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第五章 二次型§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1) 称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij ji a a i j =<由于i j j i x x x x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个nn ⨯矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(2)它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ij ji a a i j n ==,所以A A =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n n n n n n n n ij i ji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x a x x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪+++ ⎪⎪ ⎪'=== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AX X x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX ''==,且B B A A ='=',,则B A =. 定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系 数行列式0≠ijc ,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。
高等代数二次型知识点一、知识概述《高等代数二次型知识点》①基本定义：二次型呢，简单说就是一个多元二次齐次多项式。
就好比有一堆变量（假设是x₁，x₂，x₃等），然后这些变量或者它们的乘积再乘以一些系数，组合起来的一个多项式，而且每一项都是二次的，像3x₁²+ 2x₁x₂+ 5x₂²这种。
②重要程度：在高等代数中可是相当重要的一块。
它就像是高楼大厦的一块重要基石一样，很多地方都会用到这个概念。
像研究矩阵的特征值、正定矩阵之类的，都和二次型有着千丝万缕的联系。
③前置知识：得先掌握好矩阵的相关知识，比如矩阵的乘法、秩这些概念。
向量空间的基础知识也很必要，因为二次型可以用矩阵来表示，而这个矩阵和向量空间里的向量是有联系的。
④应用价值：实际应用可多了。
在物理里，一个物体的能量表达式有时候可以用二次型表示。
在工程上，分析结构的稳定性之类的问题，二次型也能提供理论基础。
就像在建筑工程中，判断一个桥梁结构是否稳定，可能就需要通过建立二次型模型来分析。
二、知识体系①知识图谱：在高等代数这个学科里，二次型是矩阵理论与线性代数内容的延伸部分。
它和线性变换、特征值这些内容都同属一个知识体系的分支。
②关联知识：和很多知识点都有联系呢。
与矩阵的合同关系密切相关，因为二次型经过非退化线性替换后对应的矩阵是合同的。
和正定矩阵的关系也很紧密，正定矩阵可以用来判断二次型的一些性质。
③重难点分析：掌握难度点在于对二次型矩阵表示的理解，得能清楚地看出二次型就相当于一个矩阵。
还有就是二次型的标准形、规范形的转化过程有点复杂。
关键点就是要把二次型和矩阵之间的各种关系都梳理明白。
④考点分析：在考试里挺重要的。
考查方式可多样了，比如给个二次型，让你求它的矩阵，或者是把二次型化成标准形，也会考查正定二次型的判定这种比较难的知识点。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：二次型的准确含义就是前面说的多元二次齐次多项式，但是还可以用矩阵形式简洁地表达，例如二次型f(x₁,x₂)=x₁²+ 2x₁x₂+ x ₂²，它的矩阵表示是[1 1; 1 1]（这里用分号表示换行）。
第五讲二次型
一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述
数域F 上的n 元二次齐次函数称为数域F 上的n 元二次型。
有以下几种表述方式： （1）1211
(,,,)n n
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑；
（2）22
2
12111222(,,,)2n nn n ij i j i j
f x x x a x a x a x a x x <=++
++∑；
（3）12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中12(,,,)T n X x x x =，()ij n n A a ⨯=，且T A A =，并
称A 为二次型的矩阵。
2、矩阵合同 （1） 设,,n n
A B F
⨯∈若存在可逆矩阵n n T F ⨯∈，使T B T AT =，则称A B 与是合同的。
（2） 合同是矩阵间的一种等价关系。
（3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。
3、 标准形 （1） 二次型22
2
121122(,,
,)n n n f x x x d x d x d x =++
+称为标准形。
（2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。
（3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。
4、 复数域上二次型的规范形
（1） 复二次型22
2
121122(,,
,)n n n f x x x d x d x d x =++
+，其中1i d =或0，称为复
数域上的规范形。
（2） 任何复二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范
形22
21212(,,
,)n r f x x x y y y =++
+，其中r A =秩，且规范形是唯一的。
（3） 任何复对称矩阵A 都合同于对角阵000r
E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，其中r A =秩。
（4） 两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。
5、 实数域上二次型的规范形 （1） 实二次型22
2
121122(,,
,)n n n f x x x d x d x d x =++
+，其中1,1i d =-或0，称为
实数域上的规范形。
（2） 任何实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范
形22
22
212121(,,
,)n p p r f x x x y y y y y +=+++--
-，
其中r A =秩，p 是正惯性指数，且规范形是唯一的。
（3） 惯性定理 任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数
和负平方项的个数是唯一确定的，在实二次型的标准形
2
2
22
212112
211(,,
,)n p
p p q
p
q
f x x x b y b y b y c
y c y
++=+++
---(0,0,1,2,,;1,i j b c i p j q >>
==中，p 称为正惯性指数，q 称为负
惯性指数，p q -称为符号差，且p q A +=秩。
二、 正交阵、实对称阵的正交化标准形
1、 正交阵 （1）,,n n
T A R
A A E A ⨯∈=若则称为正交阵。
（2）正交阵的等价定义有：()n n ij n n A a R ⨯⨯=∈，
A 是正交阵11221,,
0,.i j i j in jn i j a a a a a a i j =⎧⇔++
+=⎨
≠⎩； A 是正交阵11221,,
0,.
