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牛顿运动定律专题（二）——动力学连接体问题和临界问题知识点一动力学的连接体问题例1.如图所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速运动，已知m A＝10 kg，m B＝20 kg，F＝600 N，求此时轻绳对物体B的拉力大小(g取10 m/s2).练习1.在水平地面上有两个彼此接触的物体A和B，它们的质量分别为m1和m2，与地面间的动摩擦因数均为μ，若用水平推力F作用于A物体，使A、B一起向前运动，如图所示，求两物体间的相互作用力为多大？知识点二动力学的临界问题Ⅰ.平衡中的临界问题例2.物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上(B、C在同一竖直线上)，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，如图所示，伸直时AC与墙面垂直，绳AB与绳AC间夹角也为θ＝60°，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2).练习2.如图7所示，一个倾角为θ＝37°(sin 37°＝0.6)的固定斜面上，放着一个质量为M＝16 kg的三角形物块A，一轻绳一端系着物块A跨过光滑定滑轮，另一端挂着一个质量为m的物块B，A与滑轮间的轻绳水平.斜面与A间的动摩擦因数为μ＝0.8，若最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，为使系统保持静止，m最大为多少？(g取10 m/s2)班级：姓名：Ⅰ.非平衡中的临界问题例3.如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g).(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？练习3.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为()A.μmgB.2μmgC.3μmgD.4μmg1.如图所示，装有支架的质量为M(包括支架的质量)的小车放在光滑水平地面上，支架上用细线拖着质量为m的小球，当小车在光滑水平地面上向左匀加速运动时，稳定后细线与竖直方向的夹角为θ.重力加速度为g，求小车所受牵引力的大小.2. 如图，质量分别为m、M的A、B两木块叠放在光滑的水平地面上，A与B之间的动摩擦因数为μ。
专题强化动力学连接体问题和临界问题一、选择题1.物块A、B(A、B用水平轻绳相连)放在光滑的水平地面上，其质量之比m A∶m B＝2∶1.现用大小为3 N的水平拉力作用在物块A上，如图1所示，则绳对B的拉力等于()图1A．1 N B．1.5 N C．2 N D．3 N答案A解析设物块B的质量为m，绳对B的拉力为F，对A、B整体，根据牛顿第二定律有a＝3 Nm＋2m，对B有F＝ma，所以F＝1 N.2.(多选)(2019·黄山市高一第一学期期末)如图2所示，材料相同，质量分别为M和m的两物体A和B靠在一起放在水平面上．用水平推力F向右推A使两物体一起向右加速运动时(图甲)，A和B之间的作用力大小为F1，加速度大小为a1.用同样大小的水平推力F向左推B加速运动时(图乙)，A和B之间的作用力大小为F2，加速度大小为a2，则()图2A．F1∶F2＝1∶1 B．F1∶F2＝m∶MC．a1∶a2＝M∶m D．a1∶a2＝1∶1答案BD3．(多选)(2019·长安一中高一第一学期期末)如图3所示，a、b两物体的质量分别为m1、m2，由轻质弹簧相连．当用恒力F竖直向上拉着a，使a、b一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1，物体的加速度大小为a1；当用大小仍为F的恒力沿斜面向上拉着a，使a、b一起沿光滑斜面向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2，物体的加速度大小为a2.已知斜面的倾角为θ，则有()图3A．x1＝x2B．x1>x2C．a1＝a2D．a1<a24．(多选)(2019·菏泽市高一上学期期末)物块1、2放在光滑水平面上并用水平轻质弹簧测力计相连，如图4所示，现在1物块左侧施加水平拉力F ，两物块保持相对静止一起向左做匀加速直线运动，弹簧测力计示数为5.0 N ；若将大小相等、方向相反的拉力施加在2的右侧，稳定后弹簧测力计的读数为2.0 N ．关于1、2两物块的质量，可能的是( )图4A ．m 1＝5.0 kg ，m 2＝2.0 kgB ．m 1＝2.0 kg ，m 2＝5.0 kgC ．m 1＝1.0 kg ，m 2＝0.4 kgD ．m 1＝0.4 kg ，m 2＝1.0 kg 答案 BD5.如图5所示，在光滑的水平桌面上有一物体A ，通过绳子与物体B 相连，假设绳子的质量以及绳子与轻质定滑轮之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长且与A 相连的绳水平．如果m B ＝3m A ，则绳子对物体A 的拉力大小为( )图5A ．mB g B.34m A gC ．3m A g D.34m B g 答案 B解析 对A 、B 整体进行受力分析，根据牛顿第二定律可得m B g ＝(m A ＋m B )a ，对物体A ，设绳的拉力为F ，由牛顿第二定律得，F ＝m A a ，解得F ＝34m A g ，B 正确．6.如图6所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg ，现用水平拉力F 拉B ，使A 、B 以同一加速度运动，则拉力F 的最大值为( )图6A ．μmgB ．2μmgC ．3μmgD ．4μmg解析 当A 、B 之间恰好不发生相对滑动时力F 最大，此时，A 物体所受的合力为μmg ，由牛顿第二定律知a A ＝μmgm ＝μg ，对于A 、B 整体，加速度a ＝a A ＝μg .由牛顿第二定律得F ＝3ma ＝3μmg .7.如图7所示，质量为M 、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为m 的小铁球，现用一水平向右的推力F 推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )图7A ．小铁球受到的合外力方向水平向左B ．F ＝(M ＋m )g tan αC ．系统的加速度为a ＝g sin αD ．F ＝mg tan α 答案 B解析 隔离小铁球受力分析得F 合＝mg tan α＝ma 且合外力方向水平向右，故小铁球加速度为g tan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为g tan α，A 、C 错误．对整体受力分析得F ＝(M ＋m )a ＝(M ＋m )g tan α，故B 正确，D 错误．8.(多选)如图8所示，已知物块A 、B 的质量分别为m 1＝4 kg 、m 2＝1 kg ，A 、B 间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A 与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g 取10 m/s 2，在水平力F 的推动下，要使A 、B 一起运动且B 不下滑，则力F 的大小可能是( )图8A ．50 NB ．100 NC ．125 ND ．150 N答案 CD解析 若B 不下滑，对B 有μ1F N ≥m 2g ，由牛顿第二定律得F N ＝m 2a ；对整体有F －μ2(m 1＋m 2)g ＝(m 1＋m 2)a ，得F ≥(m 1＋m 2)⎝⎛⎭⎫1μ1＋μ2g ＝125 N ，选项C 、D 正确． 9．(多选)如图9所示，水平地面上有三个靠在一起的物块P 、Q 和R ，质量分别为m 、2m 和3m ，物块与地面间的动摩擦因数都为μ.用大小为F 的水平外力推动物块P ，若记R 、Q 之间相互作用力与Q 、P 之间相互作用力大小之比为k .下列判断正确的是( )图9A ．若μ≠0，则k ＝56B ．若μ≠0，则k ＝35C ．若μ＝0，则k ＝12D ．若μ＝0，则k ＝35答案 BD解析 三个物块靠在一起，将以相同加速度向右运动，根据牛顿第二定律有F －μ(m ＋2m ＋3m )g ＝(m ＋2m ＋3m )a ，解得加速度a ＝F －6μmg6m .隔离R 进行受力分析，根据牛顿第二定律有F 1－3μmg ＝3ma ，解得R 和Q 之间相互作用力大小F 1＝12F ；隔离P 进行受力分析，根据牛顿第二定律有F －F 2－μmg ＝ma ，解得Q 与P 之间相互作用力大小F 2＝56F .所以k ＝F 1F 2＝12F 56F ＝35，由于推导过程与μ是否为0无关，故选项B 、D 正确． 10．(多选)在小车车厢的顶部用轻质细线悬挂一质量为m 的小球，在车厢水平底板上放着一个质量为M 的木块．当小车沿水平地面向左匀减速运动时，木块和车厢保持相对静止，悬挂小球的细线与竖直方向的夹角是30°，如图10所示．已知当地的重力加速度为g ，木块与车厢底板间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是( )图10A ．此时小球的加速度大小为12gB ．此时小车的加速度方向水平向左C ．此时木块受到的摩擦力大小为33Mg ，方向水平向右 D ．若增大小车的加速度，当木块相对车厢底板即将滑动时，小球对细线的拉力大小为54mg答案 CD解析 小车沿水平地面向左匀减速运动时，加速度方向水平向右，选项B 错误．因为小球和木块都相对车厢静止，则小球和木块的加速度与小车的加速度大小相等，设加速度大小为a ，对小球进行受力分析，如图所示．根据牛顿第二定律可得F 合＝ma ＝mg tan 30°，a ＝g tan 30°＝33g ，选项A 错误．此时木块受到的摩擦力大小F f ＝Ma ＝33Mg ，方向水平向右，选项C 正确．木块与车厢底板间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当木块相对车厢底板即将滑动时，木块的加速度大小为a 1＝μg ＝0.75g ，此时细线对小球的拉力大小F 1＝(mg )2＋(ma 1)2＝54mg ，由牛顿第三定律知小球对细线的拉力大小为54mg ，选项D 正确．二、非选择题11.(2019·湘西州高一第一学期期末)如图11所示，在光滑水平面上，A 、B 两物块在水平推力F ＝6 N 的作用下一起做匀加速直线运动，运动过程中测出A 和B 在2.0 s 时间内的速度变化量是4 m/s ，已知A 的质量为1 kg ，求：图11(1)B 的质量；(2)A 、B 之间的弹力大小． 答案 (1)2 kg (2)4 N解析 (1)以A 、B 整体为研究对象，a ＝ΔvΔt ＝2 m/s 2由牛顿第二定律得F ＝(m A ＋m B )a 解得m B ＝2 kg.(2)以B 为研究对象，由牛顿第二定律得 F AB ＝m B a . 解得F AB ＝4 N.12.(2019·攀枝花市高一上学期期末)如图12所示，光滑水平面上放有光滑直角斜面体，倾角θ＝30°，质量M ＝2.5 kg.平行于斜面的轻质弹簧上端固定，下端与质量m ＝1.5 kg 的铁球相连，静止时弹簧的伸长量Δl 0＝2 cm.重力加速度g 取10 m/s 2.现用向左的水平力F 拉着斜面体向左运动，铁球与斜面体保持相对静止，当铁球对斜面体的压力为0时，求：图12(1)水平力F的大小；(2)弹簧的伸长量Δl.