数码相机定位

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分析数码相机定位原理及其相关问题

分析数码相机定位原理及其相关问题
了解数码相机定位原理，可以加深我们对这种产品的熟悉，用法起来越发得心应手。

特殊是从事这方面研制和开发的工程师，这些都是基础。

本文主要是分析数码相机定位原理，主要是深化分析它的标定的方式、定位的办法，如何利用电子实现光学影像和电子数据之间的转换。

数码相机工作原理
光芒通过镜头或者镜头组进入相机，通过成像元件(即CCD/传感芯片)按照光芒的不同转化为数字信号，数字信号通过影像运算芯片储存在存储设备中，也就是我们常说了相机自身的存储卡或者内存卡中。

它集成了影像信息的转换、存储和传输等部件，具有数字化存取模式，与电脑交互处理和实时拍摄等特点(数码相机成像原理)。

我们可以通过相机的屏幕也可以观察照片或者已经录制好的视频，也可以通过数据线(普通是)或者内存卡和电脑衔接，将数据或者视频数据传输到个人PC机上扫瞄。

数码相机定位原理
指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置，通过定位，可以让图像越发清楚，和我们肉眼看到的影像对照显得越发真切可信。

在摄影测量学中有以下四个标定问题: 这些标定问题主要起源于高空摄影技术,是摄影测量中的经典问题.
(1)肯定定位:通过标定点确定两个坐标系在肯定坐标系统中的变换关系,或确定测距传感器在肯定坐标系中的位置和方向.
(2)相对定位:通过场景中的标定点投影确定两个摄象机之间的相对位置和方向.
(3)外部定位:通过场景中的标定点投影确定摄象机在肯定坐标系中的位置和方向.
(4)内部定位:确定摄象机内部几何参数,包括摄象机常数,主点的位置以及透镜变形的修正量.
第1页共2页。

数码相机的定位

数码相机的定位摘要数码相机的定位是根据不同角度拍摄物体的像，来快速精确的确定物体空间位置。

对于问题一，因题中已给出靶标的像图，所以，利用matlab对图像进行一定处理便可得到相应的像坐标。

对于问题二，根据问题一所建立的模型求解便可得到靶标上的圆的圆心在像平面上的像坐标。

圆a（-190.126, 159.5086) 圆b（-90.1202, 152.0192）圆c(126.8699, 135.8438) 圆e(-228.318, -152.81) 圆d（69.7422, -153.98）对于问题三，根据靶标上的像的原像与靶标上的像的差距判断数码相机拍摄的精确度，物距与像距的比得出其稳定性。

对于问题四设两个相机光轴夹角为ｈ，在０到１８０之间，同时两个相机像平面中心距离为H，成为基线距离，可以运用h,H 确定两个相机所在位置关键字：靶坐标平面像坐标二值化图像处理参数方程精确度一问题重述1.背景数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。

最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。

其做法就是在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系得到这两部相机的相对位置。

然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。

实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点。

而它们的像一般会畸变，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

这样问题就转化为如何建立数学模型和算法确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的坐标。

有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。

以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆（见题中图）2.问题（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

