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有限差分方法基础

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有限差分法

有限差分法

有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。

是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。

把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。

因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。

前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。

只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。

另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。

此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

《有限差分方法基础》课件

《有限差分方法基础》课件
应用前景
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。

有限差分法的原理与计算步骤

有限差分法的原理与计算步骤

有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。

其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。

该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。

二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。

通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。

2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。

一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。

3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。

根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。

4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。

求解得到各个离散点的解。

5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。

将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。

三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。

2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。

3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。

然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。

2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。

3第二章有限差分方法基础解读

3第二章有限差分方法基础解读

3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。

它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。

有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。

差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。

差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。

差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。

在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。

其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。

这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。

有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。

一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。

对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。

缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。

因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。

有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。

时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。

时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。

一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。

因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。

廖敦明《有限差分法基础》第2章 数值模拟方法概述

廖敦明《有限差分法基础》第2章 数值模拟方法概述

第二节 数值分析方法（4/6）- 有限元法/FEM
有限元法又可分为位移法、利用余位进行变化的方法和用混合积分的混 合法三种。 有限元法的位移法，其实质就是将求解区域划分为有限个单元，通过 构造插值函数，把问题化为一个变分问题（即求泛函数值的问题），经过 离散化得到计算格式，利用计算格式来求解相应问题。变分法证明求解某 些微分方程的问题等效于将泛函数的相关量进行最小化。如果相关于因变 量的节点值使泛函数最小，那么所得到的条件表达式就是所需要的离散化 方程。也就是说，求解一个微分方程边值问题就可以通过寻找某一变分问 题的极值函数来解决。有限元解题的基本过程: 对一个具体的工程应用分析， 在确定了分析计算的基本方案后，就可以按建模（即建立几何模型）、分 网（即建立有限元模型）、加载（即给定边界条件）、求解（有限元求解） 和后处理（即计算结果的可视化）等几个步骤实施分析计算。
新进展-热应力模拟及热裂纹预测
(华铸课题组成果) -热应力模拟及热裂纹预测
FEM热应力模拟
行星架铸件
裂纹
热裂倾 向较大
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
数控机床横梁铸件长约11米，重约 30吨，最薄壁厚只有30毫米。
铸造成形模拟仿ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ技术
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
横梁铸件等效应变分布及变形情况（变形放大 10倍）
《有限差分法基础》讲义
第2章 数值模拟方法概述
廖敦明 华中科技大学
18071121688, 87558134 liaodunming@
华中科技大学材料学院华铸软件中心 材料成形与模具技术国家重点实验室
第一节 研究目的与研究内容（1/13） 1．研究目的 数值模拟(CAE)技术是通过建立能够准确描述研究 对象某一过程的数学模型，采用合适可行的求解方法， 使得在计算机上模拟仿真出研究对象的特定过程，分析 有关影响因素，预测这一特定过程的可能趋势与结果。 材料成形数值模拟CAE技术最终的研究目的是在计 算机虚拟的环境下，通过交互方式，能够制定合理的工 艺，而不需要或少做现场试生产。从而可以大幅度缩短 新产品开发周期，降低废品率，提高经济效益。

有限差分法

有限差分法

两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

有限差分法

有限差分法

有限差分法有限差分法（Finite Differential Method, FDM ）什么是有限差分法 有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。

按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。

有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。

将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。

（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。

（3）求解差分方程组。

采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。

(1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻和股票价格，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。

2.建立差分格式（1）内含的有限差分方法其步骤可分为以下几步：(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3)将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即(4)(2)求用前向差分近似：(5)(3)求(6)(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：+ b j f i,j−c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7)aj f i,j− 1其中：i=0,1,…，N-1。

j=0,1…，M-1针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：看跌期权：看涨期权：(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：+ b j f N− 1,j + c j f N− 1,j + 1j=1,2…，M-1aj f N− 1,j− 1求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。

matlab有限差分法

matlab有限差分法

matlab有限差分法一、前言Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的计算机软件，它具有简单易学、功能强大、易于编程等优点。

有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值解法，它将微分方程转化为差分方程，通过对差分方程进行离散化求解，得到微分方程的数值解。

本文将介绍如何使用Matlab实现有限差分法。

二、有限差分法基础1. 有限差分法原理有限差分法是一种通过将微分方程转化为离散形式来求解微分方程的数值方法。

其基本思想是将求解区域进行网格划分，然后在每个网格点上进行逼近。

假设要求解一个二阶常微分方程：$$y''(x)=f(x,y(x),y'(x))$$则可以将其转化为离散形式：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$其中$h$为网格步长，$y_i$表示在$x_i$处的函数值。