答案(1)40 3 N(2)8 cm解析(1)当铁球与斜面体一起向左加速运动，对斜面体压力为0时，设弹簧拉力为F T，铁球受力如图甲，由平衡条件、牛顿第二定律得：F T sin θ＝mgF T cos θ＝ma对铁球与斜面体整体，由牛顿第二定律得：F＝(M＋m)a联立以上三式并代入数据得：F T＝30 N，F＝40 3 N(2)铁球静止时，设弹簧拉力为F T0，铁球受力如图乙，由平衡条件得：F T0＝mg sin θ由胡克定律得：F T0＝kΔl0F T＝kΔl联立以上三式并代入数据得：Δl＝8 cm.13.(拓展提升)如图13所示，可视为质点的两物块A、B，质量分别为m、2m，A放在一倾角为30°并固定在水平面上的光滑斜面上，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别与A、B相连接．托住B使两物块处于静止状态，此时B距地面高度为h，轻绳刚好拉紧，A和滑轮间的轻绳与斜面平行．现将B从静止释放，斜面足够长，B落地后静止，重力加速度为g.求：图13(1)B落地前绳上的张力的大小F T；(2)整个过程中A沿斜面向上运动的最大距离L.答案 (1)mg (2)2h解析 (1)设B 落地前两物块加速度大小为a ，对于A ，取沿斜面向上为正；对于B ，取竖直向下为正，由牛顿第二定律得F T －mg sin 30°＝ma ,2mg －F T ＝2ma ，解得F T ＝mg .(2)由(1)得a ＝g2.设B 落地前瞬间两物块的速度为v ，B 自下落开始至落地前瞬间的过程中，A 沿斜面运动距离为h ，由运动学公式得v 2＝2ah ；设B 落地后A 沿斜面向上运动的过程中加速度为a ′，沿斜面向上运动的最大距离为s ，则a ′＝－g sin 30°，由运动学公式得－v 2＝2a ′s .由以上各式得s ＝h ，则整个过程中，A 沿斜面向上运动的最大距离L ＝s ＋h ＝2h . 14.(拓展提升)如图14所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m ＝1.0 kg 的均匀小球，a 线与水平方向成53°角，b 线水平．两根细线所能承受的最大拉力都是F m ＝15 N ．(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g 取10 m/s 2)求：图14(1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值； (2)当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值． 答案 (1)2 m/s 2 (2)7.5 m/s 2解析 (1)竖直向上匀加速运动时，小球受力如图所示，当a 线拉力为15 N 时，由牛顿第二定律得：y 轴方向有：F m sin 53°－mg ＝ma x 轴方向有：F m cos 53°＝F b解得F b ＝9 N ，此时加速度最大值a ＝2 m/s 2 (2)水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得： 竖直方向有：F a ′sin 53°＝mg水平方向有：F b ′－F a ′cos 53°＝ma ′ 解得F a ′＝12.5 N当F b ′＝15 N 时，加速度最大，此时a ′＝7.5 m/s 2.。
F B μ=0C Aμ<1m .§4.9 用牛顿定律解决问题（四）——连接体及临界问题【学习目标】1.掌握处理不同连接体问的处理技巧。
2.理解临界问题中的临界条件并能对问题进行正确的分析 【学习重点】连接体及临界问题的解决方法 【学习难点】连接体及临界问题的分析解决 【学习流程】 知识点1 连接体问题 一、 加速度相同应用牛顿第二定律解答加速度相同连接体问题时，常用的方法有两种:(1)先整体后隔离:先整体分析物体所受外力和运动的情况，应用牛顿第二定律求出加速度，再隔离某个物体求出所受的力。
(2)先隔离后整体:先隔离某个物体，进行受力分析，应用牛顿第二定律求出加速度，再整体分析，求出物体所受外力或运动情况。
例1：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑的水平面上。
对物体A 施加水平推力F ，则物体A 对物体B 的作用力为多大？拓展1：地面粗糙呢？拓展2：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，紧靠着并置于倾角为α、动摩擦因数为μ的斜面上。
现施加一沿斜面向上的力F 作用于A 上，使它们一起向上加速运动，求：它们之间的相互作用力【交流促学】例2：如图所示，质量为M 的滑块C 放在光滑的桌面上，质量均为m 两物体A 和B 用细绳连接，A 平放在滑块上，与滑块间动摩擦因数为μ，细绳跨过滑轮后将B 物体竖直悬挂，设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，水平推力F 作用于滑块，为使A 和B 与滑块保持相对静止，F 至少应为多大？【组内研学】 二、 加速度不同应用牛顿第二定律解答加速度不同连接体问题时，常采用隔离分析的方法例3：如图所示，质量为m 1的滑块A 放在动摩擦因数为μ的桌面上，细绳跨过滑轮后将质量为m 2的B 物体竖直悬挂,设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，已知A 在B 的拉力作用下向60°30°m 12左加速滑动，重力加速度为g ，求A 物体的加速度大小和绳中张力大小。
专题强化动力学连接体问题和临界问题--教师版[学科素养与目标要求 ]科学思维： 1.会用整体法和隔离法分析动力学的连接体问题.2.掌握动力学临界问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件．一、动力学的连接体问题1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．2．整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．3．隔离法：把系统中某一物体（或一部分）隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体（或一部分）的受力情况或单个过程的运动情形．4．整体法与隔离法的选用求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．例 1 如图 1所示，物体 A、B用不可伸长的轻绳连接，在竖直向上的恒力 F 作用下一起向上做匀加速运动，已知 m A＝10 kg，m B＝20 kg，F＝600 N ，求此时轻绳对物体 B的拉力大小（g 取 10 m/s2）．图1答案 400 N解析对 A、B 整体受力分析和单独对 B 受力分析，分别如图甲、乙所示：对 A、 B整体，根据牛顿第二定律有：F－（m A＋m B）g＝（m A＋m B）a物体 B 受轻绳的拉力和重力，根据牛顿第二定律，有：F T－ m B g＝ m B a，联立解得： F T ＝ 400 N.针对训练 1 （多选）如图 2 所示，质量分别为 m A、m B的 A、B 两物块用轻绳连接放在倾角为θ的固定斜面上，用平行于斜面向上的恒力 F 拉 A，使它们沿斜面匀加速上升， A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ，为了增大轻绳上的张力，可行的办法是（）A．减小 A 物块的质量B．增大 B 物块的质量C ．增大倾角θD ．增大动摩擦因数μ答案 AB解析当用沿斜面向上的恒力拉定律，有F－（m A＋ m B） gsin θ－μ（ m A＋ m B） gcos θ＝（m A＋m B）a，得 a＝F－gsin θ－μg cos θ.m A＋ m B隔离 B 研究，根据牛顿第二定律有 F T－ m B gsin θ－μm B gcos θ＝m B a， m B F则F T＝ m B gsin θ＋μm B gcos θ＋m B a＝，m A＋m B要增大 F T，可减小 A 物块的质量或增大 B物块的质量，故 A、B 正确．连接体的动力分配原理：两个物体系统的两部分在外力总动力的作用下以共同的加速度运动时，单个物体分得的动力与自身的质量成正比，与系统的总质量成反比.相关性：两物体间的内力与接触面是否光滑无关，与物体所在接触面倾角无关 .A，两物块沿斜面向上匀加速运动时，对整体运用牛顿第二例 2 如图 3所示，固定在水平面上的斜面的倾角θ＝37°，木块 A的 MN 面上钉着一颗小钉子，质量 m＝1.5 kg 的光滑小球 B 通过一细线与小钉子相连接，细线与斜面垂直．木块与斜面间的动摩擦因数μ＝ 0.5.现将木块由静止释放，木块与小球将一起沿斜面下滑．求在木块下滑的过程中： (sin 37 ＝°0.6，cos 37 °＝ 0.8，取 g＝10 m/s2)(1)木块与小球的共同加速度的大小；(2)小球对木块 MN 面的压力的大小和方向．答案 (1)2.0 m/s2 (2)6.0 N 沿斜面向下解析 (1)由于木块与斜面间有摩擦力作用，所以小球 B 与木块间有压力作用，并且以共同的加速度 a 沿斜面下滑，将小球和木块看成一个整体，设木块的质量为M ，根据牛顿第二定律有：(M ＋ m)gsin θ－μ(M＋m)gcos θ＝(M＋m)a代入数据得： a＝ 2.0 m/s2(2)选小球为研究对象，设 MN 面对小球的作用力为 F N，根据牛顿第二定律有： mgsin θ－ F N＝ ma，代入数据得： F N＝6.0 N根据牛顿第三定律，小球对木块 MN 面的压力大小为 6.0 N，方向沿斜面向下．二、动力学的临界问题1．临界问题：某种物理现象 (或物理状态 )刚好要发生或刚好不发生的转折状态．2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．3．临界问题的常见类型及临界条件：(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触 (或脱离 )的临界条件是弹力为零．(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．4．解答临界问题的三种方法(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．(2) 假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状 态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理． (3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数 学中求极值的方法，求出临界条件．例 3 一个质量为 m 的小球 B ，用两根等长的细绳 1、2分别固定在车厢的 A 、C 两点，如 图 4 所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为 45°.重力加速度为 g ，试求：1(1)当车以加速度 a 1＝2g 向左做匀加速直线运动时， 1、2 两绳的拉力的大小； (2)当车以加速度 a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时， 1、2 两绳的拉力的大小． 答案 (1) 25mg 0 (2)322mg 22mg解析 设当细绳 2 刚好拉直而无张力时，车的加速度向左，大小为 a 0，由牛顿第二定律得，F 1cos 45 ＝°mg ， F 1sin 45 ＝°ma 0，可得： a 0＝ g.1(1)因 a 1＝2g<a 0，故细绳 2 松弛，拉力为零， 设此时细绳 1与车厢前壁夹角为 θ，有：F 11cos θ5＝mg ， F 11sin θ＝ma 1，得 F 11＝ 2 mg.