第3课时：动力学中的连接体问题

3.3 动力学的两类基本问题连接体问题
受力分析合力加速度
运动学量
动力学的两类基本问题
1．已知受力求运动:分析物体的受力,应用牛顿第二定律求加速度,根据物体的运动特征,应用运动学公式求物体的运动情况。

2．已知运动求力:根据物体的运动情况，求出物体的加速度，应用牛顿第二定律，推断或求出物体的受力情况。

无论哪类问题，联系力和运动的桥梁是加速度。

运用牛顿运动定律解题解决动力学问题的关键是对物体进行受力分析和运动分析，受力分析要求（按比例）画出物体的受力图，需要正交分解的进行分解，标出角度来，并且标上加速度方向（正方向）；运动分析要求根据物体所受合外力和初速度能确定物体的运动性质．
不论哪类问题，都应抓住力与运动是通过加速度联系起来的这一关键枢纽．
专题一已知受力情况求运动
根据物体的受力情况求加速度，再根据运动学公式求解有关运动的物理量．
根据物体的受力情况求解运动情况的一般步骤
①确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体受力示意图．
②根据力的合成与分解的方法求出合外力（大小和方向）共线力合成建立符号规则，把矢量运算变成代数运算；非共线力合成根据平行四边形定则或正交分解法求解．。

高考物理三轮复习精讲突破训练—动力学中的连接体问题考向一“板—块”模型(1)两种位移关系滑块由滑板的一端相对运动到另一端的过程中：①若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；②反向运动时，位移的绝对值之和等于板长．(2)解题思路【典例1】如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐．A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。

先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。

接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：（1）A被敲击后获得的初速度大小v A；（2）在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小a B、a B'；（3）B被敲击后获得的初速度大小v B．【解析】（1）由牛顿运动定律知，A加速度的大小a A=μg匀变速直线运动2a A L=v A2v=（2）设A 、B 的质量均为m 对齐前，B 所受合外力大小F =3μmg 由牛顿运动定律F =ma B ，得a B =3μg对齐后，A 、B 所受合外力大小F ′=2μmg 由牛顿运动定律F ′=2ma B ′，得a B ′=μg（3）经过时间t ，A 、B 达到共同速度v ，位移分别为x A 、x B ，A 加速度的大小等于a A 则v =a A t ，v =v B –a B t 221122A AB B B x a t x v t a t ==-，且x B –x A =L解得B v =【变式1】如图，两个滑块A 和B 的质量分别为A 1kgm =和B 5kgm =，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为10.5μ=；木板的质量为4kg m =，与地面间的动摩擦因数为20.1μ=。

