高等代数北大版教案-第5章二次型教学内容

高等代数北大版教案-第5章二次型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN４８第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(+++n n x x a x a 2222222 (2)n nn x a + (3)称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.例如：2332223121213423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：４９令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+22211n nn n n n n x a x x a x x a +++∑∑===n i nj j i ij x x a 11(5)把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以A A ='.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，()n x x x AX X 21='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121∑∑===ni nj j i ij x x a 11.５０故 AX X x x x f n '=),,,(21 .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且 B B A A ='=',，则，B A = 线性替换的矩阵表示令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c cc c c C 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y y 21 或者CY X =.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 AX X x x x f n '=),,,(21 ，A A ='， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换CY X = (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y '.现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有AX X x x x f n '=),,,(21 ACY C Y CY A CY ''='=)()(BY Y Y AC C Y '=''=)(.５１容易看出，矩阵AC C '也是对称的，事实上，AC C C A C AC C '=''''='')(.由此，即得AC C B '=.定义2 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使AC C B '=.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 (1)反身性 AE E A '=.(2)对称性 由 AC C B '=，即得)()(11--'=C B C A .(3)传递性 由111AC C A '=，2122C A C A '=，即得)()(21212C C A C C A '=.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形一 授课内容：§2 标准形二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.５２五 教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2222211n n x d x d x d +++ (1)II 讲授新课定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.2222211n n x d x d x d +++ =()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d00000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：作非退化的线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x５３则3213212121321)(2)(6))((2),,(y y y y y y y y y y x x x f ++---+=323122218422y y y y y y +--=322223231822)(2y y y y y y +---=再令 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311y z y z y y z 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311zy z y z z y则),,(321x x x f 233222212822z z z z z -+-=23232216)2(22z z z z +--=.最后令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==33322112z w z z w z w 或⎪⎩⎪⎨⎧=+==33322112wz w w z w z则 ),,(321x x x f 232221622w w w +-=是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011011321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321100210001100010101w w w ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w . 用矩阵的方法来解 例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=031301110A .取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000110111C ,则111AC C A '=５４⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031301110⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=042420202. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000101012C ，则2122C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---042420202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=240420002. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002100013C ，则3233C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--240420002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001 3A 是对角矩阵，因此令321C C C C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111311，就有AC C '⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=600020002.作非退化的线性替换CY X =即得),,(321x x x f 232221622y y y +-=.５５§3 唯一性一 授课内容：§3 唯一性二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别. 四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=经过非退化的线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w 得到标准形232221622w w w +-.而经过非退化的线性替换５６⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3100312111211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 就得到另一个标准形23222132212y y y +-. 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 对于复数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，),,,(21n x x x f 变为标准形，不妨设标准形为2222211r r y d y d y d +++ ，0≠i d ，r i ,,2,1 = (1)易知，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++nn r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (2) (1)就变为22221r z z z +++ (3) (3)称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使),,,(21n x x x f 变为标准形，2211p p y d y d ++ 2211r r p p y d y d ---++ (4)0>i d r i ,,2,1 = ，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++n n r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (5) (4)就变为221p z z ++ 221r p z z ---+ (6)(6)称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被p r ,这两个数所决定.定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型),,,(21n x x x f 的规范形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数，它们的差r p p r p -=--2)(称为),,,(21n x x x f 的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4 正定二次型一 授课内容：§4 正定二次型二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型. 四 教学难点：判别方法 五 教学过程：定义4 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .显然，二次型),,,(21n x x x f 221n x x ++=是正定的，因为只有在021====n c c c 时，221n c c ++ 才为零.一般的，实二次型),,,(21n x x x f 2222211n n x d x d x d +++=是正定的，当且仅当0>i d n i ,,2,1 =.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .定理5说明，正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为221n y y ++ (5)定义5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义6 子式iii i iii a a a a a a a a a P 212222111211=),,2,1(n i =称为矩阵nn ij a A )(=的顺序主子式.定理6 实二次型),,,(21n x x x f ∑∑===ni nj j i ij x x a 11AX X '=是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.例 判断二次型3231212322213214845),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=是否正定.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----524212425它的顺序主子式05> ，01225> ， 0524212425>---- 因之，),,(321x x x f 正定. 与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有0),,,(21<n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21≥n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的；如果都有0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的.对于半正定，我们有定理7 对于实二次型),,,(21n x x x f AX X '=，其中A 是实对称的，下面条件等价：(1)),,,(21n x x x f 是半正定的. (2)它的正惯性指数与秩相等. (3)有可逆实矩阵C ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AC C21，其中，0≥i d n i ,,2,1 =. (4)有实矩阵C 使C C A '=.(5)A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=212122211000),(x x x x x x x f 就是一个反例.。

