《几何与代数》 科学出版社 第二章 矩阵5

么熟知的运算规律.特别是乘法运算. 么熟知的运算规律.特别是乘法运算.
求 AB . 2 3 1 1 2 ×1 + 3× 0 +1× 2 4 解 0 = 1×1 + 2 × 0 + (−1) × 2 = −1 1 2 −1 0 3 1 2 0 ×1 + 3× 0 +1× 2 2
运算性质: 运算性质: A + B = B + A, ( A + B ) + C = A + ( B + C )
A + 0 = A,
A + (− A) = 0
8
2.2.2 运算性质:
数乘
kA = k(aij )m×n = (kaij )m×n
k(lA = (kl) A ) k(A+ B) = kA+ kB (k +l)A = kA+lA
1 2 −1 3 −7 1 例4 设 A = , B = , C = 1 2, 2 4 −2 1
求 AB 及 AC. AC. 1 2−1 3 −5 5 解 AB = −2 1 = −10 10 , 2 4
k =1
s
L L L L a a L a is i1 i2 L L L L
M b j 1 M b 2j M M M bs j
M M M = L cij L M M M
总结如下: 总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数. 阶数为前行数×后列数. 乘积阶数：

0 1
1 0
0
0
a 0
1
1
1 0
1
a
0
0
B
第五章 特征值与特征向量
§5.2 相似矩阵
§5.2 相似矩阵
一. 矩阵的相似
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P1AP=B,
则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵.
注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.
逆阵P, 使得 P1AP =(对角阵 )时, 易求方阵Ak.
问题：1) 相似的矩阵 A,B 有什么性质 ?
2) 任何一个方阵都与对角阵相似吗 ?
3) 若不是，如何判别一个方阵是否与 对角阵相似? 4) 是否有一类特殊的方阵必与对角阵相似?
第五章 特征值与特征向量
§5.2 相似矩阵
§5.2 相似矩阵
例2.
A=
11 01
,
B=
1 0
0 1
它们的特征多项式都是(1)2.
但是若有P –1AP = B, 则A = PBP–1 =E=B.矛盾!
第五章 特征值与特征向量
§5.2 相似矩阵
定理5.2. 若n阶方阵A与B相似, 则有相同的特
征多项式和特征值.
注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.
例2.
A=
1 0
2 E
A
2
1
1 1
5 2
1
0
1 5
51
2
0
p2
2
1
51 P 2
1
5 1 2
1
,
1 5 2
0
0
1 2
5
,
s.t.P 1 AP

BA
2 2
2 2
注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.
例4
设
A
1 2
2 4 ,
B
1 2
3 1 ,
C
7
1
1 2 ,
求 AB 及 AC.
解
AB
1 2
2 1 4 2
3 1
5 10
5 10 ,
AC
1 2
2 7
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1 a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
例3
设
A
1 1
1 1 ,
B
1 1
1
1
则
b1 j
ais
b2 j
cij
bs j
总结如下:
可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
运算性质: (A是mn的矩阵)
(1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C) AB + AC
由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成 的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即

《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。

三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。

高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。

主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。

四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。

本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。

【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。

难点：向量间垂直、共线、共面的条件。

第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。