某时刻A 、B 两滑块开始相向滑动，初速度大小均为03m/s v =。

A 、B 相遇时，A 与木板恰好相对静止。

动力学中的连接体问题1.连接体问题的类型物物连接体、轻杆连接体、弹簧连接体、轻绳连接体.2.整体法的选取原则若连接体内各物体具有相同的加速度，且不需要求物体之间的作用力，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的合外力，应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量).3.隔离法的选取原则若连接体内各物体的加速度不相同，或者要求出系统内各物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解.4.整体法、隔离法的交替运用若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求出物体之间的作用力时，一般采用“先整体求加速度，后隔离求内力”.例1(多选)我国高铁技术处于世界领先水平.如图1所示，和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车.假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比.某列车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组()图1A.启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反B.做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2C.进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比D.与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2答案BD解析 列车启动时，乘客随车厢加速运动，加速度方向与车的运动方向相同，故乘客受到车厢的作用力方向与车运动方向相同，选项A 错误；动车组运动的加速度a ＝2F －8kmg 8m ＝F4m －kg ，则对6、7、8节车厢的整体有F 56＝3ma ＋3kmg ＝34F ，对7、8节车厢的整体有F 67＝2ma＋2kmg ＝12F ，故5、6节车厢与6、7节车厢间的作用力之比为F 56∶F 67＝3∶2，选项B 正确；关闭发动机后，根据动能定理得12·8m v 2＝8kmgx ，解得x ＝v 22kg ，可见滑行的距离与关闭发动机时速度的平方成正比，选项C 错误；8节车厢有2节动车时的最大速度为v m1＝2P8kmg ；8节车厢有4节动车时最大速度为v m2＝4P8kmg ，则v m1v m2＝12，选项D 正确. 例2如图2所示，粗糙水平面上放置B 、C 两物体，A 叠放在C 上，A 、B 、C 的质量分别为m 、2m 、3m ，物体B 、C 与水平面间的动摩擦因数相同，其间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T ，现用水平拉力F 拉物体B ，使三个物体以同一加速度向右运动，则( )图2A.此过程中物体C 受重力等五个力作用B.当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断C.当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳刚好被拉断D.若水平面光滑，则绳刚断时，A 、C 间的摩擦力为F T 6①三个物体以同一加速度向右运动；②轻绳刚好被拉断. 答案 C解析 A 受重力、支持力和向右的静摩擦力作用，可知C 受重力、A 对C 的压力、地面的支持力、绳子的拉力、A 对C 的摩擦力以及地面的摩擦力六个力的作用，故A 错误.对整体分析，整体的加速度a ＝F －μ·6mg 6m ＝F6m －μg ，对A 、C 整体分析，根据牛顿第二定律得，F T－μ·4mg ＝4ma ，解得F T ＝23F ，当F ＝1.5F T 时，轻绳刚好被拉断，故B 错误，C 正确.水平面光滑，绳刚断时，对A 、C 整体分析，加速度a ＝F T4m ，隔离A 单独分析，A 受到的摩擦力F f ＝ma ＝F T4，故D 错误.。

第3课时专题强化：牛顿第二定律的综合应用目标要求 1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。

2.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。

考点一动力学中的连接体问题多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体。

系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。

1．共速连接体两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。

(1)绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体(2)叠加类连接体(一般与摩擦力相关)例1如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大B．若木块和地面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为m1Fgm1＋m2＋μm1C．绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关D．绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关答案C 解析若设木块和地面间的动摩擦因数为μ，以两木块整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F －μ(m 1＋m 2)g ＝(m 1＋m 2)a ，得a ＝F －μ(m 1＋m 2)g m 1＋m 2，以木块1为研究对象，根据牛顿第二定律有F T －μm 1g ＝m 1a ，得a ＝F T －μm 1g m 1，系统加速度与木块1加速度相同，联立解得F T ＝m 1m 1＋m 2F ，可知绳子拉力大小与动摩擦因数μ无关，与两木块质量大小有关，无论水平面是光滑的还是粗糙的，绳的拉力大小均为F T ＝m 1m 1＋m 2F ，且m 2越大，绳的拉力越小，故选C 。

拓展(1)两个质量分别为m 1和m 2的木块1和2，中间用一条轻绳连接。

①如图甲所示，用力F 竖直向上拉木块时，绳的拉力F T ＝__________；②如图乙所示，用力F 沿光滑斜面向上拉木块时，绳的拉力为__________；斜面不光滑时绳的拉力F T ＝__________。

《动力学的连接体问题课后练习》参考答案题型一：加速度相同的连接体问题1、解：N m m F m F B A B AB 8)/(=+=2、解：n F n ma n F )3()3(34-=-=3、[答案] BC[解析]：互换位置前，M 静止在斜面上，则有：Mgsin α＝mg ，互换位置后，对M 有Mg －FT ＝Ma ，对m 有：FT ′－mgsin α＝ma ，又FT ＝FT ′，解得：a ＝(1－sin α)g ，FT ＝mg ，故A 、D 错，B 、C 对。

4、解：设物体的质量为m ，在竖直方向上有：mg=F ，F 为摩擦力在临界情况下，F ＝μF N ，F N 为物体所受水平弹力。

又由牛顿第二定律得：F N ＝ma 由以上各式得：加速度22/5.12/8.010s m s m m mg m F a N ====μ题型二：加速度不相同的连接体问题5、解：mag m M N -+=)(6、利用瞬时加速度，绳子剪断瞬间弹簧弹力不变。

答案：D题型三：加速度开始相同后因不同而分离的连接体问题7、解：小球恰好脱离斜面，小球只受重力和绳子的拉力作用，合力水平向左提供水平方向加速度，作图可得，由于斜面夹角45°，所以ma=mg ，所以a=g 。

