高考数学一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示课后作业 理

１．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f（n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{a n}中，S n＝a１＋a２＋…＋a n叫做数列的前n项和２．数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点（n，a n）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a１和a n＋１＝f（a n）或a１，a２和a n＋１＝f（a n，a n—１）等表示数列的方法３．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝错误!４．数列的分类[小题体验]１．数列—１，错误!，—错误!，错误!，…的一个通项公式是________．解析：—１＝—错误!，数列１,４,9,１6，…对应通项n２，数列１,３,５,7，…对应通项２n—１，数列—１,１，—１,１，…对应通项（—１）n，故a n＝（—１）n·错误!.答案：a n＝（—１）n·错误!２．已知数列错误!满足a n＝４a n—１＋３，且a１＝0，则a５＝________.解析：a２＝４a１＋３＝３，a３＝４a２＋３＝１５，a４＝４a３＋３＝6３，a５＝４a４＋３＝２５５．答案：２５５３．数列{a n}的通项公式为a n＝—n２＋9n，则该数列第________项最大．答案：４或５４．若数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，则错误!＝________.解析：∵数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，∴a１＋a２＋a３＝S３＝３２＋３×３＝１8，∵a４＋a５＋a6＝S6—S３＝３6，∴错误!＝２．答案：２１．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．２．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a１，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n—S n—１的形式，但它只适用于n≥２的情形．[小题纠偏]１．已知数列{a n}的前n项和S n＝２n—３，则数列{a n}的通项公式是________________．解析：当n＝１时，a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n—３）—（２n—１—３）＝２n—２n—１＝２n—１.又a１＝—１不适合上式，故a n＝错误!答案：a n＝错误!２．若数列错误!的前n项和S n＝错误!a n＋错误!，则错误!的通项公式a n＝________.解析：由S n＝错误!a n＋错误!得，当n≥２时，S n—１＝错误!a n—１＋错误!，两式相减，得a n＝错误!a n—错误!a n—１，∴当n≥２时，a n＝—２a n—１，即错误!＝—２．又n＝１时，S１＝a１＝错误!a１＋错误!，a１＝１，∴数列{a n}是以１为首项，—２为公比的等比数列，∴a n＝（—２）n—１.答案：（—２）n—１错误!错误![题组练透]１．若a n＝n２＋λn＋３（其中λ为实常数），n∈N*，且数列错误!为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：（函数观点）因为错误!为单调递增数列，所以a n＋１＞a n，即（n＋１）２＋λ（n＋１）＋３＞n２＋λn＋３，化简为λ＞—２n—１对一切n∈N*都成立，所以λ＞—３．故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．法二：（数形结合法）因为错误!为单调递增数列，所以a１＜a２，要保证a１＜a２成立，二次函数f（x）＝x２＋λx＋３的对称轴x＝—错误!应位于１和２中点的左侧，即—错误!＜错误!，亦即λ＞—３，故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．答案：（—３，＋∞）２．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n＋１）0．9n，求n为何值时，a n取得最大值．解：因为a１＝２×0．9＝１．8，a２＝３×0．8１＝２．４３，所以a１＜a２，所以a１不是数列{a n}中的最大项．设第n项a n的值最大，则错误!即错误!解得错误!所以当n为8或9时，a n取得最大值．[谨记通法]求数列中最大或最小项的２种方法（１）单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．（２）不等式组法：若满足错误!则a n为数列{a n}中的最大项；若满足错误!则a n为数列{a n}中的最小项．错误!错误![典例引领]已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式．（１）S n＝２n２—３n；（２）S n＝３n＋b.解：（１）a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n２—３n）—[２（n—１）２—３（n—１）]＝４n—５，由于a１也适合此等式，所以a n＝４n—５．（２）a１＝S１＝３＋b，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋b）—（３n—１＋b）＝２·３n—１.当b＝—１时，a１适合此等式．当b≠—１时，a１不适合此等式．所以当b＝—１时，a n＝２·３n—１；当b≠—１时，a n＝错误![由题悟法]已知S n求a n的３个步骤（１）先利用a１＝S１求出a１；（２）用n—１替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n—S n—１（n≥２）便可求出当n≥２时a n的表达式；（３）对n＝１时的结果进行检验，看是否符合n≥２时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝１与n≥２两段来写．[即时应用]已知数列{a n}的前n项和为S n.（１）若S n＝（—１）n＋１·n，求a５＋a6及a n；（２）若S n＝３n＋２n＋１，求a n.解：（１）a５＋a6＝S6—S４＝（—6）—（—４）＝—２，当n＝１时，a１＝S１＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（—１）n＋１·n—（—１）n·（n—１）＝（—１）n＋１·[n＋（n—１）]＝（—１）n＋１·（２n—１），又a１也适合此式，所以a n＝（—１）n＋１·（２n—１）．（２）因为当n＝１时，a１＝S１＝6；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋２n＋１）—[３n—１＋２（n—１）＋１]＝２·３n—１＋２，由于a１不适合此式，所以a n＝错误!