5轴的扭转

故 F 项不对。
-2-
第 9 章 轴的扭转
9-4 某传动轴，转速 n = 300 r / min ，轮 1 为主动轮，输入功率 P1 = 50 kW ，轮 2、 轮 3 与轮 4 为从动轮，输出功率分别为 P2 = 10 kW ， P3 = P4 = 20 kW 。
(1) 试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；
第 9 章 轴的扭转
第 9 章 轴的扭转
9-1 填空题：
9-1(1) 直径为 d 的圆轴两端承受转矩 m 的作用而产生扭转，材料的弹性模量为 E，泊 松比为ν ，则圆轴表面沿轴线方向上的切应变为 32(1 +ν )m 。
Eπd 3
9-1(2) 同种材料制成的两根实心圆轴，第一根圆轴的直径 d1 和长度 L1 分别是第二根轴
，
即
80L1 + 10L2 = 14137.2 。
又有 L1 + L2 = 500 ，
上两式联立求解得
L1 = 130 mm ， L2 = 370 mm 。
9-11* 两根等长度的钢管松套在一起。当内管受扭矩 T = 2 kN ⋅ m 作用时，将两管的
两端焊接起来，然后去掉扭矩。此时两管内横截面上的最大切应力各为多少？试画出横 截面上的应力分布图。
分析：圆轴横截面上只有切应力，根据切应力互等定理，图示灰色面上也有切应力。以
轴线为界，两边的切应力呈反对称分布，故合力为零，但合力矩不为零。该合力矩与两
端面的切应力合力之矩相平衡。
9-3(2) 在如图的结构中，A 为主动轮，B、C 为从动轮，且 B、C 的输出功率相等。使
用时发现圆轴内的相对转角偏大，为改善这一状况，可采取的措施有 C E 。
= 0.7167 。
ϕ
ϕ
ϕ2
ϕ1
(a)
(b)
(c)
外管
τ max1
=
T (1 + κ )W1
=
16T (1 + κ )πD13(1 − α14 )
=
16 × 2 ×106 1.7167 × π ×1003 × (1 −
0.94 )
= 17.3
MPa
。
内管
τ max 2
=
T (1 + κ )W2
mA = −mB 。
显然，左段扭矩为 mA ，中间段扭矩为 mA − m ，右段扭 矩为 mA − m + m = mA 。由于两端固定，故两个端面的
相时转角为零，故有
m A
m B
a
a
a
题 9-9 图
-5-
工程力学习题解答
因此有
mAa + (mA − m)a + mAa = 0 ，
GI P
GI P
⎟⎟⎠⎞ 3
= 14.7
mm
。
9-6 图示的结构用伞齿轮传递转矩。已知齿轮 1 的半顶角 α = 22.5o ，与之相连的轴直
径 d1 = 80 mm 。若两轴材料相同，在相同的剪切强度条件下设计 d2 。
解：可以看出，轮 1 的平均直径 D1 与轮 2 的平均直径 D2 之间的关系是
D1 = tanα 。 D2
直径 d 2 和长度 L2 的 2 倍，两根轴的两端承受相等的转矩作用。两根圆轴的最大扭转切
应力之比 τ1 = 1 ，最大扭转角之比 ϕ1 = 1 。
τ2
8
ϕ2
8
9-1(3) 直径为 d 的实心圆轴两端承受转矩的扭转作用，圆轴外表面上的切应力为τ ， 在相同转矩作用下，外径为 2d、内径为 d 的空心圆轴外表面上的切应力为 2τ 。
=
Fa2 IP
⎜⎜⎝⎛
L1 G1
+
L2 G2
⎟⎟⎠⎞ 。
L1 + L2 = vAIP = vAπd 4 。 G1 G2 Fa2 32Fa2
G2 L1
+
G1L2
=
G1G2vAπd 4 32Fa2
。
300 A
500
D
C B
题 9-10 图
代入数据
80 ×103 L1
+ 10 ×103 L2
=
80 ×10 ×106 ×1× π × 304 32 × 50 × 3002
≤ [τ ] ，
由面积相等可得
[T2
]
=
1 16
[τ
]πd
3 2
(1
−
α
4
)
。
d12
=
d
2 2
(1
−
α
2
)
。
故有
[T1] =
d13
= (1 − α 2 ) 1 − α 2 = 1 − α 2 。