8、解：当力F 作用于A 上，且A 、B 刚好不发生相对滑动时，对B 由牛顿第二定律得：μmg=2ma ①对整体同理得：F A ＝(m+2m)a ② 由①②得23mg F A μ= 当力F 作用于B 上，且A 、B 刚好不发生相对滑动时，对A 由牛顿第二定律得：μμmg ＝ma ′ ③对整体同理得F B ＝(m+2m)a ′④ 由③④得F B ＝3μmg 所以：F A :F B ＝1:2题型四：加速度开始不同后因相同而成为一个整体的连接体问题9、ACD【详解】A. 1t 时刻小物块恰好滑至长木板最右端，所以相对位移就是板长，根据图b 知，相对位移为图像面积差：012v t ，A 正确。

动力学的连接体问题和临界问题【必备知识】一、动力学的连接体问题1．连接体两个或两个以上相互作用的物体组成的整体叫作连接体。

如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、弹簧、细杆等连在一起。

2．外力和内力如果以物体组成的系统为研究对象，则系统之外的物体对系统的作用力为该系统受到的外力，而系统内各物体间的相互作用力为该系统的内力。

3．处理连接体问题的方法(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象来分析的方法。

不必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力。

(2)隔离法：把系统中的各个部分(或某一部分)隔离，作为一个单独的研究对象来分析的方法。

此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力，在分析时要特别注意。

一般选择将受力较少的物体进行隔离。

(3)整体法与隔离法的选用求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法，如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法。

求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交叉运用。

一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力。

无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析。

二、动力学的临界问题在动力学问题中，经常会遇到某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的情况(如恰好滑动、刚好脱离)，这类问题称为临界问题。

临界状态是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值，临界点的两侧，物体的受力情况、运动情况一般要发生改变。

1．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。

2．临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零。

(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零。

动力学中的九类常见问题专题 连接体【知识精讲】1.连接体多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等连接)在一起构成的物体系统称为连接体。

2.连接体问题的分类(1)加速度相同的连接体；(2)加速度不同的连接体。

3.连接体的五大类型弹簧连接体轻绳连接体轻杆连接体物体叠放连接体两物体并排连接体4.连接体的运动特点(1)轻绳--轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。

(2)轻杆--轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度；轻杆转动时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比。

(3)轻弹簧--在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度不一定相等；在弹簧形变最大时，两端连接体的速率相等。

(4)接触连接--两物体通过弹力或摩擦力作用，可能具有相同的速度或加速度。

其临界条件一般为两物体间的弹力为零或摩擦力达到最大静摩擦力。

【方法归纳】1.连接体问题的分析整体法、隔离法的交替运用，若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求出作用力。

即“先整体求加速度，后隔离求内力”。

2.力的“分配”原则两物块在力F 作用下一起运动，系统的加速度与每个物块的加速度相同，如图所示。

接触面光滑或粗糙(动摩擦因数相同)F 一定，两物块间的弹力只与物块的质量有关，且F 弹=m 2m 1+m 2F 。

3.解决连接体问题的两种方法4.整体法、隔离法的选取原则(1)对于加速度相同的连接体，如果要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。

(2)对于加速度不同的连接体问题一般选择隔离法。

【典例精析】1(2023河南郑州名校联考)如图所示，2019个质量均为m 的小球通过完全相同的轻质弹簧(在弹性限度内)相连，在水平拉力F 的作用下，一起沿光滑水平面以加速度a 向右做匀加速运动，设1和2之间弹簧的弹力为F 1-2，2和3间弹簧的弹力为F 2-3，2018和2019间弹簧的弹力为F 2018-2019，则下列结论正确的是A.F 1-2：F 2-3：⋯⋯F 2018-2019=1：2：3：⋯⋯2018B.从左到右每根弹簧长度之化为1：2：3：⋯⋯2018C.如果突然撤去拉力F，撤去F瞬间，第2019个小球的加速度为F，N其余每个球的加速度依然为aD.如果1和2两个球间的弹簧从第1个球处脱落，那么脱落瞬间第1个小球的加速度为0，第2个小球的加速度为2a，其余小球加速度依然为a【参考答案】AD【命题意图】本题以轻弹簧连接的2019个小球为情景，考查连接体、受力分析、牛顿运动定律及其相关知识点。