基于线性模型的数码相机定位算法

ｂｉｇｕｅｎｖｒｌｐｅｒｏａｉｂｅｔｃｏｄｎｉｏｕａｃｔｎｔｅｒ，ｎａｄｌｆｍｇｇｉｅｔ — ｅｎｓｄｕｉｓｌｉａｄｆｃｔｇｏｊｃ．Ａｃｒｉｇｔｂｎｌｒｏａｉｈｏａｌｅｒｅａｙｓｏｌｎｏｃｌｏｙｉｍｏｅｏｉａｉｓｂｎｓａ
中图分类号：Ｐ９Ｔ３１
文献标识码：Ａ
ｄｉ１．９９ｊｉｎ１０－４５２１．１０５ｏ：０３６／．ｓ．０６２７．０２Ｏ．１ｓ
ＰｏｉｉｎｎｇｒｔｍｉｇｔｌＣａｅａＢａｅｎＬｉａｏｌｓｔｏｉｇＡｌｏｉｈＵｓｎｇＤｉｉａｍｒｓｄｏｎｅｒＭｄｅ
２１０２年第１期
文章编号：０ —４５２１）１０７０１６２７（０２０－５－００４
计算机与现代化ＪＵＮＩＹＩＮＡＨＵＩＡＪＵＸＡＤＩＡＳ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总第１７期９
基于线性模型的数码相机定位算法
ｌｈｄａｄａｍｅｈｄｆｒｅａｎｎｉｍｏｅｅｉｎｄｉｅｎｔｏｘｍｉｉｇｔｓｄｌｓｄｓｅ．Ｔｅｈｒｃｓｎａｄｓｂｌｙｏｇｎｒｎｙｅｎｄｔｉｓｏｈｉｇｈｎｔｅｐｅｉｏｎｔｉｔｆｉｉｇａｅａａｚｄｉｅａｌｈｓｉａｉｍａｌ．Ｔｉ
ｍｏｅｓｓｍｐｅｏｃｍｐｔｔｎｃｓｎｅｌｓａａｌ，ｗｈｃａｒｖｄｏｄｒｆｒｎｅｖｕｒｍｕｔｃｍｅａｓｕｔｎａｄｄｌｉｌ，ｌｗｏｕａｉｏｔｄｗｌｃｌｂｅｉｏａｉｈＣｐｏｉｅｇｏｅｅｅｃａｅｆｌｉａｒｉａｉｎｌｏ — ｔｏｎ

数码相机相对位置定位方法

数码相机相对位置定位方法1.摘要本文给出了空间中两部固定照相机相对位置的标定方法，将照相机成像过程近似为针孔成像过程，使得成像过程中光学中心—像点—物点三点共线，实现了成像的非线性到线性的简化。

文中将标定两部相机相对位置的方法分成三个步骤：第一步，将针孔成像抽象为点投影式映射的过程，根据射影几何中“点线结合的不变性”，具体通过射影前后任意两圆的公切线与圆的切点的唯一性，并且运用“标靶像坐标得切点切线算法”对所给像图片进行操作，求得切点的坐标，每对切点连线的交点即为圆心的像。

求得的结果如下表：点 A B C D E坐标(-194,-193,1577) (-97,-186,1577) (119,-169,1577) (67,113,1577) (-226,114,1577)（单位：像素）第二步，依靠成像过程光学中心—像点—物点三点共线的性质，用已知的像点坐标去标定对应的标靶圆心的坐标，再利用标靶上各点的几何关系，对待定系数进行求解，从而得到标靶圆心坐标；第三步，在已知标靶圆心在两个相机坐标系中的坐标的前提下，利用这些坐标求出坐标系变换矩阵。

再利用求出的变换矩阵求出一部相机在另一相机坐标系中的坐标，这样就可以求出两个相机的相对位置。

此外，根据投影过程中“共线不变性”和“交比不变性”对模型中的第一个步骤的结果进行评价，并对这两种方法的准确性和稳定性进行讨论，其中设计了恰当的算法对方法二进行了全面的评定，得出方法一具有局限性而方法二具有良好得准确性和稳定的结果。

