第三章复变函数积分

1第三章 复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。

解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。

同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。

§3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。

今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。

在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤tt 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。

定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ：)(t z z =，βα≤≤t ，以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。

在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，把曲线C 分成n 个小弧段。

在每个小弧段上任取一点k ζ，作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ，其中1--=∆k k k z z z ，记{}n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到b ）的积分，并记为⎰=Cdz z f J )(，即为∑⎰=→∆=nk k kCz f dz z f 1)(lim )(ζλ。

第三章复变函数的积分复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都可以通过积分形式反映出来。

§1.复积分的概念一.复积分的定义与计算1．有向曲线设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向,2.复积分的概念定义：设C 为z 平面上一条以A 为起点，以B 为终点的简单光滑曲线，复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任. -C 记为取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段，（k k k y i x z +=，k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1）在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=，作和式(),z f S nk k k n ∑=∆=1ς设,max k z ∆=λ若当0→λ时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及k ς的取法无关，则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的复积分，记作()⎰c dz z f ；若曲线方向改为由B 到A ,则积分记作()⎰-c dz z f ；当C 为简单闭曲线时，则此积分记作()⎰c dz z f .（规定逆时针方向为C 的正向）定理3.1设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续，则积分()⎰c dz z f 存在，且为()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=cccdy y x u dx y x v i dyy x v dx y x u dz z f 此式说明，复积分的计算问题可以转化为二元实函数的曲线积分来处理。

（注：上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分dy i dx dz +=相乘后得到的，这样便于记忆）特别地，若C 的参数方程为：()()()t y i t x t z +=（()()B b z A a z ==,），则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()[]()[]().,,,,,,,,,,dt t z t z f dtt y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dyy x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f bababab accc'='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1计算dz z c⎰，其中C 是如图所示：x1i1c 2c 3c （1）从点1到点i 的直线段1c ；（2）从点1到点0的直线段2c ，再从点0到点y的直线段i 的直线段3c 所连接成的折线段c =2c +3c .问题：影响积分的因素有哪些？例2计算()⎰-c nzz dz0，其中n 为任何整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.例3计算⎰czdz 其中C 为从原点到点3+4i 的直线段.二.复积分的基本性质(1)()()[]()()⎰⎰⎰±=±c c c dz z g dz z f dz z g z f ；(2)()()⎰⎰=ccdz z f k dz z kf ；(3)()()⎰⎰--=c cdz z f dz z f ;(4)()()()⎰⎰⎰+=21c c c dz z f dz z f dz z f ,其中21C C C +=；(5)()()⎰⎰≤≤ccML ds z f dz z f .（积分估值）例4设C 为从原点到点3+4i 的直线段，试求积分⎰-ci z dz模的一个上界。

习题 3第三章 复变函数的积分1.（1）计算积分11z dz -⎰，积分路径是直线段解：C: z=x,-1≤x ≤1因此，11z dz -⎰=11x dx -⎰=1()2计算积分11z dz -⎰,积分路径是上半单元圆周解 c:i z e θ=,θ是从π变到0,因此()011cos sin i i cz dz de i e d i d θθππθθθθ-===+=⎰⎰⎰⎰22．（1）利用积分估值，证明()22cxiy dz 2+≤⎰，其中C 是连接-i 到i 的直线段。

证明：C: x=0,-1y 1≤≤因为()2222f z x iy iy y 1=+==≤ 而积分路径长为()i--i 2= 故()()i2222cixiy dz xiy dz 12=2-+=+≤⨯⎰⎰（2）利用积分估值，证明22()cx iy dz π+≤⎰，其中C 是连接-i 到i 的右半圆周.证明：C ：221x y +=，0x ≥2244()()1f z x iy x y =+≤+≤，右半圆为长度为π。

22(())()Cx iy f z L +≤⎰，L π=；即：22(())1Cx iy ππ+≤⋅=⎰3.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周z 1=。

()cdz1cos z⎰ 证：因为距离原点最近的奇点Z=2π±，在单位圆z 1≤外部，所以1cos z在z 1≤上处处解析，由积分柯西定理知c dz0cos z =⎰ （2）256zCdzz e z ++⎰证：2(2)(3)56zzz z z eez=++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤外部，所以222zz ez++在1z ≤处处解析。

由柯西积分定理：2056zCdzz e z=++⎰。

（3）2cos Cz dz z ⎰证：因为2cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理知：2cos 0Cz dz z =⎰ 。

