数列的概念与简单表示讲义

n n mn k k +m k +2m等差数列及其前 n 项和（讲义）知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法（1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质（1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列二、 等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．（1） 等差中项（2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ．2. 等差数列的性质（1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N *) ． （2） 若{a }是等差数列，且k +l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ．（3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．（4） 若{a n }是等差数列，则{λa n + c }也是等差数列．1n n n（5） 若{a }，{b }是等差数列，则{p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 nnnn差数列． 三、 等差数列的前 n 项和1. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，即S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．等差数列{a n }的前 n 项和公式（1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ．1 n n2（2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2. 等差数列各项和的性质= na 1 + n (n -1) d ．2（1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．（2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S2n -1 ． T 2n -1（3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．（4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值：当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值．2n +1 n n n -1n +1 n n n -1精讲精练1. 下面六个结论中：①数列若用图象表示，从图象看是一系列孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是唯一的； ④数列不一定有通项公式；⑤数列 1，2，3，…不一定是递增的；⑥数列看作函数，其定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，…，n } ．其中正确的是（ ）A ．①②④⑥ C ．①③④⑤B ．①④⑤⑥ D ．①②⑥2. 数列-1，7，-13，19，…的通项公式a n = （）A ． 2n -1 C ． (-1)n 6n - 5B ． -6n + 5 D ． (-1)n (6n - 5)3. 数列 1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A. a = a + n ，n ∈ N *B. a = a + n ，n ∈ N *，n ≥ 2C. a = a + n -1，n ∈ N * D. a = a + n -1，n ∈ N *4. 在等差数列{a n } 中， a 1 + a 5 = 10 ， a 4 = 7 ，则数列{a n } 的公差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．435. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ，则有（）A ． a 1 + a 101 > 0 C ． a 3 + a 99 = 0B ． a 2 + a 100 < 0 D ． a 51 = 516.在等差数列{a n } 中，S n 是其前 n 项和，且a 4 = 9 ，a 9 = -6 ，则 S n 取最大值时 n 的值为（ ） A ．6 或 7B ．7 或 8C ．5 或 6D ．8 或 97.已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 6 = a 8 + 6 ，则 S 7 = （ ）A ．49B ．42C ．35D ．2448.已知一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 12．5，则它的首项与公差分别是（ ） A ．0．5，0．5B ．0．5，1C ．0．5，2D ．1，0．59.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 = 12 ， S 6 = 42 ，则 a 10 + a 11 + a 12 =（ ）A ．156B ．102C ．66D ．4810. 设数列{a n } ，{b n } 都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7 ， a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．5n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2， 2a 2 = a 2 2n -1 (n ∈ N * ，n ≥ 2) ，则通项公式a n = ．12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ，若 S n = 2n + 3 ，则 a 9 = ．T n 3n -1 b 9回顾与思考6+ a【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A9．C 10．35 1112．37507。