在模型扩展中，我们建立了考虑畸变的非线性模型。

分析了理想像点坐标和实际有畸变的像点坐标之间的函数关系，从而提出了将非线性模型问题转换到线性模型下解决的方案。

关键词：照相机定位针孔模型射影变换交比坐标变换目录数码相机相对位置定位方法 (1)1.摘要 (1)2.问题重述 (3)3.问题分析 (3)4.模型假设 (3)5.符号说明 (4)6.模型建立与求解 (4)1)模型准备： (4)2)模型建立 (4)3)对问题一的解答： (6)a)问题分析： (6)b)算法：标靶像坐标的切线切点算法 (6)c)改进算法：基于罚函数思想的切点切线算法 (7)d)算法分析： (7)4)对问题二的回答： (7)5)求解标靶圆心在照相机坐标系下的坐标 (8)a)问题分析: (8)b)求解方法： (8)6)利用空间坐标变换法确定两部照相机的相对位置： (10)a)问题分析： (11)b)求解过程： (11)7.模型分析及检验 (12)1)对问题三的回答： (12)a)方法一：利用共线不变性对结果的检验 (12)b)方法二：基于射影变换交比不变性的检验方法 (13)2)模型分析 (16)8.模型拓展 (16)9.参考文献 (17)10.附录 (18)2.问题重述题目要求根据标靶的像和标靶进行对系统的标顶，最终找到两台照相机的相对位置。

数码相机市场细分及定位

现在的数码相机市场存在着严重的同质化现象，产品的功能因素在消费者的购买决策中占的比例越来越小，人们更多的是追求产品的个性化，体现在消费上就是追求符合自己品位的品牌、设计，消费者的心理需求成为数码相机厂商营销发展的最大内在驱动力。

不同人群对品牌、功能、外观、价位都有不同的选择，求全、求大、一锅端已经不能适应市场变化的要求。

找准不同消费群体的心理需求，开发并满足多元化的细分市场，才是数码相机品牌的发展之道。

一、市场细分(Segmentation)。

市场细分的标准有地理因素、人口因素、心里因素、行为因素。

本公司根据数码相机调查报告，按人口因素和行为因素将消费市场进行了一下划分。

1、针对不同收入群体开发高低端产品不同人群对品牌、功能、外观、价位都有不同的选择。

现在的家用相机卡片化的趋势明显，集实用和易携带于一身，时尚的同时也能满足绝大部分家庭用机的需求，成为大部分消费者未来最希望购买的类型。

中低收入的绝大部分消费者未来愿意购买1500元以下的家用消费类数码相机，这类数码相机已经能满足他们的需求。

3000-6000元的数码相机受到中等收入人群的亲睐。

高收入的消费者对于6000元以上的高端消费类数码相机和专业类数码相机有比较明显的需求。

数据显示，未来消费者未来可能接受的数码相机的价位有向两端分布的趋势，市场细分会更加明显。

2、首部数码相机和升级换代机的不同市场数字100研究发现，没有数码相机的人群中，低学历、学生、退休人员和一般企业职工较多，20岁以下人群、个人收入在2000元以下者较多。

这个人群未来购买中低端消费类数码相机的可能性大。

而已经购买数码相机的人群中，女性更多，高收入者、高职位者较多，25岁以上人群较多。

如今，这群已经购买数码相机的消费者也面临着数码相机升级换代、追求更高品质、更高性能数码相机的愿望，其中大部分会继续购买性能更好、功能更全的消费类数码相机，另一群消费者则更加亲睐高端消费类数码相机和专业机。

数码相机标定的相关参数计算

z 镜头畸变
照相机的镜头并非理想的光学系统，像平面上的实际成像点与理想成像点之间存在着光学畸变误差。在通常情况下，采用的畸变模型只考虑径向畸变，有畸变后的坐标与畸变前的坐标的变化关系为：
( ) ⎪⎧X '= X 1 + kr 2 ( ) ⎪⎩⎨Y '= Y 1 + kr 2
其中， r 2 = X 2 + Y 2 , k 为畸变系数。可知 r 越大，畸变程度就越大。也就是，离镜头中心的距离越远，所成的像与原物之间的畸变就越大。
了靶标圆所在平面，即此时ϕ,θ 取值下的平面α ' 与平面α 为同一平面。在通过焦点坐标，焦距值即可求出圆像圆心的精确位置。 2. 模型相关解释及说明：
2.1 在取定点 O 时，出于处理方便，在不影响计算结果的情况下，我们取定 x0 = 0, y0 = 0, z0 = −r ，由已知，可得 r = 12mm 。
在本模型中，应该对于模拟图像的边界进行搜索，而在数码相机的数模转换之后，我们搜索的对象只是各个网格的中心，这就会导致搜索过程中找到的圆心与理想模拟搜索到的圆心有差距，进而影响模型的精确程度。而且，在模型中，我们是逆推相机的成像原理，是对所成的数字化以后的像反推得到原物，数字化导致的误差在逆推过程中，会随着原物与镜头距离的增大而增大。从而导致对圆的判断和圆心位置的确定产生影响。
对与本模型而言，如果像圆离镜头的中心很大，那么像圆与原物圆的差距就很大，而在模型求解过程，我们是基于像素对面上的进行搜索，如果，由于畸变使某些点的坐标与理想情况差距较大，就会直接导致搜索不到最准确的圆心，影响模型的稳定性。
z 分辨率
镜头的分辨率，通俗的可以做以下理解：我们在镜头的像平面上以相同的间隔分别在横向和径向画网格，将像平面分成很多的区域，而我们搜索的对象就是网格的中心。

