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时域有限差分方法林志立

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超宽带探地雷达浅层目标探测技术研究

超宽带探地雷达浅层目标探测技术研究

摘要在城市以及乡镇的现代化建设不断发展的趋势下，公路、桥梁等基础交通设施的分布范围越来越广。

随着使用时间的增长，这些基础设施由于各种原因(如建材质量、交通工具超载、恶劣天气等)会出现各种病害，如裂缝、下沉、脱空、变形等，容易造成各种交通事故，因此公路、桥梁等基础交通设施的状况调查和护养愈显重要。

同时由于规划与建设的不同步，在布置和建设地下管道、电缆、排水系统等地下设施时，常会遇到与其它工程设施冲突的问题。

因此在正式实施地下设施建设工程前，需要获取地下结构和目标分布等信息，以分析地下工程的可行性。

超宽带探地雷达技术是一种高效、精确的无损探测方式，对浅层目标具有良好的探测效果。

本文叙述了超宽带探地雷达的发展背景，系统组成与技术原理，研究了超宽带探地雷达在浅层目标探测方面的重构与仿真，并提出了一种基于功率谱估计的超宽带探地雷达浅层目标探测方法，同时分别利用RIS-K2探地雷达系统与GprMax2D软件进行实测和仿真实验，在Matlab数值计算环境中对所提出的方法进行目标探测数据处理。

本文的主要研究工作和成果如下：1.对超宽带探地雷达系统和理论进行了研究，对浅层目标进行了模型重构，同时利用基于时域有限差分法(FDTD)的GprMax2D软件对重构模型进行仿真，利用Matlab软件进行目标仿真数据处理。

2.将超宽带探地雷达技术理论应用于具体的实践应用中。

本文使用意大利IDS公司RIS-K2探地雷达系统进行了目标数据采集和目标探测实验。

同时利用Matlab软件对所采集的数据进行了成像和算法处理。

3.本文提出了一种基于功率谱估计的超宽带探地雷达浅层目标探测方法。

该方法主要针对探测深度小于5m的浅层目标探测的应用，减少了探测过程中所需存储的数据量，计算复杂度低，算法处理速度快，可以实现采集过程与数据处理过程的结合。

本文利用RIS-K2探地雷达系统对华南理工大学五山校区内的湖滨北路与嵩山路进行了实测，利用所提方法对探测采集的数据进行了数据处理与数据分析。

时域有限差分法

时域有限差分法


Ez Ey
Ez Hx
Hy Ez
将Maxwell旋度方程转化为一 组差分方程，并在时间轴上
Ey
Ex
逐步推进地求解；由电磁问
y
题的初始值及边界条件逐步 x
推进地求得以后各时刻空间
电磁场分布
20
Yee元胞
z
Ey
Ex
Hz
Ex
Ez Ey
Ez Hx
Hy Ez
Ey
Ex
y
分量节点 位置见 p.10 表2-1
E取n时刻 ，H取n＋ 1/2时刻
Holland（1977年）[6]和Kunz（1978年） [7]用FDTD计算F117飞机这种复杂目标的 电磁脉冲散射。
10
FDTD的发展(续)：时域外推
Britt （1989年）[21]首次给出时域远场 结果，但论文未给出外推具体方法。
Yee 等（1991年）[22]和Luebbers等 （1991年）[23]提出了三维FDTD时域近－ 远场外推方法，随后Luebbers等（1992年） [24]提出二维FDTD时域近－远场外推方法。
24
FDTD的基本点(2)： FDTD区的划分
对于散 射问题， 划分为 总场区 和散射 场区。
散射场区 散射场区 总场区
目标
吸收边界 输出边界
连接边界
25
FDTD的基本点(2)： FDTD区的划分
对于辐射 问题，激 励源直接 加到辐射 天线上， 整个FDTD 计算区域 为辐射场 区
辐射场区 辐射场区 激励源
目录
引言 Maxwell方程及其FDTD形式 数值稳定性 吸收边界 激励源 近－远场外推 应用算例
1
其它参考书
第一章参考文献 [1] Yee(1966) 第一篇FDTD论文 [36] Kunz(1993) [44] Taflove(1995, & 2000 Second Ed.) [46] Sullivan(2000) [42] 王长清（1994） [43] 高本庆（1995）
时域有限差分法