数列的概念与性质详细解析与归纳数列是数学中的基本概念之一，它在数学及其他科学领域中都有着广泛的应用。

本文将对数列的概念进行详细解析，并总结数列的性质与特点。

一、数列的概念数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。

其中的每个数字被称为数列的项，用an表示第n项，而n则表示项的位置或序号。

数列可以分为两种类型：有限数列和无限数列。

有限数列是指只有有限个数的序列，例如{1, 2, 3}。

而无限数列是指包含无穷多个数的序列，例如{1, 2, 3, ...}。

二、数列的性质1. 公差与公比公差是等差数列中相邻两项之间的差值，表示为d。

而公比是等比数列中相邻两项之比，表示为q。

对于等差数列，第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。

对于等比数列，第n项可以表示为an = a1 × q^(n-1)。

2. 通项公式通项公式是数列中的每一项的一般表示形式。

它能够通过项的位置或序号来计算特定项的值。

对于等差数列，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。

对于等比数列，通项公式可以表示为an = a1 × q^(n-1)。

3. 数列的和数列的和是指数列中一定范围内所有项的总和。

它可以通过求和公式来计算，其中有等差数列求和公式和等比数列求和公式两种常用形式。

4. 数列的分类数列可以根据其性质和规律进行分类。

常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

每种数列类型都有其特定的表达式和特点。

三、数列的应用1. 数列在数学问题中的应用数列在各个数学领域中都有广泛的应用，包括代数、数论、概率论等。

例如在代数中，数列可以用于解决方程和不等式问题；在数论中，数列可用于证明和推导数学定理。

2. 数列在物理学中的应用物理学中很多自然规律和现象的描述和计算都可以通过数列来完成。

例如匀速直线运动的位移、速度和加速度之间就可以构成数列。

3. 数列在计算机科学中的应用数列在计算机科学中也有广泛的应用，例如在算法设计和数据结构中经常会遇到递归数列和动态规划数列。

数列数列的概念及其表示1 数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N *或N *的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2 数列的表示方法3 数列的分类4 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).5 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．【例1】(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求S n .[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2，∴1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝12n.【过关练习】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.2.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).第2部分 等差数列及前n 项和1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.【例1】数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．【过关练习】1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.2.已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)2＝(21－n )n ；当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)2＝n 2－21n ＋220.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(21－n )n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.3．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4. (1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.第3部分 等比数列及前n 项和1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m .4 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).5 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． (6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n.【例2】已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解 (1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ， 又b 1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．【过关练习】1．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，解得a ＝5， ∴b 3＝7－d ，b 4＝10，b 5＝18＋d . ∵b 3，b 4，b 5成等比数列，∴b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝102，化简，得d 2＋11d －26＝0，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，b 4＝10，b 5＝20， ∴数列{b n }的公比q ＝105＝2， 数列{b n }的通项公式为b n ＝b 3q n －3＝5×2n －3. (2)由b 3＝5，q ＝2，得b 1＝b 3q 2＝54，∴数列{b n }是首项为b 1＝54，公比为q ＝2的等比数列，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1(1－q n )1－q＝5×2n －2－54.2已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋3×2d2＝a 1＋3d ＋6.所以a 1＝3. 因为a 1，a 4，a 13成等比数列， 所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2.解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1. (2)由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，c n ＋1c n ＝22(n ＋1)＋122n ＋1＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝8(1－4n )1－4＋n ＝22n ＋3－83＋n .第4部分 数列求和、数列的综合应用数列的求和方法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.③常见数列的前n 项和公式： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.(2)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2；③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(5)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．【例1】(1)已知等差数列{a n }，公差d >0，前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； ②设b n ＝S nn ＋c ，若{b n }也是等差数列，试确定非零常数c ，并求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和T n . (2)数列{a n }的前n 项的和为S n ，对于任意的自然数a n >0,4S n ＝(a n ＋1)2. ①求证：数列{a n }是等差数列，并求通项公式； ②设b n ＝a n3n ，求和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .[解] (1)①依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5(舍去)，∴a n ＝4n －3，S n ＝2n 2－n . ②由①知b n ＝2n 2－n n ＋c.数列{b n }是等差数列，则2b 2＝b 1＋b 3，即 2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12，∴b n ＝2n .则1b n ·b n ＋1＝12n ·(2n ＋2)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1).(2)①证明：令n ＝1,4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2， 解得a 1＝1， 由4S n ＝(a n ＋1)2， 得4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，两式相减得4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2， 整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0， ∵a n >0， ∴a n ＋1－a n ＝2，则数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ②由①得b n ＝2n －13n，T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n ＋1，② ①－②得23T n ＝13＋2⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1 ＝13＋2×19⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－2n －13n ＋1 ＝23－2n ＋23n ＋1， 所以T n ＝1－n ＋13n. 【例2】已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n－1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0， 得n (n ＋1)2n≤5·(5＋1)25<1. 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.【过关练习】1.在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. ①求数列{a n }的通项公式； ②令b n ＝2an－10，证明：数列{b n }为等比数列；③求数列{nb n }的前n 项和T n .[解] (1)①设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝2. 