错误!错误![锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：（１）形如a n＋１＝a n f（n），求a n；（２）形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n；（３）形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n.[题点全练]角度一：形如a n＋１＝a n f（n），求a n１．已知a１＝２，a n＋１＝２n a n，则数列{a n}的通项公式a n＝________.解析：∵a n＋１＝２n a n，∴错误!＝２n，当n≥２时，a n＝错误!·错误!·…·错误!·a１＝２n—１·２n—２·…·２·２＝２错误!.又a１＝１也符合上式，∴a n＝２错误!.答案：２错误!角度二：形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n２．已知a１＝１，a n＝a n—１＋错误!（n≥２，n∈N*），求数列{a n}的通项公式．解：由a n＝a n—１＋错误!（n≥２），得a n—a n—１＝错误!—错误!（n≥２）．则a２—a１＝１—错误!，a３—a２＝错误!—错误!，…，a n—a n—１＝错误!—错误!.将上述n—１个式子累加，得a n＝２—错误!.当n ＝１时，a１＝１也满足，故a n＝２—错误!（n∈N*）．角度三：形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n３．已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝３a n＋２，求数列{a n}的通项公式．解：因为a n＋１＝３a n＋２，所以a n＋１＋１＝３（a n＋１），所以错误!＝３，所以数列{a n＋１}为等比数列，公比q＝３，又a１＋１＝２，所以a n＋１＝２·３n—１，所以a n＝２·３n—１—１（n∈N*）．[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．（１）满足a１＝１，a n＝３n—１＋a n—１（n≥２）；（２）满足a１＝１，a n＝错误!·a n—１（n≥２）．解：（１）由a１＝１，a n—a n—１＝３n—１（n≥２），得a１＝１，a２—a１＝３，a３—a２＝３２，…，a n—１—a n—２＝３n—２，a n—a n—１＝３n—１，以上等式两边分别相加得a n＝１＋３＋３２＋…＋３n—１＝错误!.当n＝１时，a１＝１也适合，∴a n＝错误!.（２）a n＝错误!·a n—１（n≥２），a n—１＝错误!·a n—２，…，a２＝错误!a１.以上（n—１）个式子相乘得a n＝a１·错误!·错误!·…·错误!＝错误!＝错误!.当n＝１时也满足此等式，∴a n＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·南通期末）已知数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则数列错误!的一个通项公式为______________．解析：根据题意，数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则a１＝（—１）１＋１×错误!＝１，a２＝（—１）２＋１×错误!＝—错误!，a３＝（—１）３＋１×错误!＝错误!，a４＝（—１）４＋１·错误!＝—错误!，以此类推可得：a n＝（—１）n＋１·错误!.答案：a n＝（—１）n＋１·错误!２．（２0１8·盐城二模）已知数列错误!的前n项和为S n，a１＝１，a n＋１＝２S n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝________________.解析：当n≥２时，a n＝２S n—１，∴a n＋１—a n＝２S n—２S n—１＝２a n，即a n＋１＝３a n，∵a２＝２a１＝２，∴a n＝２·３n—２，n≥２．当n＝１时，a１＝１，∴数列错误!的通项公式为a n＝错误!答案：a n＝错误!３．（２0１8·苏州期中）已知数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，数列错误!的通项公式为b n＝n２，若将数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，则c6的值为________．解析：∵数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，∴数列中数据符合平方的数有：１6,３6,8１,１２１,１96,２５6．∵数列错误!的通项公式为b n＝n２，当n＝４,6,9,１１,１４,１6时符合上面各个数．∴数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，c6的值为２５6．答案：２５6４．（２0１9·南通第一中学测试）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*，满足a p＋q＝a p＋a q且a２＝6，则a１0＝________.解析：a４＝a２＋a２＝１２，a6＝a４＋a２＝１8，a１0＝a6＋a４＝３0．答案：３0５．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），且S２＝３，则a１＋a３的值为________．解析：因为S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），令n＝２，得S２＋S１＝３，由S２＝３得a１＝S１＝0，令n＝３，得S３＋S２＝５，所以S３＝２，则a３＝S３—S２＝—１，所以a１＋a３＝0＋（—１）＝—１．答案：—１6．（２0１8·无锡期末）对于数列{a n}，定义数列{b n}满足b n＝a n＋１—a n（n∈N*），且b n＋１—b n＝１（n∈N*），a３＝１，a４＝—１，则a１＝________.解析：因为b３＝a４—a３＝—１—１＝—２，所以b２＝a３—a２＝b３—１＝—３，所以b１＝a２—a＝b２—１＝—４，三式相加可得a４—a１＝—9，所以a１＝a４＋9＝8．１答案：8二保高考，全练题型做到高考达标１．数列{a n}满足a n＋a n＋１＝错误!（n∈N*），a２＝２，则通项公式a n＝________.解析：因为a n＋a n＋１＝错误!，a２＝２，所以a１＝—错误!，a３＝—错误!，a４＝２，所以a n＝错误!答案：错误!２．（２0１8·启东中学调研）已知数列{a n}满足a１＝２，a n＋１＝错误!（n∈N*），则连乘积a１a２a３…a ２0１7a２0１8＝________.解析：因为a１＝２，a n＋１＝错误!，所以a２＝—３，a３＝—错误!，a４＝错误!，a５＝２，所以数列{a n}的周期为４，且a１a２a３a４＝１，所以a１a２a３…a２0１7a２0１8＝a２0１7·a２0１8＝a１·a２＝—6．答案：—6３．（２0１9·苏州模拟）在数列错误!中，若a４＝１，a１２＝５，且任意连续三项的和都是１５，则a＝________.