有限差分方法计算欧式期权价格

美式期权定价方法综述【摘要】本文介绍了几种主要的美式期权定价方法。

其中，对叉树法、蒙特卡洛法和有限差分法进行了较详细的分类综述。

最后，简单介绍了有限元法，近似解析公式法和提前执行权利金法在美式期权定价方面的应用。

【关键词】美式期权；叉树法；蒙特卡洛；有限差分1 叉树方法叉树方法是将期权的基础资产价格过程在风险中性条件下离散化，在利用动态规划的方法求解该期权的价格。

该方法由Cox，Ross和Rubinstein于1979年提出，因此我们将该模型简称为CRR模型。

Hsia（1983）证明在中心极限定理及某些参数下，二叉树模型将收敛为连续的BS模型。

二叉树方法简单易行，迄今已被广泛扩展。

Hull和White（1988）利用控制变异来修正二叉树模型，并用于美式期权定价，发现此法收敛速度更快。

Breen（1991）通过修正二叉树模型发展出加速二叉树模型，研究表明时间间隔固定时，此法可加速二叉树收敛，并提高精确性。

Boyle（1986）发展出三叉树模型，即一段时间内股价可能上涨，下跌之外或持平。

三叉树定价原理与二叉树类似，因而适用于美式及欧式期权定价，且资产预期价格变动或投资者的风险偏好差异不会影响期权价格。

Rubinstein （2000）比较了三叉树与二叉树模型，发现前者的优越性在于比后者多一个自由度，使股价变化与时间分割相互独立。

2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是使用计算机来模拟基础资产价格变动的随机过程，并求期权价格的方法。

Hull和White（1993）提出蒙特卡洛法时，认为只适用于欧式期权定价。

Tilley（1993）则提出用蒙特卡洛法解决美式期权的提前执行，通过记录基础资产价格路径，并比较提前执行收益与期权价格，判断是否提前执行。

此后学者对这一方法提出新扩展，较为著名的有Barraquand和Martineau（1995）提出的BM模型，和Raymar和Zwecher（1998）提出的RZ模型。

两个模型的提前执行决策都是比较执行价和持有价，但分隔区域的数量不足会造成每一区域持有价格的估计偏差。

第九章期权定价的有限差分方法在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。

具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。

在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。

在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。

正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。

在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。

在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。

最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。

9.1 使用有限差分法解BS方程在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间t的价格为)(tS的期权，该期权的价格是一个函数),S(tf满足偏微分方程(tSf，且),（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。

在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。

正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。

设T是期权的到期日，而Smax是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，)(tS的数值不能超过Smax。

设定Smax是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。

但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。

Smax相当于+∞。

网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足δ,M=S=SS，Sδ，Sδ2，……,maxδ。

N=t=t, tδ，tδ22，……,T本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：向前差分向后差分中心（或对称）差分对于第二个差分式子，有至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。