所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. ②证明：由①，得b n ＝2an －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，所以b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列．③由nb n ＝n ×4n ，得T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n ①， 4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1 ②，①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1＝4(1－4n )－3－n ×4n ＋1.所以T n ＝(3n －1)×4n ＋1＋49.2.已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －20042对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .[解] (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23， ∴{a n }是以23为公差，首项a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时， b n ＝1a n －1a n＝1⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝92⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 当n ＝1时，上式同样成立． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －20042，即92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<m －20042对一切n ∈N *成立， 又92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1随n 递增，且92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －20042，∴m ≥2013，∴m min ＝2013. 课后练习【补救练习】1.已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3,4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝( )A ．－1B ．1C ．52nD ．52n －1答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，解得q ＝－1或q ＝5.又q >0，因此q ＝5，所以a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n ＋a 2q 2na 1＋a 2＝q 2n ＝52n ，选C.2．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1 答案 C解析 由题意可知a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数，故a n ＝0舍去)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，所以log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.3．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1023 答案 B解析 ∵2a 4，a 6,48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，解得a 1＝1，∴S 8＝1×(1－28)1－2＝255.4．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于 ( )A ．126B ．130C ．132D ．134 答案 C解析 ∵b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n为常数， ∴{b n }为等差数列．设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负， ∴S 11，S 12最大且S 11＝S 12＝132.5.设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________.答案 －513解析 由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)得，a 6＋a 7＝4(b 5＋b 6)， 又a 5＝b 5，a 6＝b 6，所以a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)， 所以6a 1＋25d ＝0，所以a 1＝－256d ， 又q ＝b 6b 5＝a 6a 5＝－256d ＋5d －25d6＋4d ＝－5，所以a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 6b 5(q 2＋1)＝2b 6b 5(q 2＋1)＝2q q 2＋1＝－513. 【巩固练习】1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－n，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，a n ≤b n ，a n ，a n >b n ，若在数列{c n }中，c 5≤c n 对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 [－5，－3]解析 c n 是取a n 和b n 中的较大值，又c 5是数列{c n }中的最小项，由于函数y ＝25－n 是减函数，函数y ＝n ＋k是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－5≤6＋k 或25－5≤5＋k ≤25－4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤－3，所以－5≤k ≤－3.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4≥4，S 7≤28，则a 10的最大值为________． 答案 16解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4≥4，S 7≤28，∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ≥4，S 7＝7a 1＋7×62d ≤28，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥2，a 1＋3d ≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋3d ＋6d ≤4＋6d ，a 10＝a 1＋9d ＝12(2a 1＋3d )＋15d 2≥2＋15d2， ∴2＋15d 2≤a 10≤4＋6d ，∴2＋15d2≤4＋6d ，解得d ≤2， ∴a 10≤4＋6×2＝16.3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n . 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d .由T 3＝15，即b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列可得(5－d ＋1)·(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d ＝2或d ＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0， ∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 4. 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >n n ＋1.解 (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1， ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.证法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 证法二：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>1，又∵1>n n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.【提高练习】1.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 C解析 因为对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，所以令x ＝n ，y ＝1，得f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1a n＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝12，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，则S n ∈⎣⎡⎭⎫12，1.故选C.2．已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2an )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 解 (1)由已知得log 22an －1log 22a n＝2n ， ∴a n －1a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0，∴a n ＝n ±n 2＋1. ∵0<x <1，∴0<2a n <1，∴a n <0.∴a n ＝n －n 2＋1. (2)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1－(n －n 2＋1)＝1－2n ＋1(n ＋1)2＋1＋n 2＋1>1－2n ＋1(n ＋1)＋n ＝0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列．3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝lga n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意得1a n ＋1－1a n ＝1， 又因为a 1＝1，所以1a 1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n .(2)由(1)得b n ＝lg n －lg(n ＋2)，所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n －2)－lg n ＋lg (n －1)－lg (n ＋1)＋lg n －lg (n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n ＋1)－lg (n ＋2)＝lg2(n ＋1)(n ＋2).。

