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第五章 高等代数二次型

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高等代数 第5章二次型 5.4 恒正二次型

高等代数 第5章二次型 5.4 恒正二次型


4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 K 1) A(1,2,L ,k) M O
ak1 L
a1k M

Rkk
akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
a11 K a1k 2) Pk det A(1, 2,L , k) M O M
ak1 L akk
其中，c j


cis , 0,
当 j is , s 1, 2,L ,k 当 j is , s 1, 2,L , k
由于 A 正定，有 f ( x1, x2 ,K , xn ) X AX 正定，即有 X0 AX0 0, 从而， g(ci1 ,ci2 ,L ,cik ) f (0,L ,0,ci1 ,0,L ,ci2 ,0,L ,cik ,0,L ,0)

1
0,
P3 A 0.
f 正定.
n
2) f ( x1, x2,K , xn ) xi2
xi x j
i 1
1i jn
（习题7）

1
1
1 L
2
1
2 1

解： f ( x1, x2 ,K , xn )的矩阵
A


2 L 1
1
L 1
L L L
2 L
由2), f 正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
5）正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 的标准形为 d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , i 0, i 1, 2,L , n 规范形为
z12 z22 L zn2 .
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4


从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2


2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1
高等代数.第五章.二次型.课堂笔记

高等代数.第五章.二次型.课堂笔记


������1 ������2 ，取X = ( ⋮ ,， ������������ (5)
则(4)可表示为矩阵形式： ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X′AX 称(5)中的矩阵Α为二次型f(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )的矩阵. 由定义：A = A′，这样的矩阵称为对称矩阵. 例 1.求下列二次型的矩阵： 2 2 2 2 (1) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������1 + 2������2 + 3������3 + 4������4 + ������1 ������3 + ������2 ������4 ������1 1 0 ������2 ′ (2) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X BX，X = (������ )，其中B = (0 2 0 0 3 ������4 0 0
2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + 2������12 ������1 ������2 + ⋯ + 2������1������ ������1 ������������ 2 +������22 ������2 + 2������23 ������2 ������3 + ⋯ + 2������2������ ������2 ������������ 2 + ⋯ + ������������������ ������������ 称(3)为一个 n 元二次型. 令������������������ = ������������������ (������ ≤ ������ ≠ ������ ≤ ������)，(3)可表示为以下对称形式 ： ．．．． 2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + ������12 ������1 ������2 + ������13 ������1 ������3 + ⋯ + ������1������ ������1 ������������ 2 +������21 ������2 ������1 + ������22 ������2 + ������23 ������2 ������3 + ⋯ + ������2������ ������2 ������������ 2 +������31 ������3 ������1 + ������32 ������3 ������2 + ������33 ������3 + ⋯ + ������3������ ������3 ������������ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 +������������1 ������������ ������1 + ������������2 ������������ ������2 + ������������3 ������������ ������3 + ⋯ + ������������������ ������������
高等代数讲义ppt第五章二次型

高等代数讲义ppt第五章二次型

顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
大学高等代数二次型试题

大学高等代数二次型试题

第五章 二次型§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1) 称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij ji a a i j =<由于i j j i x x x x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个nn ⨯矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(2)它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ij ji a a i j n ==,所以A A =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n n n n n n n n ij i ji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x a x x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪+++ ⎪⎪ ⎪'=== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AX X x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX ''==,且B B A A ='=',,则B A =. 定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系 数行列式0≠ijc ,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。

第五章 二次型

第五章 二次型


= ∑∑ aij xi x j
i =1 j = 1
n
n
③
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
a11 a21 令 A= L a n1
a12 a22 L an 2
... ... L ...
a1n a2 n ( A ∈ p n×n ) L ann
则矩阵A称为二次型 f ( x1 , x2 ,L , xn ) 的矩阵. 定义4 因为aij=aji，i,j ＝1,2,…,n，所以 A′ = A ， 这样的矩阵称为对称矩阵。
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
含有x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
写成 2aij . 2) 式① 也可写成
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ∑ aii xi2 + 2
i =1
n
1≤ i < j ≤ n
∑
aij xi x j
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2 定义 x1 , x2 ,L , xn ; y1 , y2 ,L , yn 是两组文字,系数在P 中的一组关系式
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例3
证明：矩阵A与B合同，其中 λi1 λ1 λ i2 λ2 A= , , B = O O λn λ in
扬大高等代数北大三版-第五章二次型