时域有限差分法

时域有限差分法时域有限差分法（TimeDomainFiniteDifferenceMethod，简称TD-FDM）是数值分析领域中非常重要的一种数值计算方法，它是利用有限差分法对时域偏微分方程（PDE）进行求解的一种方法，其应用范围十分广泛，是在工程和科学领域中应用最多的计算方法之一。

时域有限差分法可以精确表示任意时域偏微分方程的解，但是由于求解过程中存在计算量大、精度低、收敛慢等问题，其计算效率和精度也有限。

因此，人们必须采取有效的方法来提高此类方法的精度和计算效率，增强其在工程和科学领域的应用价值。

时域有限差分法的原理很简单，即将偏微分方程的解以一系列有规律的离散点表示，再利用有限差分对偏微分方程进行求解。

它主要包括三个部分：数值模型构建、数值计算和数值结果分析。

首先，根据时域偏微分方程的类型及物理本质，构建与之对应的数值模型，采用有限差分形式表达偏微分方程，并根据时域偏微分方程的解特性对有限差分方程进行增强。

然后，构建时域有限差分的计算框架，利用计算机编程语言（如C++、Fortran、Python等）实现数值计算，采用常用的多项式插值和求解算法（如牛顿迭代法、拟牛顿法等）实现精确计算。

最后，利用计算机绘图软件对所得到的数值结果进行分析，以评估结果的准确性，并做出相应的修改和优化。

时域有限差分法的应用非常广泛，它可以用于各种工程领域，如稳态和不稳态流动场的求解，声学学中的各类传播现象的模拟，热传导的分析等。

此外，时域有限差分法在一些科学领域也有很大的应用，如量子力学中电子能级结构、原子结构的计算，核物理中文中阳离子反应剂度模拟，生物学中细胞动力学模型仿真等等。

近年来，随着计算机技术的进一步发展，出现了许多新的发展方向：从传统的有限差分法到基于保守型的计算方法，从基于有穷元的数值模拟方法到超差分法，从动态网格特定的方法到基于机器学习的计算方法。

所有这些方法都可以用于处理更复杂的时域偏微分方程，提高精度和计算效率。

时域有限差分法二维

时域有限差分法二维

时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。

本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。

通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。

2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。

在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。

根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。

2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。

常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。

根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。

2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。

显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。

3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。

以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。

可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。

3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。

波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。

3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。

通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。

一种节约内存的局部一维减缩时域有限差分方法

一种节约内存的局部一维减缩时域有限差分方法

ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ — ｚ ｅ ｒ ｏ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ａ ｎ ｄ Ｍａ ｘ ｗｅ ｌ ｌ ｃ ｕ ｒ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，ｔ ｈ ｅ ３ － Ｄ ＬＯＤ— Ｆ ＤＴＤ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｉ Ｓ ｕ ｎ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ —
ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ — ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ａ ｎ ｄ ｍａ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ － ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ａ ｒ ｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ ３ 一 Ｄ ｌ ｏ ｃ ａ ｌ ｌ ｙ ｏ ｎ ｅ － ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ － ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｔ ｉ ｍｅ － ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ
ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｏ ｆ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ — ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ａ ｎ ｄ ｍａ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ — ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｉ ｓ ｎ ｏ ｎ － ｚ ｅ ｒ ｏ ｅ ｖ ｅ ｎ ｉ ｎ ｃ ｈ ａ ｒ ｇ ｅ — ｆ ｒ ｅ ｅ ｒ ｅ ｇ ｉ ｏ ｎ ｓ ，ｗｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ —
ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｕ ｒ ａ ｎ ｔ － ｆ ｒ ｉ ｅ ｄ ｒ ｉ ｃ ｈ — ｌ ｅ ｖ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ。ｂ ｕ ｔ ａ ｌ ｓ ｏ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｍｏ ｒ ｙ ｒ ｅ ｑ ｕ ｉ ｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ．Ｉ ｔ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｎ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ —
ＣＨ ＥＮ Ｙｉ ｗａ ｎ ｇ， ＺＨＡＮＧ Ｐｉ ｎ， Ｊ Ｉ Ｎ Ｘｉ ｕ ｈ ａ ｉ ， ＤＡＩ Ｍｅ ｎ ｇ
第二章 时域有限差分法_II-一维FDTD