２0１8解析：∵任意连续三项的和都是１５，∴a n＋a n＋１＋a n＋２＝１５，同时a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝１５，则a n＋a n＋１＋a n＋２＝a n＋１＋a n＋２＋a n＋３，即a n＋３＝a n，即数列是周期为３的周期数列，则由a４＝１，a１２＝５，得a４＝a１＝１，a１２＝a9＝a6＝a３＝５，则由a１＋a２＋a３＝１５，得a２＝9，∴a２0１8＝a67２×３＋２＝a２＝9．答案：9４．（２0１8·常州期中）已知数列错误!的通项公式a n＝错误!，则错误!中的最大项的值是________．解析：a n＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当n＝6时取等号，则错误!中的最大项的值为错误!.答案：错误!５．已知数列{a n}的通项公式为a n＝（—１）n·２n＋１，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第１0行第３个数为________．a１a２a３a４a５a6……解析：由题意可得该数阵中的第１0行第３个数为数列{a n}的第１＋２＋３＋…＋9＋３＝错误!＋３＝４8项，而a４8＝（—１）４8×96＋１＝97，故该数阵中的第１0行第３个数为97．答案：976．（２0１8·常州第一中学检测）已知{a n}满足a n＋１＝a n＋２n，且a１＝３３，则错误!的最小值为________．解析：由已知条件可知，当n≥２时，a n＝a１＋（a２—a１）＋（a３—a２）＋…＋（a n—a n—１）＝３３＋２＋４＋…＋２（n—１）＝n２—n＋３３，又n＝１时，a１＝３３满足此式．所以a n＝n２—n＋３３，n∈N*，所以错误!＝n＋错误!—１．令f（n）＝n＋错误!—１，则f（n）在[１,５]上为减函数，在[6，＋∞）上为增函数，又f（５）＝错误!，f（6）＝错误!，则f（５）＞f（6），故f（n）＝错误!的最小值为错误!.答案：错误!7．在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*），则a n＝________.解析：由题意知错误!＝错误!＝错误!，所以a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．数列{a n}定义如下：a１＝１，当n≥２时，a n＝错误!若a n＝错误!，则n＝________.解析：因为a１＝１，所以a２＝１＋a１＝２，a３＝错误!＝错误!，a４＝１＋a２＝３，a５＝错误!＝错误!，a6＝１＋a３＝错误!，a7＝错误!＝错误!，a8＝１＋a４＝４，a9＝错误!＝错误!，所以n＝9．答案：99．已知S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*）．（１）求a１，a２，a３，a４的值；（２）求数列{a n}的通项公式．解：（１）由S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*），可得a１＝错误!a错误!＋错误!a１，解得a１＝１；S２＝a１＋a２＝错误!a错误!＋错误!a２，解得a２＝２；同理，a３＝３，a４＝４．（２）S n＝错误!a错误!＋错误!a n，１当n≥２时，S n—１＝错误!a错误!＋错误!a n—１，２１—２得（a n—a n—１—１）（a n＋a n—１）＝0．由于a n＋a n—１≠0，所以a n—a n—１＝１，又由（１）知a１＝１，故数列{a n}是首项为１，公差为１的等差数列，故a n＝n.１0．已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S４＝２S２＋４，在数列{b n}中，b n＝错误!.（１）求公差d的值；（２）若a１＝—错误!，求数列{b n}中的最大项和最小项的值；（３）若对任意的n∈N*，都有b n≤b8成立，求a１的取值范围．解：（１）因为S４＝２S２＋４，所以４a１＋错误!d＝２（２a１＋d）＋４，解得d＝１．（２）因为a１＝—错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝—错误!＋（n—１）×１＝n—错误!，所以b n＝错误!＝１＋错误!＝１＋错误!.因为函数f（x）＝１＋错误!在错误!和错误!上分别是单调减函数，所以b３＜b２＜b１＜１，当n≥４时，１＜b n≤b４，所以数列{b n}中的最大项是b４＝３，最小项是b３＝—１．（３）由b n＝１＋错误!，得b n＝１＋错误!.又函数f（x）＝１＋错误!在（—∞，１—a１）和（１—a１，＋∞）上分别是单调减函数，且x＜１—a１时，y＜１；当x＞１—a１时，y＞１．因为对任意的n∈N*，都有b n≤b8，所以7＜１—a１＜8，所以—7＜a１＜—6，所以a１的取值范围是（—7，—6）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·通州期末）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝________.解析：本题的意思是一个数用３除余２，用7除也余２，所以用３与7的最小公倍数２１除也余２，而用２１除余２的数我们首先就会想到２３，而２３恰好被５除余３，即最小的一个数为２３，同时这个数相差又是３,５,7的最小公倍数，即３×５×7＝１0５，所以该数列的通项公式可以表示为a n＝１0５n＋２３．答案：１0５n＋２３２．数列{a n}的通项公式为a n＝n＋错误!，若对任意的n∈N*都有a n≥a５，则实数b的取值范围为________．解析：由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式a n≥a５恒成立，所以错误!即错误!解得２0≤b≤３0，经验证，数列在（１,４）上递减，在（５，＋∞）上递增，或在（１,５）上递减，在（6，＋∞）上递增，符合题意．所以b∈[２0,３0]．答案：[２0,３0]３．已知二次函数f（x）＝x２—ax＋a（a＞0，x∈R），有且只有一个零点，数列{a n}的前n项和S n ＝f（n）（n∈N*）．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设c n＝１—错误!（n∈N*），定义所有满足c m·c m＋１＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c n}的变号数，求数列{c n}的变号数．解：（１）依题意，Δ＝a２—４a＝0，所以a＝0或a＝４．又由a＞0得a＝４，所以f（x）＝x２—４x＋４．所以S n＝n２—４n＋４．当n＝１时，a１＝S１＝１—４＋４＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n—５．所以a n＝错误!（２）由题意得c n＝错误!由c n＝１—错误!可知，当n≥５时，恒有c n＞0．又c１＝—３，c２＝５，c３＝—３，c４＝—错误!，c５＝错误!，c6＝错误!，即c１·c２＜0，c２·c３＜0，c４·c５＜0，所以数列{c n}的变号数为３．。

