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南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.2_复数的几种表示

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复变函数与积分变换PPT_图文_图文

复变函数与积分变换PPT_图文_图文

x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直

复变函数与积分变换PPT课件

复变函数与积分变换PPT课件
复变函数与积分变换是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。复变函数是自变量为复数的函数，其基础包括复数的概念、表示及运算。复数形如z=x+iy，其中x和y分别为实部和虚部，i为虚数单位。复数的模定义为|z|=√(x²+y²)，幅角是复数在复平面上与实轴正方向的夹角。复数有代数、三角和指数三种表示方法，且可以进行加、减、乘、除四则运算。复数的加减运算满足平行四边形法则或三角形法则，乘法运算则是模相乘、幅角相加，除法运算为模相除、幅角相减。复变函数的极限与连续性是进一步研究解析函数理论和方法的基础。此外，积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换等，是解决微分方程、信号处理等问题的重要工具，其ห้องสมุดไป่ตู้键公式和方法也在文档中进行了详细汇总。

复变函数与积分变换课件fb1-2最终版.ppt

复变函数与积分变换课件fb1-2最终版.ppt
由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
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28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
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24
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25
优选文档
26
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27
例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
优选文档
5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
优选文档
21
lim

复变函数与积分变换-PPT课件

复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2

x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n


2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2

复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件

复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件

将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：

复变函数与积分变换课件

复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义

复变函数与积分变换PPT课件

11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25



开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.

复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件

（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6

经典-复变函数与积分变换第1章-复数PPT课件


y
z2
z2
o
z1 z2 z 1
z1
x
1.1.4 乘幂与方根
设复数z1和z2的三角表示式为
q q q q z 1 r 1 (c1 o issi1 ） n , z 2 r 2 ( c o s2 is in 2 ） .
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数的极限与连续
复变函数与积分变换及应用背景
M.Kline（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992)
(《古今数学思想》(Mathematical Thought
froMm oArnrciiseKntlinteo(1M9o0d8e-r1n99T2i)m,es纽)的约作大者学,Co美u国rant数学 数学研史究家所)的指教出授: .从他技的术著观作点包来括看《,十数九学世: 纪确最定性的
(2) 复数的积
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) (3) 复数的商
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2
z1 z2 z2 z2
复数运算的性质
1. 交换律
z1z2z2z1; z1z2z2z1.
A r g z a r g z 2 k k 0 , 角1 , , 但2 , 是只 . 能对数值量进
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是辐定角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> x立=3.;y=4;z=x+y*i;

南大复变函数与积分变换课件版12复数的几种表

x | z | cos(arg z) | z | cos(Arg z);
y
y |z|
z x yi
arg z
O
x
x
y | z | sin(arg z) | z | sin(Arg z) .
由此引出复数的三角表示式。
二、复数的三角表示和指数表示
1. 复数的三角表示 P9
如图，由 x r cos , y r sin , 有 z r cos i r sin r(cos i sin ) .
3
- 12
y
2 π
x
- π π 5π .
6
6
复数 z
的三角表示式为 z
4 (cos
5π 6
i sin
5π 6
).
5π i
复数 z 的指数表示式为 z 4e 6 .
二、复数的三角表示和指数表示
3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 P10、补
设 z1 r1 ei1 , z2 r2 ei2 ,
-3
arctan 1 - π .
3
y
π
-π
x
-1
一、复数的几何表示
3. 相互转换关系 P7 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。
|z| x2 y2;
y
y |z|
z x yi
arg z
O
x
x
一、复数的几何表示
3. 相互转换关系 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 (2) 已知模与辐角，求实部与虚部。
方法
直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根。
例 求 3 -8.
解
3
-
8
i(
2e
π 3
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3
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 P5 章 将复数和向量对应之后，除了利用 复 实部与虚部来给定一个复数以外， 数 与 还可以借助向量的长度与方向来给 复 变 定一个复数。 函 数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
z x yi
r
O