(2)因 a 2＝ 2g>a 0，故细绳 1、2 均张紧，设拉力分别为 F 12、F 22，由牛顿第二定律得 F 12cos 45 ＝°F 22cos 45 ＋°mg F 12 sin 45 ＋°F 22sin 45 ＝°ma 2 解得 F 12＝322mg ，F 22＝ 22mg.例 4 如图 5 所示，细线的一端固定在倾角为 45°的光滑楔形滑块 A 的顶端 P 处，细线的另(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？ (2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？一端拴一质量为 m的小球 (重力加速度为 g)．图5(3)当滑块以 a′＝ 2g 的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？答案 (1)g (2)g (3) 5mg3 3 解析 (1)当 F T ＝ 0时，小球受重力 mg 和斜面支持力 F N 作用，如图甲，则 F N cos 45 ＝°mg ， F N sin 45 ＝°ma解得 a ＝ g.故当向右运动的加速度为 g 时线上的拉力为 0.(2)假设滑块具有向左的加速度 a 1时，小球受重力 mg 、线的拉力 F T1和斜面的支持力 F N1 作用， 如图乙所示．由牛顿第二定律得 水平方向： F T1 cos 45 －°F N1sin 45 ＝°ma 1， 竖直方向：F T1sin 45 ＋°F N1cos 45 －°mg ＝ 0.2m g －a 12m g ＋ a 1 由上述两式解得 F N1＝ 2 1 ， F T1＝2 1 .由此可以看出，当加速度 a 1增大时，球所受的支持力 F N1减小，线的拉力 F T1 增大．当a 1＝ g 时， F N1＝ 0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为F T1＝ 2mg.所以滑块至少以 a 1＝ g 的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零． (3)当滑块加速度大于 g 时，小球将 “飘 ”离斜面而只受线的拉力和球的重力的作用，如图丙 所示，此时细线与水平方向间的夹角 α<45°.由牛顿第二定律得 F T ′ cos α＝ma ′，F T ′sin α ＝mg ，解得 F T ′ ＝m a ′2＋g 2＝ 5mg.1．(连接体问题 )如图 6所示，质量为 2m 的物块 A 与水平地面间的动摩擦因数为 μ，质量为m 的物块 B 与地面的摩擦不计，在大小为 F 的水平推力作用下，则A 和 B 之间的作用力大小为 (图62F － 4μ mgC. 3A 、B 一起向右做加速运动，A. μ mg 2μ mgF － 2μ答案 D解析 以 A 、B 组成的整体为研究对象，由牛顿第二定律得， F －μ·2mg ＝（2m ＋ m ）a ，整体的加速度大小为 a ＝F －2μm ；g 以 B 为研究对象， 由牛顿第二定律得 A 对 B 的作用力大小为F AB 3m2．（连接体问题 ）（多选）（2019 六·安一中高二第一学期期末 ）如图 7所示，用力F 拉着三个物体 在光滑的水平面上一起运动，现在中间物体上加上一个小物体，在原拉力 F 不变的条件下四个物体仍一起运动，那么连接物体的绳子上的张力 F Ta 、F Tb 和未放小物体前相比 （ ）图7A ．F Ta 增大 C ．F Tb 增大 答案 AD解析 原拉力 F 不变，放上小物体后，物体的总质量变大了， 由 F ＝ ma 可知，整体的加速度a 减小，以最右边物体为研究对象，受力分析知， F － F Ta ＝ ma ，因为 a 减小了，所以 F Ta 变大了；再以最左边物体为研究对象， 受力分析知， F Tb ＝ ma ，因为 a 减小了，所以 F Tb 变小了．故 选项 A 、D 正确．3．（临界问题 ）如图 8 所示，物体 A 叠放在物体 B 上， B 置于足够大的光滑水平面上， A 、B 质量分别为 m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg. A 、 B 之间的动摩擦因数 μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩 擦力， g 取 10 m/s 2.若作用在 A 上的外力 F 由 0 增大到 45 N ，则此过程中 （ ）A ．在拉力 F ＝12 N 之前，物体一直保持静止状态B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过 12 N 时，开始发生相对运动C ．两物体从受力开始就有相对运动D ．两物体始终不发生相对运动 答案 D解析 先分析两物体的运动情况， B 运动是因为受到 A 对它的静摩擦力，但静摩擦力存在最 大值，所以 B 的加速度存在最大值，可以求出此加速度下 F 的大小；如果 F 再增大，则两物 体间会发生相对滑动，所以这里存在一个临界点，就是 A 、B 间静摩擦力达到最大值时 F 的大小．以 A 为研究对象进行受力分析， A 受水平向右的拉力、水平向左的静摩擦力，则有F＝ma ＝ F － 2μ m ，g 即 A 、B 间的作用力大小为 F － 23μ m ，g 选项 D 正确． 3B ．F Ta 减小图8－F f＝m A a；再以 B 为研究对象， B 受水平向右的静摩擦力， F f ＝ m B a，当 F f 为最大静摩擦力时，解得 a＝Ff＝μm Ag＝12m/s2＝6 m/ s2，此时 F＝48 N，由此可知此过程中 A、B 间的摩 m B m B 2图3擦力达不到最大静摩擦力， A 、B 间不会发生相对运动，故选项 D 正确．一、选择题)放在光滑的水平地面上，其质量之比 m A ∶ m B ＝2∶1.现用A 上，如图 1所示，则 A 对B 的拉力等于 ( )图1A ．1 NB ．1.5 NC ．2 ND ．3 N 答案 A对B 有 F ＝ma ，所以 F ＝1 N.2.如图 2 所示，弹簧测力计外壳质量为 m 0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一质量为 m 的重物．现用一竖直向上的外力 F 拉着弹簧测力计，使其向上做匀加速直线运动，则弹簧 测力计的读数为 ( )图2A ． mgB ．F mm 0 C. F D. F m ＋m 0 m ＋ m 0答案 C解析 将弹簧测力计及重物视为一个整体，设它们共同向上的加速度为 a.由牛顿第二定律得F －(m 0＋ m)g ＝(m 0＋m)a ① 弹簧测力计的示数等于它对重物的拉力，设此力为 F T . 则对重物由牛顿第二定律得 F T － mg ＝ma ② 联立①②解得 F T ＝m ＋m m0F ，C 正确． 3．(多选)如图 3所示，水平地面上有三个靠在一起的物块 P 、Q 和 R ，质量分别为 m 、2m 和3m ，物块与地面间的动摩擦因数都为 μ.用大小为 F 的水平外力推动物块 P ，若记 R 、Q 之间相互作用力与 Q 、P 之间相互作用力大小之比为 k.下列判断正确的是 ( )1.物块 A 、B(A 、B 用水平轻绳相连 大小为 3 N 的水平拉力作解析 设物块 B 的质量为 m ，A 对B 的拉力为 F ，对 A 、B整体，根据牛顿第二定律有a ＝3 N ， m ＋2m图33m)g ＝(m ＋2m ＋3m)a ，解得加速度 a ＝F －66m μ m .g 隔离 R 进行受力分析， 根据牛顿第二定律有1F 1－3μm ＝g3ma ，解得 R 和Q 之间相互作用力大小 F 1＝3ma ＋3μm ＝g 2F ；隔离 P 进行受力 分析，根据牛顿第二定律有 F － F 2－ μ m ＝g ma ，可得 Q 与 P 之间相互作用力大小 F 2＝F －μmg1 F－ma ＝ 5F.所以 k ＝ F1＝2 ＝3，由于推导过程与 μ是否为 0 无关，故选项 B 、 D 正确．6 F 2 5 5 6 F2 56F 5 4.如图 4 所示，在光滑的水平桌面上有一物体 A ，通过绳子与物体 B 相连，假设绳子的质量以及绳子与轻质定滑轮之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长且与果m B ＝3m A ，则绳子对物体 A 的拉力大小为 ( )解析 当 A 、B 之间恰好不发生相对滑动时力 F 最大，此时， A 物体所受的合力为 μmg ，由 牛顿第二定律知 a A ＝ μm m ＝g μg ，对于 A 、B 整体，加速度 a ＝a A ＝μg .由牛顿第二定律得 F ＝3ma ＝3μmg.A ．若 μ≠0，则 5k ＝6 3B ．若 μ≠0，则 k ＝ 5C ．若 μ＝ 0，则 1k ＝2 3D ．若 μ＝0，则 k ＝答案 BD解析 三个物块靠在一起，将以相同加速度向右运动，根据牛顿第二定律有 F －μ(m ＋ 2m ＋ A 相连的绳水平．如6.如图 6 所示，质量为 M 、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一 质量为 m 的小铁球，现用一水平向右的推力 F 推动凹槽， 小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成 α角．重力加速度为 g ，则下列说法正确的是 （ ）图6A ．小铁球受到的合外力方向水平向左B ．F ＝ （M ＋ m ）gtan αC ．系统的加速度为 a ＝ gsin αD ． F ＝mgtan α 答案 B解析 隔离小铁球受力分析得 F 合＝mgtan α＝ ma 且合外力方向水平向右， 故小铁球加速度为 gtan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为 gtan α， A 、 C 错误．对整体受力A ．mB gC ．3m A g 答案B图4B.34m A g 3D.4m B g解析 对 A 、 B 整体进行受力分析，根据牛顿第二定律可得 m B g ＝ (m A ＋ m B )a ，对物体 A ，设3绳的拉力为 F ，由牛顿第二定律得， F ＝ m A a ，解得 F ＝m g， B 正确． m 、2m 的 A 、B 两个物体， A 、B 间的最大静摩 擦力为 μmg ，现用水平拉力 F 拉 B ，使 A 、B 以同一加速度运动，则拉力 F 的最大5.如图 5 所示，光滑水平面上放置质量分别为 图5A ．μ mgB ． 2μ mgC ．3μ mg答案 CD ．4μ mg分析得 F＝（M＋m）a＝（M＋m）gtan α，故 B正确，D 错误．7.（多选）如图 7所示，已知物块 A、B的质量分别为 m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B 间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A 与地面之间的动摩擦因数为μ2＝ 0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取 10 m/s2，在水平力 F的推动下，要使 A、B一起运动且 B不下滑，则力 F的大小可能是（）图7A．50 N B．100 NC．125 N D．150 N答案 CD解析若 B 不下滑，对 B 有μ1F N≥m2g，由牛顿第二定律 F N ＝ m2a；对整体有 F－μ2（m1＋m2）g1＝（m1＋m2）a，得 F≥ （m1＋ m2）μ1＋μ2 g＝125 N，选项 C、D 正确．18．（多选）在小车车厢的顶部用轻质细线悬挂一质量为m的小球，在车厢底板上放着一个质量为M 的木块．当小车沿水平地面向左匀减速运动时，木块和车厢保持相对静止，悬挂小球的细线与竖直方向的夹角是 30°，如图 8 所示．已知当地的重力加速度为 g，木块与车厢底板间的动摩擦因数为 0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是1A ．