数码相机GPS定位和方位角精度探讨

须解决的问题。
相机采集数据坐标展点图如下，图中三角为
控制点，圆圈点为观测点。
ｏ
ｏｏ
Ｏ
３．精度检测方法
３．１ＧＰＳ定位平面精度检测
△
（１）外业控制点制作：
在空旷地区选择控制点Ａ，使用ＧＰＳ — ＲＴＫ对其进行观测，解算出控制点Ａ的
号的电离层、大气的对流层、多路径效应；
来自信号接收的位置误差、天线相位中心
角精度是遥感解译样本数据的重要属性，
直接影响着遥感解译样本数据库的质量好
变化；来自地面环境（如高大的建筑物、
树、大面积水域）的因素都会影响ＧＰＳ对
ＣＧＣＳ２０００坐标。
３ — １拍摄点坐标展点图
量测距离误差为
观测序号与控制点距离（米）
【
ｌ
０．７
Ｉ
【
２
３
４
０．８
Ｏ．９
０．８
（２）相机参数设定：
ＧＰＳ设定：记录ＧＰＳ数据开启；更新
Ａ — ＧＰＳ文件。（３）观测方法：
５６
１．８１．８
解算得ｍ＝１．２米，由此知道该数码相机ＧＰＳ位置定位平面精度。
３－２电子罗盘方位角精度检测（１）外业控制点制作：在空旷地区选择控制点Ａ、Ｂ，使用

2008A题数码相机定位

数码相机定位一．问题重述数码相机定位在交通监管等方面有广泛的应用。

所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。

最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。

对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。

只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。

于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

参照系统标定的方法建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标；设计一种方法检验建立的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二．符号说明1）ij r-------------------------------------------对应两点的距离（i =1,2,3;j =1,2,3,4）2）u,v------------------------------------------------待定系数3）i x，i y, i z，'i x，'i y，'i z--------------对应点的x，y，z坐标(i=1,2,3)4)t，2t，3t------------------------------------------关系系数15）R------------------------------------光学中心到像平面的距离6）r ---------------------------------------两部相机之间的距离三．模型假设1.两部相机的型号相同即像距相等。