第二章 时域有限差分法_II-一维FDTD


2017/5/2
4
2017/5/2
5
进一步，得到迭代公式
E
n 1/2 x
k E
n 1/2 x
t n n H k 1/ 2 H k y y k 1/ 2 0 x t n 1/2 n 1/2 E k 1 E k x x 0 x
n
n n 1 D 1
0
t n E 0
关于频域依赖媒质的迭代方程及代码 D(k) = D(k)+ eta *( H(k-1)-H(k) ); E(m)=ga(m)*(D(m)-I(m)); I(m)=I(m)+gb(m)*E(m); H(j)=H(j)+eta*(E(j)-E(j+1))； ga(m) = 1/(epsilon+(sigma*dt/epszero));
ct n n 2 r n 1/2 0.5 n 1/2 H y k 1/ 2 H y k 1/ 2 Ex k E k ct x c t 1 r 1 2 r 2 r
t
x 2c0
This value of η motivates Sullivan's choice of boundary conditions at the left boundary given by
n Ex 1 Exn2 2
Similarly, for the right boundary conditions we use
上面两方程的迭代方程
c t 1 取 x 2
ct n n 2 r n 1/2 0.5 n 1/2 H y k 1/ 2 H y k 1/ 2 Ex k Ex k ct c t 1 r 1 2 r 2 r
时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真

时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真

时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真摘要时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。

自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。

主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。

由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。

时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。

在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。

另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。

文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。

得到了相应的磁场幅值效果图。

关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图目录摘要 (1)目录 (3)第一章绪论 (4)1.1 课题背景与意义 (4)1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4)2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7)2.2 FDTD的基本差分方程 (9)2.3 时域有限差分法相关技术 (11)2.3.1 数值稳定性问题 (11)2.3.2 数值色散 (12)2.3.3 离散网格的确定 (13)2.4 吸收边界条件 (13)2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14)2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17)2.4.3 完全匹配层 (19)2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23)第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25)3.1 MATLAB程序及相应说明 (25)3.2 出图及结果 (28)3.2.1程序部分 (28)3.2.2 所出的效果图 (29)第四章结论 (31)参考文献 (32)第一章绪论1.1 课题背景与意义20世纪60年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。

时域有限差分法PPT课件

时域有限差分法PPT课件


vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
.
8
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi,tn,离散行波解为 u in u x i,tn e j n t k ~ i x ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
1.5 数值稳定性（1）
• FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进，误 差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增 加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值 不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。
• FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小于一 定值以避免数值不稳定性。
考虑(1.1)的正弦行波解 ux,tejtkx 代入(1-1)得
j2c2jk2 即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
由(1-8)可以得到群速关系
正弦函数
ui=sin(nt+)
高斯函数
ui=exp[-(n-n0)2/T2]
阶跃函数
ui= 0
n<n1
= ( n-n1)/(n2-n1) n1<n<n2
=1
n>n2
“硬源”设置简单，但当反射波回到“硬源”位置时， 会引起寄生反射，所以，要在这之前“关”掉源。
时域有限差分方法-林志立概述.

时域有限差分方法-林志立概述.

2
以减小数值色散。
k sin ( ) c2 sin ( ) 2 0 2 数值色散方程： t 2 2 x, y,z ( ) ( ) 2 2
t
2
理想色散方程：
2
要求： k 0 2

2 c0
2 2 (k x ky k z2 )
(1)电场在时间上取整数倍的 Δt; t=n *Δt;
(2)磁场在时间上取(整数＋ 1/2)倍的Δt; t=(n +1/2)*Δt;
Beihang University
麦克斯韦方程的离散化近似
以Hz为例：
H z 1 E E ( x y) t z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j ) t
Hz为Ex和Ey所环绕。
各电磁场分量在元胞中的位置
K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307.
Beihang University
FDTD空间偏微分的近似
以Hz为例：
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
E x E x ( i, j 1) E x ( i, j ) y y 2( ) 2 E y E y ( i 1, j ) E y (i, j ) x x 2( ) 2
Beihang University
计算电磁学中的
时域有限差分方法
时域有限差分算法及其在多物理中的应用