此时小球的加速度大小为 2gB ．此时小车的加速度方向水平向左C ．此时木块受到的摩擦力大小为33Mg ，方向水平向右D ．若增大小车的加速度，当木块相对车厢底板即将滑动时，小球对细线的拉力大小为 答案 CD 解析 小车沿水平地面向左匀减速运动，加速度方向水平向右，选项块都相对车厢静止，则小球和木块的加速度与小车的加速度大小相等，设加速度大小为 a ， 对小球进行受力分析，如图所示．根据牛顿第二定律可得 F 合＝ma ＝ mgtan 30 °，a ＝gtan 30＝33g ，选项 A 错误．此时木块受到的摩擦力大小 F f ＝Ma ＝ 33Mg ，方向水平向右，选项C正确．木块与车厢底板间的动摩擦因数为 0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当木块相对车厢底板即将滑动时，木块的加速度大小为 a 1＝μg ＝ 0.75g ，此时细线对小球的拉力大小 F 155＝ mg 2＋ ma 1 2＝ 4mg ，则小球对细线的拉力大小为 4mg ，选项 D 正确．9．(2019 双·十中学高一月考 )如图 9所示，两个质量均为 m 的物体 A 和 B ，由轻绳和轻弹簧系统静止， 将另一质量也是 m 的物体 C 轻放在 A上，在刚 放上 C 的瞬间( )()5 4mg B 错误．因为小球和木连接绕过不计摩擦的轻质定滑轮， 图8图9 A ． A 的加速度大小是21gB．A 和 B 的加速度都是 0C ．C 对 A 的压力大小为 mg 1D ． C 对 A 的压力大小为 3mg 答案 A解析 在 C 刚放在 A 上的瞬间， 轻弹簧的形变量保持不变， 弹力不变， 轻绳对 A 的拉力也不 变．对 B 受力分析可知弹簧的弹力等于 B 的重力， B 的加速度为零；对 A 、 C 整体，设加速 度大小为 a ，由牛顿第二定律可得： 2mg － F T ＝ 2ma ，其中 F T ＝ mg ，可得 a ＝2g ， A 正确， B 错误．设 C 对 A 的压力大小为 F N ，隔离 A 分析，由牛顿第二定律可得： F N ＋ mg －F T ＝ ma ， 可得 F N ＝m 2g ，C 、D 错误． 10.如图 10 所示，弹簧的一端固定在天花板上，另一端连一质量m ＝ 2 kg 的秤盘，盘内放一个质量 M ＝1 kg 的物体，秤盘在竖直向下的拉力 F 作用下保持静止， F ＝30 N ，在突然撤去 外力 F 的瞬间，物体对秤盘压力的大小为 (g ＝10 m/s 2)( )A ．10 NB ．15 NC ．20 ND ．40 N答案 C解析 在突然撤去外力 F 的瞬间，物体和秤盘所受向上的合外力为 30 N ，由牛顿第二定律可 知，向上的加速度为 10 m/s 2.根据题意，秤盘在竖直向下的拉力 F 作用下保持静止，故弹簧对秤盘向上的拉力为 60 N ．突然撤去外力 F 的瞬间，对秤盘，由牛顿第二定律得 60 N －mg－ F N ＝ ma ，解得物体对秤盘压力的大小 F N ＝20 N ，选项 C 正确． 二、非选择题11. 如图 11所示，质量为 4 kg 的光滑小球用细线拴着吊在行驶的汽车后壁上，线与竖直方向图 10(1)当汽车以加速度 a ＝2 m/s 2 向右匀减速行驶时，细线对小球的拉力大小和小球对车后壁的 压力大小．夹角为 37°.已知 g ＝ 10 m/s 2，sin 37 求：(2)当汽车以加速度 a ＝10 m/s 2 向右匀减速行驶时， 细线对小球的拉力大小和小球对车后壁的 压力大小．答案 (1)50 N 22 N (2)40 2 N 0解析 (1)当汽车以加速度 a ＝2 m/s 2向右匀减速行驶时，对小球受力分析如图甲． 由牛顿第二定律得：F T1cos θ＝ mg ， F T1 sin θ－ F N ＝ma 解得： F T1＝50 N ，F N ＝22 N 由牛顿第三定律知，小球对车后壁的压力大小为 22 N.(2)当汽车向右匀减速行驶时，设小球所受车后壁弹力为 0 时 ( 临界条件 )的加速度为 a 0，受力分析如图乙所示． 由牛顿第二定律得：F T2sin θ＝ma 0，F T2cos θ＝mg3代入数据得： a 0＝gtan θ＝10×4 m/s 2＝7.5 m/ s 2 因为 a ＝ 10 m/s 2> a 0所以小球会离开车后壁， F N ′ ＝ 0 F T2′ ＝ mg 2＋ ma 2＝ 40 2 N.12. 如图 12 所示，可视为质点的两物块 A 、 B ，质量分别为 m 、 2m ，A 放在一倾角为 30°并固 定在水平面上的光滑斜面上， 一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮， 两端分别与 A 、B 相连接．托住 B 使两物块处于静止状态，此时 B 距地面高度为 h ，轻绳刚好拉紧， A 和滑轮(1)B 落地前绳上的张力的大小 F T ；(2)整个过程中 A 沿斜面向上运动的最大距离 L. 答案 (1)mg (2)2h解析 (1)设 B 落地前两物块加速度大小为 a ，对于 A ，取沿斜面向上为正；对于 B 取竖直向 下为正，由牛顿第二定律得F T －mgsin 30 ＝°ma,2mg － F T ＝ 2ma ，解得 F T ＝mg.间的轻绳与斜面平行． 现将 B 从静止释放，斜面足够长， B 落地后静止，重力加速度为g.求：图 12(2)由 (1)得 a＝g2.设 B 落地前瞬间 A 的速度为 v，B 自下落开始至落地前瞬间的过程中， A 沿斜面运动距离为 h，由运动学公式得 v2＝2ah；设 B 落地后 A 沿斜面向上运动的过程中加速度为 a′，则 a′＝－gsin 30°；设 B 落地后 A 沿斜面向上运动的最大距离为 s，由运动学公式得－ v2＝ 2a′ s.由以上各式得 s＝ h，则整个运动过程中， A 沿斜面向上运动的最大距离 L ＝2h.13.如图 13所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m＝1.0 kg 的均匀小球， a线与水平方向成 53°角， b 线水平．两根细线所能承受的最大拉力都是F m＝ 15 N．(cos 53＝°0.6，sin 53＝0.8， g 取 10 m/s2)求：(1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值．(2)当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值．答案 (1)2 m/s2 (2)7.5 m/s2解析 (1)竖直向上匀加速运动时小球受力如图所示，当a线拉力为 15 N 时，由牛顿第二定律得：竖直方向有： F m sin 53 －°mg＝ma水平方向有： F m cos 53 ＝°F b解得 F b＝ 9 N，此时加速度有最大值 a＝2 m/s2 (2)水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得：竖直方向有： F a sin 53 ＝°mg水平方向有： F b′ － F a cos 53 ＝°ma′解得 F a＝12.5 N当 F b′＝15 N 时，加速度最大，此时 a′＝7.5 m/s2。
2021年高中物理 第四章 专题4 连接体与临界问题课时精练（含解析）新人教版必修1A ．A 物体在3 s 末的加速度是初始时刻的11B ．t >4 s 后，B 物体做匀加速直线运动C ．t ＝4.5 s 时，A 物体的速度为零D ．t >4.5 s 后，A 、B 的加速度方向相反 答案 ABD解析 对于A 、B 整体，根据牛顿第二定律有F A ＋F B ＝(m A ＋m B )a设A 、B 间的作用力为N ，对B ，由牛顿第二定律可得N ＋F B ＝m B a解得N ＝m BF A ＋F B m A ＋m B －F B ＝16－4t3(N) 当t ＝4 s 时，N ＝0，A 、B 两物体开始分离，此后B 做匀加速直线运动，而A 做加速度逐渐减小的加速运动，当t ＝4.5 s 时，A 物体的加速度为零而速度不为零。
t >4.5 s 后，A 所受的合外力反向，即A 、B 的加速度方向相反。
当t <4 s 时，A 、B 的加速度均为a ＝F A ＋F Bm A ＋m B。
故选项A 、B 、D 正确，C 错误。
4．(多选)如下图所示，5块质量相同的木块并排放在水平地面上，它们与地面间的动摩擦因数均相同，当用力F 推第一块木块使它们有共同加速度运动时，下列说法中正确的是( )A ．由右向左，两块木块之间的相互作用力依次变小B ．由右向左，两块木块之间的相互作用力依次变大C ．第2块木块与第3块木块之间的弹力大小为0.6FD ．第3块木块与第4块木块之间的弹力大小为0.6F 答案 BC解析 取整体为研究对象，由牛顿第二定律得F －5μmg ＝5ma 。
再选取1、2两块木块为研究对象，由牛顿第二定律得F －2μmg －F N ＝2ma ，两式联立解得F N ＝0.6F ，进一步分析可得，从左向右，木块间的相互作用力是依次变小的。
选项B 、C 正确。
5．(多选)如图所示，小车的质量为M ，人的质量为m ，人用恒力F 拉绳，若人和车保持相对静止，不计绳和滑轮质量、车与地面的摩擦，则车对人的摩擦力可能是( )A ．0B ．(m －Mm ＋M)F ，方向向右 C ．(m －Mm ＋M)F ，方向向左 D ．(M －mm ＋M)F ，方向向右 答案 ACD解析人和车保持相对静止，一起向左做匀加速运动。
简单的连接体问题和临界问题培优目标：1.掌握整体法和隔离法分析简单的连接体问题． 2.会解答牛顿第二定律相关问题． 3.会分析临界问题，能找到几种典型，问题的临界条件，并能够解答典型的临界问题．简单的连接体的问题1．连接体两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起．2．处理连接体问题的方法(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象来分析的方法．不必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力．(2)隔离法：把系统中的各个部分(或某一部分)隔离，作为一个单独的研究对象来分析的方法．此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力，在分析时要特别注意．整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来联合、交叉运用，这将会更快捷有效．【例1】如图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，以速度v1＝30 m/s进入向下倾斜的直车道．车道每100 m下降2 m．为使汽车速度在x＝200 m的距离内减到v2＝10 m/s，驾驶员必须刹车．假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70%作用于拖车B,30%作用于汽车A.已知A的质量m1＝2 000 kg，B的质量m2＝6 000 kg.求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力大小．(重力加速度g取10 m/s2)思路点拨：先采用整体法求加速度a，再用隔离法分析内力．[解析]汽车沿倾斜车道做匀减速运动，用a表示加速度的大小，有v22－v21＝－2ax①用F表示刹车时的阻力，根据牛顿第二定律有F－(m1＋m2)g sin α＝(m1＋m2)a ②式中sin α＝2100＝2×10－2 ③设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为F1，根据题意有F 1＝30100F ④ 方向与汽车前进方向相反，用N 表示拖车作用于汽车的力，设其方向与汽车前进方向相同．