扬大高等代数北大三版-第五章二次型

扬大高等代数北大三 版-第五章二次型
目录
CONTENTS
• 引言 • 二次型的定义与性质 • 二次型的分类与判别式 • 二次型与矩阵的等价关系 • 二次型与线性变换的关系 • 特殊二次型与正定二次型
01
引言
背景介绍
二次型是代数学的一个重要分支，它在几何、物理和工程等领域有广泛的应用。
二次型的研究起源于二次方程的求解问题，后来逐渐发展成为一个独立的数学领域。
正定二次型的定义与性质
正定二次型的定义
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有f(x)>0的二次型，其中f(x)是x的二次齐次函 数。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些重要的性质，如正定性、对称性、可微性等，这些性质在解决数学 问题时具有重要的作用。
正定二次型的应用
在数学物理中的应用
正定二次型在数学物理中有广泛的应用 ，如在量子力学、统计力学等领域中， 正定二次型可以用来描述粒子的能量和 动量等物理量。
线性变换与二次型的关系
二次型：一个多项式函数，可以表示为向量空间中向量的内积的线性组合， 其中每个内积项都是两个向量的二次方。
二次型可以通过线性变换转换为标准形式，即一个只包含平方项的多项式。
线性变换可以将二次型转换为标准形式，从而简化二次型的计算和分析。
线性变换的应用
01
02
03
在几何学中，线性变换可以用来 研究几何图形的形状和大小的变 化。
实对称矩阵是满足$A^T = A$的矩阵，其中 $A^T$是矩阵A的转置。
二次型可以通过线性变换转换为矩 阵形式，即$f(x_1, x_2, ..., x_n) = X^T A X$，其中$X$是列向量， $A$是实对称矩阵。
03
高等代数二次型知识点

高等代数二次型知识点

高等代数二次型知识点一、知识概述《高等代数二次型知识点》①基本定义：二次型呢，简单说就是一个多元二次齐次多项式。

就好比有一堆变量（假设是x₁，x₂，x₃等），然后这些变量或者它们的乘积再乘以一些系数，组合起来的一个多项式，而且每一项都是二次的，像3x₁²+ 2x₁x₂+ 5x₂²这种。

②重要程度：在高等代数中可是相当重要的一块。

它就像是高楼大厦的一块重要基石一样，很多地方都会用到这个概念。

像研究矩阵的特征值、正定矩阵之类的，都和二次型有着千丝万缕的联系。

③前置知识：得先掌握好矩阵的相关知识，比如矩阵的乘法、秩这些概念。

向量空间的基础知识也很必要，因为二次型可以用矩阵来表示，而这个矩阵和向量空间里的向量是有联系的。

④应用价值：实际应用可多了。

在物理里，一个物体的能量表达式有时候可以用二次型表示。

在工程上，分析结构的稳定性之类的问题，二次型也能提供理论基础。

就像在建筑工程中，判断一个桥梁结构是否稳定，可能就需要通过建立二次型模型来分析。

二、知识体系①知识图谱：在高等代数这个学科里，二次型是矩阵理论与线性代数内容的延伸部分。

它和线性变换、特征值这些内容都同属一个知识体系的分支。

②关联知识：和很多知识点都有联系呢。

与矩阵的合同关系密切相关，因为二次型经过非退化线性替换后对应的矩阵是合同的。

和正定矩阵的关系也很紧密，正定矩阵可以用来判断二次型的一些性质。

③重难点分析：掌握难度点在于对二次型矩阵表示的理解，得能清楚地看出二次型就相当于一个矩阵。

还有就是二次型的标准形、规范形的转化过程有点复杂。

关键点就是要把二次型和矩阵之间的各种关系都梳理明白。

④考点分析：在考试里挺重要的。

考查方式可多样了，比如给个二次型，让你求它的矩阵，或者是把二次型化成标准形，也会考查正定二次型的判定这种比较难的知识点。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：二次型的准确含义就是前面说的多元二次齐次多项式，但是还可以用矩阵形式简洁地表达，例如二次型f(x₁,x₂)=x₁²+ 2x₁x₂+ x ₂²，它的矩阵表示是[1 1; 1 1]（这里用分号表示换行）。