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第一节数列的概念及简单表示法A组基础题组1.数列0,,,,…的一个通项公式为（）A。

a n=（n∈N＊） B.a n=(n∈N*)C.a n=(n∈N＊)D.a n=(n∈N*)2.已知数列{a n}的通项公式是a n=，那么这个数列是( ）A。

递增数列B。

递减数列C。

摆动数列 D.常数列3。

已知数列｛a n}满足a1=0，a n+1=（n∈N＊),则a20等于( ）A.0 B。

—C。

D.4.设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=（a n-1）(n∈N*），则a n=（）A。

3(3n-2n) B.3n+2C.3n N D。

3·2n—15。

(2017北京房山一模,20改编)已知数列{a n｝的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n，都有(a1+a2+a3+…+a n)2=+++…+.(1）写出数列｛a n}的前三项a1,a2,a3（请写出所有可能的结果)；（2）是否存在满足条件的无穷数列｛a n｝，使得a2 017=—2 016?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.B组提升题组6。

数列｛a n}定义如下：a1=1，当n≥2时，a n=若a n=,则n的值为（）A。

数列的概念考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理 1．数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 4．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．常用结论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)；若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 教材改编题1．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2023的值为( )A ．2B ．－3C ．－12D.13答案 C解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，可得a n ＋4＝a n ，则a 2023＝a 505×4＋3＝a 3＝－12.2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案1nn ＋2，n ∈N *解析 ∵a 1＝11×1＋2＝13， a 2＝12×2＋2＝18，a 3＝13×3＋2＝115，a 4＝14×4＋2＝124，a 5＝15×5＋2＝135，∴通过观察，我们可以得到如上的规律， 则a n ＝1nn ＋2，n ∈N *. 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)] ＝4n －5，因为a 1也适合上式，所以a n ＝4n －5.题型一 由a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2S n ＝3a n －3，则a 4等于( ) A ．27 B ．81 C ．93 D ．243答案 B解析 根据2S n ＝3a n －3， 可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3， 两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ， 即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a 4＝a 1q 3＝34＝81.(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n，① ∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.教师备选1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1， ∴a 1＝－1.当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，①S n －1＝2a n －1＋1.②①－②得S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项为a 1＝－1，公比为q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·qn －1＝－2n －1.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． 方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ＋1，n ∈N *，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，4n －1，n ≥2解析 根据题意，可得S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)＋1. 由通项公式与求和公式的关系， 可得a n ＝S n －S n －1， 代入化简得a n ＝2n 2＋n ＋1－2(n －1)2－(n －1)－1＝4n －1.经检验，当n ＝1时，S 1＝4，a 1＝3， 所以S 1≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，4n －1，n ≥2.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n n －1，n ≥2解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ， 两边同时除以S n ＋1S n ， 得1S n ＋1－1S n＝－1.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n＝－1－(n －1)＝－n .所以S n ＝－1n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n n －1，n ≥2.题型二 由数列的递推关系求通项公式 命题点1 累加法例2 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n答案 A解析 因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n ， 所以a 2－a 1＝ln2－ln1，a 3－a 2＝ln3－ln2， a 4－a 3＝ln4－ln3，……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．命题点2 累乘法例3 若数列{a n }满足a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)·a n (n ≥2)，则a n ＝________. 答案2n ＋1解析 由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)， 得a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2)． 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1×n －1n ×n －2n －1×…×34×23×1＝2n ＋1， 又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n ＋1. 教师备选1．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n， a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.2．若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝________. 答案 n ·2n －1解析 由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0， 又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2n ＋1n， 又a 1＝1， ∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2n －1n －2×2n －2n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n . 又n ＝1时，a 1＝1适合上式， ∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列，利用累加法，即利用公式a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1(n ≥2)，即可求数列{a n }的通项公式． (2)形如a n ＋1a n ＝f (n )的数列，常令n 分别为1,2,3，…，n －1，代入a n ＋1a n＝f (n )，再把所得的(n －1)个等式相乘，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1(n ≥2)即可求数列{a n }的通项公式． 跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________.答案 2n －1＋n解析 ∵a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，∴a n ＋1－a n ＝2n －1＋1，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋a 1＋n －1＝1－2n －11－2＋2＋n －1＝2n －1＋n .又∵a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n －1＋n .(2)(2022·莆田模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2nn ＋1解析 由S n ＝n 2a n ，可得当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1， 则a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 即(n 2－1)a n ＝(n －1)2a n －1， 易知a n ≠0，故a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1×…×24×13×1 ＝2n n ＋1.当n ＝1时，a 1＝1满足a n ＝2n n ＋1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2nn ＋1. 题型三 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若数列{a n }为递增数列， 则有a n ＋1－a n >0，∴(n ＋1)2－2λ(n ＋1)－n 2＋2λn ＝2n ＋1－2λ>0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立， 于是有λ<⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋12min ＝32，∵由λ<1可推得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 命题点2 数列的周期性例5 (2022·广州四校联考)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，则a 2023等于( )A ．－2B ．－1C ．2 D.12答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)， ∴a 2＝11－2＝－1， a 3＝11－－1＝12，a 4＝11－12＝2，…，可知此数列有周期性，周期T ＝3， 即a n ＋3＝a n ，则a 2023＝a 1＝2. 命题点3 数列的最值例6 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，则数列{a n }的最大项为( )A ．a 8或a 9B ．a 9或a 10C ．a 10或a 11D ．a 11或a 12答案 B解析 结合f (x )＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011x的单调性，设数列{a n }的最大项为a n ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1，解不等式组可得9≤n ≤10. 所以数列{a n }的最大项为a 9或a 10. 教师备选1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k2n ＝3－3n －k2n ＋1， 由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1<0， 所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立， 所以k ∈(0，＋∞)．2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋3＝1，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 2023等于( ) A ．－1 B ．0 C ．log 53 D ．