数列的相关概念及简单表示知识讲解一、数列的概念概念：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限二、数列的通项定义：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项．数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．三、数列的通项公式定义：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．四、数列的递推公式定义：如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．五、数列的前n 项和定义：123n n S a a a a =++++．数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．六、根据数列的通项公式判定数列的单调性方法1.确认单调性：已知)(n f a n =，若)(x f 的单调性可以确定，则}{n a 的单调性可以确定。

（含参慎用）2.比较法①作差比较法：*1,0{}n n n n N a a a +>∈-=⇒<递增数列为常数列递减．②作商比较法（对于各项符号相同的数列）数列递减常递增数列为}{1,0,1*n nn n a a a a N n ⇒<=>>∈+．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•新昌县校级模拟）已知数列{a n}，{b n}的通项公式为：，，在数列{a n}中存在连续的k（k＞1，k∈N*）项和是数列{b n}中的某一项，则k的取值集合为（）A．{k|k=2α，α∈N*}B．{k|k=3α，α∈N*}C．{k|k=2α，α∈N*}D．{k|k=3α，α∈N*} 2．（2018•安徽模拟）删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．2062 B．2063C．2064 D．20653．（2017•玉林一模）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039C．5043 D．50474．（2016秋•永州期末）已知函数，，＞＞，，数列{a n}满足，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．，D．，5．（2016秋•吉安期末）已知函数f（x）=，，＞，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4）D．（1，4）6．（2017秋•浦东新区期中）使数列，，，前项积大于的自然数n的最小值为（）A．8 B．9C．10 D．117．（2017春•宿州期中）已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n=，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A．1 B．2C．4 D．38．（2017秋•福州期中）（理）在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有=k（k 为常数），则称{a n}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n=a•b n+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（）A．1 B．2C．3 D．49．（2017秋•宜昌期中）已知函数f（x）=，，＞（a＞0，且a≠1），若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（0，1）C．，D．（2，3）10．（2016•温州二模）数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）二．填空题（共4小题）11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：b2012是数列{a n}中的第项．12．（2018•中山市一模）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，，，则a2017=．13．（2018•上海模拟）已知函数f（x）=，，＞，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．14．（2016秋•抚顺期末）定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为．三．解答题（共1小题）15．（2016•丰台区一模）已知数列{a n}是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），，．（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；（Ⅱ）已知数列{a n}中，求证：数列{a n}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{a n}中任何一项都不等于1，记b n=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b n}是单调递减数列．。

数列的概念重要知识点讲解一、知识梳理：1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2、递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。

3、数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n 注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。

二、巩固练习：1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ A ）（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）232．在数列}{n a 中，11++=n n a n ，且9=n S ，则=n 99 ．3． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴=+++n a a a 21212121n n -=--. 4.已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为______________（答：125）； 5.数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为_________（答：n a <1+n a ）；6.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围___________（答：3λ>-）；7.给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）（答：A ）A B C D8．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d 由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d >∴2d =∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+。

数列的概念与简单表示法教案数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列的概念和简单表示法是数学中重要的概念之一。

通过学习数列的概念和简单表示法，我们可以更好地理解数学中的序列和数的变化规律，并应用到解决实际问题中。

一、数列的概念1. 定义：数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

2. 表示方法：数列可以用各种方法进行表示，常用的有列表法和通项公式法。

- 列表法：将数列的每一项按照规律列成一个列表，例如：1, 3, 5, 7, 9, ...- 通项公式法：用一个公式表示数列的第n项，例如：an =2n - 1。