4、求积分()d z z az ⎰++π202182解：由于()1822++=z z z f 在z 平面上解析，所以在z 平面内积分与路径无关。

第三章 复变函数的积分本章要求1．正确理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法. 2．明确柯西积分定理及其几种推广的条件和结论.能运用柯西定理、柯西公式、高阶导数公式来求积分.3．掌握柯西不等式、刘维尔定理、代数学基本定理.知道摩勒拉定理与柯西定理组成了解析函数的一个充要条件.4．明确调和函数与共轭调和函数的概念，会由已知的调和函数u 和v 求出解析函数u iv +．本章重点 柯西定理、柯西公式、高阶导数公式及其应用.本章难点柯西定理、柯西公式、刘维尔定理.§3.1 复积分的概念及其简单性质1.复变函数积分的定义定义3.1 设有向曲线C ：()()βα≤≤=t t z z ,以()αz a =为起点, ()βz b =为终点, ()z f 沿C 有定义.顺着C 从a 到b 的方向在C 上取分点:b z z z z a n n =⋅⋅⋅=-,,,110把曲线C 分成若干个弧段(图3.1),在从1-k z 到k z ),,2,1(n k ⋅⋅⋅=的每一段上任取一点k ζ.作成和数:()kk nk n z f s ∆=∑=ζ1其中1--=∆k k k z z z .当分点无限增多.而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数n s 的极限存在且等于J ,则称()z f 沿C (从a 到b )可积,而称J 为沿C (从a 到b )的积分,并以记号()dz z fc ⎰表示:()dz z f J c ⎰=C 称为积分路径. ()dz z f c ⎰表示沿C 的正方向的积分, ()dz z f c -⎰表示沿C 的负方向的积分.如果J 存在,我们一般不能把J 写成()dz z f b a ⎰的形式,因为J 的值不仅和b a ,有关,而且和积分路径C 有关.显然, ()z f 沿曲线C 可积的必要条件为()z f 沿C 有界.另一方面,我们有 定理3.1 若()()()y x iv y x u z f ,,+=沿曲线C 连续,则()z f 沿C 可积,且().udy vdx i vdy udx dz z f c c c +⎰+-⎰=⎰ (3.1)注: 公式()1.3可以在形式上看成函数()iv u z f +=与微分idy dx dz +=相乘后所得到的.例3.1 命C 表连接点a 及b 的任一曲线,试证()()()22212;1a b zdz a b dz c c -=⎰-=⎰证: (1) 因()()ab z z s z f k k nk n -=-∑==-=11,1,故ab s n n k z -=→∆∞→0m ax lim ,即a b dz c -=⎰(2) 因()z z f =,选1-=k k z ζ,则得 (),1111--=-∑=∑k k k nk z z z 但我们又可选k k z =ζ,则得 (),112-=-∑=∑k k k nk z z z由定理 3.1,可知积分zdz c ⎰存在,因而n s 的极限存在,且应与1∑及2∑的极限相等,从而应与的极限相等.今()()2221212121)(2121a b z z k k n k -=-∑=∑+∑-=所以()2221a b zdz c -=⎰注 当C 为闭曲线时, .0,0=⎰=⎰zdz dz c c2. 复变函数积分的计算问题设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,这就表示()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.今()[]()()[]()()[]()()t iv t u t y t x iv t y t x u t z f ==+=,,,由公式(3.1)我们有()()()()()()()()()c c c f z dz udx vdy i udy vdxu t x t v t y t dt i u t y t v t x t dt ββαα⎰=⎰-+⎰+''''⎡⎤⎡⎤=⎰-+⎰+⎣⎦⎣⎦即 ()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3.2)或()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (3.3)用公式(3.2)或(3.3) 计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.(3. 2)或(3.3)称为复积分的变量代换公式.例3.2 (重要的常用例子)()=-⎰n ca z dz⎩⎨⎧≠=)1(,0)1(,2n n i π这里C 表示以a 为心,ρ为半径的圆周.(注意;积分值与ρ,a 均无关)证 C 的参数方程为:.20,πθρθ≤≤=-i e a z 故 ();220202.3i d i e e i a z dz i i c πθρρπθθπ=⎰=⎰=-⎰ 当n 为整数且1≠n 时,()()()()1220122001cos 1sin 10i i n cnn in n n dzi e d i e d e z a in d i n d θθππθππρθθρρθθθθρ----⎰=⎰=⎰-⎡⎤=⎰--⎰-=⎣⎦3. 