4答案 B解析 因为a n a n ＋3＝1，所以a n ＋3a n ＋6＝1，所以a n ＋6＝a n ，所以{a n }是周期为6的周期数列， 所以log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 2023 ＝log 5(a 1a 2…a 2023) ＝log 5[(a 1a 2…a 6)337·a 1]， 又因为a 1a 4＝a 2a 5＝a 3a 6＝1， 所以a 1a 2…a 6＝1，所以原式＝log 5(1337×1)＝log 51＝0. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)求数列的最大项与最小项的常用方法 ①函数法，利用函数的单调性求最值．②利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．跟踪训练3 (1)在数列{a n }中，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，a n<12，2a n－1，a n≥12，若a 1＝45，则a 2023的值为( )A.35B.45C.25D.15答案 D 解析 a 1＝45>12，∴a 2＝2a 1－1＝35>12，∴a 3＝2a 2－1＝15<12，∴a 4＝2a 3＝25<12，∴a 5＝2a 4＝45，……可以看出四个循环一次， 故a 2023＝a 4×505＋3＝a 3＝15.(2)(2022·沧州七校联考)已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项． 答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋193n －16，当n >5时，a n >0，且单调递减； 当n ≤5时，a n <0，且单调递减， ∴当n ＝5时，a n 最小．课时精练1．数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项公式可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －92答案 A解析 数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是以首项为1，公差为5的等差数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝5n －42.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D 解析 a 2＝1＋－12a 1＝2，a 3＝1＋－13a 2＝12， a 4＝1＋－14a 3＝3，a 5＝1＋－15a 4＝23. 3．已知数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，若a 1＝14，则T 2023为( )A ．－4B ．－35C ．－53D.14答案 C解析 由a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，a 1＝14，得a 2＝53，a 3＝－4，a 4＝－35，a 5＝14，…，所以数列{a n }具有周期性，周期为4，因为T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1,2023＝4×505＋3， 所以T 2023＝(a 1a 2a 3a 4)…(a 2021a 2022a 2023) ＝14×53×(－4)＝－53. 4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5等于( ) A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 B解析 数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N *)， 则S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝2a n －1(n ≥2)， 由此可得，数列{a n }是等比数列，又S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，令n ＝5，得a 5＝16.5．(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)，则下列结论正确的是( ) A ．这个数列的第10项为2731B.97100是该数列中的项 C ．数列中的各项都在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1内 D ．数列{a n }是单调递减数列 答案 BC解析 a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1， 令n ＝10得a 10＝2831，故A 错误；令3n －23n ＋1＝97100得n ＝33∈N *， 故97100是数列中的项，故B 正确； 因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *.所以数列{a n }是单调递增数列， 所以14≤a n ＜1，故C 正确，D 不正确．6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝lnnn ＋1答案 CD解析 对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， 所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误； 对于C ，若a n ＝n ， 则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对于D ，若a n ＝ln nn ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln nn ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．7．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2解析 ∵a n ＋1＝3S n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 2＝3； 当n ≥2时，a n ＝3S n －1， ∴a n ＋1－a n ＝3a n ， 得a n ＋1＝4a n ，∴数列{a n }从第二项起为等比数列， 当n ≥2时，a n ＝3·4n －2， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2.8．(2022·临沂模拟)已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ， 即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ∈N *，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3，由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知当n ＝1时，a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1， 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋12.当n ＝1时，a 1＝1满足a n ＝n n ＋12.综上可知，{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋12.10．求下列数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3n； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n .解 (1)由a n ＋1＝a n ＋3n 得a n ＋1－a n ＝3n，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋31＋32＋33＋…＋3n －1＝1×1－3n1－3＝3n－12，当n ＝1时，a 1＝1＝31－12，满足上式，∴a n ＝3n－12(n ∈N *)．(2)由a n ＋1＝2na n 得a n ＋1a n＝2n， 当n ≥2时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a na n －1＝1×2×22×23×…×2n －1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝()122n n -.当n ＝1时，a 1＝1满足上式， ∴a n ＝()122n n -(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a n －2，n ≤6，an －5，n >6，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫167，3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫167，3C ．(1,3)D ．(2,3)答案 D解析 若{a n }是递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 7>a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a 2>63－a －2，解得2<a <3，即实数a 的取值范围是(2,3)．12．(多选)(2022·江苏盐城中学模拟)对于数列{a n }，若存在数列{b n }满足b n ＝a n －1a n(n ∈N *)，则称数列{b n }是{a n }的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是( ) A ．若数列{a n }是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列 B ．若a n ＝3n －1，则其“倒差数列”有最大值 C ．若a n ＝3n －1，则其“倒差数列”有最小值D ．若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则其“倒差数列”有最大值答案 ACD解析 若数列{a n }是单增数列，则b n －b n －1＝a n －1a n －a n －1＋1a n －1＝(a n －a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n a n －1，虽然有a n >a n －1， 但当1＋1a n a n －1<0时，b n <b n －1，因此{b n }不一定是单增数列，A 正确；a n ＝3n －1，则b n ＝3n －1－13n －1，易知{b n }是递增数列，无最大值，B 错误；C 正确，最小值为b 1.若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则b n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n－11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∵函数y ＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，∴当n 为偶数时，a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n∈(0,1)，∴b n ＝a n －1a n<0，当n 为奇数时，a n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>1，显然a n 是单调递减的，因此b n ＝a n －1a n也是单调递减的，即b 1>b 3>b 5>…，∴{b n }的奇数项中有最大值为b 1＝32－23＝56>0，∴b 1＝56是数列{b n }(n ∈N *)中的最大值，D 正确．13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________． 答案 5解析 a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5.14．(2022·武汉模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1－1a n＝n ＋1，则其前n 项和S n ＝________.答案2nn ＋1解析 ∵1a 2－1a 1＝2，1a 3－1a 2＝3，1a 4－1a 3＝4，…，1a n －1a n －1＝n ，累加得1a n －1a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，得1a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12，∴a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.15．(多选)若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n a n －2＝a n －1(n ≥3)，记数列{a n }的前n 项积为T n ，则下列说法正确的有( ) A ．T n 无最大值 B ．a n 有最大值 C ．T 2023＝1 D ．a 2023＝1答案 BCD解析 因为a 1＝1，a 2＝3，a n a n －2＝a n －1(n ≥3)，所以a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…因此数列{a n }为周期数列，a n ＋6＝a n ，a n 有最大值3， a 2023＝a 1＝1，因为T 1＝1，T 2＝3，T 3＝9，T 4＝9，T 5＝3，T 6＝1，T 7＝1，T 8＝3，…， 所以{T n }为周期数列，T n ＋6＝T n ，T n 有最大值9，T 2023＝T 1＝1.16．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2， 最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．。