3. 数列的性质：数列可以有不同的性质，例如有界性、单调性、周期性等。

- 有界性：数列中的数有上下界，即存在最大值和最小值。

- 单调性：数列中的数可以是递增的，也可以是递减的。

- 周期性：数列的数按照一定规律重复出现。

二、数列的简单表示法1. 递推公式：递推公式是指用数列的前几项来表示数列的后续项的公式。

- 递推公式的一般形式为：an+1 = f(an)，其中f为确定的函数关系。

- 递推公式的例子：an+1 = an + 2，即后一项等于前一项加2。

2. 通项公式：通项公式是指用n来表示数列的第n项的公式。

- 对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

- 对于等比数列，通项公式的一般形式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

- 对于其他特殊数列，也可以通过观察规律，推导出通项公式。

三、教学设计建议1. 引导学生理解数列的概念：通过列举生活中的数列实例，如自然数序列、偶数序列等，引导学生理解数列的概念。

2. 举例说明不同数列的特点：通过具体的数列例子，如等差数列和等比数列，说明数列的有界性、单调性、周期性等特点。

3. 教授数列的表示方法：通过具体的数列例子，引导学生掌握列表法和通项公式法表示数列的方法。

数列的概念与简单表示法的知识点总结关于数列的概念与简单表示法的知识点总结1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的'内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。