2.假设像平面在光学中心的正后方，即建立的二维坐标系原点在原三维坐标系的z轴上。

一种数码相机定位方法的分析与研究

同时用这两部相机照栩，分别得到这些点在它们像平而上的像点，利用这两组像点的Ｊ何关系就可以得到Ｌ
这两部相机的相财位置。然而，无论在物平面或像平
８＝
，ｃ；ｙ３０ｄ
，ｘ，神（０ｙ
Ａ。ｅｐｃ＋ＸＸ［ｌｏ＋ｙｏ
域有重要应用。
１数码相机双目定位法
ｃＡ２２，，；一一＝菱未Ｘｏ
Ｂ是一个Ｎ×５矩阵，第ｉ为［ｉ其行ｂ］＝［ｉｆｉｆ，ｘ，ｉ
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的￡ｉｘ，ｙ］ｙｆ。ｉ相片确定物体表面某些特征点的位置。蚊常用的定用豪斯荷尔德变换来进行最小定位是近年来发展起来的一种可用于Ｑ＝Ｃ。其中，ＢＱ是一个Ｎ×１向量，其元素为交通事故现场勘查与信息采集的智能化技术，计算在ｑ＝ＮｉｉＩｆ；机视觉、机器人和自动化以及计算机集成制造系统领Ｃ是一个完全由高斯参数复合的向量，
第ｌ７卷第５期２００９年０９月
河南机电高等专科学校学报
ＪｕｌｆｔｎｎＭｅｈｎｃｌｎｌｔｃｌｎｉｅｒｇＣｌｇｏｍａｅａｃａｉｄＥｅｒａＥｇｅｉｏｅｅｏｔａａｃｉｎｎｌ
相机坐标系、图像坐标系和像素坐标系间物体信息的转换过程。最终确定了靶标圆心在图像坐标系中和像素坐标系中的位置。关键词：目定位；双高斯拟合；缘灰度拟合边中图分类号：Ｐ９Ｔ３１文献标识码：Ａ文章编号：０８— ０３２０）５— ０２— ２１０２９（０９００３０

基于几何映射关系的数码相机定位模型的研究

第４卷Ｏ
ＭＡａｋｉＴＡＮｘｎＤＯＮＧａｙａｅ１Ｙｕｎｕ，Ｉｉｉｇ，Ｙｕｎｕｎ，ｔａ．Ｒｅｅｒｈｓａｃ
Ｂ一
～
△ ． △ △ ｚ △ 一ｚ，ｌ
Ｊ
＋缸棚ｌ
（）１２
ｏｉｔａｒｃｌｒｔｎＪ．ｕｅａｄＡｐｉｔｅｔｎｇａｃａａｂａｉ［］ＰｒｎｐｌｄＭａｈｍａｄＰｌｍｅｉｏｉｅ —
１本文采用相机定标研究的基本模型一针孔模型。
２２１图像坐标系．．
０．
相机采集的数字图像在
ｌｌ
ｌ！Ｉ
．
计算机内可以存储为数组，数组中的每一个像素值即是
就是几何的点）并用相机对其照相，后利用靶标上这些，然圆的像的坐标得到圆心的像的坐标，利用透镜成像原理，建
标（ｕ弘，）相比的平均值：Ｘ
（ ‰
．．
［］陈琳，６陈祥，段晓威，双目定位在数码相机图像标定中的应等．
用［］计算机与数字工程，０９３（２：５— ５．Ｊ．２０，７１）１５１７
ｉｓ２ｌ，７５：０ — １ｃ，０２（）７５７Ｏ．１１】
Ｃ — ｚｒＡｙ一ｚＡｙ￣ｏ￣Ｊｘ￣ｏ
［］文涛，３李马钺．基于智能相机的目标物体的定位［］控制工程，Ｊ．
２１１Ｓ１：０７．０１，８（）７１
Ｔｒｎｆｒｔｎ［］ＪｕｎｌｏｈｎｈｉＵｎｖｒｉｆＥｇ— ａｓｏｍａｉＪ．ｏｒａｆＳａｇａｏｉｅｓｙｏｎｉｔ