第五章二次型§ 1二次型的矩阵表示授课内§ 1二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同.三教学重点：矩阵表示二次型四教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况• 五教学过程:定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2, ,x n 的二次齐次多项式称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为 二次型.例如： 2X1NX 2 3X 1X 3 2x 2 4X 2X 3 3X3就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设 X 1,X 2,x n， y 1, y 2,,y n 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式X1C 11 y 1 C 12 y 2Gn*X2C 21 y 1 C 22 y 2C 2n y n⑷XnC n1 y 1C n2 y 2C nn y n称为X 1,X 2 ,,X n到y 1,y 2, ,yn的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式C j 0，那么线性替换 ⑷ 就称为非退化的. 二次型的矩阵表示:f(X i ，X ,\ 2，Xn ) ai1X1 2a 12x 1x 22a 1n x 1x2 822X22a 2n X 2X n2a nn X n令 a ij a ji ，i j 由于 x i x j x j x i ,那么二次型(3) 就可以写为A A.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型 (5) 的矩阵都是对称的 .x 1x 2 2, 于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，x na 11 a 12 a 1n x 1 X AXx 1 x 2a 21 a 22a 2nx 2x na n1a n2a nn x na 11x 1 a 12 x 2a 1n x na 21x 1 a 22x 2 a 2n x nx 1 x 2x na n1x 1 a n2x 2a nn x nnna 21x 2x 1 f (x 1,x 2,a 22 x 22,x n )a 11x 1a 2n x 2x n a 12x 1x 2a 1n x 1 x n…+an1X n X1a n2x n x 2a nn x nna ij x i x j(5)j1把 (5) 的系数排成一个n 矩阵a 11 a 21 a 12 a 22a 1n a 2na n1 a n2a nn 它称为二次型(5)的矩阵.因为a jija ji， i,j1,2, ,n ，所以a ij x i x j.i 1 j 1f(x1,x2, ,x n) X AX .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的. 由此还能得到，若二次型f(x1,x2,,x n)X AX X BX且 A A,BB，则， A B线性替换的矩阵表示c11 c12c1n y1令C c21 c22c2n2n, Y y2,J那么，线性替换(4) 可以写成，c n1 c n2c nn y nx1 c11c12c1n y1x2 c21c22c2n y2x n c n1c n2c nn y n或者X CY.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设f(x1,x2, ,x n) XAX ， A A，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换X CY (8)得到一个y i, y2, , y n的二次型Y BY .现在来看矩阵B与矩阵A的关系把(8) 代入(7) 有f(x1,x2, ,x n) XAX (CY)A(CY) YCACY Y(CAC)Y YBY.容易看出，矩阵CAC也是对称的，事实上，(CAC) C AC C AC.由此，即得B CAC.定义2数域P上n n矩阵代B称为合同的，如果有数域P上可逆的n n矩阵C，使B CAC.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有(1) 反身性A EAE.(2) 对称性由B C AC ，即得A (C 1) B(C 1).(3) 传递性由A1 C1 AC1，A2 C2 A1C2 ，即得A2 (C1C2) A(C1C2). 因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§ 2 标准形一授课内容：§ 2 标准形二教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三教学重点：化普通的二次型为标准形.四教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2 2 2d1x12d2x22d n x n2(1)II 讲授新课定理 1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1) 的形式. 不难看出，二次型(1) 的.d100X1d20X22 2 2 0d1X1 d2X2 d n X n= X1 X2 X n00d n X n 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义二次型f (x1,x2, , x n )经过非退化的线性替换所变成的平方和称为f (x1,x2, ,X n)的一个标准形.f (x 1,x 2,x 3)而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，X 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0w 11 13w 1X 21 1 0 0 1 0 0 12 w 2 0 1 1 w2 X 30 0 1 0 0 1 0 0 1 w 30 0 1 w 3用矩阵的方法来解例 化二次型 为标准形 . 0 1 1解：fdvX z ’X s )的矩阵为A 10 313 0f (X 1,X 2,X 3)2X 1X 2 6X 2X 3 2X 1X 3为标准形 .解： 作非退化的线性替换X 1y 1 y 2X 2y 1 y 2X 3y则 f(X 1,X 2,X 3) 2(y 1 y 2)(y 1 y 2 ) 6(y 1 y 2)y 3 2(y 1 y 2)y 3 2y 122y 224y 1 y 3 8y 2y 3 2(y1y 3)22y 322y 228y 2y 3z 1 y 1y 3y 1z 1z 3再令z 2 y 2 或y 2 z 2z 3y 3y 3z 3则 f (X 1,X 2 ,X 3) 2z 122z 228z 2 z 32z 322z 122(z 2 2z 3)26z 32.w 1z 11 w 1最后令w 2 z 22z 3 或 z 2 w 2 2w 3例 化二次型w3 z 3z 3 w 3 2w 122w 226w 32是平方和，f (x 1,x 2,x 3)2x 1x 2 6x 2x 32x 1x 3110100C C 1C 2C 3001就有200C AC 02 0006作非退化的线性替换X CY 即得f(x 1,x 2,x 3) 2y 122y 226y 32.