第33讲 数列的概念与简单表示（讲）思维导图知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：⎩⎪⎨⎪⎧有穷数列：项数有限个；无穷数列：项数无限个；(2)按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧递增数列：a n ＋1>a n ，递减数列：a n ＋1<a n，常数列：a n ＋1＝a n＝C (常数)，摆动数列.3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．题型归纳题型1 由a n 与S n 的关系求通项a n【例1-1】（2019秋•沈阳期中）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2﹣3n +2，则它的通项公式a n 是 ． 【分析】利用“当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1”即可得出． 【解答】解：当n ＝1时， a 1＝S 1＝2﹣3+2＝1． 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n 2﹣3n +2﹣[2（n ﹣1）2﹣3（n ﹣1）+2]＝4n ﹣5． ∴a n ={1，n =14n −5，n ≥2．故答案为a n ={1，n =14n −5，n ≥2．【例1-2】（2019春•南康区校级期中）如果数列{a n }的前n 项和S n =32a n ﹣3，那么这个数列的通项公式是 ．【分析】利用a n ={S 1，当n =1时S n −S n−1，当n ≥2时及等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：当n ＝1时，a 1=S 1=32×a 1−3，解得a 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=32a n −3−(32a n−1−3)，化为a na n−1=3．∴数列{a n }是以6为首项，3为公比的等比数列， ∴a n =6×3n−1=2⋅3n ． 故答案为a n =2⋅3n ．【跟踪训练1-1】（2020春•杨浦区校级期末）数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2+2n +3，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ．【分析】直接利用前n 项和与通项之间的关系即可求解．【解答】解：因为数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2+2n +3，n ∈N *， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+2n +3﹣[（n ﹣1）2+2（n ﹣1）+3]＝2n +1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1+2+3＝6不适合上式；故数列{a n}的通项公式a n={6，n=12n+1，n≥2．故答案为：{6，n=12n+1，n≥2．【跟踪训练1-2】（2020•烟台模拟）已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝2n2﹣n+1，则数列{a n}的通项公式为．【分析】由S n＝2n2﹣n+1，可得：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，n＝1时，a1＝S1．即可得出数列{a n}的通项公式．【解答】解：由S n＝2n2﹣n+1，可得：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2﹣n+1﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1]＝4n﹣3，n＝1时，a1＝S1＝2﹣1+1＝2．则数列{a n}的通项公式为a n={2，n=14n−3，n≥2．故答案为：a n={2，n=14n−3，n≥2．【跟踪训练1-3】（2019春•蚌埠期中）数列{a n}的前n项和S n＝3n2﹣5n，则a n＝（）A．3n﹣5B．2n﹣4C．6n﹣8D．5n﹣7【分析】n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，n＝1时，a1＝S1，可得a n．【解答】解：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3n2﹣5n﹣[3（n﹣1）2﹣5（n﹣1）]＝6n﹣8，n＝1时，a1＝S1＝3﹣5＝﹣2．对于上式成立．则a n＝6n﹣8．故选：C．【跟踪训练1-4】（2019秋•碑林区校级月考）在数列{a n}中，已知S n=(n+1)2，其中S n为{a n}的前n项和，则a n＝．【分析】由公式可得：n＝1时，a1＝S1；n≥2，S n﹣S n﹣1．【解答】解：①令n＝1时，a1＝S1＝4；②令n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1综上所述，{4，n =12n +1，n ≥2，故答案为：{4，n =12n +1，n ≥2．【名师指导】1．已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．题型2 由数列的递推关系求通项公式【例2-1】（2019春•南昌期中）已知数列{a n }中，a 1＝﹣1，且a n +1＝a n +3n ﹣1，则数列的通项公式a n ＝ ． 【分析】因为a n +1＝a n +3n ﹣1，所以a n +1﹣a n ＝3n ﹣1，利用累加法可以求出数列{a n }的通项公式． 【解答】解：依题意，因为a n +1＝a n +3n ﹣1，所以a n +1﹣a n ＝3n ﹣1，所以{a n −a n−1=3n −4a n−1−a n−2=3n −7⋯⋯a 2−a 1=2等式左右两端相加得：a n ﹣a 1＝2+5+……+（3n ﹣4）=2+(3n−4)2×(n −1)=3n 2−5n+22，（2+5+……+（3n ﹣4）为首项为2公差为3的等差数列的前（n ﹣1）项的和） 又因为a 1＝﹣1，所以a n =3n 2−5n 2． 故填：3n 2−5n2．【例2-2】（2019春•舒城县期末）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=an 1+2a n，则{a n }的通项公式a n ＝ ．【分析】将所给的式子变形得：﹣2a n +1•a n ＝a n +1﹣a n ，两边除以a n +1•a n 后，根据等差数列的定义，构造出新的等差数列{1a n}，再代入通项公式求出1a n，再求出a n ．【解答】解：由题意得a n +1=a n1+2a n ，则﹣2a n +1•a n ＝a n +1﹣a n ， 两边除以a n +1•a n 得，1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴1a n=1+（n ﹣1）×2＝2n ﹣1，则a n =12n−1， 故答案为：12n−1．