高等代数 第5章二次型 5.3 二次型的惯性定理

高等代数 第5章二次型 5.3 二次型的惯性定理


n sij x j , i 1,2, , p j 1 （ 6） n t x , i p 1, , n ij j j 1 因为 p p , 所以 p n p n, 因此，方程组 （6）在R内有非零解. 令 (c1 , c2 ,, cn ) 是（6）的 一个非零解. 把这一组值代入 yi 和 zi 的表示式
个. 对于每一个 C r , p ，就有一个典范形式
2 x1

2 xp

2 x p 1

2 xr
与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在 一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成
1 ( n 1)( n 2) 类，属于同一类的二次彼此等价， 2
属于不同类的二次互不等价.
sij x j ,
t ij x j ,
j 1
n
i 1,2, , n
i 1,2, , n
（ 5） z i
j 1 n
化为所给的二次型
妨设 p p , 考虑 方程组
aij xi x j , 如果 p p , 不
i 1 j 1
n
n
p n p 个方程的齐次线性
合同. 由此推出 A2和 A1合同，从而 q2与 q1等价. 推论 9.2.6 实数域 R 上一切n元二次型可以分成 1 ( n 1)( n 2) 类，属于同一类的二次型彼此等价， 2 属于不同类的二次型互不等价.
证 给定 0 r n和0 p r . 令
Cr , p
Ip O O
c1 P AP 0
c2 cr
0 0 0 d1 d2 QBQ dr 0
高等代数第5章二次型

高等代数第5章二次型

则2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x j x i ,
于是
f a11 x a12 x1 x 2 a1n x1 x n
2 1
a 21 x 2 x1 a 22 x a 2 n x 2 x n
2 2
... an1 xn x1 an 2 xn x2 ann x
5.1.
二次型及其矩阵表示
5.1.1 二次型的定义及表示
系数在数域P中,含有n个未知量的二次齐次多项式
f x1 , x2 , , xn
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 x n 2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
拉格朗日配方法若二次型含有的平方项则先把含有的乘积项集中然后配方再对其余的变量同样进行直到都配成平方项为止经过非退化线若二次型中不含有平方项但是则先作可逆线性替换化二次型为含有平方项的二次型然后再按1中方法配方
第5章
二次型
5.1 5.2 5.3 5.4
二次型及其矩阵表示 二次型的标准形 惯性定理和规范形 实二次型的正定性
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性 替换，就得到标准形； 2. 若二次型中不含有平方项，但是 a ij 0 ( i j ),则先作可逆线性替换 x i yi y j k 1,2,, n且k i , j x j yi y j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方。
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3

高等代数北大版二次型5


x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
j1
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j1
j1
n
xn anj x j
j1
n
n
nn
( xi aij x j )
注 1）③或④为非退化旳
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替代，则有非退化
线性替代 Y C 1X .
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
3、二次型经过非退化线性替代仍为二次型
实际上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替代.
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
例2 解析几何中旳坐标轴按逆时针方向旋转解角度
y
.
y
x
0
x
即变换
x
y
x cos y sin x sin y cos
它是非退化旳.
∵系数行列式
cos sin
sin cos
1.
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
注意: 1）二次型旳矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它旳矩阵相互唯一拟定，即
若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B. （这表白在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型

湖州师范学院高等代数第五章 二次型


bij xi x j
j2
i2 j2
nn
n
nn
这里，
bij xi x j a111( a1 j x j )2
aij xi x j
i2 j2
j2
i2 j2
是一个. x2 , x3 ,L , xn 的n－1元二次型.

y1 x1
n
a111a1 j x j
又 B (CAC ) CAC CAC B
即，B为对称矩阵.
Y BY g( y1, y2 ,..., yn )是一个 y1, y2 ,L , yn 二次型.
三、矩阵的合同
1、定义：设 A, B Pnn，若存在可逆矩阵
C Pnn , 使 B CAC ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有
j 1
j 1
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
注
1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B. （这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
c12 y2 L LLLL cn2 y2 L

L
c1n yn L cnn yn
③
称为由 x1, x2 ,L , xn到y1, y2 ,L , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.