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第1课时数列的基本概念1．在数列1,1,2,3，5，8，13，x，34，55，…中，x应取（) A．19 B．20C．21 D．22答案C解析a1＝1，a2＝1,a3＝2，∴a n＋2＝a n＋1＋a n，∴x＝8＋13＝21,故选C。

2．数列错误!，错误!，错误!，错误!，…的一个通项公式为（)A．a n＝错误!B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!答案C解析观察知a n＝1（n＋1）2－1＝错误!.3．（2018·济宁模拟)若S n为数列{a n｝的前n项和，且S n＝错误!,则错误!等于（）A.错误!B。

错误!C.错误!D．30答案D解析∵当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝错误!－错误!＝错误!,∴错误!＝5×(5＋1)＝30。

4．若数列{a n}满足a1＝2，a n＋1a n＝a n－1，则a2 017的值为( ）A．－1 B.错误!C．2 D．3答案C解析因为数列｛a n｝满足a1＝2，a n＋1a n＝a n－1，所以a n＋1＝1－错误!,所以a2＝错误!,a3＝1－2＝－1,a4＝1＋1＝2，可知数列的周期为3。

而2 017 ＝3×672＋1，所以a2 017＝a1＝2.故选C。

第一节数列的概念与简单表示突破点一数列的通项公式抓牢双基自学回扣［基本知识］1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，_ 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).2.数列的通项公式如果数列｛a n｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式.3.数列的递推公式如果已知数列｛a n｝的第1项(或前几项)，且任何一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n=f(a n—1)(或a n=f (a n—1, a n—2)等)，那么这个式子叫做数列｛a n｝的递推公式.4. S与a n的关系S, n= 1,已知数列｛a n｝的前n项和为则a n=C 这个关系式对任意数列均成8 1, n>2,立.［基本能力］一、判断题(对的打“，”，错的打“x”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( )1(3)若已知数列｛an｝的递推公式为an+1 = -——且a2=1,则可以写出数列｛&｝的任何2a n —1一项.( )(4)如果数列｛a n｝的前n项和为S,则对？nC N,都有a n+1 = S+1 —S.( )答案：(1) X (2) V (3) V (4) X二、填空题11.数列｛a n｝中，a=2,且a n+1 = 2ai- 1,则a5的值为1 1 . . 一1 一 . .解析：由& = 2, a n+1 = 2a n—1,得a2 = 2a1- 1 = 1 - 1 = 0, a3=~a2- 1 = 0-1 = - 1, a4- 7答案：-4n1 + a2 , n 为偶数，12,数列｛ a n ｝定义如下：a 1=1,当n>2时）a n=- 1若a n = 4,I 尸，n 为奇数， L a n — 1则n 的值为31 2 」 , , 1 1a 3 = a 7= -= -, a 8=1+a 4=4, a 9=-=所以 n= 9.2 a 63 a 8 4答案：93 .数列｛a n ｝的通项公式 a n=T -------- == ^/n +\n + 1解析：a n=.——1——『= ------- [ --- I n ■+1即 - p- = J n + 1 -J n ,n /n + 1 + n ]n n jm- 1 + y/n n jm 1 -yj n••.q iO —3=y i0—小，・•・回一3是该数列的第9项.答案：94.已知S 是数列｛a n ｝的前n 项和，且&= n 2+ 1,则数列｛ a n ｝的通项公式是2 n=1, ■=2n —1, n>2研透高考,潦化提能［全析考法］考法一利用an 与3的关系求通项 •S 1, n= 1,数列｛a n ｝的前n 项和&与通项a n 的关系为a n= ”通过纽带：a n = SS n-S n 1, n>2,-S n 1（n>2）,根据题目已知条件，消掉a n 或S n,再利用特殊形式（累乘或累加）或通过构造成等差数列或者等比数列求解.［例1］ （1）（2019 ・化州模拟）已知S n 为数列｛a n ｝的前n 项和,且log 2（S n+1） = n+1, 则数列｛ a n ｝的通项公式为 .（2）（2019 •广州测试）已知数列｛曰｝的各项均为正数，S 为其前n 项和，且对任意nCN,=2a3 -1 = — 2— 1 = 一 3 … 1 d2 a 5= 2a 4 — 13-1 =-4解析：困为1a 1 - 1 , 以 a 2— 1 + a 1 — 2 , a 3 一 — a 2 1… c 1 1 … ,a 4 — 1 + a 2 — 3, a 5 —— , a 6 — 1 + 2a 3,则历一3是此数列的第项.答案：a n =均有an, S,芯成等差数列，则an=.［解析］（1）由log 2（S n+ 1） =n+1,得S n+ 1 = 2n+1,当 n = 1 时，a ［=S = 3；当 n>2 时，a n= S —S —1=2 ,3, n= 1, 所以数列｛ a n ｝的通项公式为a n=<2n 值？(2)「a n, a 2成等差数列，2S=a n+a 2.2当 n = 1 时，2s = 2a 1 = a 1 + a 1. 又 a 1>0, •= a= 1.22当 n > 2 时,2a n = 2( S n — S1-1) =a n+a n — a n -1 — a n-1, • • (a n — a n- 1) — (a n+ a n- 1) = 0.--- (a n+ a n 1)( a n —a n 1)— (a n+ a n 1)= 0,「•(a n+a n-1)( a n —an-1-1) = 0,- a n + a n i >0, • • a n — a n-i = 1,［方法技巧］已知S 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1=S 求出a;(2)用n-1替换S 中的n 得到一个新的关系， 利用a n=$—1(n>2)便可求出当n>2 时a n 的表达式； (3)对n=1时的结果进行检验，看是否符合n>2时a n 的表达式，如果符合，则可以把 数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n=1与n>2两段来写.考法二利用递推关系求通项［例2］ (1)在数列｛a n ｝中，a 1=2, a n+1=a n+3n+ 2,求数列｛a n ｝的通项公式.n — 1(2)在数列｛a n ｝中,a 1=1' a = ka n -1(廿2)，求数列⑹的通项公式-(3)在数列｛a n ｝中a = 1, a n+1 = 3a n+2,求数列｛a n ｝的通项公式.2 a n⑷已知数列｛a n ｝中，a 1f an+1="'求数列⑶的通项公式.［解］(1)因为 a n+1 —a n=3n+2, 所以 a n — a n-1 = 3n — 1( n> 2),，、」 ................ n 3n+l ,、~所以 a n= (a n —a n-1) + (a n-1 — a n-2) + …+ (a 2—a 1)+a 1= 2 ( n>2).一 1当 n = 1 时，a 1=2= 2X(3X1+ 1),符合上式,.••{a n }是以1为首项,*.1为公差的等差数列,［答案］(1) a n=<；2 , n=1,(2) n所以 a n=3n 2+2.…n — 1 , 一、(2)因为 a n= n a n i ( n>2),n —2所以 a n- 1 = a n- 2n-112 n-1 a i 11由累乘法可得 a n = a 1 - 2 - 3 .... n = —= -(n>2).又 a 1=1符合上式，.. a n=n . ,__, ,__ ~ .