取 C 1 11 0 ,则 A 1 C 1 AC 11 1 0 0 1 11 10 11 0 1 031 10 0 01 1300011 0 1再取 C 2 0 1 0， 则 A 2C 2 A 1C 20 0 1101 2 4 0 0 0 1100再取 C 3 0 1 2 ，则 A 300110 01 02A 是对角矩阵，因此令0 2 0 0 1 0 0 0 0 2 4 0 1 21 04 20 0 1012 0011 0 02 0 2 1 0 1C 3A 2C 3§ 3 唯一性一授课内容：§ 3唯一性二教学目的：通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正（负）惯性指数，符号差•三教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别四教学难点：实二次型的唯一性五教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关•二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的•例二次型 f (X i, X2, X3)2X1X26X2X3 2 X1X3经过非退化的线性替换X i113w1X 2011w2X3001W3得到标准形2w：2w；6W3.而经过非退化的线性替换111X i2y1111X——y223X1y3003就得到另一个标准形约222y22 2 尹这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 .对于复数域的情形设f(X i ，X 2， ,X n )是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化 的线性替换后，f ( X 1, X 2 , ,X n )变为标准形，不妨设标准形为2 2d i y id 2『2d r Y r 2，d i0，i 1,2, ,r(易知，r 就是f (X i , X 2, ,X n )的矩阵的秩.‘因为复数总可以开平方,们再作一非退化的线性替换y i1「d 1z1Y r1 —drZr(2)y r 1Z r 1Y nZ n(1)就变为2Z12 Z2Z ； ⑶⑶称为复二次型f(X 1，X 2, ，Xn )的规范形 .显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替 换可以变为规范形，规范形是唯一的•定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为1的对角矩阵•从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相对于实数域的情形设f（X i，X2， ,X n）是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（%,X2，,X n）变为标准形，dy2d p y：d pi y：i d「y；⑷d i 0 i 1,2, ,r ，r就是f（x「X2, x）的矩阵的秩•因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换y ii --------- z i d iy ri—d「(5) y r i Z r iy n Z n（4）就变为2Z i 2 2Z p Z p2i Z r⑹⑹称为实二次型f（X i，X2， ,X n）的规范形•显然，规范形完全被r, p 这两个数所决定•定理4（惯性定理）任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3在实二次型f（X i，X2， ,X n）的规范形中，正平方项的个数p称为f （X i，X2，,X n）的正惯性指数，负平方项的个数r p称为f （X i ,X2, , X n）的负惯性指数，它们的差p （r p） 2 p r称为f （ X i ,X2 , , X n）的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数•§ 4 正定二次型一 授课内容： § 4 正定二次型二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握正定 （ 负定，半正定，半负 定，不定）二次型或矩阵 .（ 顺序）主子式的定义，掌握各种类型的判别法 . 三 教学重点： 正定二次型 . 四 教学难点： 判别方法 五 教学过程：定义4实二次型f （X 「X 2， ,X n ）称为正定的，如果对于任意一组不 全为零的实数C i ,C 2, ,C n 都有f （C i ，C 2， ,C n ） 0 .显然，二次型22f(X 1,X 2, ,X n ) X 1X n 是正定的，因为只有在 C 1 C 2C n时， C 12般的，实二次型f(X 1,X 2, ,X n ) d 1X 12d 2X 22是正定的，当且仅当 d i 0 i 1,2, ,n . 可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变 .定理5 n 元实二次型f （x i ，x 2， ,X n ）是正定的充分必要条件是它的 正惯性指数等于 n .定理5说明，正定二次型f （x 1,x 2,, x n ）的规范形为22 y 1y n （5）定义5实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型 XAX 正定. 因为二次型 （5）的矩阵是单位矩阵 E ，所以一个实对称矩阵是正定的，d n X n 2C2才为零.负定的；如果都有f (C 1, C 2 ,,C n ) 0，那么f (X 1, X 2,,X n )称为半正定的；当且仅当它与单位矩阵合同. 推论正定矩阵的行列式大于零 定义6是否正定.解：f (X i , X 2 , X 3 )的矩阵为它的顺序主子式因之，f(X i ，X 2，X 3)正定.与正定性平行，还有下面的概念5245 20 ，2 1 22 142 55 0 ，子式称为矩阵A 定理6a 11 a 21a i1a 12 a 22a i2(a j )nn 的顺序主子式.实二次型 a 1ia 2i a(i 1,2, ,n)f (X 1 , X 2 , ,X n ) na j X j X j X AXj 1是正定的充分必要条件为矩阵 例判断二次型A 的顺序主子式全大于零.f(X 1，X 2，X 3) 5x 12X 22X 34X 1X 2 8x 1x 3 4X 2X 3定义 7 设 f (X 1, X 2 ,, x n )是实二次型, 对于任意一组不全为零的实数C1,C2, ,C n，如果都有f(G,C2, ,C n) 0,那么f区兀，，冷)称为负定的；如果都有f (C1, C2 , ,C n) 0，那么f (X1, X2, ,X n )称为半正定的；如果都有 f(c 1,c 2, ,c n ) 0，那么 f (x 1,x 2, , x n )称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么 f (x 1,x 2, , x n )就称为不定的.对于半正定，我们有定理7对于实二次型f(X i ，X 2， ,X n ) X AX ，其中A 是实对称的, 面条件等价：(1) f (x 1,x 2, , x n )是半正定的. (2) 它的正惯性指数与秩相等(3) 有可逆实矩阵 C ，使d n(4) 有实矩阵C 使A CC.(5) A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5) 中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性 的.比如， f (x 1,x 2) x 22x 1 x 2 0 0 x1就是一个反例 .0 1 x 2CACd 1d 2，其中， d i 0 i 1,2, ,n .。

