数列的概念与简单表示法好优质课

§2.1 数列的概念与简单表示法设计思想：1．教学背景分析“数列”是高中数学重要的内容之一，其作用和地位，可从以下三个方面来看：①数列有着广泛的实际应用.例如：堆放物品总数的计算，要用到数列的前n项公式；产品规格设计的某些问题，要用到等比数列的原理；储蓄、分期付款的有关计算等也要用到数列的相关知识.②数列起着承上启下的作用.一方面，初中数学的许多内容，在解决数列的某些问题中，得到了充分的运用；数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；学习数列，又为今后学习数列的极限等知识作好了准备.③数列是培养学生数学能力的良好教材.学习数列需要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高.2．教学目标的设计根据本课时知识的特点和作用，为了让学生更好的掌握相应的基础知识和基本技能，提高学生的数学思维能力，帮助学生养成良好的学习习惯，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个方面对教学目标进行设计.3．教学方法分析根据本课时知识结构和特点，教学中以讲授法为主.为了充分调动学生的学习积极性，设计同时采用启发式、探究式的教学方法.在课堂教学过程中，努力实现“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过创设问题情景，使学生尽可能地动手、动口、动脑，积极的参与教学全过程，为提高学生的能力创造条件.4.教学过程的设计为了实现本课时的教学目标，教学过程将按以下几个环节进行：（1）设置情景，引入新课：利用多媒体课件展示下面几个特殊数列：①杂技表演中的叠罗汉（自下而上的人数）：3，2，1，1，1②斐波那契数列（兔子繁殖问题）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……③国际象棋棋盘（棋盘上有八行八列共64个格子，如图所示）上的麦粒数：1，2，4，8，16，32，……④生活中的实例：堆放着的圆钢各层的根数（最下层为100根，自下而上）：100，99，98，97，96，……，2，1（2）提出问题：根据上述所设情景及本课时内容，提出以下问题：①以上所举的例子中，所得各列数（按先后顺序排列），各自有什么特征？你能找出（或说出）它们的规律吗？②上述的每一列数，都按照一定的规律排列的，每一个数均有其特定的位置，不能乱排，那么，象这样的一列数，你知道人们管它叫什么吗？2月份1月份3月份4月份5月份......6月份12月份1对2对3对1对8对5对③各列数中的项（每一个数），我们能用一个含有正整数n的公式来表示吗？（3）揭示课题与解决问题：学生分组游戏、探究讨论、猜想归纳与概括，从而揭示课题，形成概念.（4）知识迁移与运用：例题讲解与课堂练习.（5）课时小结：本节重点内容再现及思想方法的归纳与总结.（6）作业布置.由于数学高度抽象的特点，为了更好的体现知识的来龙去脉，同时也为了给学生创造动手实践的机会，由学生来完成兔子繁殖和在国际象棋棋盘上摆放麦粒(只要求放前6个格子，然后猜想、依次归纳出后58个格子的麦粒数)的过程，这样有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的“再创造”过程，整体上让学生经历和体验从具体实例抽象出数学概念的过程.在整个教学过程中，确定教学策略的依据是：既来源于教材又不拘泥于教材.注重把学生的原有知识、生活经验作为主要的课程资源，充分发挥学生的自主性和创造性.使整个教学过程成为师生相互交流、共同参与的过程，充分体现教师为主导、学生为主体的教学理念. 教学目标：1.知识与技能目标(1)通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．(2)通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．(3)通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．2.过程与方法(1)通过两个游戏，培养学生探究新问题的意识和能力；(2)利用游戏，调动学生参与学习的积极性，培养学生的钻研精神;(3)进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．3.情感、态度与价值观通过教学，培养学生良好的思维习惯、严紧的学习态度以及不怕困难和勇于探索的精神；让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，从而提高学生学数学、用数学的意识.教学重点：教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点：正确理解数列与函数的联系与区别．教学准备：收集相关图片、资料；制作幻灯片；布置学生预习，并且每个小组（四人为一个学习小组）准备若干张小纸签（不低于40张）和一张国际象棋棋盘（自制）及麦粒或米粒若干.教学过程：一、设置情景，引入课题：今天开始我们研究一个新课题，现在先看下面几个例子▲情景1（杂技表演中的叠罗汉自下而上的人数）：（展示第一张幻灯片）【问题】你能写出各层的人数吗？ （让学生观察后按顺序写出各层的人数）▲情景2（兔子繁殖问题）：一对大兔每月能生出一对小兔，而小兔经过一个月就长成大兔，问从一对小兔开始，一年后共繁殖成多少对大兔？组织学生做游戏：请大家拿出准备好的纸签，在其中的16张上写上 “小兔”，再在另外的24张上写上 “大兔”，然后按上述要求，做 “兔子繁殖”的游戏.（教师巡视引导）【问题1】你发现其中的规律吗？（让学生在游戏中寻找规律）【问题2】你能依次写出1～12月中各个月兔子的对数吗？2月份1月份3月份4月份5月份......6月份12月份1对2对3对1对8对5对请学生代表发言，教师补充.