欧式期权定价基本原理及其计算公式信阳师范学院(自然科学版)第19卷第2期2006年4月JournalofXinyangNormalUniversity(NaturalScienceEdition)V o1.19No.2Apr.2006综述?评论?争鸣?欧式期权定价基本原理及其计算公式孙胜利,豁祖顺.(1.清华大学数学科学系,北京100084;2.商丘职业技术学院,河南商丘476000:3.信用职业技术学院,河南信阳464OOO)摘要:文献【1]给出了买入和卖出期权定价的基本概念,费产定价定理和资产定价的数学结构,本史进一步阐述了欧式买入和卖出期权定价的基本原理殛其数学模型,并导出Slack-Scholes期权定价公式.关键词:Redundant债权;期权;套利;完备市场;Slack-Scholes公式中图分类号:0157.5文献标识码:A文章编号:1003-0972(2OO6)02.0233-03令=(五).,表示一项风险资产的价格序列,那么,就具有一种"风险,为了降低这种风险,我们可以利用"期权"即在时刻按照O时刻规定的价格买人权利.这个规定的价格称为"履约价格",这就是一个期权即买人期权.类似地,履约价格为的卖出期权在时刻的盈利表示为日(n,)=(一(埘)).这就是卖出期权.但它们是彼此联系的【,即一K=(+)'一(一),称为平价公式.考虑期权日=F()r=F(Xr;O≤J《T),它是的轨道函数.若有右连左极轨道有F.D—R+,其中D是右连左极函数:[0,]一只+组成的空间.若期权只能在截止日期实施,则称欧式期枕令日是上的随机变量.它表示一个未定债权.令表示它在t时刻的价值(或价格).从传统概率论观点可知=E{圳,如果考虑通货膨胀,把时问价值贴现回去,并且假定一个固定的利息率为,和时刻的盈利,那么可用￡,={万}取代={圳.根据"无套利机会"原,-/'理,用新的概率P'来代替P,使得证券价格x=(置)l10.r是鞅,只需选P'使得的期望为常数,即'{}为常数.其中E'表示在概率测度P'下的数学期望.从而,未定债权日的"无套利价格"不是{圳,而是'{圳,否则就会存在无风险的套利机会,其中P是实际控制证券变化的概率,而P'是人为计算出来的概率我们通过{}=E'{}来求P',然后得到P'近.II12,,似等于P'=1f1一l+Il,那么在P'下,'\\—//仍旧是二项的,但是此时它的均值为几P,方差为nP'(1'一P'),则((2以一n)/)均值为一(+)/,方差●渐近收敛到1.由中心极限定理,当n趋于无穷,s.收敛到一个对数正态分布:logS.均值为l0昏so一1/2t,方差为.厶这样St=Soe~p(o-,/iZ一.:1t),其中z在P'下为N(0,I)分布.这个方法就称为"二项式近似"方法].1Redundant债权若给定一个证券价格过程s.根据数值不变性,取R.;1.令=(s,;r《t),F-=VN,其中Ⅳ是(r2,F,P)中F的零测度集合,且F=V.,并取=n.那么,对某个给定的,s上的一个未定债权是一个随机变量日EFr.如果是一个非常数的随机过程,就可能改变所取的最小子域,那么利率过程将是(R.,s.),而不只是es..由金融资产定价理论可知,存在投资策略(口,b),使得它在时刻是日或尽可能地接近扭定义l令s为一项风险证券的价格过程,R为一项无风险债券的价格过程,并把它设为常数过程1.未定债权日EFr称为~dundant.当存在可容许的自融资策略(口.b). I1使得日口o+6.风+上atd~.+上asd~s-若把s标准化并记M=(1/R)S.那么,日在下为redundant,则有(对所有t,取R.一1)H=ao^f0+b0+.r【atdg,.如果P'是一个等价鞅测度使得是鞅,且日在P'下的数学期望有限,那么有'{圳=E'{口o+60}+-fE'{【口I埘.},若期望都是存在的,则有{圳=E'{口.矾+bo}+O.定理1设为redundant未定债权,并存在等价鞅测度P'满足日EL'(M),那么,存在日的惟一无套利价格E'{圳.证明由于对任一个等价鞅测度'{圳是不变收稿日期:2005-03-24;it订日期:2005-10-20作者简介:孙胜利(1963.),男,河南民权人,副教授,清华大学访问学者,主要从事随机分析与金融数学研究.233第19卷第2期信阳师范学院(自然科学版)2OO6年4月的,设Q.和Q:是两个等价鞅测度,那么,r{日f={ao+6oI+{【asdMsl,i=I,2?.r但是E口.{【}=0,且EQ.{aoMo+bol=aoMo+bo,由于ao,%和bo在0时刻是已知的,不失一般性.取它们为常数.假设有一个价格仃>E'{H}=a0+6o,那么用策略口=(口.)舢(忽视交易的手续费),在时刻要交给期权的买方金额为日,那么就无风险地获得了仃一n0+6o>0的利润,这是一个套利机会.