i j i j ni nj i j a a a a a a i j =⎧⇔+++=⎨
≠⎩； A 是正交阵1T A A -⇔=。
（3）A 是正交阵，则11A =-或。
（4）A 是正交阵，则A 的特征值的模为1；如果正交阵A 有实特征值，则只能为1±。
（5）正交矩阵A 可以对角化，即存在复可逆矩阵T ，使1
1n A T T λλ-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，其中1,
,n λλ为A 的全部特征根，且1(1,
,)i i n λ==。
2、 施密特正交化方法： 设12,,
,()n n R ααα∈线性无关，
（1） 正交化：令11βα=， 11111111(,)
(,)
,(2,
,)(,)
(,)
k k k k k k k k k n αβαββαββββββ----=-
-
-
=；
（2） 单位化：令1
(1,2,
,)k k k
k n ηββ==；
（3） 令12(,,,)n A ηηη=，则A 为正交矩阵。
3、 实对称矩阵的标准形
（1） 实对称矩阵的特征值均为实数；
（2） 属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量必正交；
（3） ()T n n
A A R ⨯=∈，则存在正交矩阵T ，使得11T n T AT T AT λλ-⎛⎫ ⎪==
⎪ ⎪⎝
⎭。
（4） 任一实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则存在正交
变换X TY =，使22
2
121122(,,
,)n n n f x x x y y y λλλ=++
+，12,,,n λλλ是
A 的全部实特征值。
三、正定二次型 1、 正定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则下列条件都
是正定二次型的等价条件：
对任意实向量12(,,
,)0T
n C c c c =≠，都有12(,,
,)0T n f x x x C AC =>；
存在实可逆阵T ，使1T
n d T AT d ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
，其中0i d >，(1,2,,)i n =；
f 的正惯性指数与秩都等于n ；
A 的特征值全为正；
A 合同于E ；
A 的一切主子式都大于0； A 的一切顺序主子式都大于0。
（2） 当实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =是正定二次型时，称A 为正定阵，因此
上面这此条件也是正定阵的等价条件。
2、 负定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则下列条件都
是负定二次型的等价条件：
对任意实向量12(,,
,)0T
n C c c c =≠，都有12(,,
,)0T n f x x x C AC =<；
存在实可逆阵T ，使1T
n d T AT d ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
，其中0i d <，(1,2,,)i n =；
f 的负惯性指数与秩都等于n ；
A 的特征值全为负； A 合同于E -；
12(,,
,)()T n f x x x X A X -=-是正定二次型；
A 的一切奇数阶主子式都小于0，A 的一切偶数阶主子式都大于0；
A 的一切奇数阶顺序主子式都小于0，A 的一切偶数阶顺序主子式都大于0。
（2） 当实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =是负定二次型时，称A 为负定阵，因此
上面这此条件也是负定阵的等价条件。
3、 半正定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则下列条件
都是半正定二次型的等价条件：
对任意实向量12(,,
,)T
n C c c c =，都有12(,,
,)0T n f x x x C AC =≥；
存在实可逆阵T ，使1T
n d T AT d ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
，其中0i d ≥，(1,2,,)i n =；
f 的正惯性指数与秩相等；
A 的特征值全非负；
A 的一切主子式都非负；
存在实矩阵B ，使得T
A B B =。
（2） 当实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =是半正定二次型时，称A 为半正定阵，
因此上面这此条件也是半正定阵的等价条件。
4、半负定二次型，类似半正定二次型可以表述。
5、不定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，
若存在两个实向量12(,,
,)T
n C c c c =和12(,,
,)T n D d d d =，使得
12(,,
,)0T n f c c c C AC =>且12(,,,)0T n f d d d D AD =<。
则称12(,,
,)
n f x x x 为不定二次型。
（2）不定二次型的矩阵A 的特征值必有正有负。