（板书）1～12月中各个月兔子的对数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……（展示第二张幻灯片）总结：它的规律是，从第三项起，每一项都等于这项的前面两项的和，即+2+1=+n n n a a a (*N n 且n ≥3)▲情景3（际象棋棋盘棋上的麦粒数，盘上有八行八列共64个格子，如图所示）：关于国际棋有这样一个传说：国王要奖奖赏的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子里放2颗麦粒，第三个格子里放4颗麦粒，第四个格子里放8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的粮食来实现上述这个要求”.国王觉得这是件很容易的事，就欣然同意了他的要求.组织学生做游戏：请大家拿出准备好的棋盘与麦粒，按要求在棋盘上依次摆放.【问题1】你认为国王有能力满足发明者的要求吗？【问题2】你能依次写出每个格子里放的麦粒数分别是多少吗？请学生代表发言，教师补充.（板书）每个格子里放的麦粒数依次是：20，21，22，23，24，25，26，……，263【问题3】你能帮国王计算一下，需要准备多少麦粒吗？你是否能估算出这些粮食大约有多重吗？▲情景4（生活中的实例：放圆钢，如图所示）：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，……【问题1】 最多可放多少层？【问题2】第57层有多少根？【问题3】从第1层到第57层一共有多少根？（板书）每层的圆钢根数（自上而下）依次是：1，2，……97，98，99，100.二、揭示课题：在上面的例子中，我们不能满足于逐一的去数（有的问题需要花大量的时间去数，如情景2中兔子的对数，情景4中圆钢的根数等，而有的问题中很难数甚至不可能数，如例中的麦粒数就很难数.），而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是一个个按一定顺序排好对的一列数，象这样排好队的数就是我们这一章的研究对象——数列.三、新课讲授：数列的概念与简单表示法（板书）1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述4个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．（板书）2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集*N ，或是正整数集*N 的有限子集｛1，2，3，……，n ｝．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法． （板书）3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a 表示第一项，用2a 表示第二项，……，用n a 表示第n 项，依次写出成为：（1）列举法：123,,,a a a …n a ，…（如幻灯片上的例子）简记为｛n a ｝．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（2）图象法：启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以（n ，a n ） 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列3，2，1，1，1 为例，作出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即)(n f a n =，这个函数式叫做数列的通项公式．（3）通项公式法：如上述情景4中的数列：1，2，3，…，97，98，99，100的通项公式为=n a n (*N ∈n ，1≤n ≤100)0，1，2，3，… 的通项公式为1-=n a n (*N ∈n )；1，1，1，…的通项公式为1=n a (*N ∈n ，1≤n ≤3)； 41,31,21,1，…的通项公式为na n 1=(*N ∈n )； 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列{a n }的通项公式a n =2n -1，则a 52=2×52-1=103.值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（4）递推公式法：如前面所举的钢管的例子，第n +1 层钢管数a n +1与第n 层钢管数a n 的关系是a n +1=a n +1，在给定a 1=1，便可依次求出各项．再如数列{a n }中，a n +1=2a n ，若a 1=1这个数列就是1，2，4， 8，16，32，64，… ．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．四、课堂练习：教材A组题P33 1．（1）、（2）、（3）；2；3．（1）、（2）；4．（1）（2）.五、小结：（师生共同小结）1．数列的概念（口述）2．数列的四种表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）通项公式法；（4）递推公式法.六、板书设计教案点评：教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行．当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性．而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）．让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的．。