以汽车为研究对象，由牛顿第二定律有F 1－N －m 1g sin α＝m 1a⑤由②④⑤式得 N ＝30100(m 1＋m 2)(a ＋g sin α)－m 1(a ＋g sin α) ⑥ 由以上各式，代入有关数据得N ＝880 N.[答案] 880 N整体法、隔离法应注意的问题(1)不涉及系统内力时，优先考虑应用整体法，即“能整体、不隔离”．(2)同样应用“隔离法”，也要先隔离“简单”的物体，如待求量少、或受力少、或处于边缘处的物体．(3)将“整体法”与“隔离法”有机结合、灵活应用．(4)各“隔离体”间的关联力，表现为作用力与反作用力，对整体系统则是内力．[跟进训练]1.如图所示，两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块，质量分别为m 1和m2.拉力F 1和F 2方向相反，与轻线沿同一水平直线，且F 1>F 2.试求在两个物块运动过程中轻线的拉力T 的大小．[解析] 以两物块整体为研究对象，根据牛顿第二定律得F 1－F 2＝(m 1＋m 2)a①隔离物块m 1，由牛顿第二定律得 F 1－T ＝m 1a② 由①②两式解得T ＝m 1F 2＋m 2F 1m 1＋m 2. [答案] m 1F 2＋m 2F 1m 1＋m 2动力学中的临界、极值问题1(1)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．(2)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况．2．关键词语在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．3．常见类型动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛的问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题．4．解题关键解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件．常见的三类临界问题的临界条件：(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零．(2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零．(3)存在静摩擦力的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值．【例2】如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度a1向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？思路点拨：①当绳的拉力为0时，加速度由重力和支持力的合力提供．②当小球对斜面的压力为0时，加速度由绳拉力和重力提供．③正确受力分析以及找准临界条件是解题关键．[解析](1)对小球受力分析，小球受重力mg、线的拉力T和斜面支持力N作用，如图甲，当T＝0时有N cos 45°＝mgN sin 45°＝ma甲解得a＝g.故当向右加速度为g时线上的拉力为0.(2)假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力T1和斜面的支持力N1作用，如图乙所示．由牛顿第二定律得水平方向：T1cos 45°－N1sin 45°＝ma1，乙竖直方向：T1sin 45°＋N1cos 45°－mg＝0.由上述两式解得N1＝2m g－a12，T1＝2m g＋a12.由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力N1减小，线的拉力T1增大．当a1＝g时，N1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为F T1＝2mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得T′cos α＝ma′，T′sin α＝mg，解得T′＝m a′2＋g2＝5mg.丙[答案](1)g(2)g(3)5mg解决临界、极值问题的一般方法(1)极限法：极限分析法作为一种预测和处理临界问题的有效方法，是指通过恰当地选取某个变化的物理量．将其推向极端(“极大”或“极小”，“极右”或“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象(或“各种可能”)暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论．(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题，一般用假设法．(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学公式求解临界条件．[跟进训练]2.如图所示，质量为4 kg的小球用轻质细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上．细绳的延长线通过小球的球心O，且与竖直方向的夹角为θ＝37°，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(1)汽车匀速运动时，细绳对小球的拉力和车后壁对小球的压力；(2)若要始终保持θ＝37°，则汽车刹车时的加速度最大不能超过多少？[解析] (1)对小球受力分析如图，将细绳拉力F T分解有：F T y＝F T cos θ，F T x＝F Ty tan θ，由二力平衡可得：F T y＝mg，F T x＝F N，解得细绳拉力F T＝mgcos θ＝50 N车壁对小球的压力F N＝mg tan θ＝30 N.(2)设汽车刹车时的最大加速度为a，此时车壁对小球弹力F N′＝0由牛顿第二定律有F T x＝ma，即mg tan θ＝ma解得a＝7.5 m/s2，即汽车刹车时的加速度最大不能超过7.5 m/s2.[答案](1)50 N 30 N (2)7.5 m/s21．如图，小车以加速度a向右匀加速运动，车中小球质量为m，则线对球的拉力大小为 ( )A．m g2＋a2B．m(a＋g)C．mg D．maA[小球与小车具有相同的加速度，对小球受力分析可得，F＝mg2＋ma2＝m g 2＋a 2，故选项A 正确．]2．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg ，现用水平拉力F 拉B ，使A 、B 以同一加速度运动，则拉力F 的最大值为( )A ．μmgB ．2μmgC ．3μmgD ．4μmgC [要使A 、B 以同一加速度运动，拉力F 最大时，整体具有最大加速度，整体由牛顿第二定律得F ＝3ma ；此时，A 与B 间达到最大静摩擦力，对A 由牛顿第二定律得μmg ＝ma ，即a ＝μg ，则F ＝3ma ＝3μmg ，故选项C 正确．]3．如图所示，质量为2m 的物块A 与水平地面间的动摩擦因数为μ，质量为m 的物块B 与地面的摩擦不计，在大小为F 的水平推力作用下，A 、B 一起向右做加速运动，则A 和B 之间的作用力大小为( )A ．μmg 3 B ．2μmg 3 C.2F －4μmg 3 D ．F －2μmg 3D [选A 、B 整体为研究对象，由牛顿第二定律得，F －2μmg ＝3ma ①隔离B ，对B 由牛顿第二定律得N ＝ma② 联立①②得N ＝F －2μmg3，故选项D 正确．]4.如图所示，物体A 、B 用不可伸长的轻绳连接，在恒力F 作用下一起向上做匀加速运动，已知m A ＝10 kg ，m B ＝20 kg ，F ＝600 N ，求此时轻绳对物体B 的拉力大小(g 取10 m/s 2)．[解析] 对A 、B 整体受力分析和单独对B 受力分析，分别如图甲、乙所示：甲 乙根据牛顿第二定律F－(m A＋m B)g＝(m A＋m B)a物体B受细线的拉力和重力，根据牛顿第二定律，有：T－m B g＝m B a 联立解得T＝400 N.[答案]400 N。
新教材高中物理新人教版必修第一册：素养提升练(五)连接体问题、临界问题、动力学图像问题一、选择题1．某运送物资的列车由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F。
若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为( )A．F B．19F20C．F19D．F202．(多选)(2022·河北衡水高一检测)汽车运送圆柱形工件的示意图如图所示，图中P、Q、N是固定在车体上的压力传感器。
假设圆柱形工件表面光滑，汽车静止时，Q传感器示数为零，P、N传感器示数不为零。
汽车以加速度a向左匀加速启动，重力加速度g＝10 m/s2，下列情况说法正确的是(tan 15°＝0.27)( )A．当a＝2 m/s2时，P有示数，Q无示数B．当a＝2 m/s2时，P有示数，Q有示数C．当a＝3 m/s2时，P有示数，Q有示数D．当a＝3 m/s2时，P无示数，Q有示数3．如图所示，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态。
现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动。
以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是( )A BC D4．(多选)(2022·浙江余姚中学高一期中)如图所示，质量均为M的物块A、B叠放在光滑水平桌面上，质量为m的物块C用跨过轻质光滑定滑轮的轻绳与B连接，且轻绳与桌面平行，A、B之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )A．物块A受到的摩擦力大小可能为μMgB．物块B受到的拉力大小为mgC．若物块A、B未发生相对滑动，轻绳对B的拉力大小为F＝2Mmg2M+mD．若增大C的质量，则物块A的加速度必然增加5．(2022·福建省厦门集美中学高一期中)A、B两物体质量均为m＝1 kg，静止叠放在光滑的水平地面上，A、B间的动摩擦因数为μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2。