高等代数第5章二次型


f (x1, x2 , x3 ) = −4x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3
的标准形为
且非退化线性替换为
f
=
− y12
+
4
y
2 2
+ 3y32 ，
⎧ ⎪
x1
⎪
=
1 2
y1
+
y2
+
1 2
y3
⎪ ⎨
x
2
⎪
=
1 2
y1
−
y2
+
1 2
y3
，
⎪x3 = y3 ⎪⎩
（1） 在实数域上，若作非退化线性替换
w2
−
3 4
w3
+
w4
，
⎪ ⎪⎩x4
=
−1 2
w1
+
w4
⎜⎛ 1 − 5 − 3 1⎟⎞
⎜2 4 4 ⎟
T
=
⎜ ⎜
0 0
1 1 0⎟ ， 1 −1 0⎟
⎜ ⎜⎝ −
1 2
0
⎟ 0 1⎟⎠
且有
⎜⎛ − 2 0 0 0⎟⎞
T ′AT
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
0 −2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
。
( ) （5）已知 f x1, x2 , x3 , x4 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ，
于是可令
=
(x1
+
2x2
+
2x3

高等代数 讲义 第五章


③
称为由 x1, x2 ,L, xn到y1, y2 ,L, yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 θ
y
.
y′
x′
θ
0
x
即变换
⎧x =
⎨ ⎩
y
=
x′ cosθ − y′ sinθ x′ sinθ + y′ cosθ
aij xi x j
i =1
1≤i< j≤n
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 f ( x1, x2 ,L, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + LL + a1n x1 xn
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + L + a2n x2 xn
⇒ B′ = (C′AC )′ = C′A′C = C′AC = B
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若A′ = A, B′ = B,
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
⇔ A与B合同.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 证明：矩阵A与B合同，其中
⎛ λ1
f = ax2 + 2bxy + cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{x = x′cosθ − y′sinθ y = x′cosθ + y′sinθ
f = a′x′2 + c′y′2

高等代数 第5章二次型 5.5 实二次型的分类与应用


, xn )
f ( x1 , x2 ,
实对称矩阵A正定 2）实二次型
, xn )负定；
－A负定.

半正定 f ( x1 , x2 , , x n )
f ( x1 , x2 ,
实对称矩阵A半正定
, xn )半负定；
－A半负定.

3） 设n元实二次型 nn f ( x , x , , x ) X AX , A A R , 定 1 2 n 理 则下列有条件等价： 7 ① f ( x1 , x2 , , xn ) 半正定 ； ( 或 A半正定； )
② 秩
f = 秩(A) = p（正惯性指数）；
, d i 0, i 1,2, dn
（习题14）
③ A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使
d1 C AC
,n
nn C R ④ 存在 ，使 A C C ;
由此可得， A半正定 A 0
⑤ A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9）
实二次型的分类与应用
1．定义
设n元二次型
f ( x1 , x2 ,
nn , xn ) X AX , A A R ,
若对任意一组不全为零的实数 ① ② ③ ④
c1 , c2 ,
, cn , 都有
f (c1 , c2 ,
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(c1 , c2 , f (c1 , c2 ,
负定二次型 f . ,则 cn )称为 0,
f . , cn ) 0 半正定二次型 ，则 称为
，则 ,c
n
) 称为 0半负定二次型 f .
称为
f既不是半正定，也不是半负定，则
f