动力学中的连接体问题和临界极值问题物理题型　1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题.2.理解几种常见的临界极值条件.3.会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题.题型一　动力学中的连接体问题1.连接体多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆联系)在一起构成的物体系统称为连接体.连接体一般具有相同的运动情况(速度、加速度).2.常见连接体的类型(1)同速连接体(如图1)图1特点：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同速度和相同加速度.处理方法：用整体法求出a与F合的关系，用隔离法求出F内力与a的关系.(2)关联速度连接体(如图2)图2特点：两连接物体的速度、加速度大小相等，方向不同，但有所关联.处理方法：分别对两物体隔离分析，应用牛顿第二定律进行求解.同速连接体例1　(2020·江苏卷·5)中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量.某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F .若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为( )A.FB.C.D.19F 20F 19F 20答案　C解析　设列车的加速度为a ，每节车厢的质量为m ，每节车厢受到的阻力为F f ，对后38节车厢，由牛顿第二定律有F －38F f ＝38ma ；设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F 1，对后2节车厢，由牛顿第二定律得F 1－2F f ＝2ma ，联立解得F 1＝，故选项C 正确.F 19关联速度连接体例2　(多选)物块B 放在光滑的水平桌面上，其上放置物块A ，物块A 、C 通过细绳相连，细绳跨过定滑轮，如图3所示，物块A 、B 、C 质量均为m ，现释放物块C ，A 和B 一起以相同加速度加速运动，不计细绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度大小为g ，则细线中的拉力大小及A 、B 间的摩擦力大小分别为( )图3A.F T ＝mgB.F T ＝mg 23C.F f ＝mgD.F f ＝mg2313答案　BD解析　以C 为研究对象，由牛顿第二定律得mg －F T ＝ma ；以A 、B 为研究对象，由牛顿第二定律得F T ＝2ma ，联立解得F T ＝mg ，a ＝g ，以B 为研究对象，由牛顿第二定律得2313F f ＝ma ，得F f ＝mg ，故选B 、D.131.(同速连接体)(多选)(2020·湖北黄冈中学模拟)如图4所示，材料相同的物体m 1、m 2由轻绳连接，在恒定拉力F 的作用下沿斜面向上加速运动.轻绳拉力的大小( )图4A.与斜面的倾角θ有关B.与物体和斜面之间的动摩擦因数μ有关C.与两物体的质量m 1和m 2有关D.若改用F 沿斜面向下拉连接体，轻绳拉力的大小与θ，μ无关答案　CD解析　对整体受力分析有F －(m 1＋m 2)g sin θ－μ(m 1＋m 2)g cosθ＝(m 1＋m 2)a ，对m 2有F T －m 2g sin θ－μm 2g cos θ＝m 2a ，解得F T ＝F ，与μ和θ无关，与两物体的质量m 1m 2m 1＋m 2和m 2有关，故A 、B 错误，C 正确；若改用F 沿斜面向下拉连接体，同理可得F T ＝F ，故D 正确.m 1m 1＋m 22.(同速连接体)(多选)如图5所示，倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上，现有一带固定支架的滑块m 正沿斜面加速下滑.支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后，悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ，斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是( )图5A.斜面光滑B.斜面粗糙C.达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向左D.达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向右答案　AC解析　隔离小球，可知稳定后小球的加速度方向沿斜面向下，大小为g sin θ，小球稳定后，支架系统的加速度与小球的加速度相同，对支架系统进行分析，只有斜面光滑，支架系统的加速度才是g sin θ，A 正确，B 错误.隔离斜面体，斜面体受到的力有自身重力、地面的支持力、支架系统对它垂直斜面向下的压力，因斜面体始终保持静止，则斜面体还应受到地面对它水平向左的摩擦力，C正确，D错误.题型二　动力学中的临界和极值问题1.常见的临界条件(1)两物体脱离的临界条件：F N＝0.(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值.(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是F T＝0.(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力(加速度)为零.2.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系.3.