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2. 然后对题目中图二靶标示意图建立适当的世界坐标系，运用边界检测对图三中的椭圆进行处理，考虑到 canny 算子在灰度图像处理中边缘检测得到了广泛应用。根据边缘检测的有效性和定位的可靠性，Canny 研究了最优边缘检测器所需的特性，是一种比较好的算法编写程序可得到椭圆的中心坐标，确定数码相机的内外参数，我们得到了摄像机的内参数矩阵和每幅标定图像对应的外参数矩阵。但这只是个粗糙解，没有具体的物理意义，可通过最大似然估计对所有参数进行非线性优化，进一步求精，如果获取了 n 幅图象，第 i 幅图象中有 m 个特征点，则可以通过最小化以下公式进行优化，建立一个优化模型目标函数：
3. 为了检验标定结果的准确性，采用一定的方法对标定结果进行验证是非常必要的。本文的方法如下：（1）利用标定得到的内部参数 A、外部参数[R T]，对标定板做一个正向的投影变换，可以得到在这种内外部参数条件下的标定板特征点的图象坐标值。和实际图象中的对应特征点的坐标值
（2）比较所有的理论值
2 / meandist
s 0 smu u ' u (5)总的变换矩阵为; Ti 0 s smv ,变换后的坐标为 v ' T1 v 1 w 1 0 0
图 5 各坐标系之间的关系
3D世界坐标系（O W xW y W zW）步骤一：从世界坐标到摄像机坐标的刚体转换（xW ,y W ,zW )(xcyczc） 3D摄像机坐标系（OxC yCzC）步骤二：基于针孔相机模型的透视投影变换（xc ,yc ,zc )(xW ,y W ) 理想的成像平面坐标系（O1xd yd）步骤三：理想的成像平面坐标与实际的成像平面坐标间的转换（ｘ，ｙ）（ｘ，ｙ）待定参数：径向畸变系数ｋ等ｕｕｄｄ１实际的成像平面坐标系（O1xd yd）步骤四：实际的成像平面坐标与图像坐标的线性变换（ｘ，ｙ）（u,v）待标定参数：（ｕｄｄ O ,ｖ）,s O x 实际的成像平面坐标系（OO uv）待标定参数：f 待标定参数：R.T
上公式可以看出，H 这个 3×3 的矩阵把标定板上特征点的空间信息和其图象信息联系起来了。 H 矩阵是可以通过标定板的图象信息计算得出的。利用 H 矩阵和内部参数的约束关系，可以得出
因为从图像_L 提取的角点，无论怎么精确也存在误差，所以 H 的计算是使实际图像坐标计算出来的图像坐标之间残差最小的过程，目标函数为:
四模型的求解和结果分析
1. 很容易得出世界坐标系和图像像素坐标系之间的关系，即
相机模型公式其中，R，T 表示的是相机的空间位置和方向，这些参数称之为外部参数，
由于α，β，γ只与相机的内部结构有关，这些参数称之为内部参数以下关系：
由上式可以得出
其中，
，
，s 为一个任意的比例因子。从以
ˆ i || min || mi m
i 2
消去 s 可得
ˆi m
ˆM 1 h 1 i ˆ ˆ h3 M i h M 2 i
ˆ 表示 H 矩阵的第 i 个行向量。求解 H 是一个非线性最小二乘问题，可以 (这里 h i
用 Levenberg 一 Marquardt 法等多种非线性优化来解决). r hT uM T hT 0 ˆ M 1 3 u h1M 0 即 h3 M v r T T T ˆM M h2 vM h3 0 h 2 所以
一符号说明：
f —－相机镜头的焦距
D —－工作距离
M ×N —－拍摄目标的尺寸
m ×n—－目标在像面上的投影尺寸
x, y —－空间点 P 在图像平面上的坐标
X
c, c,
Y Z c —－空间点 P 在相机坐标系下的坐标
X
w, w,
Y Z w —－世界坐标系中 P 点的位置
R —－旋转关系的 3×3 的正交矩阵
图 1 靶标上圆的像
有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为 A、C、D、E）为圆心，12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A 点 30mm 处的 B 为圆心，12mm 为半径作圆，如图 2 所示。
图 2 靶标示意图
用一位置固定的数码相机摄得其像，如图 3 所示。
(l)求 u，v 两轴上各坐标的平均值 mu mean ui , mv mean vi ，即质心坐标; (2)将质心坐标取代原来的原点(即求各点相对于质心坐标的相对量):
ui ui mu , vi vi mv ;
(3)求变换后各坐标(各点相对于质心坐标的相对量)到原点距离的平均值: (4)求 u ，v 两轴上的缩放因子: s
数码相机定位