另一方面,如果以仃<a0Mo+6.的价格购入债权金额为,那么时刻可以无风险地获得(口0+60)一仃的利润.定义2如果日是一个redundant债权,那么存在一个可容许的自融资策略(a,6),使得日=no+6o+JI.dM.,则称策略为复制债权且推论如果日是一个redundant债权,那么可以用一个自融资的方式复制债权日,且最初资本等于E'{Hf.P是标准化价格过程的任意等价鞅测度.令工'(M)表示P'意义下策略的集合.如果让完备市场(见下面定义)定义在P'下,实际上定义在P下更合适,但如果能在一个良好的情况下价格过程是P下的局部鞅,那么这个问题就解决了.定义3如果每个债权HEL'(,dP')对工()是redundant的,即对任意日∈L'(,dP'),存在一个可容许的自融资投资策略(口,b),口L'(M),满足H=‰Mo+,r,r占o+【asdM,,且(【as)..是一致可积,则称市场模型(肘.工'(M),P')是完备的.实际上.一个完备市场就是其中的每个债权都redundant,即每个未定债权都是可复制的.可料表示这条性质是非常好的性质,但只有极少数的鞅具有这个性质,比如布朗运动,补偿泊松过程和Azema鞅【3】,这样一来绝大多数的模型都不是完备的,并且绝大部分操作者也都认为实际的金融市场不是完备的.我们有下面的结果:定理2若存在惟一P',使JIlf是局部鞅仅当市场完备定理3若有连续轨道,存在惟一P'使』l,是意义下的一鞅当且仅当市场完备由于日是redundant债权.那么目的无套利价格是E'{日},对任意等价鞅测度P(如果曰是redundant,那么E'{驯在每个P下都相等).然而,如果一个良好的市场模型不是完备的,那么(i)会出现不可复制的债权;(ii)等价鞅测度不惟一.所以,当日是redundant时,总存在复制策略若日不是redundant时,它不可能被复制;这种情况只能在某种恰当的意义下尽可能处理(例如expectedsquared errorloss),称这种策略为对冲策略.2342寻找复制策略'实际上要计算出一个复制策略的精确表示是比较困难的,而计算出对冲策略的精确表示就更难了,然而在一些简单情况下还是有精确表示的;若没有精确表示时候,但可用数值技巧来准确的近似对冲策略.一个相对简单标准形式的未定债权形式为日=,(Sr),其中s是风险证券的价格.欧式买人和卖出期权是相关联的[1],但两者之间的区别是(—sr)'是值域[0,K]的有界随机变量,而(s,一)是一个无界的随机变量.我们通过一个数值变换取R;1,并设=,(5r)是一个redundant债权,在t时刻债权的一个复制自融资投资组合价值是=E{,(s,)l}=口o+bo+【d.现作一系列假设来进行更简单的分析.假设1若S在某个等价局部鞅测度P'下是马尔可夫过程.在假设1下有=E's)J}=E'Sr)J},但由测度论可知,对每个t,存在函数9(t,?)使得E'{,(Sr)ISI}=9(t,S.).假设2若9(t,)对￡是,而对是.根据伊藤公式=E'{_,(Sr)I}=(t,)=(o,so)+【,(5,s,一)d.一+【,一)山+^l^,寺上"(5,.)d[s,s]:+∑{(s,)一(j,SJ.)一(s,.)△S.}.假设3若s有连续轨道.由假设3和伊藤公式可推出=妒(f,)=妒(o,)+【妒,(J,)aS.+.(s,S,)ds+妒"(j,)d[s,s]..(1)由于在O'下是鞅,(1)的右边也一定在P'下是鞅,这需要l.(j,)山+寺l"(s,)d[s,s].=0?(2)为了使(2)式成立,自然就要求[s,s]有几乎处处绝对连续的轨道.但可让假设的更强一些,即假设[s,s]有一个特殊的结构:假设4[s,s]=【III(s,)ds,h为+×一的联合.-7测函数.由此可知,当tp为偏微分方程i1III(5,). (s,)警(s,)=o,(边界条件9(,);))的解时,(2)一定成立.如果结合假设1—4,便得到一个具有二次变差【h(5, s.)ds的连续马尔可夫过程{S.},一个明显的满足条件的孙胜利,等:欧式期权定价基本原理及其计算公式过程就是随机微分方程=.II(5,s.)dB,+b(s,S,,r≤5)(Is的解,其中是P下的标准布朗运动,.s在P'下是连续马尔可夫过程,且二次变差[s,s].=【^(1,s.).(Is满足假设条件,所以,二次变差具有轨道性质,在等价概率测度P' 改变时它是不变的,但是马尔可夫性呢?为什么当b是依赖轨道的时候,s在P'下是马尔可夫过程吗?因为P等价于P,可以令Z=dP/dP,且Z>0口.8. (dP).令={ZI}(它显然是鞅),由Girsanov定理,)dB.一Z-~[Z,)dBr]I(3)是一个P'鞅.