解题方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学法将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件脱离的临界问题例3　(2019·江西宜春市期末)如图6所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6 kg的物体P，Q为一质量为m2＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态.现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：图6(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x 0；(2)物体Q 从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a ；(3)力F 的最大值与最小值.答案　(1)0.16 m (2) m/s 2　(3) N N10328031603解析　(1)设开始时弹簧的压缩量为x 0，对整体受力分析，平行斜面方向有(m 1＋m 2)g sin θ＝kx 0解得x 0＝0.16 m.(2)前0.2 s 时间内F 为变力，之后为恒力，则0.2 s 时刻两物体分离，此时P 、Q 之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x 1，对物体P ，由牛顿第二定律得：kx 1－m 1g sin θ＝m 1a前0.2 s 时间内两物体的位移：x 0－x 1＝at 212联立解得a ＝ m/s 2.103(3)对两物体受力分析知，开始运动时F 最小，分离时F 最大，则F min ＝(m 1＋m 2)a ＝ N1603对Q 应用牛顿第二定律得F max －m 2g sin θ＝m 2a解得F max ＝ N.2803相对滑动的临界问题例4　(多选)如图7所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上.A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，12重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( )图7A.当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止B.当F ＝μmg 时，A 的加速度为μg5213C.当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D.无论F 为何值，B 的加速度不会超过μg12答案　BCD解析　当0<F ≤μmg 时，A 、B 均静止；当μmg <F ≤3μmg 时，A 、B 相对静止，但两者相3232对地面一起向右做匀加速直线运动；当F >3μmg 时，A 相对B 向右做加速运动，B 相对地面也向右加速，选项A 错误，选项C 正确.当F ＝μmg 时，A 与B 共同的加速度52a ＝＝F －32μmg 3m μg ，选项B 正确.F 较大时，取物块B 为研究对象，物块B 的加速度最大为a 2＝13＝μg ，选项D 正确.2μmg －32μmg m 123.(脱离的临界问题)如图8所示，质量m ＝2 kg 的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面.取g ＝10 m/s 2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).下列说法正确的是( )图8A.当斜面以5 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为20 NB.当斜面以5 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为30 NC.当斜面以20 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为40 ND.当斜面以20 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为60 N答案　A解析　小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零，斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F ，斜面的加速度为a 0，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F cos θ＝ma 0，F sin θ－mg ＝0，代入数据解得a 0≈13.3 m/s 2.①由于a 1＝5 m/s 2<a 0，可见小球仍在斜面上，此时小球的受力情况如图甲所示，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F 1sin θ＋F N cos θ－mg ＝0，F 1cos θ－F N sin θ＝ma 1，代入数据解得F 1＝20 N ，选项A 正确，B 错误；②由于a 2＝20 m/s 2>a 0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示，设绳子与水平方向的夹角为α，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F 2cosα＝ma 2，F 2sinα－mg ＝0，代入数据解得F 2＝20 N，选项C 、D 错误.54.(极值问题)如图9甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v 0＝10 m/s 沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x 将发生变化，重力加速度g 取10 m/s 2.图9(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值.