习题课3动力学的图象问题和连接体问题[学习目标] 1.学会结合图象解决动力学问题.2.学会用整体法和隔离法分析简单的连接体问题.3.认识临界问题，会分析连接体中的有关临界问题．1.在动力学与运动学问题中，常见、常用的图象是位移图象(x-t图象)、速度图象(v-t图象)和力的图象(F-t图象)等，这些图象反映的是物体的运动规律、受力规律，而绝非代表物体的运动轨迹．2．图象问题的分析方法遇到带有物理图象的问题时，要认真分析图象，先从它的物理意义、点、线段、斜率、截距、交点、拐点、面积等方面了解图象给出的信息，再利用共点力平衡、牛顿运动定律及运动学公式解题．【例1】如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做直线运动．过a点时给物体作用一个水平向左的恒力F并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v-t图象如图乙所示．取重力加速度g＝10 m/s2.求：甲乙(1)力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ；(2)10 s末物体离a点的距离．思路点拨：①恒力F的方向不变，而摩擦力的方向随速度方向的改变而改变．②v-t图象的斜率表示物体的加速度．③v-t图象与t轴所围面积表示物体的位移．[解析](1)设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由v-t图象得a1＝2 m/s2根据牛顿第二定律，有F＋μmg＝ma1设物体向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v-t图象得a2＝1 m/s2根据牛顿第二定律，有F－μmg＝ma2联立解得F＝3 N，μ＝0.05.(2)设10 s末物体离a点的距离为d，d应为v-t图象与横轴所围的面积，则d＝12×4×8 m－12×6×6 m＝－2 m，负号表示物体在a点左边．[答案](1)3 N0.05(2)在a点左边2 m处解决此类题的思路：从v-t图象上获得加速度的信息，再结合实际受力情况，利用牛顿第二定律列方程.1．放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F 的作用，F 的大小与时间t 的关系如图甲所示，物块速度v 与时间t 的关系如图乙所示．取重力加速度g ＝10 m/s 2.由这两个图象可以求得物块的质量m 和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为( )甲 乙A ．0.5 kg,0.4B ．1.5 kg ，215 C ．0.5 kg,0.2 D ．1 kg,0.2A [由F -t 图和v -t 图可得，物块在2～4 s 内所受外力F ＝3 N ，物块做匀加速运动，a ＝Δv Δt ＝42 m/s 2＝2 m/s 2，F －F f ＝ma ，即3－10μm ＝2m ①物块在4～6 s所受外力F′＝2 N，物块做匀速直线运动，则F′＝F f，F′＝μmg，即10μm＝2 ②由①②解得m＝0.5 kg，μ＝0.4，故A选项正确．]1.连接体．例如，几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、弹簧、细杆等连在一起．2．处理连接体问题的方法(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象来分析的方法．不必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力．(2)隔离法：把系统中的各个部分(或某一部分)隔离，作为一个单独的研究对象来分析的方法．此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力，在分析时要特别注意．(3)整体法与隔离法的选用：求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交叉运用．3．连接体中的两类临界问题(1)两物体分离的临界条件：两物体由相接触到将分离的临界条件是弹力F N ＝0且二者的加速度、速度均相同．(2)相对静止或相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值或为零．4．运用隔离法解题的基本步骤(1)明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象．选择原则：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少．(2)将研究对象从系统中隔离出来，或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来．(3)对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图．(4)寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解．【例2】一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg的物块P，Q为一重物，已知Q的质量为m2＝8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止，如图所示，现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值．(sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)思路点拨：①0.2 s时P、Q两物块恰好分离．②两物块分离瞬间加速度仍相同，而相互作用力恰好为零．[解析]从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力恰好为0，从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．设刚开始时弹簧压缩量为x0.则(m1＋m2)g sin θ＝kx0 ①因为在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，所以在0.2 s时，P对Q的作用力恰好为0，由牛顿第二定律知kx1－m1g sin θ＝m1a ②F－m2g sin θ＝m2a ③前0.2 s时间内P、Q向上运动的距离为x0－x1＝12④2at①②④式联立解得a＝3 m/s2当P、Q刚开始运动时拉力最小，此时有F min＝(m1＋m2)a＝36 N当P与Q分离时拉力最大，此时有F max＝m2(a＋g sin θ)＝72 N.[答案]72 N36 N整体法与隔离法的选取技巧当物体各部分加速度相同且不涉及求内力的情况，用整体法比较简单；若涉及物体间相互作用力时必须用隔离法．整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来运用，这将会更快捷有效．2．(多选)如图所示，粗糙的水平地面上有三块材料完全相同的木块A、B、C，质量均为m，B、C之间用轻质细绳连接．现用一水平恒力F作用在C上，三者开始一起做匀加速运动，运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面，系统仍加速运动，且始终没有相对滑动．则在粘上橡皮泥并达到稳定后，下列说法正确的是()A．无论粘在哪个木块上面，系统的加速度都将减小B．若粘在A木块上面，绳的拉力减小，A、B间摩擦力不变C．若粘在B木块上面，绳的拉力增大，A、B间摩擦力增大D．若粘在C木块上面，绳的拉力和A、B间摩擦力都减小AD[因无相对滑动，所以，无论橡皮泥粘到哪个木块上，根据牛顿第二定律都有F－3μmg－μΔmg＝(3m＋Δm)a，系统加速度a减小，选项A正确；若粘在A木块上面，以C为研究对象，受到F、摩擦力μmg、绳子拉力F T这三个力的作用，由牛顿第二定律得F－μmg－F T＝ma，a减小，F、μmg不变，所以，绳子拉力F T增大，选项B错误；若粘在B木块上面，a减小，以A为研究对象，m不变，所受摩擦力减小，选项C错误；若粘在C木块上面，a减小，A、B间的摩擦力减小，以A、B整体为研究对象，有F T－2μmg＝2ma，F T减小，选项D正确．]1．如图所示，质量为2 kg的物块A与水平地面的动摩擦因数为μ＝0.1，质量为1 kg的物块B与地面的摩擦忽略不计，在已知水平力F＝11 N的作用下，A、B一起做加速运动，则下列说法中正确的是()A．A、B的加速度均为3.67 m/s2B．A、B的加速度均为3.3 m/s2C．A对B的作用力为3.3 ND．A对B的作用力为3.0 ND[在已知水平力F＝11 N的作用下，A、B一起做加速运动，由A、B整体F－μm A g＝(m A＋m B)a，解得a＝3 m/s2，故A、B选项均错误；隔离B物体F AB＝m B a＝3 N，故D选项正确，C选项错误．]2．(多选)如图所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．则下列说法正确的是()A．小铁球所受合力为零B．小铁球受到的合外力方向水平向左C．F＝(M＋m)g tan αD．系统的加速度为a＝g tan αCD[解答本题的疑难在于求系统的加速度，突破点是先选小铁球为研究对象求出其加速度．隔离小铁球受力分析得F合＝mg tan α＝ma且合外力水平向右，故小铁球加速度为g tan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为g tan α，A、B错误，D正确．整体受力分析得F＝(M＋m)a＝(M＋m)g tan α，故选项C正确．]3．(多选)在一东西向的水平直铁轨上，停放着一列已用挂钩连接好的车厢．当机车在东边拉着这列车厢以大小为a的加速度向东行驶时，连接某两相邻车厢的挂钩P和Q间的拉力大小为F；当机车在西边拉着车厢以大小为23a的加速度向西行驶时，P和Q间的拉力大小仍为F.不计车厢与铁轨间的摩擦，每节车厢质量相同，则这列车厢的节数可能为()A ．8B ．10C ．15D ．18BC [设该列车厢与P 相连的部分为P 部分，与Q 相连的部分为Q 部分．设该列车厢有n 节，Q 部分为n 1节，每节车厢质量为m ，当加速度为a 时，对Q有F ＝n 1ma ；当加速度为23a 时，对P 有F ＝(n －n 1)m 23a ，联立得2n ＝5n 1.当n 1＝2，n 1＝4，n 1＝6时，n ＝5，n ＝10，n ＝15，由题中选项得该列车厢节数可能为10或15，选项B 、C 正确．]4．在空气阻力大小恒定的条件下，小球从空中下落，与水平地面相碰(碰撞时间极短)后弹到空中某一高度．以向下为正方向，其速度随时间变化的关系如图所示，g 取10 m/s 2，则以下结论正确的是( )A ．小球弹起的最大高度为1.0 mB ．小球弹起的最大高度为0.45 mC ．小球弹起到最大高度的时刻t 2＝0.80 sD ．空气阻力与重力的比值为1∶5D [小球下落过程中有a 1＝Δv Δt ＝40.5 m/s 2＝45g ，mg －F f ＝ma 1，解得F f ＝mg －ma 1＝15mg ，故F f mg ＝15，故D 正确；在小球弹起过程中有mg ＋F f ＝ma 2，解得a 2＝12 m/s 2，故小球上升的时间Δt ＝312 s ＝14s ＝0.25 s ，故t 2＝t 1＋Δt ＝0.75 s ，故C 错误；根据图象可知小球弹起的最大高度h ＝3×0.25×12m ＝0.375 m ，A 、B 错误．]。