《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。

1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。

1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。

1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。

1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。

1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。

1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。

第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。

2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。

2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。

2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。

2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。

2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。

2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。

第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。

3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。

3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。

3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。

3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。

3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。

3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。

第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。

4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。

第六章数列第一节数列的概念与简单表示双流艺体李林学习目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.由a n与S n的关系求a n4.由递推关系求通项公式评价任务：自主完成活动一，检测目标1自主完成活动二，检测目标1，2自主完成活动三，检测目标35年高考统计1.20xx·全国卷Ⅰ(理)·T14(a n与S n的关系2.20xx·全国卷Ⅰ(理)·T17(递推、通项、求和)活动一：根底知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是_______、______和_______法．2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：(2)按单调性来分：3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．活动二 根底自测1．(必修5P 33A 组T 4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.232．(必修5P 67A 组T 2改编)数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －923．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第________项．4．在数列{a n }中，a n ＝－n 2＋6n ＋7，当其前n 项和S n 取最大值时，n ＝________.活动三 互动探究考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[例1] (1)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.(3)数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________.变式练习1：1．数列{a n}的前n项和S n＝3n＋1，则a n＝________.2．(20xx·全国卷Ⅰ改编)记S n为数列{a n}的前n项和．假设S n＝2a n＋1，则a n＝________.小结：1．S n求a n的3个步骤2．S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解．(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．考点二由数列的递推关系求通项公式[例2]设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则a n＝________.(变条件)假设将“a n＋1＝a n＋n＋1〞改为“a n＋1＝nn＋1a n〞，如何求解？.(变条件)假设将“a n＋1＝a n＋n＋1〞改为“a n＋1＝2a n＋3〞，如何求解？小结：(1)累加法(2)累乘法变式练习2：1．数列{a n}中，a1＝1中，a n＋1＝a n＋n(n∈N*)中，则a4＝________，a n＝________.2．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.3．在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．考点三 数列的性质及应用考向(一) 数列的周期性[例3－1] (多项选择)数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 6＝3D ．2S 2 019＝2 019小结：解决数列周期性问题的方法考向(二) 数列的单调性(最值)[例3－2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且a n ＝2n ＋λ，假设数列{S n }(n ≥7，n ∈N *)为递增数列，则实数λ的取值范围为________．小结：解决数列的单调性问题的3种方法 作差比拟法 作商比拟法 数形结合法变式练习3：1．假设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，则a 2 020的值为( )A ．2B ．－3C ．－12 D.132．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项活动四 课后训练案1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥22．(20xx·福建四联考)假设数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1 B.(－1)n n ＋1 C.(－1)n n D.(－1)n －1n3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020等于( ) A ．1 B ．0 C ．2 017 D ．－2 017 5．数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．6．(20xx·衡阳四联考)数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.。

《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。

强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。

1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。

举例说明数列的项与数列的关系。

1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。

举例说明如何用通项公式表示数列。

第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。

强调通项公式中变量的含义和作用。

2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。

引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。

2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。

举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。

第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。

引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。

3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。

举例说明如何判断数列的单调性。

3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。

举例说明如何判断数列的周期性。

第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。

讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。

4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。

举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。

4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。

举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。

第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。

讲解数列的极限的定义和性质。

5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。

举例说明数列的极限在数学分析中的应用。

5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。