复变函数积分的基本性质设()()z g z f ,沿曲线C 连续,则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性质;()()a dz z f a dz z af c C ,)1(⎰=⎰是常数; (2) ()()[]()();dz z g dz z f dz z g z f c c c ⎰+⎰=+⎰(3) ()()(),21dz z f dz z f z f c c c ⎰+⎰=⎰ 其中C 由曲线1C 和2C 衔接而成;(4) .)()(⎰⎰-=-CC dz z f dz z f(5).)()()(ds z f dz z f dz z f CCC⎰⎰⎰=≤ 这里dz 表示弧长的微分,即ds dy dx z d =+=22)()()( 要得到(5)式,只要把下列不等式取极限:.)()()(111∑∑∑===∆≤∆≤∆nk k k n k k k nk k ks f z f z f ζζζ定理 3.2(积分估值) 沿曲线C ,)(z f 连续,且有正数M 使M z f ≤)(,L 为之C 长,则.)(ML dz z f C≤⎰证 由不等式,)(11ML z M z f nk k nk k k≤∆≤∆∑∑==ζ取极限即得证.例3.3 试证.22≤⎰C z dz积分路径C 是连接i 和i +2的直线段.证 C 的参数方程为)2()1(i t i t z ++-= ),10(≤≤t 即 i t z +=2 ),10(≤≤t沿C ，21z 连续，且.114111222≤+==t z z而C 之长为2.由定理3.2,.22≤⎰C z dz例3.4 试证),0(2))((22r a r a r ra z a z dz r z ≠>-<+-⎰=π证 若,0=a 则02=⎰=r z z dz (例3.2),不等式成立;若0≠a ,,则由负积分的基本性质(5),,2))((222222a z r a r dz a z dz a z a z dz r z r z r z -=-<-≤+-⎰⎰⎰===π注 数学分析中实变函数的积分中值定理,不能直接推广到负积分上来.因由,0s i n c o s 202020=+=⎰⎰⎰πππθθθθθθd i d d e i而(20)0i e θπ-≠，即可看出.3.2 柯西积分定理1. 柯西积分定理定理3.3 设)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析, C 为D 内任一条围线, 则.0)(=⎰Cz f要证明这个定理是比较困难的.1851年，黎曼在附加假设“)(z f '在D 内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明.黎曼证明 令),(),()(,y x iv y x u z f iy x z +=+=，由公式（3.1）,,)(⎰⎰⎰++-=CCCudy vdx i vdy udx dz z f而)(z f '在D 内连续,导致y x y x v v u u ,,,在D 内连续,并适合..R C -条件: 有格林定理, ,0,0=+=-⎰⎰CCu d y v d x v d y u d x故得.0)(=⎰dz z f C现在先由柯西积分定理，可以得到定理3.4 设)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析, C 为内任一闭曲线(不必是简单的),则.0)(=⎰dz z f C证 因为C 总可以看承区域D 内有限多条围线衔接而成(如图3.3).再由复积分的基本性质（3）及柯西积分定理3.3,即可得证.推论 3.5 设)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析,则)(z f 在D 内积分与路径无关,即对D 内任意两点0z 与1z ,积分: ⎰1)(z z dzz f 之值,不依赖于D 内连接起点0z 与终点1z 的曲线.3不定积分柯西积分定理3.3已经回答了积分与路径无关的问题,这就是说,如果在单连通区域D 内)(z f 解析,则沿D 内任一曲线L 的积分⎰ld f ςς)(只与其起点和终点有关.因此当起点0z 固定时,这积分就在D 内定义了一个变上限z 的单值函数,我们把它记成⎰=ld f Z F ςς)()(定理 3.6 设)(z f 在单连通区域内解析,则由(3.10)定义的函数)(z F 在D 内解析,且)()(z f z F ='定理3.7 设(1) )(z f 在单连通区域D 内连续; (2)⎰ld f ςς)(沿着区域D 内任一围线的积分值为零(从而,积分与路径无关),图3.3则函数⎰=zz d f Z F 0)()(ξξ(0z 为D 内的一定点)在D 内解析,且))(()(D z z f z F ∈='这与数学分析相仿,我们有定义 3.2在区域D 内,如果)(z f 连续,则称合条件))(()(D z z f z ∈='φ的函数)(x φ的)(z f 的一个不顶积分或原函数(显然 )(x φ必在D 内解析)定理3.8在定理3.6或定理3.7的条件下,如果)(x φ为)(z f 的单连通区域D 的任何一个原函数,则),)(()()(000D z z z z d f z z ∈-=⎰φφξξ(3.12)例3.6在单连通区域D; ππ<<-z arg 内,函数z ln 是z z f 1)(=的一个原函数,而z z f 1)(=在D 内解析,故由定理3.8有)(ln 1ln ln 1D z z z d z ∈=-⎰ξξ(3.12)4柯西积分定理的推广首先我们来证明柯西积分定理3.3与下面的定理是等价的.