时域有限差分算法及其在多物理中的应用


初始条件设置
初始条件
在求解偏微分方程时，需要设置初始条件，以便从已知的初始状态开始计算 。
初始条件的稳定性
初始条件的稳定性对于计算结果的准确性至关重要，不稳定的初始条件可能 导致计算发散。
03
时域有限差分算法在多物理场中的应 用
流体力学
总结词
时域有限差分算法在流体力学中有着广泛 的应用，用于模拟和分析各种流体现象， 如水流、空气流等。
算法的发展历程
早期发展
01
20世纪70年代，有限差分算法被广泛应用于电磁场、流体动
力学等领域。
现代进展
02
随着计算机技术的发展，有限差分算法在处理复杂物理问题方
面得到了广泛应用。
多物理应用
03
近年来，有限差分算法被广泛应用于多物理场耦合问题的求解
。
02
时域有限差分算法实现细节
离散化方法
隐式离散化
飞机设计
时域有限差分算法可以用于模拟飞机在飞行过程中受到的电磁辐射和电磁干扰，帮助设计师更好地理 解并优化飞机的电磁性能。
航空电子系统
该算法也可用于模拟飞机上电子系统的电磁兼容性和电磁干扰，以确保电子系统的正常运行。
电子工程领域
集成电路设计
时域有限差分算法可以用于模拟芯片在高速运行时的电磁干扰和电磁辐射， 以优化其性能和稳定性。
能源工程领域
风力电
时域有限差分算法可以用于模拟风力发电机的电磁辐射和电 磁干扰，以优化其性能和稳定性。
太阳能发电
该算法也可用于分析和优化太阳能电池板的性能，以提高其 转换效率。
THANKS
感谢观看
无线通信
该算法也可用于分析和优化无线通信系统的性能，例如基站和无线局域网。
时域有限差分

时域有限差分

时域有限差分时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain，简称FDTD）是一种基于有限差分方法的数值模拟技术，用于求解电磁场的时域行为。

它在电磁学仿真建模中有着重要的作用，广泛应用于电磁屏蔽、电磁兼容、发射器设计、天线特性测试、雷达和无线通信等诸多领域。

本文将从介绍FDTD的历史背景、基本思想及特点出发，重点讨论它的基本框架及其基本算法，并以此来深入剖析它的优势及应用场景，以期激发更多的研究者更好的应用FDTD去解决实际的问题。

一、FDTD的历史背景时域有限差分法始于20世纪50年代，其有名的开创者是美国科学家Yee在1966年提出的。

至此，它比传统时域分析方法（如横波模型）具有更强的计算能力，有利于模拟电磁场以及其他物理场。

经过Yee的提出，FDTD的理论基础也在不断的完善，其在电磁仿真领域的应用也更加普及，它的算法也得到了不断的改进和优化，有利于优化电磁仿真技术，并使它更容易被应用在电磁学仿真中。

二、FDTD基本思想及特点时域有限差分法基于有限差分法，用于求解电磁场的时域行为。

它采用基于欧拉方程（Maxwell-Faraday）的电磁场表示，将欧拉方程空间和时间解分，从而简化时域求解中的计算工作。

在做时域积分的时候，它采用的是一种求近似解的方法。

根据反文本定理，这种求近似解的方法能够准确地表示电磁场的时变行为，从而正确地描述电磁场在空间和时间上的变化规律。

在求解电磁场的时候，它把分析的小单元划分成不同的网格，每个网格为一个小空间，把大量的电磁场计算转换成了大量的有限差分的计算，从而极大地简化了电磁场的模拟，节约了计算时间。