221221r p p u u u u ---+++L L 其中.r p ≤≤0现在证规范型的唯一性。

规范型中的r 等于f 的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p 也是唯一确定的就可以了。

设f 有两个规范型221221r p p u u u u ---+++L L 221221rq q v v v v ---+++L L 按命题2.2的推论，这表明在R 上n 维线性空间V 内存在一组基，使n 21ηηη，，，⋯当时n n u u ηηα++=L 11 =)(αf Q 221221rp p u u u u ---+++L L 在V 内又存在一组基，使当时，n 21ϖϖϖ，，，⋯n n v v ϖϖα++=L 11 =)(αf Q 221221r q q v v v v ---+++L L 现令M=L()，则当时，p ηη，，L 10,≠∈ααM (不全为零)。

p p u u ηηα++=L 11i u 于是。

又令N ＝L （）。

则当时，有=)(αf Q 0221>++p u u L n q ϖϖ,,1L +N ∈α nn q q v v ϖϖα++=++L 11于是。

这表明。

按维数公式，我们有=)(αf Q 0221≤---+r q v v L {}0=⋂N M )(dim dim )dim(dim q n p N M N M V n -+=+=+≥=这表明，即。

由于p ，q 地位对称，同理应有，于是p ＝q 。

0≤-q p q p ≤p q ≤第二学期第二次课2．正定二次型：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型；正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵；设A ＝（）为n 阶实对称矩阵，称A 的r 阶子式ij a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧r r A LL2121为方阵的顺序主子式。

定理 设是实二次型，则下述四条等价：f （i ） 正定；f （ii ） 的矩阵，其中为可逆阵；f T T A '=T（iii ） 对应的二次型函数R ;f ∈∀>αα(0)(f Q )0,≠αn（iv ）的矩阵的所有顺序主子式都大于0.f 证明 由命题2.2知（i ）与（ii ）等价。

第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。