高代-二次型

第五章 二次型练习与测试题一、填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为 ，秩为 __ ，正惯性指数为 ，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同： .二、判断题1、 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.（ ）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ ）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ ）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ ）7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ ）三、计算1．用可逆线性替换将二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f 的正惯性指数与符号差．2．求二次型3231213212),,(x x x x x x x x x f -+=的标准形，并写出所作的非退化线性代换.四、证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2、实二次型1211(,,,),()n nn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)nnij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数自测题一、填空题(每小题3分,共15分)1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为 ．2．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为 类．3．两个n 元实二次型等价的充分必要条件是 ． 4．A 正定⇔ ．⇔ ． ⇔ ．5．某四元二次型有标准形24232221432y y y y ++-，则其规范形为 ． 二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由．每小题5分，共20分）1．n 元实二次型Ax x x x x f n '21),,,(= 的符号差与秩有相同的奇偶性． 2．n 阶实对称矩阵A 若满足0||>A ，则A 正定． 3．A 为n 阶复对称矩阵，则A 与A -合同．4．设A ，B 分别是n m ,阶正定矩阵，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00也是正定矩阵．三、计算题（每小题15分，共45分）1．用可逆线性替换将二次型323121321),,(x x x x x x x x x f ++=化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f 的正惯性指数与符号差．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ．矩阵2)(A kI B +=其中k 为实数，I 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．3．已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过非退化线性变换化为标准形23222152y y y f ++=，求a 的值及所作的线性变换．四、证明题（每小题10分，共20分）1．A 为实对称矩阵，B 为对称正定矩阵，证明：存在可逆矩阵T ，使AT T '为对角形，I BT T ='．2．设A 为3级实对称矩阵，且O I A A A =-+-35323，证明A 为正定矩阵．小测验五 姓名 学号一、填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数为 ，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同：， ， ， ，， ， ， ，， .二、判断题2、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使CAC B '=，则A 与B 合同. （ ）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ ）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ ）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ ）7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ ）三、求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.四、证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2、实二次型1211(,,,),()nnn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)n nij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数。