定理 3.3’ 设是一条围线,D 为C 之内部,发)(z f 在闭域D =D+C 上解析则⎰cdz z f )(=0证(1)由定理3.3推证定理3.3’由定理3.3'的假设, ()z f 必在z 平面上一含D 的单连通区域G 内解析,于是由定理3.3就有()0=⎰Cdz z f .(2) 由定理3.3'推证定理3.3由定理3.3的假设:“()z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任意一条围线”，今设G 为C 之内部，则()z f 必在闭域C G G +=上解析.于是由定理 3.3'就有：()0=⎰Cdz z f下面的定理要比定理3.3'更一般，它是从一个方面推广了的柯西积分定理. 定理3.9 设C 是一条围线，D 为C 之内部，()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续（也可以说“连续到C ”），则：()0=⎰Cdz z f因()z f 沿C 连续，故积分()dzz f C ⎰存在.在C 的内部作围线n C 逼近于C ，由定理3.3'知()0=⎰dz z f nC .我们希望取极限而得出所要的结论.这种想法提供了证明本定理的一个线索,但严格的证明都比较麻烦,故从略不证.例 3.7 计算下列积分: (1)()dzz In rz ⎰=+1 ()10<<r ; (2)dz z C⎰21,其中C 为右半圆周: 3=z ,0Re ≥z ,起点为i 3-,终点为i 3;(3) dzz z ⎰=-11,其中z 取11-=那一支.5. 柯西积分定理推广到复围线的情形下面我们从另一个方面推广柯西积分定理,即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域,推广到以多条围线组成的”复围线”为边界的有界多连通区域.定义 3.3 考虑1+n 条围线n C C C ,,,10 ,其中,,,,21n C C C 中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在0C 的内部. 在0C 的内部同时又 在,,,,21n C C C 外部的点集构成一个有界的多连通区域D ,以.,,,,210n C C C C 为它的边界.在这种情况下,我们称区域D 的边界是一条复围线---++++=n C C C C C 210,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的n C C C ,,,21 .换句话说,假如观察者沿复围线C 的正方向绕行时,区域D 的点总在它的左手边(图3.10是2=n 的情形).定理 3.10 设D 是由复围线---++++=n C C C C C 210所围成的有界多连通区域,()z f 在D 内解析,在C D D +=上连续,则: ()0=⎰Cdz z f ,或写成:()()()⎰⎰⎰--+++n C C C dzz f dz z f dz z f 010=, (3.13)或写成 ()()()dz z f dz z f dz z f C C C n⎰⎰⎰++=01. (3.14)证 取1+n 条互不相交且全在D 内(端点除外)的光滑弧n L L L L ,,,,210 作为割线.用它们顺次的与.,,,,210n C C C C 连接.设想将D 沿割线割破,于是D 就被分成两个单连通区域(图3.10是2=n 的情形),其边界各是一条围线,分别记为1Γ和2Γ.而由定理3.9,我们有()(),0,021==⎰⎰ΓΓdz z f dz z f将这两个等式想加,并注意到沿着n L L L ,,,10 的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到()0=⎰Cdz z f .从而有(3.13)和(3.14).例3.8 设a 为围线C 内部一点,则()()()⎩⎨⎧≠==-⎰.,1012且为整数n n i a z dzCnπ证 以a 为圆心画圆周'C ,使'C 全含于C 的内部,则由(3.14)()()⎰⎰-=-'C nCna z dza z dz再由例3.2即得要证明的结论.§3.3 柯西积分公式及其推论1. 柯西积分公式我们利用柯西积分定理(复围线形式)导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式.定理 3.11 设区域D 的边界是围线(或复围线)C ,()z f 在D 内解析,在C D D +=上连续,则有:()()ζζζπd z f i z f C ⎰-=21 ()D z ∈ (3.15)这就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式,因而是今后我们研究解析函数的重要工具.