x
π
-π -1
x
7
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 3. 相互转换关系 P7 章 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 复 数 | z | x2 y2 ; 与 复 变 函 数 y
y
|z| arg z
x
z x yi
O
x
8
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 3. 相互转换关系 章 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 复 数 (2) 已知模与辐角，求实部与虚部。 与 x | z | cos(arg z ) | z | cos(Arg z ) ; 复 变 y | z | sin(arg z ) | z | sin( Arg z ) . 函 数 由此引出复数的三角表示式。 y
-
π i 4
e2π i 1 , e2k π i 1 , eπ i - 1 ,
-1
1
e
π i 2
i,
e
-
π i 2
- i , .
Байду номын сангаас
- 1- i
-i
1- i
15
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
P11 例1.5 修改
解 由 1 3 i 2e
10
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 补 章 2. 复数的指数表示 (欧拉公式)
复 数 z r (cos i sin ) r e i . 与 复 变 定义 设复数 z 0 , r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 函 i z r e 称 为复数 z 的指数表示式。 数 注 在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的， 但习惯上一般取为主辐角。
7π 7π 3 1 cos i sin - i. 6 6 2 2
16
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 1. 复数的乘幂 P12 复 数 与 复 变 函 数 定义 设 z 是给定的复数， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为
n n z z z z. 记为 z , 即 复数 z 的乘幂， n个
18
§1.2 复数的几种表示
π 2π i i 第 1 3 2 3 3 一 例 2 2 i (e ) e . 章
2
复 数 与 复 变 函 数
1 3 i (e 2 2 1 3 (e i 2 2
3
3
π i 3 3
) eπ i -1 . ) e-π i -1 .
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
P10 、 补
y
z1 z2 z2
2 1
z1
x
Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 . (在集合意义下?)
(集合意义)
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积； 幅角等于它们幅角的和。 13
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 章 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 复 数 iθ1 z r e r1 i (θ1 -θ2 ) 与 除法 1 1 e . i θ2 z2 r2 r2 e 复 变 z1 | z1 | 函 , 即 数 z2 | z2 |
6
§1.2 复数的几种表示 第 一 章
2i 2(1 - i ) -3 - i . 复 解 z 1- i i 数 与 | z | (-3)2 (-1)2 10 , 复 变 -1 函 arg z arctan ( ) -π -3 数 1 arctan - π . 3
y
-3
利用欧拉公式 ei cos i sin 得
11
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 解 | z | 12 4 4 , 复 数 与 复 变 函 数
y
2
- 12
2 arg z arctan ( ) π - 12 1 - arctan π 3
π 5π - π . 6 6
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。 法则 设 z r ei , 则 z n ( r ei )n r n ei n .
17
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 复 数 由 z n ( r e i )n r n e i n 以及复数的三角表示式可得 与 z n [r (cos i sin )]n r n (cos n i sin n ) . 复 变 在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式： 函 数 (cos i sin )n cos n i sin n . 进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。
y
|z| arg z
x
z x yi
O
x
9
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 P9 章 1. 复数的三角表示 y 如图，由 x r cos , y r sin , z x yi y 复 r 有 z r cos i r sin 数 与 r (cos i sin ) . x O x 复 变 函 定义 设复数 z 0 , r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 数 称 z r (cos i sin ) 为复数 z 的三角表示式。
π
x
5π 5π i sin ). 复数 z 的三角表示式为 z 4 (cos 6 6
复数 z 的指数表示式为 z 4 e
5π i 6 .
12
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 章 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 复 数 iθ iθ 与 乘法 z1 z2 r1 e 1 r2 e 2 复 变 r1 r2 ei (θ1 θ2 ) . 函 数 即 | z1 z2 | | z1 | | z2 | ,
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
y
z1 z2 z2
2 1
z1
x
z1 z2
z1 Arg ( ) Arg z1 - Arg z2 . z2
(在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商； 幅角等于它们幅角的差。 14
§1.2 复数的几种表示 第 例 计算 i . 1- i 一 章 π
复数 z 的 n 次方根一般是多值的。
20
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根
利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。 复 数 n i n i i i n e r e , w e , z r e , 推导 设 由 w z有 与 复 n 即 (cos n i sin n ) r (cos i sin ) , 变 函 n r , n r ; —— 正实数的算术根。 得 数 2 n 2k , k k , (k 0, 1,, n - 1) . n n
注 复数 0 的模为 0，辐角无意义。 5
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： 复 Arg z 且 - π π , 数 与 则称 为复数 z 的主辐角，记作 arg z . 复 变 由此就有如下关系： 函 数 Arg z arg z 2k π , k 0 , 1 , 2 , .
2
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 1. 复平面 虚轴 章 z x yi 在复平面上，从原点到点 z x i y y 复 所引的向量与该复数 z 也构成一一 数 x 与 O 实轴 对应关系(复数零对应零向量)。 复 变 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。 函 数 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z | .
(2) 向量 z 的“方向角” (?)
Arg z . 称为复数 z 的辐角，记为
4
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 两点说明 复 (1) 辐角是多值的， 相互之间可相差 2 k π , 其中 k 为整数。 数 与 y (2) 辐角的符号约定为： z 复 变 逆时针取正号，顺时针取负号。 函 数 x 例如 对于复数 z -1 i , 则有 | z | 2 , 3π Arg z 2k π , k 0 , 1 , 2 , . 4
i
解 由 i e 2 , 1- i 2e 有 复 数 π i π π 3π 2 与 1 ( 2 4 )i e i 1 4 i 1 1 e e i. 复 π 2 2 1- i 2 2 - i 4 变 2e 函 数 i 1 i - 1 i 附 一些“简单”复数的指数形式
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§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根 复 (k 0, 1,, n - 1) . wk n z n r e n 数 与 描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地 复 变 分布在一个以原点为中心、以 函 n 其中一个 r 为半径的圆周上。 数 根的辐角是 ( /n) . 方法