2. 一维情况下的有限差分法对于一维情况下的常微分方程：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=f(x,y,y')$$可以使用中心差分法进行离散化：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$这个方程可以写成矩阵形式：$$A\vec{y}=\vec{b}$$其中$A$为系数矩阵，$\vec{y}$为函数值向量，$\vec{b}$为右端项向量。

三、Matlab实现有限差分法1. 一维情况下的有限差分法假设要求解的方程为：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=-\sin(x)$$首先需要确定求解区域和网格步长。

在本例中，我们将求解区域设为$[0,2\pi]$，网格步长$h=0.01$。

则可以通过以下代码生成网格：```matlabx = 0:0.01:2*pi;```接下来需要构造系数矩阵和右端项向量。

根据上面的公式，系数矩阵应该是一个三对角矩阵，可以通过以下代码生成：```matlabn = length(x)-2;A = spdiags([-ones(n,1), 2*ones(n,1), -ones(n,1)], [-1 0 1], n, n); ```其中`spdiags`函数用于生成一个稀疏矩阵。

第二章有限差分基础

第二章有限差分基础

第⼆章有限差分基础第2章有限差分基础（finite difference method ，FDM ）1.1 偏微分⽅程的⼀般形式()()φφφρρφq x x x u t j j j j +Γ=+ （ 2-1 ） 2.1 ⽹格划分⼀般有限差分采⽤结构化⽹格划分。

即节点对应于当地坐标系统的原点。

它的轴同⽹格线⼀致。

即两个同⼀族的⽹格线不相交，且没对⽹格线对应不同的族。

每⼀个节点可⽤唯⼀的⼀个坐标表⽰，如（ξ1, ξ2）。

⽹格线能⽤ξ1＝const, ξ2＝const 表⽰。

1D 2D有限差分法就是要将节点上的偏微分⽅程⽤相邻点上的值表⽰，变成线性代数⽅程式。

i-1ii+1N1 N jj+1 j-1j 11i-1 i i+1为流体⼒学的微分⽅程的数值求解⽅法之代表。

必要条件：连续领域内的分配有限的⽹格领域内的函数分布可⽤⽹格点上的值代表1. 计算分⼦（computational molecule ）5点计算分⼦ 15点计算分⼦ 7点计算分⼦这些节点⼜称为计算分⼦。

⽅程的个数应与未知数相同，即每个节点有⼀个⽅程式。

EWNET N2. T aylor 展开例如：⼀维时间变量φ的理论解为φ(t,x)，它在离散点上的值为投影（projection ）的近似值为：()x i t n ?Λ,φ,n: 时间的step 数i:空间的step 数为了求得此近似解，需对微分⽅程进⾏差分近似。

利⽤T aylor 展开可得到⼏个差分表⽰形式，仅考虑空间依存问题：在?x 很⼩时，位置j ?x 内的物理量φ⽤φj 来表⽰，则位置(j+1)?x 上的值φj+1表⽰为：()+++=+ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-2 ）(j-1)?x 上的值φj+1表⽰为：()++-=-ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-3 ） 2.2 基本差分格式1. ⼀阶导数（first derivative ）的近似()xu orxφρφ（ 2-4 ） i. 向前差分(forward difference ，FDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向前差分形式:)(1x O xx j j j ?+?-=??+φφφ（ 2-5 ） ii. 向后差分(backward difference ，BDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向后差分形式)(1x O xx j j j ?+?-=??-φφφ（ 2-6 ） iii. 中⼼差分（central difference ，CDS ）(1)-(2) 得1阶微分的2 次精度中⼼差分法：)(2211x O xx j j j ?+?-=??-+φφφ（ 2-7 ） iv. 上风法、迎风法（upwind difference, UDS ）与速度有关的微分()<-->--≈??++--;0if,;0if ,1111u x x u u x x u x u ii i i i i i i φφρφφρφρ（ 2-8 ）2. ⼆阶导数的近似i. 中⼼差分（central difference ，CDS ）利⽤（j ±1/2）?x 的T ayor 展开，可得过且1阶微分的2次精度的向前向后差分形式：11112121---+++--=??--=??i i i i i ii ii i x x x x x x φφφφφφ（ 2-9 ）将上⼆式相减，得2阶微分的差分⽅程式中⼼差分：(?x 相当))(2221122x O xx i i i i ?+?+-=??-+φφφφ（ 2-10 ）其它还有各种形式。

