u (k,k) iv (k,k) ]x k ( i y k)
J的 值 不 仅 和 a,b有 关 ,而 且 和 积 分 路 径 C 有 关 .
( 2 ) f ( z ) 沿 C 可 积 的 必 要 条 件 是 ,f ( z ) 沿 C 有 界 .
n
(3) Cf(z)dzlni m k1f(k)zk.
.
3. 定理3.1 若 函 数 f(z) u (x ,y ) iv (x ,y )沿 曲 线 C 连 续 , 则 f(z)沿 C 可 积 ,且