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a1n x1 a2 n x2 , x x ann n
其中 aij=aji，i，j=1，2，…，n，则二次型可用矩阵的乘积表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xAx
其中 A 称为该二次型的矩阵，A 的秩称为该二次型的秩。
二次型
n
§1 二次型及其矩阵表示
若在 n 元二次型中令 aij=aji，由于 xi xj=xj xi，则二次型可表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
n
若记
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
二次型
§2 标准型
§2 标准型
用配方法化二次型为标准型
定理：数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为 标准型。
用合同法化二次型为标准型
定理：数域 P 上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。
行列式
例题 1、 化下列二次型为标准型
§1 n阶行列式的定义
（1）
（2）
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x2 8x2 x3 5x3
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。 问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1 , c2 ,, cn 都有 f (c1 , c2 ,, cn ) 0 。
做线性替换
x1 1 1 3 w1 x2 1 1 1 w2 x 0 0 1 w 3 3
得到标准型
2 2 2w12 2w2 6w3
二次型
进一步做替换
§3 唯一性
1 0 w 1 1 w 0 2 2 w 3 0 0
2 2 2 定理：实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) d1 x1 是正定二次型 d2 x2 dn xn
的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。 定理：非退化的线性替换不改变二次型的正定性。 定义：n 元实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 正定的充要条件是它的正惯性指数 为n。
因此，经过非退化的线性替换后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是
合同的。故可通过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。
二次型
合同是矩阵之间的一种等价关系，具有： 反身性：矩阵 A 与自己合同；
§1 二次型及其矩阵表示
对称性：若矩阵 A 与 B 合同，则矩阵 B 与 A 合同； 传递性：若矩阵 A 与 B 合同，矩阵 B 与 C 合同，则 A 与 C 合同； 合同的基本性质： 性质1：对称矩阵只能与对称矩阵合同。 性质2：合同矩阵具有相同的秩。 问题：使得矩阵 A 和 B 合同的可逆矩阵 C ，是否唯一？
问题：二次型经过非退化线性替换后是否仍为二次型？ 定理：二次型经过非退化线性替换后仍为二次型。 问题：二次型的矩阵经过非退化线性替换后会发生怎样的变化？具有
怎样的关系呢？
定义：设 A，B 是数域 P 上的两个 n 阶方阵，若在数域 P 上存在可逆
的 n 阶方阵 C ，使得
B C AC ,
则称矩阵 A 和 B 是合同的。
2 z12 z2 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
§3 唯一性
1 1 0 0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
2 1 3、 写出二次型 f ( x1 , x2 ) x 3 1 x 的矩阵。
二次型 二次型的线性替换
定义：系数在数域 P 中的一组关系式：
§1 二次型及其矩阵表示
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
f (c1, c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是半正定的。
f (c1, c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是负定的。
f (c1, c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是半负定的。 f (c1 , c2 ,, cn ) 不确定，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是不定的。
§4 正定二次型
(2) 若 B 是 n×m 阶实矩阵，且 B 是列满秩的，则 B'AB 也是正定的。
二次型 二次型的分类
§4 正定二次型
定义：设实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) ，若对于任意一组不全为零的实数
c1, c2 ,, cn 都有
(1)
(2) (3) (4) (5)
f (c1 , c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是正定的。
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a2n x2 xn a nn xn
2
称为数域 P 上的一个n元二次型，简称为二次型。 注意： (1) 二次型就是 n 元二次齐次多项式； (2) 交叉项的系数采用2aij，主要是为了矩阵表示的方便。
§1 n阶行列式的定义
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x2 3x2 x3 7 x3
2、 写出下列对称矩阵的二次型
0 0 1 （1） 0 1 0 1 0 0
1 1 2 （2） 1 2 3 2 3 3
2 x x 2 y 2 x 2
2 y, 2 2 y, 2
在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：
x 2 y 2 1 4 9
二次型
§1 二次型及其矩阵表示
§1 二次型及其矩阵表示
二次型的概念及其矩阵表示
定义：一个系数在数域 P 上的 x1，x2，…，xn 的二次齐次多项式
二次型果实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xAx 是正定的，则称实对称矩阵 A 为正定矩阵。 定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是它与单位矩阵合同。 定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是存在非奇异矩阵 C，使得 A=C'C 推论：正定矩阵的行列式大于零。 推论：正定矩阵是可逆的，且其逆矩阵仍为正定矩阵。
二次型
§1 二次型及其矩阵表示
对于二次型的矩阵表示方法，需注意如下几点： (1) 由于 aij=aji，故 A 为对称矩阵； (2) 矩阵 A 中 aii 为 xi2 项的系数，aij 为交叉项 xi xj 系数的一半； (3) n 元二次型 f
一一对应
n 阶对称矩阵 A
定义：一个只含有平方项的 n 元二次型
二次型
直接利用矩阵的元素来判断它的正定性。 定义：n 阶实对称矩阵 A=(aij) 的左上角的 k 阶子式
§4 正定二次型
a11 a21 ak 1
a12
a1k
a22 a2 k , k 1, 2, , n ak 2 akk
称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子式。 定理：实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xAx 正定的充要条件是矩阵 A 的各阶
二次型
第五章 二次型
二次型
二次型就是二次齐次多项式。 在解析几何中讨论的有心二次曲线， 当中心与坐标原点重合时，其一般方程为：
ax2 2bxy cy2 f
方程的右端就是关于 x，y 的一个二次齐次多项式。为了便于研究 这个二次曲线的几何性质，通过选取合适的角度θ，把坐标轴作逆 时针旋转，则相应的坐标变换为：
x x cos y sin y x sin y cos
在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：
ax2 cy2 f
这是一个只含有平方项的标准方程。
二次型
考察方程：
13 2 10 13 2 x xy y 1 72 72 72
该方程表示 xy 平面上怎样的一条二次曲线？ 将 xy 坐标系逆时针旋转 π/4 ,即令
得到另一个标准型
0 y1 0 y2 1 y3 3
1 2 2 2 2 y y 2 y3 2 3
2 1
合同不改变矩阵的秩。
共同点：标准型中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的。
二次型 复数域上的二次型
§3 唯一性
定理：任意一个秩为 r 的复系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性 替换化为复规范型：
2 2 f ( x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x2 dn xn
称为标准二次型，或标准型。 n 元标准二次型 f 一一对应 n 阶对角矩阵
行列式
例题 1、 写出下列二次型的矩阵 （1） （2）
2 f ( x1 , x2 ) 2 x12 6x1 x2 5x2
二次型 实数域上的二次型
§3 唯一性
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性 替换化为实规范型：
2 2 2 z12 z2 z 2 z z p p1 r