有限差分方法

有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。

是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。

把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。

因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。

前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。

只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。

另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。

此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

有限差分法有限差分法是数学领域的一项最新成果，它在某些特定情况下能得到非常好的结果。

所谓有限差分方程就是利用积分和求差公式将差分方程化成为多个等价的偏微分方程组的组合形式，然后再应用最优化方法求解这种方程组，从而得出未知数的近似值。

当已知方程组的每个参数及其变量代入数据计算后的误差时，只要对其进行必要的调整或者修改后，就可获得满意的精度与效率的估计值。

此外，还可以通过有限差分方程的求解来了解其物理背景。

比如说在物体碰撞问题中，两个质点之间距离的测量往往涉及到很复杂的三维几何关系。

即使是一个小的距离误差也会引起很大的误差。

因此，对于碰撞问题中两个质点之间的相互位置误差测量，必须考虑它们之间的三维几何关系，并根据具体问题建立相应的坐标系统。

有限差分方程可以用来描述许多不同类型的实际问题，例如质量、压力、速度、温度、流动、热传导、声音和电磁场等。

但是由于数学模型本身的复杂性，使得有限差分方程在求解上遇到了困难。

因此，人们开始寻找一种更加直观的方法来解决问题。

有限差分法正是基于此原理提出的。

利用有限差分方程求解偏微分方程，我们首先要给出所求解的偏微分方程的数学表达式，这样才能够在有限差分方程的数学模型中寻找解析解。

有限差分方程的解析解，需要借助解析函数的理论来确定。

但是在自然科学和工程技术领域里，对于一般的实际问题，很少会存在着某种数学模型完全适合于所有的具体问题，那么对于任意一个偏微分方程，总是存在着一个解析解。

当把偏微分方程的解析解用适当的坐标表示出来后，有限差分方程的求解就转化为如何寻找与这个解相对应的函数值的问题。

通常，解析函数的形式是比较复杂的，因此需要运用数值方法进行拟合，从而得到符合实际的数学表达式。

然后通过对这个数学表达式的求解来确定所求偏微分方程的解析解。

这种数值求解方法称为数值积分法。

在研究有限元法和边界元法时都可以采用一些简单易行而且计算机可能很容易处理的函数作为边界条件，而这些函数本身又是很容易计算的。

有限差分方法
有限差分方法是数值分析中常用的一种数值计算方法，它主要用于解决微分方
程和积分方程的数值逼近问题。

有限差分方法的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，将微分方程转化为代数方程，然后利用数值计算方法求解代数方程，从而得到微分方程的数值解。

有限差分方法的核心是将求解区域离散化，将连续的求解区域划分为有限个小
区域，然后在每个小区域内利用差分逼近微分方程，得到代数方程。

通过对这些代数方程进行适当的组合和求解，最终得到微分方程的数值解。

有限差分方法有很多种形式，常见的有向前差分、向后差分、中心差分等。

这
些方法在具体应用中有各自的特点和适用范围。

在选择使用哪种有限差分方法时，需要根据具体的问题和求解区域的特点来进行合理的选择。

有限差分方法在实际应用中具有广泛的适用性，它可以用于求解各种类型的微
分方程和积分方程，包括常微分方程、偏微分方程以及积分方程等。

在工程、物理、经济等领域中，有限差分方法被广泛应用于模拟和求解各种实际问题。

在使用有限差分方法时，需要注意选取合适的离散化步长和求解区域的划分方式，这对于最终的数值解的精度和稳定性有着重要的影响。

同时，还需要注意数值计算方法的稳定性和收敛性，避免出现数值解的不稳定或者发散现象。

总之，有限差分方法作为一种常用的数值计算方法，在数值分析和科学计算中
具有重要的地位和作用。

掌握有限差分方法的基本原理和应用技巧，对于解决实际问题和开展科学研究具有重要的意义。

通过不断的学习和实践，可以更好地掌握有限差分方法的使用技巧，提高数值计算的准确性和效率。

有限差分法有限差分法（Finite Differential Method, FDM ）什么是有限差分法 有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。

按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。

有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。

将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。

（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。

（3）求解差分方程组。

采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。

(1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻和股票价格，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。

2.建立差分格式（1）内含的有限差分方法其步骤可分为以下几步：(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3)将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即(4)(2)求用前向差分近似：(5)(3)求(6)(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：+ b j f i,j−c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7)aj f i,j− 1其中：i=0,1,…，N-1。

j=0,1…，M-1针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：看跌期权：看涨期权：(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：+ b j f N− 1,j + c j f N− 1,j + 1j=1,2…，M-1aj f N− 1,j− 1求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。

有限差分公式
有限差分是微分方程解的近似值的一种表示方法，通常用数学表达式
f(x+b)-f(x+a)来表示。

如果将有限差分除以b-a，则可以得到差商。

在微分方程数值解的有限差分方法中，特别是处理边界值问题时，有限差分导数的逼近起着关键的作用。

有限差分通常考虑三种形式：正向差分、反向差分和中心差分。

正向差分是f(x+h)-f(x)，反向差分是f(x)-f(x-h)，中心差分是f(x+h)-f(x-h)。

当h取为1时，正向差分除以h近似于导数。

在数值方法中，有限差分法是一种常用的数值解法，它用差商代替微分方程中的偏导数，从而得到相应的差分方程。

通过解这个差分方程，可以得到微分方程解的近似值。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学类书籍或咨询数学专业人士。

第四章有限差分方法4.1引言有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。

物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。

一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。

有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。

在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。

但是从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。

因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值插值计算来近似得到。

这种方法是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。

其计算格式和程序的设计都比较直观和简单，因而，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分。

有限差分法的具体操作分为两个部分：(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； (2)求解差分方程组。

在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。

通常采用的是规则的分割方式。

这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。

网络线划分的交点称为节点。

若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点；反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。

在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。

有限差分法的差分格式：一个函数在x 点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。

如对一个单变量函数f(x)，x 为定义在区间[a,b]的连续变量。

以步长h=Δx 将[a,b]区间离散化，我们得到一系列节点x = a , x = x + h , x = x + h = a + 212132Δx , ..., x = x + h = b , 然后求出 f(x)在这些点上的近似值。