另外，FDTD还具有计算简单、模拟效率高、模拟准确等优点，因此在电磁学仿真中非常受到重视。

三、FDTD的基本框架及其基本算法FDTD的基本框架由应变和电场两个部分构成，两个部分相互协作，用来计算空间上电磁场的变化过程，以及对应的时间变化过程。

其基本算法由三个步骤构成：（1）横电场更新，先从欧拉方程计算横电场；（2）纵电场更新，再从欧拉方程计算纵电场；（3）应变更新，最后从欧拉方程计算应变。

第二章 时域有限差分法_IV-三维FDTD


2
二维Maxswell方程组 标量方程
Dz 1 t 0 0
H y H x x y
Dz = r* Ez
H x 1 Ez t 0 0 y
H y t

E z 0 0 x 1
2017/5/2
2017/5/2 6
在三维基本FDTD程序和二维FDTD程序中，都是在问题空间的中心设置简 单点源。但在三维仿真中，由点源产生的电场向外传播的过程中，与距离的 平方成反比衰减。相反，我们可用电偶极子天线作为源。如下图所示。 设置激励的方法 （1）在两臂空隙设置一电 场值。
（2）依照安培环路定律

3. 三维FDTD
2017/5/21 Nhomakorabea4.1 自由空间FDTD公式
重写Maxswell方程组
D 1 H t 0 0
（4-1-a）
= * E D r
H 1 E t 0 0
（4-1-b） （4-1-c）
2017/5/2
1 1 n n 1 I Dz i , j , k I i , j , k Dz curl _ h 2 2
Dzn 1/2 i, j , k 1/ 2 gi3 i gj3 j Dzn 1/2 i, j, k 1/ 2 1 n gi 2 i gj 2 j 0.5 curl _ h gk1 k I Dz i, j, k 2
(4.2f)
4
对时间和空间差分后，以(4.2c)和(4.2f)为例，迭代公式
Dzn1/2 i, j, k 1 2 Ezn1/2 i, j, k 1 2

三维时域有限差分法对金SERS基底电磁场增强的初步模拟的开题报告

三维时域有限差分法对金SERS基底电磁场增强的初步模拟的开题报告一、研究背景和意义金表面增强拉曼光谱（SERS）是近年来快速发展的光学技术，用于检测和识别微量分子。

金基底作为最重要的组成部分之一，对于SERS效应的产生和提高有着重要的影响。

其中，电磁场是SERS效应产生的关键因素之一，能够引起分子的局部电场增强，从而大大提高其敏感度。

因此，研究金基底电磁场增强机理及方式，探究其内部电磁场分布图案对SERS响应产生的影响是十分必要的。

而有限差分法是计算电磁场分布的常用方法之一，它可以通过数值计算得到近似的电磁场分布，从而有效地研究金基底的电磁场增强现象，是该研究的选择方法。

二、研究内容和方法本研究计划通过三维时域有限差分法（FDTD）模拟金基底中的电磁场分布，以探究金基底电磁场增强的机理和规律。

具体而言，本研究将采取以下步骤：1. 建立金基底FDTD模型根据实际金基底的几何尺寸、电磁参数等物理参数建立三维时域有限差分法模型，利用MATLAB等软件对模型进行搭建。

2. 模拟金基底中的电磁场分布通过对电磁场的初始化，定义入射光的频率、极化方向、入射角度和偏振状态，对金基底的电磁场进行模拟计算，得到金基底内电磁场分布。

3. 分析金基底电磁场增强机理和规律通过对金基底内的电磁场分布进行分析，探究不同几何形状、电磁参数和光学周期性结构的金基底电磁场增强机理和规律，为进一步的理论分析和实验研究提供科学依据。

三、预期成果本研究通过FDTD模拟金基底电磁场分布，有望得到金基底中电磁场强度和分布等方面的定量分析结果，探究金基底电磁场增强机理和规律，达到以下预期成果：1. 构建金基底FDTD模型，并得到金基底内电磁场分布；2. 探究不同金基底电磁参数、几何形状和周期性结构对其电磁场强度和分布的影响；3. 为进一步实验和理论分析提供基础和指导，提升金基底电磁场增强现象的理论解释和实验验证能力。