若假设=1+【Z.dB.,因为B有鞅表示且z是鞅,那么(3)变为.II(S)dB.一..II(S)山;.II(5,S,)dB.一上.II(J,s.)山-如果取=b(J,;r≤s)/h(s,sI),那么有sl=【.II(J,sJ)dB.+【6(J,S,;r≤5)山是P'下的鞅;于是有=+是一个P'鞅;因为【肘,肘]=[B,B].=I,由Levy定理它是一个P'一布朗运动,并且有.=h(t,s.)dM,,从而S是P'下的马尔可夫过程.最后构造P'.由于半鞅S的随机指数是"指数方程"dr,=d置的解,其中=1.而这个解为=exp(五一1[,]:)n(1+)e,如果连续,那么=exp(X,一÷[,剐.),记作=g()..只需dg,=l-l,Z,dB.;令ⅣI=【dB.,并且有=()..然后设=一b(t;S,;r≤t)/h(t,),且令dP'=dP,因为Z>0a.s.(dP),所以有P和P'等价.为此假设有一个价格过程dS,=h(t,)凹.+6(t,S,;r≤t)dt.现在我们用dP'=dP来构造P',其中=().且=二爵..令妒为边值问题()()()=0(4((T,x)=,(),其中(t,)对t是',而对是)的(惟一)解,那么=(I,s|)=(o,)十(5,S.),所以,由这4个约束性更强的假设,便找到了所需的复制策略!即口=却(5,s.)/Ox.并且也得到了价值过程II,=(t,s1),通过解偏微分方程(4)即可得到.假如没有显式解,但也可以用数值近似求得.从而得出结论:风险资产的价格过程S是服从一个由布朗运动导出的随机微分方程.注1尽管假设价格过程服从SDE,dS,=h(I,)+b(t;S,;r≤I)dt.但是我们看到PDE(4)中根本没有漂移系数6,这样价格和复制策略中也不会含有b,经济学的解释有两层:首先,漂移系数b已经在市场价格中反映出来了,它是建立在证券的基本原则上的;第二,重要的是风险的程度,而它已经在h这一项中反映了.注2假设2不是一个宽泛的假设,因为是一个PDE的解,并希望能发现这个解的规律.当,为光滑的时候它是对的(当然典型例子l,()=(K—)不是光滑的),问题出现在边界上,而不是内部,这样对适当的,我们可以解决边界项,实际上,这项分析可以解决欧式买入卖出期权的情形.3Black—Scholes公式由上面可假设S服从一个常系数线性SDE:dS,=+dt,so=1(5)令五=.+,有(=S.dX,,So=1,则S.=().=e呐一(I/2).(5)的过程5是几何布朗运动,在这种简单的情形下PDE(4)的解可以表示为:'I)=佣1))e(6)在欧式买入期权的情形中有,()=(—K),那么可得=叫(10g素+1_f)))一K(l0g素一l2(-I)))),其中(z)=l_..LJI*~ae-w2/1d".对欧式买入期权还可以计算出复制策略(岳log+())-(7)下面我们计算欧式买人期权的价格(这里假设So=s)=(,0)=(1og素+1))一叫kg素一)),(8)(7)和(8)就是着名的Black-Scholcs期权公式,R=1.当存在利息率的时候,情况会有什么变化,为此假设有一个常数利息率r,则R.=e一,则公式(8)变成;=(,0)=(1og素十(r+12))一e(10g素+(r一))).(9)(下转第238页)235第19卷第2期信阳师范学院(自然科学版)2OO6年4月较大的小波系数,需要对阈值多次减半才能得以扫描到,这是本文算法的不足.参考文献:[I]M3~I.ATS.A~oryforMulti-resolutionDecomposition-t帅AnalysisandMachineIntelligence,1989,11(7):674-693-[2]SHAPIROJM.EmbeddingImageCodingUsingZerotreesofWaveletcD[J]'IEEETransa ctionsonSignalProe~sa~ing,1993,41(12):3445-3462.[3]ISO/IECFCD15444.I.JPEG2000StillimageCodingSystem【S/0L].httrC/March,20OO.[4]黄卓君,马争鸣.一种零树与游程相结合的小波图像编码方法[J].