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l
f ( z )dz =
l
l1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l2 ln
l2
l3
l1
B
19
e 例2 计算积分 dz , 为正向圆周 z = 2 和负 z y = 1 所组成 . 向圆周 z l
1
z
解 l1 和 l2 围成一个圆环域,
例3 求
l
1 n 1 dz , l 为以 z0 为中心 , r 为半 ( z z0 )
y
径的正向圆周, n 为整数 . 解
z
积分路径的参数方程为
z0
o
r
l : z = z0 re i
(0 2π),
x
l
i 2π 1 ire dz = 0 n1 i ( n1) d n1 r e ( z z0 ) i 2π in = n e d , r 0
a
a
l1
x
1 l l 1 为边界的复连通域 n1 在以 (z a)
内处处解析 ,
21
由复合闭路定理,
1 1 ( z a)n1 dz = ( z a)n1 dz l l1
小圆的参数方程:
i
y
l
a
l1
z = a e 0 此结论非常重要, 闭曲线x 2 π, 不必 in i 2π ie 1 2π 是圆, a也不必是圆的圆心, ie dz = d d = 0 n ( z a )n1 0 ( e只要a在简单闭曲线内即可. i n 1 ) l1
11
当 n = 0 时,
y
z
l
1 2π dz = i d = 2i; 0 ( z z0 )
o
z0
r
当 n 0 时,
x
l
1 i 2π dz = n (cos n i sin n )d = 0; n1 r 0 ( z z0 )
2i , 1 所以 dz = n1 ( z z0 ) 0, z z0 = r
n = 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
12
2.2 柯西定理 (一)单连通区域柯西定理 讨论复变函数积分值与积分路径的关系 定理1：单连通区域柯西定理
如果函数f (z)在闭单连通域 B上解析，则沿B上任一分段光 滑闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
l
B
f (z)dz = 0
Cf ( z )dz = C
l
f ( z )dz , 其中C为复常数
(4)函数的和的积分等于各函数积分之和
f ( z ) g( z ) dz =
l
l
f ( z )dz g ( z )dz;
l
(5)积分不等式
l
f ( z )d z
l
f ( z) d z
特别地，若在l上有 f ( z) M ，l的长记为l，则 性质(5)成为
l
f ( z )dz = f ( z )dz
k =1 lk
n
其中 l 是由 l 1 , l 2 , L, l
n
等光滑曲线依次
7
相互连接所组成的按段 光滑曲线.
(2)若l和l-是同线段但走向相反,则
l
l
f ( z )dz = f ( z )dz;
l
(3)常数因子可以移到积分号外
l l
6
积分的计算法2:参数方程法 设路径l的方程（参数方程）为: z=z(t) (α≤t≤β) 由求导法则， dz=z’(t) dt, 则有
f ( z )dz =
l
f [ z ( t )]z ( t )dt
(三)性质： 设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则
(1)全路径上的积分等于各段上积分之和
l
13
证明： (z)dz = l u( x, y)dx v( x, y)dy i l v( x, y)dx u( x, y)dy f
l
格林公式
Pdx Qdy = (
l S
Q P )dxdy x y
积分值的实部:由格林公式化成面积分
l
b
f ( k ) zk . a
n k =1
n
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
o
x
4
关于定义的说明: (1) 如果 l 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 f ( z )dz .
l
注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者 左侧的曲线为正 (2) 如果 l 是 x 轴上的区间 a x b, 而 f ( z ) = u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数
l1 l2
z0
例1 计算积分
z =1
1 dz . 2z 3
y
解
1 函数 在 z 1内解析 , 2z 3 根据柯西定理, 有 1 z = 1 2 z 3 d z = 0.
·
o r =1
15
x
（二）复连通域柯西定理 下图表示一个由边界L和l1 构成的闭二连通区域B. 设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.
定积分的定义 .
5
(二).积分的计算法
积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分
注意到：
f z = u x, y iv x, y ; dz = dx idy
代入积分定义有：
f ( z )dz = u iv dx idy
l l
= udx vdy i udx vdy
在l上， f z = z = (3 4i )t ,
dz = ( 3 4i )dt ,
y
4i
l
zdz = (3 4i ) 2 tdt
1 0
= ( 3 4 i ) 2 td t
0
1
3,4
·
( 3 4i )2 = . 2
o
3
x
9
例2 计算 l z dz , 其中 l 为 : 圆周 z = 2. 解 积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为
o
y
l
b
a
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
x
3
作和式 S n = f ( k ) ( zk zk 1 ) = f ( k ) zk ,
k =1 k =1
n
n
这里 zk = zk zk 1 , 当 n 无限增加 , 如果不论对 l 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 l 的积分 , y 记为
a
2 i , n = 0 1 = 故 n 1 dz a) n 0. 0, l (z
22
（五）柯西定理小结
1. 单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲 线的积分为零。 2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的 和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分
l : z = 2e i
i
(0 2π),
y
f z = z = 2e , dz = 2ie i d
l
z dz = 2 2ie i d
0
2π
( 因为 z = 2 )
= 4i (cos i sin )d
0 2π
f z = z
o
r
= 0.
x
10
z = z e i
l
f ( z )dz Ml
8
例1 计算 zdz , l : 从原点到点 3 4i 的直线段 . l 解:采用参数方程方法 y=3x/4,令x=t. x = 3t , 直线的参数方程: 0 t 1, y = 4t ,
l方程 : z =x +iy=(3 4i )t ,
18
(多连通域柯西定理) 设B是以 C = l l1 ln
边为界的n+1闭连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑 闭曲线l内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若f (z)在 B 边界上连续，在B内解析，则有
C
f ( z )dz = 0
其中C取关于区域B的正向，或写为：
B B
l
Sl
R
CR
A
23
A
思考题
复函数 f ( z ) 的积分定义式 f ( z )dz 与一元 函数定积分是否一致?
l
答:
若 l 是实轴上区间 [ , ], 则
f ( z )dz =
l
f ( x )dx ,
如果 f ( x ) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.
一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分 记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分, 要受积分路
v u l u( x, y)dx v( x, y)dy = Sl ( x y )dxdy
u v , y x
连续，且
l
u( x, y)dx v ( x, y)dy = 0
同理
u v , v y
v u u u ( ) ( ) = 0 u v = x y y y x y
