时域有限差分方法林志立

摘要在城市以及乡镇的现代化建设不断发展的趋势下，公路、桥梁等基础交通设施的分布范围越来越广。

随着使用时间的增长，这些基础设施由于各种原因(如建材质量、交通工具超载、恶劣天气等)会出现各种病害，如裂缝、下沉、脱空、变形等，容易造成各种交通事故，因此公路、桥梁等基础交通设施的状况调查和护养愈显重要。

同时由于规划与建设的不同步，在布置和建设地下管道、电缆、排水系统等地下设施时，常会遇到与其它工程设施冲突的问题。

因此在正式实施地下设施建设工程前，需要获取地下结构和目标分布等信息，以分析地下工程的可行性。

超宽带探地雷达技术是一种高效、精确的无损探测方式，对浅层目标具有良好的探测效果。

本文叙述了超宽带探地雷达的发展背景，系统组成与技术原理，研究了超宽带探地雷达在浅层目标探测方面的重构与仿真，并提出了一种基于功率谱估计的超宽带探地雷达浅层目标探测方法，同时分别利用RIS-K2探地雷达系统与GprMax2D软件进行实测和仿真实验，在Matlab数值计算环境中对所提出的方法进行目标探测数据处理。

本文的主要研究工作和成果如下：1.对超宽带探地雷达系统和理论进行了研究，对浅层目标进行了模型重构，同时利用基于时域有限差分法(FDTD)的GprMax2D软件对重构模型进行仿真，利用Matlab软件进行目标仿真数据处理。

2.将超宽带探地雷达技术理论应用于具体的实践应用中。

本文使用意大利IDS公司RIS-K2探地雷达系统进行了目标数据采集和目标探测实验。

同时利用Matlab软件对所采集的数据进行了成像和算法处理。

3.本文提出了一种基于功率谱估计的超宽带探地雷达浅层目标探测方法。

该方法主要针对探测深度小于5m的浅层目标探测的应用，减少了探测过程中所需存储的数据量，计算复杂度低，算法处理速度快，可以实现采集过程与数据处理过程的结合。

本文利用RIS-K2探地雷达系统对华南理工大学五山校区内的湖滨北路与嵩山路进行了实测，利用所提方法对探测采集的数据进行了数据处理与数据分析。

时域有限差分法时域有限差分法（TimeDomainFiniteDifferenceMethod，简称TD-FDM）是数值分析领域中非常重要的一种数值计算方法，它是利用有限差分法对时域偏微分方程（PDE）进行求解的一种方法，其应用范围十分广泛，是在工程和科学领域中应用最多的计算方法之一。

时域有限差分法可以精确表示任意时域偏微分方程的解，但是由于求解过程中存在计算量大、精度低、收敛慢等问题，其计算效率和精度也有限。

因此，人们必须采取有效的方法来提高此类方法的精度和计算效率，增强其在工程和科学领域的应用价值。

时域有限差分法的原理很简单，即将偏微分方程的解以一系列有规律的离散点表示，再利用有限差分对偏微分方程进行求解。

它主要包括三个部分：数值模型构建、数值计算和数值结果分析。

首先，根据时域偏微分方程的类型及物理本质，构建与之对应的数值模型，采用有限差分形式表达偏微分方程，并根据时域偏微分方程的解特性对有限差分方程进行增强。

然后，构建时域有限差分的计算框架，利用计算机编程语言（如C++、Fortran、Python等）实现数值计算，采用常用的多项式插值和求解算法（如牛顿迭代法、拟牛顿法等）实现精确计算。

最后，利用计算机绘图软件对所得到的数值结果进行分析，以评估结果的准确性，并做出相应的修改和优化。

时域有限差分法的应用非常广泛，它可以用于各种工程领域，如稳态和不稳态流动场的求解，声学学中的各类传播现象的模拟，热传导的分析等。

此外，时域有限差分法在一些科学领域也有很大的应用，如量子力学中电子能级结构、原子结构的计算，核物理中文中阳离子反应剂度模拟，生物学中细胞动力学模型仿真等等。

近年来，随着计算机技术的进一步发展，出现了许多新的发展方向：从传统的有限差分法到基于保守型的计算方法，从基于有穷元的数值模拟方法到超差分法，从动态网格特定的方法到基于机器学习的计算方法。

所有这些方法都可以用于处理更复杂的时域偏微分方程，提高精度和计算效率。

时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。

本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。

通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。

2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。

在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。

根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。

2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。

常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。

根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。

2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。

显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。

3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。

以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。

可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。

3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。

波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。

3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。

通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。

时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真摘要时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。

自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。

主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。

由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。

时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。

在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。

另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。

文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。

得到了相应的磁场幅值效果图。

关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图目录摘要 (1)目录 (3)第一章绪论 (4)1.1 课题背景与意义 (4)1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4)2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7)2.2 FDTD的基本差分方程 (9)2.3 时域有限差分法相关技术 (11)2.3.1 数值稳定性问题 (11)2.3.2 数值色散 (12)2.3.3 离散网格的确定 (13)2.4 吸收边界条件 (13)2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14)2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17)2.4.3 完全匹配层 (19)2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23)第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25)3.1 MATLAB程序及相应说明 (25)3.2 出图及结果 (28)3.2.1程序部分 (28)3.2.2 所出的效果图 (29)第四章结论 (31)参考文献 (32)第一章绪论1.1 课题背景与意义20世纪60年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。