定义3.4在定理3.11的条件下, ()()C s d z f i c ∈-⎰,21ζζζπ 称为柯西积分.思考题 在定理3.11的条件下,如果D z ∈,则柯西积分()ζζζπd z f i ⎰-21之值如何?柯西积分公式(3.15)可以改写成()()(),2D z if d z f c ∈=-⎰ｚ πζζζ借此公式可以计算某些围线积分(指路径是围线的积分).例 3.10 设C 为圆周2=ζ,则按(3.15),()()()22292.959Cc id d i i i ζζζζπζζζπζζζζ=--==⋅=----+⎰⎰注意到()29ζζζ-=f 在闭圆2≤ζ上解析,定理 3.11的条件满足,故公式(3.15)可以应用,因而上面的计算是正确的.定理3.11的特殊情形,有如下的解析函数的平均值定理.定理 3.12 如果函数()ζf 在圆R z <-0ζ内解析,在闭圆R z ≤-0ζ上连续,则()()ϕπϕπd R z f z f i +=⎰020021既()ζf 在圆心0z 的值等于它在圆周上的值的算术平均数.证 设C 表圆周,0R z =-ζ,则， πϕζϕ20,0≤≤=-i R z 或 =ζ，ϕi R z +0 由此 ，ϕζi iR d =根据柯西积分公式(3.15)()()()22292.959Cc id d i i i ζζζζπζζζπζζζζ=--==∙=----+⎰⎰根据()ζf 的连续性，对任给的0>ε，存在0>δ，只要z -ζ=δρ<，就有()()(),2ργζπεζ∈<-z f f由定理3.2知（3.17）不超过επρπρε=∙22，于是证明了（3.16）. 定理得证例3.11 设()z f 在闭圆R z =上解析.如果存在0>a ,使当R z =时 : (),a z f > 而且 (),0a f <试证:在圆R z <内()z f 至少有一个零点. 证明：反证法假设()z f 在圆R z <内没有零点，由假设f (z )在圆周|z |=R 上也无零点，于是()()z f z F 1=在闭圆R z ≤上解析.由解析函数的平均值定理,201(0)(Re ),2i F F d πϕϕπ=⎰又由题设()(),1010a f F >=()(),11aR f R F i i <=ϕϕ从而 ()().12211210120a a d R F F ai =⋅⋅≤=<⎰ππϕπϕπ矛盾.故在圆R z <内()z f 至少有一个零点.2. 解析函数的无穷可微性我们将柯西积分公式(3.15)形式地在积分号下对z 求导后得()()()()， D z d z f i z f c∈-='⎰ζζζπ221 (3.18)这样继续一次又可得()()()(),223D z d z f i z f c ∈-=''⎰ ！ζζζπ我们将对这些公式的正确性加以证明.定理3.13 在定理11.3的条件下,函数()z f 在区域D 内有各阶导数,并且有()()()()()()1!.1,2,2n C n f n f z d D n i z ζζπζ+=∈=-⎰ ｚ (3.19)例3.12 计算积分 (),c o s 3dz zci z ⎰-其中C 是绕i 一周的围线.解 因为z cos 在z 平面上解析，应用公式（3.19）于z z f cos )(=，我们得()().2cos !22cos 1"3|cos i e i i idz ze z i z iz c+-=-==-=⎰-πππ应用上述定理，我们得出解析函数的无穷可微性：定理3.14 设()z f 在z 平面上的区域D 内解析，则()z f 在D 内具有各阶导数，并且它们也在D 内解析.借助解析函数的无穷可微性，我们现在来把判断函数()z f 在区间D 内解析的一个充分条件——定理2.5，补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理：定理3.15 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是 （1） v v u u yx y x,,,在内连续；（2） ),(),,(y x v y x u 在D 内满足C -R 条件. 3. 柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理利用定理3.13可以得出一个很有用的导数的估计式： 柯西不等式设)(z f 在区域D 内解析，a 为D 内一点，以a 为心作圆周R a =-ζγ:，只要γ及其内部K 均含于D ，则有(),)(!)(Rfnn R M n a ≤其中,...2,1,)()(m ax ===-n z f R M Ra z证 应用定理3.13于K -上，则有().)(!2)(2!)(2!11)()(RR a a f n n n n R M n R R M n d f i n =⋅⋅≤=++⎰-ππζζπγζ在整个复平面上解析的函数称为整函数.例如多项式，z e zcos ,及z sin 都是整函数.常数当然也是整函数.应用柯西不等式，可得一关于整函数的定理：刘维尔定理有界整函数)(z f 必为常数.应用刘维尔定理可以很简洁地证明： 代数学基本原理在z 平面上，n 次多项式())0( (01)10≠+++=-a a za z a n n nz p至少有一个零点.4. 