、，a n +1 + 1..... (3)因为 a n+1 = 3a n+ 2,所以 a n+1 + 1 = 3(a n+1),所以 .=3,所以数列｛a n+1｝为等a n 1比数列，公比 q=3,又 a 1+1=2,所以 a n+1=2 Tn —,所以 a n=2 • 3n-一1.--- a n+1= a n+2，a 1=1.1— = - + 1,即工一2=1,又d= 1,则工=1, a n+1 a n 2 a n+1 a n 2 a 1是以1为首项，2为公差的等差数列. )『(「Dx 2=2 + 2,• •a n = n ：2-^(n^ Nj .1.［考法一］已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n,且a 1=1, S n="2,则a 2 019=()A. 2 018B. 2 019C. 4 036D. 4 038n + ］ a n na n-1a n a n- 1 解析：选B 由题意知n>2时，a1 = Sn-Sn 1 = ——7一一工一，化为一=一2 2n n-1, 1a 2= -a i .a i i=1 ，an=n .贝Ua 2 019=2 019.故选 B.1一. S+1 3 ............................ 解析：选B 3=2an+1=23+1 —2S? 3S=2S+1? k = 故数列｛3｝为等比数列，公比S n 23.［考法二］已知在数列｛d ｝中，a n+1 = nn^a n ( n C N *),且日=4,则数列｛a n ｝的通项公式解析：由na n+1n 皿 a 2 1 a 3 2a n+1= ------- -a n,得 ----- = ---- 故—=二，一 =:n+2 a n n + 2 d 3 a 2 4a n n-1(n>2),以上a n 1 2 式子累乘信，01=3 4 n-3 n-27 'n-1 n n- 1 n+ 1 n n+1 .因为a1= 4,所以a n=T 』(n>2).因为a 1=4满足上式，所以 a n =8 nn+14.［考法二］已知数列｛a n ｝满足 d= 2, a n-a n 1= n (n>2, n€ N),则 a n=解析：由题意可知， a 2- a 1 = 2, a 3—a 2=3,…，a n -a n 1 = n( n>2), 以上式子累加得， a n —a ［ = 2+ 3+…+ n . 因为 a1 = 2,所以 an=2+(2 + 3+…+ n) = 2+n-1 2 + n n 2+n+2----- 2 ------ = -2( n > 2) •因为 所以 a 1 = 2满足上式,n 2+ n+2 a n=.2―n 2+ n+2 答案：一2 一突破点二数列的性质抓牢双基•自学回扣分类标准满足条件［基本知识］数列的分类 a n a n —1 n n-12.［考法一］已知数列｛a n ｝的前n 项和为3, a 1=1, S=2a n+1,则S=(口 3~，是2,又S=1,所以［基本能力］1.已知数列｛a n ｝的通项公式是a n=；r —那么这个数列是 _________________ （填递增或递减）.3 n 1答案：递增2 .设a n=- 3n 2+ 15n-18,则数列｛a n ｝中的最大项的值是 .答案：03 .已知数列｛a n ｝的通项公式为a n=（n + 2） 7- n,则当a n 取得最大值时，n 等于 ________8答案：5或6研透高考*深化提能［全析考法］考法一 ［例1］ 数列的单调性 已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =n '1）,则数列｛a n ｝中的最大项为（3A.- B . 64 c 而125 口 243［解析］法一：（作差比较法）an +i-an=（n+1）（2 i n+1-n1）=2f^-当 n <2 时，a n+1 —a n >0,即 a n+1>a n ； 当 n = 2 时，a n+1 — a n = 0,即 a n+1 =a n ； 当 n >2 时，a n+1 — a n <0,即 a n+1<a n .所以 a «a 2=a 3, a 3>a 4>a 5> - >a n,所以数列｛a n ｝中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2x法二：(作商比较法)a n + 1 a n+ 1 a n+ 1令一>1,解得n<2；令——=1,解得n=2；令——<1,解得n>2. a n a n a n又a n>0,故a1<a2=a3, a3>a4>a5> - > a n,所以数列｛a n｝中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2x .故选A.［答案］A［方法技巧］求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f(x)当xC N*时所对应的一列函数值，根据f (x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项.a n > a n- 1(2)通过通项公式a研究数列的单调性，利用((n>2)确定最大项，利用［a n > an+ 1an< a n —1 ,((n>2)确定最小项.anW a n + 1(3)比较法：a n+ 1①育有a n+1 — a n = f (n + 1) —f ( n)>0( 或a n>0 时,a >1 ) 5则a n+1 >a n,即数列｛a n｝递增数列，所以数列｛a n｝的最小项为a1 = f(1)；②若有a n+1 —a n = f (n+1) —f ( n)<0( 或a n>0 时，a n^<1 ),则a n+1<a n,即数列｛a n｝是递减数列，所以数列｛a n｝的最大项为a1 = f(1).考法二数列的周期性•数列的周期性与函数的周期性相类似. 求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律.确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题.［例2］ (2019 •广西南宁二中、柳州高中联考 )已知数列2 008,2 009,1 , -2 008,…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 018项之和S2 018 = .［解析］由题意可知a n+1=a n+a n+2, a1=2 008, a2= 2 009, a3=1, a，=—2 008 ,a5= —2 009, a6=—1, a7=2 008, a8= 2 009,…，，a n+6=a n,即数列｛a n｝是以 6 为周期的数列,又a + & + a3 + a4 + a5 + a6 = 0 > S2 018 = 336( a〔 + & + a?+ a4 + st + a6) + ( a 〔 + a2)=4 017.［答案］4 017［方法技巧］周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.(2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和.［集训冲关］1.［考法—-］若数列｛a nj 中，a i = 2, a：2=3,a ni+1 = a n—a n i( n—2),则a2 019 =( )A. 1B. - 2C. 3D. — 3解析：A 因为a n=a n-1 —a n-2( n >3),所1以a n+1 = a n —a n—1 =( a n—1 —a n 2) —a n-1 = - a n 2,所以an+3=—an,所以an+6=—an+3=an,所以｛an｝是以6为周期的周期数列.因为 2 019 =336x6+ 3,所以a2 019 = a3= a- a〔= 3— 2=1.故选A.n +12.［考法一］已知数列｛a｝满足a n = 3^516(n e N),则数列｛a n｝的最小项是第项.一_ ____ n+1 ... . ，… ,一、…~ n+1 ,, 斛析：因为a n= --------- -,所以数列｛a n｝的取小项必为a n<0,即:; ------ -<0,3 n— 16<0,从3n — 16 3n — 16而n<16.又nC N*,所以当n=5时，a n的值最小.3答案：5。