有限差分法基本原理

有限差分法基本原理
该方法基于差分原理，即用离散点的 差商来代替微商，将微分方程转化为 差分方程，以便于通过代数方法求解。
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。

有限元与有限差分法基础

有限元与有限差分法基础
12
1.连续体离散化
•
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。
•
离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划
分为有限
• 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元， 相邻两个
• 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
•
相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单
元之间传
• 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫 （Clough，R.W.）在一篇题为 “平面应力分析的有限元 法” 论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃 发展。
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元 通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。 由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果 已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。
第二讲 有限元与有限差分法基础
• CAE的工具： • 有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、边界元法
（BEM）、有限体积法（FVM）、无网格法等等 • 在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法和有限差分法
1
“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就 有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
7
节点(node)和 单元(element) 网格（grid）
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度
和存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、 矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线 、面或实体以及二维或三维的单元等种类。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。

3第二章-有限差分方法基础

3第二章-有限差分方法基础

2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章 有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析

第二章有限差分法初步案例

第二章有限差分法初步案例

2．差分方程代替微分方程 在上节我们已对有限差分法的数学基础作了简要 的介绍，说明了如何用差商代替微商，以及由此 带来的误差。这里介绍用差商代替微商的办法来 处理导热方程（2.13），得到相应的差分方程。 方程（2.13）
T T q 2 0 2 k x y
2 2
对区域内各个点都成立的，当然对任意一个内节 点（i，j）也成立。
2T 或者说，在（i，j）处存在二阶偏微商 2 与 x i , j 2T ，这些二阶偏微商所对应的差商可表示成： y 2 i
,j
Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j 2T 2 x 2 (x) i ,j

在区域内的节点称“内节点”，在边界上的 节点称“边界节点”。图 2.2 所示边界是规 则的,则节点或在区域内，或正好落在边界上。
步长: 步长x 或 y 可以是不变的常量，即等步长，也可以 在区域内的不同处是不同的，即变步长。如果区域 内各处的温度梯度变化很大，则在温度变化剧烈处， 网格布得密些；在温度变化不剧烈处，网格布得疏 些。至于网格布置多少，步长取多大为宜，要根据 具体问题，兼顾到计算的精确度与计算的工作量等 因素而定。
T 是有限的差商。 式（2.1）右边 x
（2.1）
T dT x 与 T 都不为零， 而式（2.1）左边 是 x dx
当
x 趋于零时极限情形下的差商，称之微商。 T dT 在 x 没有到达零之前， 的近似。 只是
x dx
T dT 趋于 的过程认为是近似向精确过渡， x dx
成为如下差分形式 ：
k
或
Ti 1, j Ti, j x
h(Ti, j T )
（2.23）

3 有限差分法基础

3 有限差分法基础

—Lax 格式
（3）仍然采用线性拟合，采用 B、C 点外插：
un un uC uB j 1 j n 1 n ct u n cr u n un uD uP uB ct u j u j j j 1 j x x


2
（4）若设未知量 u 在 P 的领域满足二次曲线分布，即： u x ao a1 x a2 x
2x
o(
x3 x 2 ) x
时间一阶精度、空间二阶精度。
1 un un u u 2u 3u j j n n 1u n a b 2 c 3 j 1 o u j 1u j 1 ...... t t x x x
若离散的精度越高，或右端项的阶数越高，则需要的点越多。
不失一般性，局部坐标原点处于 B 点，则 A、B、C 三点的 x 坐标分别为： x ，0，
x
a0 uB u A u j 1 a0 xa1 x 2 a2 u uA uB u j a0 a1 C 2x u u a xa x 2 a j 1 0 1 2 C u u 2u a2 A C 2 B 2x
t: u
n 1 j
x: u
n j 1
u
n j 1
2
n n n n n n 2 2 2 2 2 u t u u x u u x u n n n ... 0u j 1 u j x 2 ... 1 u j x x j 2 x 2 j x j 2 x 2 j t j 2 t j
2 2 u t u u t ... ； 2 t 2 j t j n j 2 2 u x u u x ... 2 x 2 j x j n j 2 2 u x u u x ... 2 x 2 j x j n j n n n n n n

有限差分法基本原理

有限差分法基本原理

有限差分法基本原理有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。

其基本原理是将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，通过对差分方程进行数值求解，得到问题的数值解。