答案　(1)　(2)θ＝60° m33532解析　(1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mg sin θ＝F f ，F f ＝μmg cos θ联立解得：μ＝.33(2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a ，则－mg sinθ－μmg cos θ＝ma ，由0－v 02＝2ax 得x ＝，v 022g (sin θ＋μcos θ)令cos α＝，sin α＝，11＋μ2μ1＋μ2即tan α＝μ＝，33故α＝30°，又因x ＝v 022g 1＋μ2sin (θ＋α)当α＋θ＝90°时x 最小，即θ＝60°，所以x 最小值为x min ＝v 022g (sin 60°＋μcos 60°)＝＝ m.3v 024g 532课时精练1.(多选)(2020·贵州贵阳市摸底)如图1所示，水平地面上有三个靠在一起的物块A、B和C，质量均为m，设它们与地面间的动摩擦因数均为μ，用水平向右的恒力F推物块A，使三个物块一起向右做匀加速直线运动，用F1、F2分别表示A与B、B与C之间相互作用力的大小，则下列判断正确的是( )图1A.若μ≠0，则F1∶F2＝2∶1B.若μ≠0，则F1∶F2＝3∶1C.若μ＝0，则F1∶F2＝2∶1D.若μ＝0，则F1∶F2＝3∶1答案　AC解析　三物块一起向右做匀加速直线运动，设加速度为a，若μ＝0，分别对物块B、C组成的系统和物块C应用牛顿第二定律有F1＝2ma，F2＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，C项正确，D项错误；若μ≠0，分别对物块B、C组成的系统和物块C应用牛顿第二定律有F1－2μmg＝2ma，F2－μmg＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，A项正确，B项错误.2.(多选)如图2所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F作用于B上且两物块共同向右以加速度a1匀加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，弹簧的伸长量为x2，则下列说法正确的是( )图2A.若m>M，有x1＝x2B.若m<M，有x1＝x2C.若μ>sin θ，有x1>x2D.若μ<sin θ，有x1<x2答案　AB解析　在水平面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a1①隔离物块A，根据牛顿第二定律有F T －μmg ＝ma 1②联立①②解得F T ＝③Fmm ＋M 在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有F －(m ＋M )g sin θ＝(m ＋M )a 2④隔离物块A ，根据牛顿第二定律有F T ′－mg sin θ＝ma 2⑤联立④⑤解得F T ′＝⑥FmM ＋m 比较③⑥可知，弹簧弹力相等，即弹簧伸长量相等，与动摩擦因数和斜面的倾角无关，故A 、B 正确，C 、D 错误.3.如图3所示，质量为M 、中空为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m 的小铁球，现用一水平向右的推力F 推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽圆心和小铁球的连线与竖直方向成α角.重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )图3A.小铁球受到的合外力方向水平向左B.凹槽对小铁球的支持力为mgsin αC.系统的加速度为a ＝g tan αD.推力F ＝Mg tan α答案　C解析　根据小铁球与光滑凹槽相对静止可知，系统有向右的加速度a ＝g tan α，小铁球受到的合外力方向水平向右，凹槽对小铁球的支持力为，推力F ＝(M ＋m )g tanα，选项mgcos αA 、B 、D 错误，C 正确.4.如图4所示，质量为1 kg 的木块A 与质量为2 kg 的木块B 叠放在水平地面上，A 、B 间的最大静摩擦力为2 N ，B 与地面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.用水平力F 作用于B ，则A 、B 保持相对静止的条件是(g 取10 m/s 2)( )图4A.F ≤12 NB.F ≤10 NC.F ≤9 ND.F ≤6 N答案　A解析　当A 、B 间有最大静摩擦力(2 N)时，对A 由牛顿第二定律知，加速度为2 m/s 2，对A 、B 整体应用牛顿第二定律有：F －μ(m A ＋m B )g ＝(m A ＋m B )a ，解得F ＝12 N ，则A 、B 保持相对静止的条件是F ≤12 N ，A 正确，B 、C 、D 错误.5.(多选)(2019·河北保定市一模)如图5所示，一质量为M ＝3 kg 、倾角为α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m ＝1 kg 的光滑楔形物体.用一水平向左的恒力F 作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动.重力加速度为g ＝10 m/s 2，下列判断正确的是( )图5A.系统做匀速直线运动B.F ＝40 NC.斜面体对楔形物体的作用力大小为5 N2D.增大力F ，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动答案　BD解析　对整体受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律有F ＝(M ＋m )a ，对楔形物体受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律有mg tan 45°＝ma ，可得F ＝40 N ，a ＝10 m/s 2，A 错误，B 正确；斜面体对楔形物体的作用力F N2＝＝mg ＝10 N ，C 错误；外力F 增大，则斜面体加速度增mgsin 45°22加，楔形物体不能获得那么大的加速度，将会相对斜面体沿斜面上滑，D 正确.6.