第六篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法知识点、方法题号观察法求通项公式1,7递推公式的应用3,4,8,12,13a n与S n的关系2,9,10数列的单调性、最值5,11综合问题6,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016宜春校级模拟)已知数列,,,,,…,则5是它的( C )(A)第19项(B)第20项(C)第21项(D)第22项解析:数列,,,,,…,中的各项可变形为:,,,,,…,所以通项公式为a n==,令=5,得n=21.2.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15.3.(2016临潼区校级模拟)数列{a n}满足a n+1=若a1=,则a2 015等于( B )(A) (B) (C) (D)解析:因为a1=>,所以a2=2a1-1=,所以a3=2a2=,a4=2a3=,所以a5=2a4-1=.所以a n+4=a n,所以a2 015=a4×503+3=a3=.4.(2015吉林校级模拟)已知a1=1,a n+1=,则数列{a n}的通项为a n等于( C )(A)(B)2n-1(C)(D)3n-2解析:因为a n+1=,所以3a n+1a n=a n-a n+1,两边同除以a n+1a n得3=-,由a1=1,所以=1,所以数列{}是首项为1,公差为3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=.5.设a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是( D )(A)(B)(C)4 (D)0解析:a n=-3(n-)2+,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,a n取最大值,最大值为a2=a3=0.6.(2015衢州模拟)数列{a n}满足a n=n2+kn+2,若不等式a n≥a4恒成立,则实数k的取值范围是( B )(A)[-9,-8] (B)[-9,-7](C)(-9,-8) (D)(-9,-7)解析:a n=n2+kn+2=(n+)2+2-,因为不等式a n≥a4恒成立,所以3.5≤-≤4.5,解得-9≤k≤-7.7.(2016宜昌模拟)已知数列ln 3,ln 7,ln 11,ln 15,…,则2ln 5+ln 3是该数列的第项.解析:由数列3,7,11,15,…,可知此数列的通项公式为a n=ln(4n-1).令2ln 5+ln 3=ln(4n-1),所以75=4n-1,解得n=19.所以2ln 5+ln 3是该数列的第19项.答案:198.(2016濮阳一模)已知数列{a n}中,a1=20,a n+1=a n+2n-1,n∈N*,则数列{a n}的通项公式a n= .解析:因为数列{a n}中,a1=20,a n+1=a n+2n-1,n∈N*,所以a2=a1+1,a3=a2+3,a4=a3+5,…a n=a n-1+2n-3;上式累加可得a n=a1+1+3+5+…+(2n-3)=20+=n2-2n+21.答案:n2-2n+219.(2016云南玉溪一中高三期中)数列{a n}的通项a n=n2(cos2-sin2),其前n项和为S n,则S30为.解析:因为a n=n2(cos2-sin2)=n2cos,所以S30=12·cos+22·cos+32·cos 2π+…+302·cos 20 π=-×1-×22+32-×42-×52+62+…-×282-×292+302=-[(12+22-2×32)+(42+52-2×62)+…+(282+292-2×302)]=-[(12-32)+(42-62)+…+(282-302)+(22-32)+(52-62)+…+(292-302)]=-[-2(4+10+16+…+58)-(5+11+17+…+59)]=-[-2××10-×10]=470.答案:47010.若数列{a n}的前n项和S n满足:S n=2a n+1.(1)求a1,a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)因为S n=2a n+1.所以当n=1时,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1;同理可得a2=-2;a3=-4.(2)当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n-1-1=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1,即数列{a n}是以a1=-1为首项,公比q=2的等比数列.所以a n=-2n-1.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016山东模拟)设函数f(x)=数列{a n}满足a n=f(n),n∈N+,且数列{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( B )(A)(1,3) (B)(2,3)(C)(,3) (D)(1,2)解析:因为f(x)=数列{a n}满足a n=f(n),n∈N+,且数列{a n}是递增数列所以解得即2<a<3.12.(2015太原市模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n-a n+1=(n∈N*),则a n= . 解析:因为a n-a n+1=,所以-==2(-),所以=(-)+(-)+…+(-)+=2(-)+2(-)+…+2(1-)+1=2(1-+-+…+-)+1=2(1-)+1=,所以a n=.答案:13.已知数列{a n}中,a1=5且a n=2a n-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{}为等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式a n.(1)证明:因为a1=5且a n=2a n-1+2n-1(n≥2且n∈N*).所以设b n=,则b1==2.b n+1-b n=-=[(a n+1-2a n)+1]=[(2n+1-1)+1]=1,由此可知,数列{}为首项是2,公差是1的等差数列.(2)解:由(1)知,=2+(n-1)×1=n+1,a n=(n+1)·2n+1.14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由.解:(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解得n=10或n=-9(舍去).所以60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).所以n=6时,a n=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).所以当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,n∈N*,解得0<n<6,n∈N*.所以当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.精彩5分钟1.(2015衡水四模)已知数列{a n}满足a1=1,且a n=a n-1+()n(n≥2,且n∈N*),则数列{a n}的通项公式为( B )(A)a n=(B)a n=(C)a n=n+2 (D)a n=(n+2)3n解题关键:对a n=a n-1+()n两边同除以()n,构造等差数列.解析:因为a n=a n-1+(n(n≥2,且n∈N*)⇔=+1,即b n=,则数列{b n}为首项b1==3a1=3,公差为1的等差数列,所以b n=b1+(n-1)×1=3+n-1=n+2,所以a n=.2.(2015湖北模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)= x(1-x),若数列{a n}满足a1=,且a n+1=,则f(a11)等于( A )(A)6 (B)-6 (C)2 (D)-2解题关键:由递推式求出a11;再根据a11的正负选用解析式.解析:设x>0,则-x<0,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x (1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=,所以a2===2,a3===-1,a4===.…所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,则a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(2)=2×(2+1)=6.。