首先，有限差分法将求解区域划分为一个个小网格。

通常使用矩形网格（二维）或立方体网格（三维），这些小网格称为离散点。

每个离散点上的函数值表示在该点处的近似解。

然后，将偏微分方程中的导数用差商来代替。

对于一阶导数，可以使用中心差商、前向差商或后向差商等。

中心差商是最常用的一种，它使用左右两个离散点的函数值来逼近导数的值。

例如，对于一维情况下的导数，中心差商定义为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)其中，h表示网格的步长。

通过调整步长h的大小，可以控制逼近的精度。

对于高阶导数，可以使用更复杂的差分公式。

例如，对于二阶导数，可以使用中心差商的差商来逼近。

具体公式为：f''(x)≈(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2通过将导数用差商代替，将偏微分方程转化为差分方程。

例如，对于二维泊松方程：∇²u(x,y)=f(x,y)其中，∇²表示拉普拉斯算子。

u(i,j)=1/4[u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)]-h²/4*f(i,j)其中，u(i,j)表示离散点(i,j)处的近似解，f(i,j)表示离散点(i,j)处的右端项。

最后，通过求解差分方程，得到问题的数值解。

可以使用迭代方法，例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或SOR迭代法等，来求解差分方程。

迭代过程通过更新离散点上的函数值，直到满足收敛条件或达到指定的迭代次数。

总结来说，有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，然后通过数值求解差分方程，得到问题的近似解。

它是一种简单且高效的数值计算方法，广泛应用于科学计算、工程计算和物理仿真等领域。

有限差分法基础

有限差分法基础
L(u(P)) f (P), P DI 边界条件表示为以下方程：
B(u(P)) g(P), P DB
设
DI
和 DB
分别表示区域D的北部节点和边界节点，则下式表示了以
上偏微分方程的有限差分方程(finite-difference equations, or finite-
difference scheme)：
有限差分法基础
• f(xi+h)-f(xi): 节点xi的一阶向前差分 • f(xi)-f(xi-h): 节点xi的一阶向后差分 • f(xi+h)-f(xi-h): 节点xi的一阶中心差分
• 前后是相对x轴正方向而言
f (x x)
f (x) x d dx
f (x) (x)2 2!
d2 dx2
• 有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变 量的连续取值。
• 我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变 量离散取值后对应的函数值。
• 有限差分法的具体操作分为两个部分： • (1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得
到差分方程组的数学形式； • (2)求解差分方程组。
有限差分法基础
第二章 有限差分法
• 2.1 有限差分法基础 • 2.2 网格剖分 • 2.3 差分格式 • 2.4 差分方程 • 2.5 应用实例
有限差分法基础
解析方法的局限性
1. 地球内部介质，不仅存在纵向非均匀结构（一维地球模型）， 也存在横向非均匀结构（不同块体、断层系统）； 2. 几何模型也呈现出相当的复杂性； 3. 另外，边界条件和初始条件对于不同问题具有特殊性。
d4 dx4
f (x)

3第二章_有限差分方法基础

3第二章_有限差分方法基础

3第二章_有限差分方法基础有限差分方法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值近似解。

它的基本思想是将求解域离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代求解差分方程的解来逼近原方程的解。

有限差分方法的基础是差分近似。

差分近似是将连续函数在一组离散点上进行近似表示的方法。

差分近似的基本思想是用函数的差商来近似函数的导数。

例如，对于函数f(x)，在点x上的导数可以用差商表示为f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h，其中h是一个小的正数。

有限差分方法的核心是离散化。

离散化是将求解域划分为有限个网格点，然后在这些网格点上进行近似计算。

通常使用均匀网格，即将求解域等分为相同大小的网格。

在每个网格点上，用差分近似来代替偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为离散的差分方程。

在离散的差分方程中，未知函数在每个网格点上的值可以通过迭代求解得到。

迭代的过程是通过将差分方程中的未知函数值代入到方程中，然后求解得到新的未知函数值。

不断迭代直到满足一定的收敛准则，得到近似解。

有限差分方法有很多的变形和扩展。

其中最基础的是一维情况下的有限差分方法，它适用于求解一维偏微分方程。

在一维情况下，求解域只有一个自变量x，因此只需要在x方向上进行离散化。

除了一维情况，有限差分方法还可以扩展到更高维的情况，例如二维和三维情况。

在二维情况下，求解域有两个自变量x和y，需要在x和y 方向上都进行离散化。

在三维情况下，求解域有三个自变量x、y和z，需要在x、y和z方向上都进行离散化。

有限差分方法的优点是简单易懂，计算效率高。

它可以应用于各种偏微分方程的求解，包括椭圆方程、双曲方程和抛物方程等。

然而，有限差分方法也有一些局限性，例如对于复杂的几何形状和边界条件的处理比较困难。

总之，有限差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值近似解。

它通过将求解域离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代求解差分方程的解来逼近原方程的解。

有限差分方法基础

有限差分方法基础

2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格
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8