(2008 年数学建模 A 题) 题目：数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。而固定数码相机最常用的方法是双目定位法。即用两部固定于不同位置的相机摄得一个特征点不同的两个像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的 “点” 。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图 1 所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
（3）分别计算平均误差 mean，最大误差 max，估计误差平方和 sse，标准差 stddev。并列出表格进行对比，得出误差，对方法的精度和稳定性做分析讨论。 4. 分别标定左右两个相机，令左相机的外部参数为 R1 , T1 ,右相机的 R2 , T2 则由公式
可以得到表示两个相机相互位置的关系 R21 , T21 。按照张氏标定法，至少需要获取三对标定的图象，每一对图象均能得到一组表示两个相机相互位置关系的参数，理论上说每一对参数都应该一样，但由于实际工作环境中噪声等因素的影响，每一组参数都是有差别的，为了减小误差，可以采用了取平均值的办法确定两个相机的相互位置关系。 4.2 思路流程图
1. 两部数码相机的焦距相同，均为 f 。 2.在单目或双目标定过程中，只考虑镜头的径向畸变而不考虑切向畸变。 3. 在标定过程中，忽略标定板受到环境光线以及本身材质或者视角的影响。
4.所有公式的推导都是在理想情况下，即不考虑畸变因素。
三问题分析和模型建立
4.1 问题分析和建模思路 1. 本文是数码相机定位问题，由于题目中所给信息较少，所以有必要转换思路，于是我们分析题目，（1）对题目中的图形做一下处理，将椭圆图像导入 matlab 软件中，利用边缘检测的小波检测得到椭圆的中心坐标。（2）首先对数码相机进行标定，所谓数码相机标定,就是从数码相机获取的图像信息出发,根据空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系,构建数码相机成像的几何模型,再经实验与计算得到空间环境中三维物体的位置、形状等几何模型参数(摄像机参数)的过程. 从定义上看,摄像机标定实质上是确定摄像机内外参数的一个过程,其中内部参数的标定是指确定摄像机固有的、与位置参数无关的内部几何与光学参数,包括主点坐标(图像中心坐标)、焦距、比例因子和镜头畸变等;而外部参数的标定是指确定摄像机坐标系相对于某一世界坐标系的三维位置和方向关系,可用 3×3 的旋转矩阵 R 和一个平移向量 t 来表示.相机所成像的各个坐标之间的关系，包括.图像像素坐标系，图像物理坐标系，摄像机坐标系，世界坐标系。最终可以求得世界坐标系和图像像素坐标系之间的关系。即下式：
图 3 靶标的像
（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；（2）对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是 1577 个像素单位(1 毫米约为 3.78 个像素单位)，相机分辨率为 1024×768；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
它表征了二维图像坐标与三维世界坐标间的基本关系，己知靶标上圆的圆心世界坐标利用该矩阵就可以求出相应的理想图像坐标，所谓的摄像机标定就是要获取的参数。然后建立适当的世界坐标系，确定数码相机的内外参数，代入上式即可求靶标上圆的圆心在该相机像平面上的像坐标。对图 2 建立坐标系如下:
图4
靶标圆心的世界坐标系
当给定 n 对点时，我们就能得到上述的 n 组方程组，并可以将其写成矩阵方程 Lx=0 的形式，其中 L 是一个 2n×9 的矩阵，由于︱x︱=1，这是个线性方程组，且 x 具有 8 个未知数，所以只需要 4 对点，就可解出 x。若 n>4，形成的是一个超定方程组，则是一个最优解问题，一般利用奇异值分解 (SVD) 的方法来求。由于每幅图像控制点数 n>4，所以将 svd 分解得到的解作为初值，再用 Levenbe- Marquardt 法来优化求精。在 matlab 中可直接用命令 U , W , V SVD LT L 求解解得：
T —－三维平移变换关系
u, v,1 —－P 点在图像坐标系以像素为单位的齐次坐标
x, y,1 —－P 点在图像坐标系以毫米为单位的齐次坐标 u0 , v0 —－图像平面的主点坐标