摩勒拉（Morer a ）定理我们现在来证明柯西积分定理（定理3.3）的逆定理，称为摩勒拉定理. 定理3.16 若函数()z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内的任一围线C ，有 (),o dz z f c=⎰则()z f 在D 内解析.下面我们着重指出刻划解析函数是第三个等价定理. 定理3.17()z f 在区域G 内解析的充要条件是:(1) (1) ()z f 在G 内连续;(2) (2) 对任一围线C ,只要C 及其内部全含于G 内,就有().0=⎰dz z f c证 必要性可由柯西积分定理3.3导出.至于充分性,我们可在G 内任一点z 0的一个领域ρζ<-z K 0:内来应用定理 3.16,只要ρ充分小,就知道()z f 在圆K内解析.特别说来,在z 0解析,因为z 0可在G 内任意取,故()z f 在G 内解析.例3.13例3.13如果()z f 为一整函数,且有使()Re f z M <的实数M 存在,试证()z f 为常数.证 令()()ez f z F =,则()z F 为整函数.又在z 平面上()()e eMz f z F <=Re故有界,由刘维尔定理可见()z F 是常数.因此()z f 也是常数.例3.14设()z f 是整函数,n 为正整数,试证当 ()0lim=∞→znz z f时,()z f 至多是n-1次多项式.证 由第二章习题(一)6(1)及定理3.8,只须证得对任何的()().0,=z z f n由()0lim=∞→znz z f可知,对任给的0>ε,存在0>R ,只要R z >时就有().znz f ε<在z 平面上任取一点z.再取以z 为心,以r 为半径的圆周C ,使圆周{}R z z C ==|1全含于其内部.于是有z r >.这时对于C ∈ζ,必R >ζ,因而()().r z nnf +≤<εεζζ由柯西不等式可得()()().!!!21εεεnnnnn n n n z r z r z r f ≤=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++因为0>ε是任意的,所以 ()().0=z f n故()z f 至多是n-1次多项式.5. 柯西型积分 定义4.3'设C 为任一条简单逐段光滑曲线(不必闭合),()ζf 是在C 上有定义的可积函数,则具有如下形式的积分:()()C z d z f i c ∉-⎰ζζζπ21称为柯西型积分.显然柯西积分为柯西型积分的特例,但柯西型积分就不一定为柯西积分. 例如:[]).1,1(,21)3()1(,121)2();1(,21)1(1111-∈-≠-≠-⎰⎰⎰-==z z x dx i z d z i z d z i πζζζπζζζπζζ(显然(1)可变形为(2);(2)、(3)的计算留给读者).这三个积分都是柯西型积分而非柯西积分.类似定理3.13的证明,我们可以得到类似定理3.13的结果.定理13.3'若()z f 沿简单逐段光滑曲线C (不必闭合)连续,则由柯西型积分()())(,21C z d z f i z F c ∉-=⎰ζζζπ所定义的函数()z F ,在z 平面上C 外任一区域D 内解析,且()()()(),...).2,1,(,2!1=∈=⎰-+n D z d f i n z cn n z F ζζπζ证明留给读者.§ 4. 解析函数与调和函数的关系在前一节,我们已经证明了,在区域D 内解析的函数具有任何阶的导数.因此，在区域D 内它的实部u 与虚部v 都有二阶连续偏导数.现在我们来研究应该如何选择u 与v 才能使函数iv u +在区域D 内解析.设()iv u z f +=在区域D 内解析，则由C -R 条件,,x v yu y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 得,,222222xy v uy x vuy x∂∂-=∂∂∂=∂∂∂∂∂因x y vyx v∂∂∂∂∂∂22及在D 内连续，它们必定相等，故在D 内有,02222=∂+∂∂∂y x u u同理，在D 内有,02222=∂+∂∂∂y x v v即u 及v 在D 内满足拉普拉斯（L a pl a ce ）方程： .0,0=∆=∆v u这里yx2222∂+∂≡∆∂∂是一种运算记号，称为拉普拉斯算子.定理3.5如果二元实函数()y x H ,在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程0=∆H ,则称()y x H ,为区域D 内的调和函数.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中. 定义3.6在区域D 内满足C -R 条件,,x v yu y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 的两个调和函数v u ,中,v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数.