The need to get involved :



Numerical Methods cannot be read about, they must be used in order to be understood; Personal experience that the best test of whether one understands a method is not to carry out a hand calculation but to write a computer program; It is remarkable how hazy concepts can become clear under the resulting pressure to be completely precise and unambiguous.
2
f ( x ) ...
3!
O (h)
13
We shall employ the subscript notation:
f ( x h ) f i 1
f ( x) fi
Using this notation, then
f ( x ) f i 1 f i h O (h)
f ( x ) f ( a ) ( x a ) f ( a ) (x a) 3!
3
(x a) 2! (x a) n!
2
f ( a )
(n)
n
f ( a ) ...
f
( a ) ...
10
The Taylor Series

The Taylor Series is the foundation of Mathematical Problems: for x b
15

We now use the Taylor Series expression of about x to determine f ( x h )
f ( x h ) f ( x ) hf ( x ) h
2
f (x)
f ( x )
h
3
f ( x ) ...
4

There are many problems which are still impossible (in some cases we should say “impractical”) to solve using Numerical Methods :



for some of these problems no accurate and complete mathemetical model has yet been found; Other problems are simply so enourmous that their solution is beyond practical limits in terms of current computer technology; Of course, the entire question of practicality is strongly dependent upon how much one is willing to spend ...
9
The Taylor Series

The Taylor Series is the foundation of Mathematical Problems: If the value of a function f ( x ) can be expressed in a region of x closed to x a by the infinite power series
5

To study Numerical Methods :



No complex physical situation can be exactly simulated by a mathematical model; No numerical method is completely trouble-free in all situation; No numerical method is completely error-free; No numerical method is optimal for all situation.
We define the first forward difference of f at i ,
f i f i 1 f i
14
The expression for f ( x ) may now be written as
f ( x ) fi h O (h)
The term f i / h is called a first forward difference approximation of error order h to f ( x )
材料计算机数值模拟讲义
The Finite Difference Calculus
1
1、 Introduction to Numerical Methods 2 、the Taylor Series 3 、Difference Calculus
2
The Purpose and Power of Numerical Methods as well as their Limitations
7

The Verification Problem to Numerical Analysis:



One of the most vita and yet difficult tasks which must be carried out in obtaining a numerical solution to any problem is to verify that the computer program and the final solution are correct; The verification procedure can actually be more expensive and time consuming than obtaining the final desire answer; The process of verification for a general program or library subprogram, which would be employed by many users to solve a wide variety of problems, would be similar but necessarily even more extensive and painstaking…
We define the first backward difference of f at i ,
f i f i f i 1
f ( x h ) f ( x ) hf ( x ) f (x h) f (x) h
f ( x )
h2Βιβλιοθήκη f ( x ) h
3
f ( x ) ...
2! f ( x ) h 2!
f (x h) f (x) h
3! f ( x ) h
2! f ( x ) f (x) f (x h) h h 2! f ( x )
3! h
2
f ( x ) ...
3!
f ( x )
f (x) f (x h) h
O (h)
16
Using this notation, then
f ( x ) f i f i 1 h O (h )

Numerical Methods are a class of methods for Solving a wide variety of Mathematical Problems:



the Electronic Computers have been in widespread use since the middle 1950’s; Numerical Methods actually predate electronic computers by many years; Numerical Methods came of age with the introduction of the Electronic Computer.
n 1
d
f
m ax
(xa)
n 1
dx
n 1
( n 1) !
accurate to
O(x a)
n 1
f ( x ) f ( a ) ( x a ) f ( a )
(x a) 2!
2 3 f ( a ) O ( x a )
12
The Finite Difference Calculus
3

The Combination of Numerical Methods and digital computers has created a tool of immense power in Mathematical Analyses:



the Numerical Methods are capable of handling the nonlinearities, complex geometries, and large systems of coupled equations which are necessary for the accurate simulation of many real physical situations; Numerical Methods have displaced classical mathematical analysis in many industrial and research applications; Numerical Methods are so easy and iexpensive to employ and are often available as prepackaged Programs.