四、进度计划本研究计划在以下时间节点完成相关任务：1. 第一阶段（1个月）：文献综述和研究框架的构建；2. 第二阶段（2个月）：FDTD模拟模型的建立和参数调整；3. 第三阶段（2个月）：FDTD模拟电磁场分布的计算和分析；4. 第四阶段（1个月）：结果总结、论文撰写和答辩准备。

时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用


引起 了人们 的关 注 ｌ 。在量 子 力 学 问 题 的 计 算 ４ Ｊ 分 析 中 ， 接 求 解 Ｓｈ￣ｉｇｒ方 程 往 往 比 较 困 直 ｃｒｄｎｅ
难 。时 域有 限差 分 法 的提 出 ， 解 决 量 子力 学 问 为
１ Ｆ Ｔ 法 ＤＤ
题 提供 了另一 条相 对 简单方 便 的参 考途 径 。其基
本思 想 是 ： 含 时 Ｓｈ￣ｉｇｒ 程 转 换 成 有 限 差 将 ｃｒ ｎｅ 方 ｄ
１ １ ｃ ｒ ｉｇｒ 程 的有 限差分 形式 ． Ｓｈｔ ｎｅ 方 ｉ ｄ
考虑 一维 含 时 Ｓ ｈｔ ｉ ｅ 方程 ｃ ｒｄｎ ｒ ｉ ｇ
分形式 ， 时 间离 散 的递 进序 列 ， 用合 适 的截 建立 采 断边界条 件和初始概 率波 函数 在时域上进 行求解 。 势 垒模 型被 广 泛 应 用 于 物 理 、 学 和 分 子 生 化
人们的关注 。系统介绍 了该方 法的基本原理 、 边界 处理方法和初始试探波 函数 的选取 。在此基础 上 ， 计 算模拟 了三种不 同的势 垒如方 势垒 、 三角形势 垒和谐振势 垒下系统 的能量变 化 、 率变化 ， 概 再现 了量子 隧道效应这一重要物理现象 。进一 步表 明了运用 Ｆ Ｔ Ｄ Ｄ法来解 决量子 力学 问题是方 便可行 的 ， 且 以 并 系统平均能量方法处理截断边界 能得到 比较理想 的结果 。对于解决其它量 子力学问题具有一定的指导
将式 （ ） 人 式 （ ）则一 维 Ｓｈ６ｉｇｒ 程变 为 ２代 １， ｃｒｄｎｅ方
詈 ＝ ｎ ＋ ） （） ） 一 ２ ・ｘ （ ＆ ｂ，３ ｔ口
（ 角形 ）谐振 型 势垒 等 的系统 动能 和势 能 的相 三 、
詈 ＝
一Ｖ － （

新型分裂步长时域有限差分法

新型分裂步长时域有限差分法林智参;班涛【摘要】A new split step finite difference timedomain(NSS⁃FDTD)algorithm is presented,and its numerical dispersion is analyzed. The method is based on the schemes of Split⁃Step andCrank⁃Nicolson,adopted new matrix decomposition form. Compared with traditional algorithms of FDTD and SS⁃FDTD,the proposed algorithm can reduce computational complexity,and has simple deduction procedure and better numerical dispersion characteristic. The first⁃order Mur absorbing boundary condition is added in this paper,and its difference equation is presented. The numerical experiment results were compared with traditional FDTD method and theoretical values. The consistence of numerical results is better.%提出一种新型的分裂步长时域有限差分（NSS⁃FDTD）法，并对其数值色散进行分析。

该方法基于Split⁃Step方案和Crank⁃Nicolson方案，采用新的矩阵分解形式，与传统的FDTD算法、SS⁃FDTD算法相比，减少了计算复杂度。

时域有限差分法发展综述

时域有限差分法发展综述潘忠摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。

随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结论。

关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析A Summary of FDTD and Development at Home and AbroadZhong PanAbstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn.Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。