(2020·安徽合肥市模拟)如图6所示，钢铁构件A 、B 叠放在卡车的水平底板上，卡车底板与B 间的动摩擦因数均为μ1，A 、B 间动摩擦因数为μ2，μ1>μ2，卡车刹车的最大加速度为a (a >μ2g )，可以认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，卡车沿平直公路行驶途中遇到紧急刹车情况时，要求其刹车后在s 0距离内能安全停下，则卡车行驶的速度不能超过( )图6A. B.2as 02μ1gs 0C. D.2μ2gs 0(μ1＋μ2)gs 0答案　C解析　若卡车以最大加速度刹车，则由于a >μ2g ，A 、B 之间发生相对滑动，故不能以最大加速度刹车，由于刹车过程中要求A 、B 和车相对静止，当A 、B 整体相对车发生滑动时，a 1＝＝μ1g ，当A 、B 间发生相对滑动时，a 2＝＝μ2g ，由于μ1>μ2，所以μ1(mA ＋mB )gmA ＋mB μ2mAg mA a 1>a 2，即当以a 1刹车时，A 、B 间发生相对滑动，所以要求整体都处于相对静止时，汽车刹车的最大加速度为a 2，v 02＝2μ2gs 0，解得v 0＝，C 项正确.2μ2gs 07.(多选)(2019·广东湛江市第二次模拟)如图7所示，a 、b 、c 为三个质量均为m 的物块，物块a 、b 通过水平轻绳相连后放在水平面上，物块c 放在b 上.现用水平拉力作用于a ，使三个物块一起水平向右匀速运动.各接触面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g .下列说法正确的是( )图7A.该水平拉力大于轻绳的弹力B.物块c 受到的摩擦力大小为μmgC.当该水平拉力增大为原来的1.5倍时，物块c 受到的摩擦力大小为0.5μmgD.剪断轻绳后，在物块b 向右运动的过程中，物块c 受到的摩擦力大小为μmg答案　ACD解析　三物块一起做匀速直线运动，由平衡条件，对a 、b 、c 系统：F ＝3μmg ，对b 、c 系统：F T ＝2μmg ，则：F ＞F T ，即水平拉力大于轻绳的弹力，故A 正确；c 做匀速直线运动，处于平衡状态，则c 不受摩擦力，故B 错误；当水平拉力增大为原来的1.5倍时，F ′＝1.5F ＝4.5μmg ，由牛顿第二定律，对a 、b 、c 系统：F ′－3μmg ＝3ma ，对c ：F f ＝ma ，解得：F f ＝0.5μmg ，故C 正确；剪断轻绳后，b 、c 一起做匀减速直线运动，由牛顿第二定律，对b 、c 系统：2μmg ＝2ma ′，对c ：F f ′＝ma ′，解得：F f ′＝μmg ，故D 正确.8.(多选)(2020·湖北荆州市高三上学期质量检测)如图8所示，倾角为30°的光滑斜面上放一质量为m 的盒子A ，A 盒用轻质细绳跨过光滑轻质定滑轮与B 盒相连，A 盒与定滑轮间的细绳与斜面平行，B 盒内放一质量为的物体.如果把这个物体改放在A 盒内，则B 盒加速度m2恰好与原来等值反向，重力加速度大小为g ，则B 盒的质量m B 和系统的加速度a 的大小分别为( )图8A.m B ＝B.m B ＝m 43m 8C.a ＝0.2gD.a ＝0.4g答案　BC解析　当物体放在B 盒中时，以A 、B 和B 盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有(m B g ＋mg )－mg sin 30°＝(m ＋m B ＋m )a1212当物体放在A 盒中时，以A 、B 和A 盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有(m ＋m )g sin 30°－m B g ＝(m ＋m B ＋m )a 1212联立解得m B ＝3m 8加速度大小为a ＝0.2g故A 、D 错误、B 、C 正确.9.(2019·广东汕头市模拟)如图9所示，载货车厢通过悬臂固定在缆绳上，缆绳与水平方向夹角为θ，当缆绳带动车厢以加速度a 匀加速向上运动时，货物在车厢中与车厢相对静止，则货物与车厢的动摩擦因数至少为(悬臂竖直，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g )( )图9A.B.a sin θg ＋a cos θa cos θg ＋a sin θC.D.a sin θg －a cos θa cos θg －a sin θ答案　B解析　把加速度沿水平方向和竖直方向进行分解，对货物进行受力分析有F N －mg ＝ma sinθ，F f ＝ma cos θ≤μF N ，联立得出μ≥，B 正确.a cos θg ＋a sinθ10.(2019·广东深圳市模拟)如图10所示，两个质量均为m 的相同的物块叠放在一个轻弹簧上面，处于静止状态.弹簧的下端固定于地面上，弹簧的劲度系数为k .t ＝0时刻，给A 物块一个竖直向上的作用力F ，使得两物块以0.5g 的加速度匀加速上升，下列说法正确的是( )图10A.A 、B 分离前合外力大小与时间的平方t 2成线性关系B.分离时弹簧处于原长状态C.在t ＝时刻A 、B 分离2m k D.分离时B 的速度大小为gm4k 答案　C解析　A 、B 分离前两物块做匀加速运动，合外力不变，选项A 错误；开始时弹簧的压缩量为x 1，则2mg ＝kx 1；当两物块分离时，加速度相同且两物块之间的弹力为零，对物体B ，有kx 2－mg ＝ma ，且x 1－x 2＝at 2，解得x 1＝，x 2＝，t ＝，此时弹簧仍处于压缩122mg k 3mg 2k 2mk 状态，选项B 错误，C 正确；分离时B 的速度大小为v ＝at ＝g ·＝g ，选项D 错误.122m k m2k。