中国图象图形,2001,6(11):1118—1124-AnOrderedQuad.treeAlgorithmBased0nWa_veletTransformFENGY an(DepartmentofComputerScience,XinyangNormalUniversity,Xinyang464OOO,China) Abstract:AnimprovedalgorithmispresentedbasedondiscussingthealgorithmofEZW.Na melythelowestfre—quencysubbandisencodedseparately.theorderedquad-treeisdefinedinhighfrequencysub bandsSOthattheimportantwaveletcoefficientsaretransmittedbypriority,andtherun—lengthisapplied.Theoreticalanalysisand experimentalresultsshowthattheschemeisbetterthantheEZWintheaspectsofencoding/de codingtimeandrecoveryimagequality.Keywords:EZW;imagecoding;orderedquad—tree责任编校:郭红建(上接第235页)这些相对简单,精确,且容易计算的公式使得计算欧式买入卖出期权变得十分简单,这可能是由几何布朗运动构造出的价格模型比较简单,且Black-Scholcs公式中不出现漂移系数,但有时候它对真实市场模拟的并不精确.Black.scholea公式的应用广泛.如风险管理方法的设参考文献:计.融资和投资策略等;①期权定价公式可用于一般衍生物期权定价;②期权定价理论及其公式可用于债务定期和贷款担保;③期权定价理论及其公式可用于投资决策.一般来说,凡是具有期权特点的问题(已知目标.求初始投资)都可以利用Black—sc}10k期权定价理论和方法进行研究.[I]宋福庆,孙胜利.期权定价的数学模型[J].安阳师范学院,2005(2):14-16.[2]COXJ,ROSSS,RUBINSTEINM.OptionPricing:口鼢r归dApproach[1].J.FinancialEcon,1979(7):229-263.[3]DELBAENF,scHAcHERMAYERW.TheExistenceofAbsolutelyContinuousLocalM artingaleMeasures[J].AnnApplProbab,1995(5):926-945.[4]DRITSCHELM,pleteMarketswithDiscontinuousSecurityPrice[J].F inanceStochastice,1999(3):203-214.[5]DELBAENF,sc卧cHE砌AYERW.AGeneralV ersionoftheFundamentalTheoremofAssetPricing[J].MathAnn.1994(300);463-520.[6]DELBAENF,sc卧cHERMAⅥ'Rw.TheFundamentalTheorem向r占DHStochasticP,∞艄[J].MathAnn,1998(312):215-250.[7]孙胜利,刘永建.欧式期权定价原理及其应用[J].河南科学,2005,23(6):794-797.[8]DALANGR,MORTONA.WILLINGERw.Equi~le.zMartingaleMeasuresand110Arb itrageinStochaaic,&MarketMode/,[J].StochastiesStochasticRep,1990(29):185-201. TheBasicTheoryandAccountformulaofthePricingoftheEuropeanOptions SUNSheng.1il..HUOZu.shun(1.DepartmentofMathematicsScience,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;2.ShangqiuV ocational&TechnicalCollege,Shangqiu476000.China;3.XinyangV ocational&TechnicalCollege,Xinyang464OOO,China)Abstract:ThebasictheoryofbuyingandsellingtheassetpricingoftheEuropeanoptionsin[I]i sgiven.1'}le articleprobesintothebasictheoryofpricingEuropeanputandcalloptionandmathematicalm odeloftheEuro-pearloptions,andtheBlack.Scholesoptionformula.Keywords:redundantdebtee;options;arbitrage;completemarkets;black.scholesformula 责任编校:郭红建238。