一维有限时域差分方法（FDTD）计算中参数的选择

一维有限时域差分方法（FDTD）计算中参数的选择作者：陈义万，李文兵，杜海霞，彭波勇来源：《教育教学论坛》 2013年第3期陈义万1，李文兵1，杜海霞2，彭波勇2（1.湖北工业大学理学院，湖北武汉430068；2.第二炮兵工程大学，陕西西安710025）摘要：在用一维时域有限差分方法计算波的传播时，为了防止出现发散的结果，要求时间步长Δt ＜Δx/v，但具体取多大的值，没有定论。

通过编程试验，时间步长取Δt＜0.75Δx/c，而时间步数Nt大于波从波源传到观察点所需要的时间，又小于反射波到达观察点的时间。

而且计算的时间格点和位置格点全部都可以取整数。

关键词：FDTD；有限时域差分方法；参数中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）03-0155-02时域有限差分方法（FDTD）1966年由Yee提出后，经过许多年的发展，在电磁波散射方面得到了广泛的应用。

现在，在光子晶体能隙的计算方面也得到了很多应用。

笔者在一维、二维的FDTD编程计算中，发现时间步长的选择不同，会导致结果的不同，下面进行讨论。

一、一维FDTD差分方程表达形式二、初始、边界条件的确定以及编程计算的结果边界条件：u（t，1）=0，u（t，Nx）=0，对t=1到Nt。

初始条件：由于在差分形式的递推公式①中，要计算t=3的值，需要知道t=1，2时的值。

本文规定初始条件为u（t，i）=0，对t=1，2.下面是两组不同的参数，用Matlab编程计算的结果：从图中可以看出：t=1到600，在观察点无信号，信号还没有到达；t=600到900，是过渡阶段，与数值化的计算有关，在观察点信号尚不稳定；t=900到2400，观察点信号与用连续方程得到的结果一致；t=2400以后，观察点的信号的幅度比源的信号还大，是因为文中取一维两端边界为零，反射波到达观察点，与正向波形成干涉。

用快速傅里叶变换得出的频谱透射率，由于已经包含了开始的过渡阶段和以后的反射波的干涉的影响，在0.8左右，与波的无衰减传播结果接近。

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J E
（电极化）
（磁化）
（欧姆定律）
James Clerk Maxwell
(1831–1879)
一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程，以及各类 具体的边界条件所决定！
Beihang University
麦克斯韦方程组中的运算符
散度（Divergence) 旋度（Curl)
连续函数的偏微分运算
Beihang University
r
(t)

2
(t)

(s )02 02 02
e0t
sin(
02 02 t)U (t)
频域：D() 0 r () E()
更新方程：
r
()



( s 02
)02 j20 2
b0 Dn b1Dn1 b2 Dn2
% Define the Gaussian source waveform
5.定义场源
time = dt*[0:number_of_time_steps-1].';
Jz_waveform = exp(-((time-2e-10)/5e-11).^2);
source_position_index = round(nx*source_position/domain_size)+1;
(1)电场在时间上取整数倍的 Δt;
t=n *Δt;
(2)磁场在时间上取(整数＋ 1/2)倍的Δt;
t=(n +1/2)*Δt;
Beihang University
麦克斯韦方程的离散化近似
以Hz为例：
Hz 1 ( Ex E y )
t z y x
H
n1/ z
2
(i,
j)

H
n1 z
FDTD的基本思想
－时域和空间域的离散化 －连续偏微分的有限阶近似
设有一连续函数 f ( x) , 现欲求 f '(x) 。 二阶中心差分近似表达式：
f '(x) f (x x) f (x x) 2x
当 x越小时，上式的近似程度 越高。
f (x)
实际上：
f '( x) f ( x x) f ( x x) x2 f '''( x) ...
/
2
(
i,
j)
t

1
(
E
n x
(
i,
j
1)

E
n x
(i,
j)

E
n y
(i
1,
j)

E
n y
(
i,
j) )
z
y
x
H
n1/ z
2
(i,
j)

H
n1 z
/
2
(
i,
j)

t
(
E
n x
(
i,
j
1)

E
n x
(
i,
j)

E
n y
(i
1,
j)