三、平衡与动力学中的连接体问题分析技巧在平衡问题或动力学问题中通常会遇到多个物体叠加或通过绳、杆等连接的问题,我们要注意解题方法。

处理连接体问题的方法整体法的选取原则若连接体内各物体具有相同的加速度,且不需要求物体之间的作用力,可以把它们看成一个整体,分析整体受到的外力,应用牛顿第二定律求出加速度或其他未知量 隔离法的选取原则若连接体内各物体的加速度不相同,或者要求出系统内两物体之间的作用力时,就需要把物体从系统中隔离出来,应用牛顿第二定律列方程求解 整体法、隔离法的交替运用 若连接体内各物体具有相同的加速度,且要求物体之间的作用力时,可以先用整体法求出加速度,然后再用隔离法选取合适的研究对象,应用牛顿第二定律求作用力。

即“先整体求加速度,后隔离求内力” 典例1 如图所示,质量为m 的正方体A 和质量为M 的正方体B 放在两竖直墙和水平面间,处于静止状态。

A 和B 的接触面与竖直方向的夹角为α,重力加速度为g,若不计一切摩擦,下列说法正确的是( )A.水平面对正方体B 的弹力大小大于(M+m)gB.水平面对正方体B 的弹力大小为(M+m)g cos αC.墙面对正方体A 的弹力大小为mg tan αD.墙面对正方体B 的弹力大小为mg tanα答案 D 由于两墙面竖直,对B 和A 整体受力分析可知,水平面对B 的弹力大小等于(M+m)g,A 、B 错误;在水平方向,墙对B 和A 的弹力大小相等、方向相反,隔离A 受力分析如图所示,根据平行四边形定则可得A 受到墙面的弹力大小为mg tanα,所以B 受到墙面的弹力大小也为mg tanα,C 错误,D 正确。

典例2 (多选)(2019陕西商洛质检)如图所示,在粗糙的水平面上,质量分别为m 和M 的物块A 、B 用轻弹簧相连,两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ,当用水平力F 作用于B上且两物块共同向右以加速度a1匀加速运动时,弹簧的伸长量为x1;当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时,弹簧的伸长量为x2,则下列说法中正确的是( )A.若m>M,有x1=x2B.若m<M,有x1=x2C.若μ> sin θ,有x1>x2D.若μ< sin θ,有x1<x2答案AB 在水平面上滑动时,对整体,根据牛顿第二定律,有F-μ(m+M)g=(m+M)a1①隔离物块A,根据牛顿第二定律,有FT -μmg=ma1②联立①②解得FT =F·mm+M③在斜面上滑动时,对整体,根据牛顿第二定律,有F-(m+M)g sin θ=(m+M)a2④隔离物块A,根据牛顿第二定律,有FT '-mg sin θ=ma2⑤联立④⑤解得FT '=F·mM+m⑥比较③⑥可知,弹簧弹力相等,与动摩擦因数和斜面的倾角无关,故A、B正确,C、D错误。