微型专题动力学连接体问题和临界问题[学习目标] 1.会用整体法和隔离法分析动力学的连接体问题.2.掌握动力学临界问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件.一、动力学的连接体问题1.连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体.如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法有整体法与隔离法.2.整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解.其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力.3.隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解.其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形.4.整体法与隔离法的选用求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法.求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交叉运用.一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力.无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析.例1如图1所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速运动，已知m A＝10 kg，m B＝20 kg，F＝600 N，求此时轻绳对物体B的拉力大小(g取10 m/s2).图1答案400 N解析对A、B整体受力分析和单独对B受力分析，分别如图甲、乙所示：对A、B整体，根据牛顿第二定律有：F－(m A＋m B)g＝(m A＋m B)a物体B受轻绳的拉力和重力，根据牛顿第二定律，有：F T－m B g＝m B a，联立解得：F T＝400 N.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用当物体各部分加速度相同且不涉及求内力的情况，用整体法比较简单；若涉及物体间相互作用力时必须用隔离法.整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来运用，这将会更快捷有效.针对训练1 在水平地面上有两个彼此接触的物体A和B，它们的质量分别为m1和m2，与地面间的动摩擦因数均为μ，若用水平推力F作用于A物体，使A、B一起向前运动，如图2所示，求两物体间的相互作用力为多大？图2答案m2F m1＋m2解析以A、B整体为研究对象，其受力如图甲所示，由牛顿第二定律可得F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a所以a＝Fm1＋m2－μg再以B物体为研究对象，其受力如图乙所示，由牛顿第二定律可得F AB－μm2g＝m2a联立得两物体间的作用力F AB＝m2Fm1＋m2.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用例2如图3所示，装有支架的质量为M(包括支架的质量)的小车放在光滑水平地面上，支架上用细线拖着质量为m的小球，当小车在光滑水平地面上向左匀加速运动时，稳定后细线与竖直方向的夹角为θ.重力加速度为g，求小车所受牵引力的大小.图3答案(M＋m)g tan θ解析小球与小车相对静止，它们的加速度相同，小车的加速度方向水平向左，小球的加速度方向也水平向左，由牛顿第二定律可知，小球所受合力的方向水平向左，如图所示，小球所受合力的大小为mg tan θ.由牛顿第二定律有mg tan θ＝ma①对小车和小球组成的整体，运用牛顿第二定律有F＝(M＋m)a ②联立①②解得：F＝(M＋m)g tan θ.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用二、动力学的临界问题1.临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态.2.关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件.3.临界问题的常见类型及临界条件：(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零.(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力.(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度.当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值.4.解题关键：正确分析物体运动情况，对临界状态进行判断与分析，其中处于临界状态时存在的独特的物理关系即临界条件.例3如图4所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m＝1.0 kg的均匀小球，a线与水平方向成53°角，b线水平.两根细线所能承受的最大拉力都是F m＝15 N.(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)求：图4(1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值.(2)当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值. 答案(1)2 m/s2(2)7.5 m/s2解析(1)竖直向上匀加速运动时小球受力如图所示，当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得：竖直方向有：F m sin 53°－mg＝ma水平方向有：F m cos 53°＝F b解得F b＝9 N，此时加速度有最大值a＝2 m/s2(2)水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得：竖直方向有：F a sin 53°＝mg水平方向有：F b－F a cos 53°＝ma′解得F a＝12.5 N当F b＝15 N时，加速度最大，有a′＝7.5 m/s2【考点】动力学中的临界、极值问题【题点】弹力发生突变的临界、极值问题例4如图5所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球.(重力加速度为g)图5(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？答案(1)g(2)g(3)5mg解析(1)当F T＝0时，小球受重力mg和斜面支持力F N作用，如图甲，则F N cos 45°＝mg，F N sin 45°＝ma解得a＝g.故当向右运动的加速度为g时线上的拉力为0.(2)假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力F T1和斜面的支持力F N1作用，如图乙所示.由牛顿第二定律得水平方向：F T1cos 45°－F N1sin 45°＝ma1，竖直方向：F T1sin 45°＋F N1cos 45°－mg＝0.由上述两式解得F N1＝2m(g－a1)2，F T1＝2m(g＋a1)2.由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力F N1减小，线的拉力F T1增大.当a1＝g时，F N1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为F T1＝2mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零.(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得F T′cos α＝ma′，F T′sin α＝mg，解得F T′＝m a′2＋g2＝5mg.【考点】动力学中的临界、极值问题【题点】弹力发生突变的临界、极值问题1.(连接体问题)如图6所示，质量为2m的物块A与水平地面间的动摩擦因数为μ，质量为m的物块B 与地面的摩擦不计，在大小为F 的水平推力作用下，A 、B 一起向右做加速运动，则A 和B 之间的作用力大小为( )图6A.μmg3B.2μmg3C.2F －4μmg3D.F －2μmg3答案 D解析 以A 、B 组成的整体为研究对象，由牛顿第二定律得，F －μ·2mg ＝(2m ＋m )a ，整体的加速度大小为a ＝F －2μmg3m；以B 为研究对象，由牛顿第二定律得A 对B 的作用力大小为F AB＝ma ＝F －2μmg3，即A 、B 间的作用力大小为F －2μmg3，选项D 正确.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用 【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用2.(连接体问题)如图7所示，光滑水平面上，水平恒力F 作用在小车上，使小车和木块一起做匀加速直线运动，小车质量为M ，木块质量为m ，它们的共同加速度为a ，木块与小车间的动摩擦因数为μ，则在运动过程中( )图7A.木块受到的摩擦力大小一定为μmgB.木块受到的合力大小为(M ＋m )aC.小车受到的摩擦力大小为mF m ＋MD.小车受到的合力大小为(m ＋M )a 答案 C解析 把小车和木块看成一个整体，根据牛顿第二定律得：a ＝FM ＋m.木块水平方向只受静摩擦力，根据牛顿第二定律得f ＝ma ＝mFM ＋m，故A 错误；对木块运用牛顿第二定律得F 合＝ma ，故B 错误；小车受到的摩擦力与f 大小相等，故C 正确；对小车运用牛顿第二定律得F 车合＝Ma ，故D 错误.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用3.(动力学的临界问题)如图8所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg ，现用水平拉力F 拉B ，使A 、B 以同一加速度运动，则拉力F的最大值为( )图8A.μmgB.2μmgC.3μmgD.4μmg答案 C解析 当A 、B 之间恰好不发生相对滑动时力F 最大，此时，A 物体所受的合力为μmg ，由牛顿第二定律知a A ＝μmgm＝μg ，对于A 、B 整体，加速度a ＝a A ＝μg .由牛顿第二定律得F ＝3ma ＝3μmg .【考点】动力学中的临界、极值问题 【题点】摩擦力发生突变的临界、极值问题分析多物体的平衡问题，关键是研究对象的选取，若一个系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法.对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便. 典题1 如图9所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A ，A 与竖直墙之间放一光滑半圆球B ，整个装置处于平衡状态.已知A 、B 的质量分别为m 和M ，半圆球B 与柱状物体A 半径均为R ，半圆球B 的圆心到水平地面的竖直距离为2R ，重力加速度为g .求：图9(1)物体A 对地面的压力大小； (2)物体A 对地面的摩擦力. 答案 见解析解析 (1)把A 、B 看成一个系统，对其运用整体法，该系统在竖直方向上受到竖直向下的重力(M＋m)g和地面的支持力F N的作用，二力平衡，所以F N＝(M＋m)g得物体A对地面的压力大小为(M＋m)g.(2)在水平方向上，该系统肯定受到竖直墙水平向右的弹力的作用，那么一定也受到地面水平向左的摩擦力，并且摩擦力大小等于弹力大小；再选取半圆球B为研究对象，运用隔离法，受力分析如图所示.根据力的分解和力的平衡条件可得：F N1＝Mgcos θ，F N2＝Mg tan θ半圆球B的圆心到水平地面的竖直距离为2R，所以θ＝45°所以F N2＝Mg根据受力分析及牛顿第三定律，物体A对地面的摩擦力大小等于F N2，所以物体A对地面的摩擦力大小为Mg，方向水平向右.【考点】共点力的平衡(解决较复杂的平衡问题)【题点】整体法和隔离法解平衡问题求解本题时要优先考虑整体法解题，这样很容易求得物体对地面的压力大小；然后隔离半圆球B应用平衡条件就可求出物体A对地面的摩擦力.典题2(多选)如图10，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A 的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态.把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则下列判断正确的是( )图10A.A对地面的压力减小B.B对墙的压力增大C.A与B之间的作用力减小D.