由上面的讨论,我们已经证明了:定理3.18 若),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,则在区域D 内()y x v ,必为()y x u ,的共轭调和函数.现在接着上面的讨论.反过来,如果v u ,是任意选取的在区域D 内的两个调和函数,则iv u +在D 内就不一定解析.要想iv u +在区域D 内解析,u 及v 还必须满足C -R 条件.即v 必须是u 的共轭调和函数.由此,如已知一个解析函数的实部()y x u ,(或虚部()y x v ,)就可以求出它的虚部()y x v ,(或实部()y x u ,）.假设D 是一个单连通区域，()y x u ,是区域D 内的调和函数，则()y x u ,在D 内有二阶连续偏导数，且 02222=∂∂+∂∂y ux u即:x uy u ∂∂∂∂-,在D 内有一阶连续偏导数，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x u x y u y由数学分析的定理，知道dyx u dx yu ∂∂+∂∂-是全微分， 命()y x dv dy x udx y u ,=∂∂+∂∂-(3.21)则()()()C dy x udx y u y x v y x y x +∂∂+∂∂-=⎰,,00, （3.22）,其中()00,y x 是D 内的定点, ()y x ,是D 内的动点，C 是一个任意常数，积分与路径无关.将（3.22）式分别对y x ,求偏导数，得x u y v y u x v ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,，这就是C .-R.条件.由定理3.15知iv u +在D 内解析.故得定理3.19 设()y x u ,是在单连通区域D 内的调和函数,则存在由（3.22）式所确定的函数()y x v ,,使()z f iv u =+是D 内的解析函数.注 (1) 如单连通区域D 包含原点,则（3.22）式中的()00,y x 显然可取成原点(0,0)；如D 非单连通区域，则积分（3.22）可能规定一个多值函数.(2) 公式（3.22）不必强记,可以先如下去推（3.21）：由()dy u dx u R C dy v dx v y x dv x y y x +--+=..,，然后两端积分之.(3) 类似地，()dy v dx v R C dy u dx u y x du x y y x --+=.., 然后两 端积分，有()()()Cdy v dx v y x u y x y x x y +-=⎰,,00,思考题（1）“v 是u 的共轭调和函数”，其中u v ,是否可以交换顺序？ （2）如果v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是什么？例3.15 验证()233,xy x y x u -=是z 平面上的调和函数,并求以()y x u ,为实部的解析函数()z f ,使合().0i f =解 因在z 平面上任一点2233y x u x -=,26x u y-=x u xx 6=,x u yy 6-=故()y x u ,在z 平面上为调和函数.法一()()()()()()()()()Cy y x Cdy y x Cdy y x xydx dyy x xydx y x uv yy x x x +-=+-=+-++-+⎰⎰⎰32022,0,220,0,02233333633622.3,故()()()33223333f z u iv x xy i x y y C x iy iC z iC=+=-+-+=++=+要合().0i f =必,1=C 故()i z z f +=3法二 先由C .-R 条件中的一个得2233y x u v x y -==故 ()x y y x v ϕ+-=323.再由C .-R 条件中的另一个得()xy u x xy v y x 66'=-=+=ϕ故 ()0'=x ϕ即()C x =ϕ因此()C y y x y x v +-=323, (下同法一)例 3.16 验证()()0,>=x x yarctgy x v 在右半z 平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数()z f .解: ()0122222>+-=+-=x y x y x y x y v x , ()0112222>+-=+=x y x x x y x v y()2222yxxyv xx +-=,()()02222>+=x yxxyv yy于是()00>=+x v v yy xx ,故在右半z 平面内, ()y x v ,是调和函数.()()()()()()2222,..1ln 2x x u x y u dx y C R v dx y x dx y x y y x y φφφφ=+-+=+=+++⎰⎰⎰两端对y 求导()22'22..2.21y x y v R C u y y x y xy +=--=++φ所以 ()0'=y φ,从而()C y =φ(任意常数),()()C y x y x u ++=22ln 21,故:()()()221ln 02ln arg ln yf z x y C iarctg x x z i z C z C =+++>=++=+它在右半z 平面内单值解析.。