高等代数北大版教案-
第5章二次型
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
４８
第五章 二次型
§1 二次型的矩阵表示
一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示
二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性
替换和矩阵的合同.
三 教学重点：矩阵表示二次型
四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：
定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式
++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(
+++n n x x a x a 2222222 (2)
n nn x a + (3)
称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.
例如：2
3
322231212
13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.
定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n
n n
n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)
称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.
二次型的矩阵表示：
４９
令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为
++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(
++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+2
2211n nn n n n n x a x x a x x a +++
∑∑===n i n
j j i ij x x a 11
(5)
把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
112
11
它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以
A A ='.
我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.
令⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，
()n x x x AX X 2
1
='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n x x x 21
()⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221
122221
2112121112
1
∑∑===n
i n
j j i ij x x a 11.
５０
故 AX X x x x f n '=),,,(21 .
显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型
BX X AX X x x x f n '='=),,,(21
且 B B A A ='=',，则，B A = 线性替换的矩阵表示
令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n c c c
c c c
c c c C 2122221
11211,⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n c c c
c c c c c c
2
12222111211⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n y y y 21 或者CY X =.
显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.
设 AX X x x x f n '=),,,(21 ，A A ='， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换
CY X = (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y '.
现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有
AX X x x x f n '=),,,(21 ACY C Y CY A CY ''='=)()(BY Y Y AC C Y '=''=)(.
５１
容易看出，矩阵AC C '也是对称的，事实上，
AC C C A C AC C '=''''='')(.
由此，即得
AC C B '=.
定义2 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使
AC C B '=.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 (1)反身性 AE E A '=.
(2)对称性 由 AC C B '=，即得)()(11--'=C B C A .
(3)传递性 由111AC C A '=，2122C A C A '
=，即得
)()(21212C C A C C A '=.
因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
§2 标准形
一 授课内容：§2 标准形
二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.
四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.