【跟踪训练2-1】（2020春•静安区期末）数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝a n +5，则数列{a n }的通项公式a n ＝ （n ∈N *）．【分析】由题意可得：a n +1﹣a n ＝5，可得数列{a n }为等差数列，其公差d 为5，根据已知利用等差数列的通项公式即可求解．【解答】解：∵a n +1＝a n +5，可得：a n +1﹣a n ＝5， ∴数列{a n }为等差数列，其公差d 为5， ∵a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3+5×（n ﹣1）＝5n ﹣2，n ∈N *． 故答案为：5n ﹣2．【跟踪训练2-2】（2020春•徐汇区校级期末）在数列{a n }中，若a 1＝1，a n+13=a n 3+1，则a n ＝ ．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出． 【解答】解：a 1＝1，a n+13=a n 3+1，则a n +1＝a n +3，∴数列{a n }为首项为1，公差为3的等差数列， ∴a n ＝1+3（n ﹣1）＝3n ﹣2， 故答案为：3n ﹣2． 【名师指导】1．正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式． (2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．题型3 数列的性质及应用【例3-1】（2019秋•郑州期中）在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝5，且a n+2=a n+1−a n (n ∈N ∗)，则a 2020＝ ．【分析】法一：通过取n ＝1，2，3，4，5，6即可得出周期性．法二：a n+2=a n+1−a n (n ∈N ∗)，a n +3＝a n +2﹣a n +1，可得a n +3+a n +2＝a n +1﹣a n +a n +2﹣a n +1，可得a n +3＝﹣a n ，可得a n +6＝﹣a n +3＝a n ，即可得出{a n }周期为6，即可得出． 【解答】解：法一：令n ＝1，则a 3＝a 2﹣a 1＝5﹣1＝4； 令n ＝2，则a 4＝a 3﹣a 2＝4﹣5＝﹣1；令n ＝3，则a 5＝a 4﹣a 3＝﹣1﹣4＝﹣5；令n ＝4，则a 6＝a 5﹣a 4＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣4； 令n ＝5，则a 7＝a 6﹣a 5＝﹣4﹣（﹣5）＝1； 令n ＝6，则a 8＝a 7﹣a 6＝1﹣（﹣4）＝5； ∴数列{a n }为周期为6的周期数列， ∴a 2020＝a 336×6+4＝a 4＝﹣1． 法二：a n+2=a n+1−a n (n ∈N ∗)①， a n +3＝a n +2﹣a n +1②，①+②得a n +3+a n +2＝a n +1﹣a n +a n +2﹣a n +1，∴a n +3＝﹣a n ，∴a n +6＝﹣a n +3＝a n ，{a n }周期为6， ∴a 2020＝a 336×6+4＝a 4，∴由a 1＝1，a 2＝5，得a 3＝4，a 4＝﹣1．【例3-2】（2020春•温州期末）设数列{a n }满足na n =n 2+λ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ．【分析】根据数列递增得到a n +1＞a n ，利用不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：na n =n 2+λ⇒a n ＝n +λn ， 若{a n }递增，则a n +1＞a n ， 即n +1+λn+1＞n +λn ， 则λ＜n （n +1）， ∵n ∈N *， ∴n （n +1）≥2， 则λ＜2，故答案为：（﹣∞，2）．【例3-3】（2020春•南昌月考）已知a n =√122n−√123∈N ∗)，则在数列{a n }的前40项中最大项和最小项分别是（ ） A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 12，a 11【分析】根据题意，将数列的通项公式变形可得a n =√122n−√123=1√123−√122n−√123，结合函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，a n =√122n−√123=1√123−√122n−√123，当n ≤11时，数列{a n }递减，且a n ＜1， 当n ≥12时，数列{a n }递减，且a n ＞1，故在数列{a n }的前40项中最大项和最小项分别是a 12和a 11； 故选：D ．【跟踪训练3-1】（2020春•山西月考）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝（3n +7）×0.9n ，则数列{a n }的最大项是（ ） A ．a 5B ．a 6C ．a 7D ．a 8【分析】作差利用单调性即可得出．【解答】解：a n +1﹣a n ＝（3n +10）×0.9n +1﹣（3n +7）×0.9n ＝0.9n （20−3n10）≤0，解得：n ≥203．可得最大项为a7．故选：C．【跟踪训练3-2】（2020春•九龙坡区期末）已知数列{a n}的通项公式为a n＝﹣2n2+λn（n∈N*，λ∈R），若{a n}是递减数列，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，6）D．（﹣∞，6]【分析】数列{a n}是递减数列，可得a n＞a n+1，化简解出即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是递减数列，∴a n＞a n+1，∴﹣2n2+λn＞﹣2（n+1）2+λ（n+1），解得λ＜4n+2，∵数列{4n+2}单调递增，∴n＝1时取得最小值6，∴λ＜6．故选：C．【跟踪训练3-3】（2019秋•海淀区校级月考）如表定义函数f（x）：x12345f（x）54312对于数列{a n}，a1＝4，a n＝f（a n﹣1），n＝2，3，4，…，则a2019的值是（）A．1B．2C．5D．4【分析】探究出数列的周期性即可得出．【解答】解：a1＝4，a n＝f（a n﹣1），所以a2＝f（a1）＝f（4）＝1，a3＝f（a2）＝f（1）＝5，a4＝f（a3）＝f（5）＝2，a5＝f（a4）＝f（2）＝4，a6＝f（a5）＝f（4）＝1，由上可知，数列{a n}是4，1，5，2，4，1，…，以周期为4的周期数列，a2019＝a2016+3＝a3＝5，故选：C ． 【名师指导】1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2.解决数列的单调性问题的3种方法3.求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n ＞0时，a n ＋1a n ＞1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n ＞0时，a n ＋1a n ＜1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．。