地面对A的摩擦力减小答案CD解析以A、B为整体分析，竖直方向上受重力及地面的支持力，两物体重力不变，故A对地面的压力不变，故A错误；对圆球B受力分析，作出平行四边形如图所示，A移动前后，B 受力平衡，即B球受墙壁及A的弹力的合力与重力大小相等，方向相反；A向右移动少许，弧形斜面的切线顺时针旋转，A对球的弹力减小，墙对球的弹力减小，故B错误，C正确；分析A、B整体，水平方向上受墙壁的弹力和地面的摩擦力而处于平衡状态，墙壁的弹力减小，则摩擦力减小，故D正确.【考点】共点力的平衡(解决较复杂的平衡问题)【题点】整体法和隔离法解平衡问题1.如图11所示，一幼儿园小朋友在水平桌面上将三个形状不规则的石块成功叠放在一起，受到老师的表扬.下列说法正确的是( )图11A.石块b对a的支持力与a受到的重力是一对相互作用力B.石块b对a的支持力一定等于a受到的重力C.石块c受到水平桌面向左的摩擦力D.石块c对b的作用力一定竖直向上答案 D解析石块b对a的支持力与其对a的静摩擦力的合力，跟a受到的重力是平衡力，故A、B 错误；以三石块作为整体研究，则石块c不会受到水平桌面的摩擦力，故C错误；选取a、b 作为整体研究，根据平衡条件，则石块c对b的作用力与a、b整体的重力平衡，则石块c 对b的作用力一定竖直向上，故D正确.2.(多选)如图12所示，质量为m的木块A放在质量为M的三角形斜劈上，现用大小均为F、方向相反的水平力分别推A和B，它们均静止不动，则( )A.A与B之间一定存在摩擦力B.B与地面之间可能存在摩擦力C.B对A的支持力可能小于mgD.地面对B的支持力的大小一定等于(M＋m)g答案CD解析对A、B整体受力分析，如图所示，受到重力(M＋m)g、支持力F N和已知的两个推力，对于整体，由于两个推力刚好平衡，故整体与地面间没有摩擦力，且有F N＝(M＋m)g，故B 错误，D正确.再对木块A受力分析，至少受重力mg、已知的推力F、B对A的支持力F N′，当推力F沿斜面的分力大于重力沿斜面的分力时，摩擦力的方向沿斜面向下.当推力F沿斜面的分力小于重力沿斜面的分力时，摩擦力的方向沿斜面向上.当推力F沿斜面的分力等于重力沿斜面的分力时，摩擦力为零，故A错误.在垂直斜面方向上有F N′＝mg cos θ＋F sin θ(θ为斜劈倾角)，B对A的支持力可能小于mg，C正确.3.如图13所示，在一根水平直杆上套着两个轻环，在环下用两根等长的轻绳拴着一个重物.把两环分开放置，静止时杆对a环的摩擦力大小为f，支持力为F N.若把两环距离稍微缩短一些，系统仍处于静止状态，则( )图13A.F N变小B.F N变大C.f变小D.f变大答案 C解析由对称性可知杆对两环的支持力大小相等.对重物与两环组成的整体受力分析，由平衡条件知竖直方向上2F N＝mg恒定，A、B皆错误.由极限法，将a、b两环间距离减小到0，则两绳竖直，杆对环不产生摩擦力的作用，故两环距离缩短时，f变小，C正确，D错误.4.如图14所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑.已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力.A与B的质量之比为( )A.1μ1μ2B.1－μ1μ2μ1μ2C.1＋μ1μ2μ1μ2D.2＋μ1μ2μ1μ2答案 B解析 对物体A 、B 整体在水平方向上有F ＝μ2(m A ＋m B )g ；对物体B 在竖直方向上有μ1F ＝m B g ；联立解得：m A m B ＝1－μ1μ2μ1μ2，选项B 正确.【考点】共点力的平衡(解决较复杂的平衡问题) 【题点】平衡中的临界、极值问题5.(多选)如图15所示，A 是一质量为M 的盒子，B 的质量为m ，A 、B 用细绳相连，跨过光滑的定滑轮置于倾角为θ的斜面上，B 悬于斜面之外而处于静止状态，斜面放置在水平地面上.现在向A 中缓慢加入沙子，整个系统始终保持静止，则在加入沙子的过程中( )图15A.A 对斜面的压力逐渐增大B.绳子拉力逐渐增大C.地面对斜面的摩擦力始终为零D.A 所受的摩擦力逐渐增大 答案 AC解析 A 对斜面的压力等于A 及沙子的总重力沿垂直于斜面方向的分力，当向A 中缓慢加入沙子时，总重力逐渐增大，A 对斜面的压力逐渐增大，故A 正确；绳子拉力等于B 的重力，保持不变，故B 错误；整个系统始终保持静止，不受水平方向的分力，则地面对斜面没有摩擦力，故C 正确；由于不知道A 的重力沿斜面方向的分力与细绳拉力的大小关系，故不能确定静摩擦力的方向，故随着沙子质量的增加，静摩擦力可能增大也可能减小，故D 错误. 【考点】共点力的平衡(解决较复杂的平衡问题) 【题点】整体法和隔离法解平衡问题一、选择题考点一 动力学的连接体问题1.如图1所示，弹簧测力计外壳质量为m 0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一质量为m 的重物.现用一竖直向上的外力F 拉着弹簧测力计，使其向上做匀加速直线运动，则弹簧测力计的读数为( )图1A.mgB.FC.mm ＋m 0FD.m 0m ＋m 0F 答案 C解析 将弹簧测力计及重物视为一个整体，设它们共同向上的加速度为a .由牛顿第二定律得F －(m 0＋m )g ＝(m 0＋m )a ①弹簧测力计的示数等于它对重物的拉力，设此力为F T . 则对重物由牛顿第二定律得F T －mg ＝ma ②联立①②解得F T ＝mm ＋m 0F ，C 正确.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用 【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用2.如图2所示，放在光滑水平面上的物体A 和B ，质量分别为2m 和m ，第一次水平恒力F 1作用在A 上，第二次水平恒力F 2作用在B 上.已知两次水平恒力作用时，A 、B 间的作用力大小相等.则( )图2A.F 1<F 2B.F 1＝F 2C.F 1>F 2D.F 1>2F 2答案 C解析 设A 、B 间作用力大小为F N ，则水平恒力作用在A 上时，隔离B 受力分析有：F N ＝ma B . 水平恒力作用在B 上时，隔离A 受力分析有：F N ＝2ma A .F 1＝(2m ＋m )a B ，F 2＝(2m ＋m )a A ，解得F 1＝3F N ，F 2＝32F N ，所以F 1＝2F 2，即F 1>F 2.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用 【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用3.如图3所示，在光滑的水平桌面上有一物体A ，通过绳子与物体B 相连，假设绳子的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都可以忽略不计，绳子不可伸长且A 与定滑轮之间的绳水平.如果m B ＝3m A ，则绳子对物体A 的拉力大小为( )图3A.m B gB.34m A gC.3m A gD.34m B g答案 B解析 对A 、B 整体进行受力分析，根据牛顿第二定律可得m B g ＝(m A ＋m B )a ，对物体A ，设绳的拉力为F ，由牛顿第二定律得，F ＝m A a ，解得F ＝34m A g ，B 正确.【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用 【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用4.如图4所示，质量为M 、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为m 的小铁球，现用一水平向右的推力F 推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角.重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )图4A.小铁球受到的合外力方向水平向左B.F ＝(M ＋m )g tan αC.系统的加速度为a ＝g sin αD.F ＝mg tan α 答案 B解析 隔离小铁球受力分析得F 合＝mg tan α＝ma 且合外力方向水平向右，故小铁球加速度为g tan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为g tan α，A 、C 错误.对整体受力分析得F ＝(M ＋m )a ＝(M ＋m )g tan α，故B 正确，D 错误. 【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用 【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用 考点二 动力学的临界、极值问题5.(多选)如图5所示，已知物块A 、B 的质量分别为m 1＝4 kg 、m 2＝1 kg ，A 、B 间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A 与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g 取10 m/s 2，在水平力F 的推动下，要使A 、B 一起运动而B 不致下滑，则力F 大小可能的是( )图5A.50 NB.100 NC.125 ND.150 N答案 CD解析 对B 不下滑有μ1F N ≥m 2g ，由牛顿第二定律F N ＝m 2a ；对整体有F －μ2(m 1＋m 2)g ＝(m 1＋m 2)a ，得F ≥(m 1＋m 2)⎝⎛⎭⎪⎫1μ1＋μ2g ＝125 N ，选项C 、D 正确.【考点】动力学中的临界、极值问题 【题点】摩擦力发生突变的临界、极值问题6.如图6所示，质量为M 的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m 的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，若要以水平外力F 将木板抽出，则力F 的大小至少为(设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)( )图6A.μmgB.μ(M ＋m )gC.μ(m ＋2M )gD.2μ(M ＋m )g答案 D【考点】动力学中的临界、极值问题 【题点】摩擦力发生突变的临界、极值问题 二、非选择题7.(临界问题)如图7所示，质量为4 kg 的小球用细线拴着吊在行驶的汽车后壁上，线与竖直方向夹角为37°.已知g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：图7(1)当汽车以加速度a ＝2 m/s 2向右匀减速行驶时，细线对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小.(2)当汽车以加速度a ＝10 m/s 2向右匀减速行驶时，细线对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小.答案 (1)50 N 22 N (2)40 2 N 0解析 (1)当汽车以加速度a ＝2 m/s 2向右匀减速行驶时，小球受力分析如图甲.由牛顿第二定律得：F T1cos θ＝mg ，F T1sin θ－F N ＝ma代入数据得：F T1＝50 N ，F N ＝22 N由牛顿第三定律知，小球对车后壁的压力大小为22 N.(2)当汽车向右匀减速行驶时，设小球所受车后壁弹力为0时(临界条件)的加速度为a 0，受力分析如图乙所示.由牛顿第二定律得：F T2sin θ＝ma 0，F T2cos θ＝mg 代入数据得：a 0＝g tan θ＝10×34 m/s 2＝7.5 m/s 2因为a ＝10 m/s 2＞a 0 所以小球会飞起来，F N ′＝0由牛顿第二定律得：F T2＝(mg )2＋(ma )2＝40 2 N. 【考点】动力学中的临界、极值问题 【题点】弹力发生突变的临界、极值问题。