E
n y
(
i,
j) )
z
y
x
上式即为Hz的更新方程，由前一时刻的磁场和前半时刻 的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场。
2x
6
Beihang University
FDTD空间域的离散化
(1)空间域的分割离散化
节点
Yee元胞（Δx, Δy, Δz)
Ex分量的空间离散分布图
Hx分量的空间离散分布图
Beihang University
FDTD空间域的离散化
YEE 元胞
例如： Hz 1 ( Ex E y )
矩量法 (Method of Moments) 适合于细线、平面形状结构的电磁场问题
Beihang University
电磁学基本方程
麦克斯韦方程组( Maxwell Equations)
(安培环路定律)
(法拉第感应定律)
(高斯定律－电场) (高斯定律－磁场)
物质本构关系 (Constitutive Relations)
0 (a0 E n a1E n1 a2 E n )
Z-变换
近似， 求系数
r ()

D E

a0 b0
a1Z 1 a2Z 2 b1Z 1 b2Z 2

a0 b0
a1 e j a2 e2 j b1 e j b2 e2 j
,
Beihang University
FDTD的离散参数的稳定性条件
★ 时间步长：Courant 稳定性条件
Ｚ域数值色散方程：（von Neumann method ）
Z1/2 Z 1/2
( c0t
)2r (Z)

x, y,z
4sin2 (k 2
/
2)

0,
为了保持稳定性，该方程的所有解的模必须小于1。
t z y x
Hz为Ex和Ey所环绕。
各电磁场分量在元胞中的位置
K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307.
z (i, j) y x
球体，物质III 不同的元胞的电磁参量应设
空气
长方体，物质II 长方体，物质I
置为所在空间所代表的介质 的介电常数和磁导率。
场量与介质参数要对应
Beihang University
色散介质的FDTD模拟
以Lorentz 介质为例：
时域：D(t) 0 r (t) * E(t)
磁场磁流部分
Beihang University
编程举例1：一维FDTD问题（续）
% Calculate FDTD updating coefficients Ceze = (2 * eps_r_z * eps_0 - dt * sigma_e_z) ...
./(2 * eps_r_z * eps_0 + dt * sigma_e_z);
% 1D problem space length in meters
dx = 1e-3;
% cell size in meters
dt = 3e-12;
% duration of time step in seconds
number_of_time_steps = 2000; % number of iterations
色散介质的FDTD模拟
模拟Lorentz色散介质的不同方法： {a0, a1, a2,b0,b1,b2}
Error r () r ()
MSE approach :
E n [(b0 Dn b1Dn1 b0 Dn2 ) / 0
(a1E n1 a2 E n2 )] / a0
% Initialize field and material arrays Ceze = zeros(nx+1,1);
3.初始化场量和介质参量阵列
Cezhy = zeros(nx+1,1);
Cezj = zeros(nx+1,1);
Ez = zeros(nx+1,1);
电场电流部分
Jz = zeros(nx+1,1);
1,
j)

H
n1/ x
2
(
i,
j)

H
n1/ x
2
(i,
j
1) )
z
x
y
Beihang University
FDTD的离散参数的选择
★元胞尺寸：边长小于最短波长的1/10, 以减小数值色散。
数值色散方程
c02
sin2 ( k ) 2
( t )2
Beihang University
FDTD空间偏微分的近似
以Hz为例：
Hz 1 ( Ex E y )
t z y x
Ex y

Ex (i,
j
1) Ex (i, 2( y)
j)
2
E y x

Ey(i
1, j) Ey(i, 2( x )
j)
2
类似地，可实现各电磁场分量的 空间偏微分计算。
4.计算更新方程系数
Cezhy = (2 * dt / dx) ... ./(2 * eps_r_z * eps_0 + dt * sigma_e_z);
电场部分
Cezj = (-2 * dt) ... ./(2 * eps_r_z * eps_0 + dt * sigma_e_z);
Chyh = (2 * mu_r_y * mu_0 - dt * sigma_m_y) ... ./(2 * mu_r_y * mu_0 + dt * sigma_m_y);
对于非色散介质，时间步长不能大于以下表达式：
t
1
c
1 x2

1 y2

1 z2
Beihang University
介质电磁参量的设定
Ez (i, j) 1 ( H y H x )
t
z (i, j) x y