[T2 ]
d
3 2
(1
−
α
4
)
(1 − α 4 )
1+α2
9-8 全长为 L，两端直径分别为 d1 与 d2 的实心圆锥形杆，其锥度很小，在两端面承受 一对大小为 m 的力偶矩作用。试求杆两端面的扭转角。
d1
T1
α
因此，轴 1 的转矩 T1 与轴 2 的转矩 T2 之间的关系是
T2 = tanα ， T1
d2
即有
WP2[τ ] = WP1[τ ]tanα ， 即
d
3 2
=
d13
tanα
，
T2
或
d2 = d1 3 tanα = 80 × 3 tan 22.5o = 59.6 mm 。
题 9-6 图
可取 d2 = 60 mm 。
9-7 用同种材料制成的实心圆轴和空心圆轴的横截面积相等，空心圆轴内外径之比为
α 。试求实心轴许用扭矩 [T1] 与空心轴许用扭矩 [T2 ] 之比。
解：由强度条件可得
τ
=
16T πd13
≤ [τ ] ，
[T1
]
=
1 16
[τ
]πd13
，
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第 9 章 轴的扭转
τ
=
16T πd23(1 − α 4 )
A．将 A 和 B 的位置互换 B．将 A 和 C 的位置互换
B
C
C．加大圆轴直径
D．将圆轴的材料由低质钢换为优质钢 E．缩短圆轴长度
A
题 9-3(2) 图
F．在适当的位置增加一个轴承支承
分析：由于各类钢材弹性模量数值相差不大，由低质钢换为优质钢不能增大刚度，故 D
项不对。增加轴承支承只能增加轴的横向位移约束，但并没有增加阻止轴转动的约束，
(2) 若许用切应力 [τ ] = 80 MPa ，试确定轴径 d ；
(3) 若将轮 1 与轮 3 的位置对调，轴的最大扭矩为何值？对轴的受力是否有利？
P1 P2
P3
P4
A
C
D
B
题 9-4 图
T (kN·m)
1.273
0.637
A BC
0.318
x D
(a)
解：(1) 由公式 T = 9.549 P 可算出 n
AB 段 BC 段
TAB
=
9.549 ×
10 300
=
0.318
kN
⋅
m
，
TAB
=
9.549 ×
50 −10 300
= 1.2AB
=
9.549 ×
20 300
=
0.637
kN
⋅m。
扭矩图如图 (a)。 Tmax = 1.273 kN ⋅ m 。
(2) 由公式
τ max
= Tmax W
两个区段 BC 和 CD 的长度应各取多大？
解：设 BC 区段的长度为 L1 ，CD 区段的长度为 L2 ，记 AB 的长度为 a ，则 BD 间的相对
转角
ϕ
=
FaL1 G1I P
+
FaL2 G2 I P
=
Fa IP
⎜⎜⎝⎛
L1 G1
+
L2 G2
⎟⎟⎠⎞ ，
故 A 处的竖向位移
F
故有 或者
vA
= ϕa
分别为τ1 和τ 2 ，转角分别为θ1 和θ2 ，则有 C 。 A
B
C
A．τ1 = τ 2 ， θ1 = θ2 C．τ1 = τ 2 ， θ1 < θ2 E．τ1 < τ 2 ， θ1 = θ2
B．τ1 = τ 2 ， θ1 > θ2 D．τ1 > τ 2 ， θ1 = θ2
a
a
题 9-2(4) 图
解：以左端为坐标原点，则直径函数
d ( x)
=
d1
+
(d2
− L
d1)
x
，
d1
d2
极惯性矩
IP
=
π 32
⎢⎣⎡d1
+
(d2
− d1) L
x ⎥⎦⎤ 4
。
L
题 9-8 图
故有
∫ ∫ ϕ
=
L 0
m G
⋅
32 π
⋅
⎢⎣⎡d1
+
(d2
− L
d1)
x⎥⎦⎤−4 dx
=
32mL Gπ(d2 − d1)
d2
1 ξ4
强度相同的条件下，两轴直径的大小关系 C
。
A．应满足 D1 > D2 C．应满足 D1 < D2
B．应满足 D1 = D2
D．与两轴转速无关
9-2(2) 传动轴上主动轮的外力偶矩为 m1 ，两个从动轮的外力偶矩分别为 m2 和 m3 。开
始时将主动轮安装在两从动轮中间，随后将主动轮和一从动轮位置调换，这样变动的结果会