期权定价理论文献综述[摘要］本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black—Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。

最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。

[关键字］综述;期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型;蒙特卡罗法1 期权的分类及意义1.1 期权的定义期权（option）是一份合约，持有合约的一方(seller）有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。

为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。

1。

2 期权的分类期权交易的类型很多，大致有如下几种:（1)按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权；（2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权；（3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权；此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。

1.3 期权的功能作为套期保值的工具。

当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。

当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。

通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。

求解Black-Scholes模型下美式看跌期权的有限差分法李景诗;王智宇;朱本喜;宋海明【摘要】考虑Black-Scholes模型下美式看跌期权的定价问题。

采用有限差分法和 Newton法耦合求解Black-Scholes方程，得到了期权价格和最佳实施边界的数值逼近结果。

数值实验验证了算法的有效性。

%This paper deals with the American put option pricing problem governed by the Black-Scholes equation.Applying finite difference method coupled with Newton’s method to solve the Black-Scholes equation,we can get the numerical approximations of the option price and the optimal exercise boundary simultaneously.Numerical experiments verify the efficiency of the method.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】5页(P949-953)【关键词】Black-Scholes模型;美式看跌期权;最佳实施边界【作者】李景诗;王智宇;朱本喜;宋海明【作者单位】吉林大学数学学院，长春 130012;吉林大学数学学院，长春130012;吉林大学数学学院，长春 130012;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O241.8Black-Scholes模型在美式期权定价问题中应用广泛.令S,t,σ,r,q,T和K分别表示原生资产价格、时间、原生资产的波动率、无风险利率、原生资产的红利率、期权的到期日和敲定价格,则美式看跌期权[1]P(S,t)满足的Black-Scholes模型为其中: Z+=max{0,Z}; B(t)为美式看跌期权的最佳实施边界,它把美式期权的求解区域分成两部分,如果S≤B(t),则选择实施期权,否则继续持有.求解Black-Scholes模型下美式看跌期权定价问题目前主要存在以下困难:1) 求解区域左端的最佳实施边界B(t)是一条未知曲线,求解区域不规则;2) 求解区域右端无界,无法直接应用数值算法;3) 给出的算法需要同时确定期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t).针对1),2),本文采用Front-Fixing变换[2-3]和完全匹配层技巧(PML技巧)[4],将问题(1)化成一个有界规则区域上的抛物问题.对于3),本文采用有限差分法和Newton 法交替迭代求解截断后的方程,进而得到期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t).由于方程(1)是一个变系数方程,因此为简化模型,可通过变量替换将Black-Scholes方程(1)化为一个常系数方程:其中:做Front-Fixing变换则方程(3)可化为至此解决了第一个难点,将方程(1)的左边界B(t)化成了x=0的一条直线.注意到,抛物问题(6)是定义在半无穷区域上的,数值求解时需要进行截断.若直接做人工截断,则会导致数值不稳定或数值不精确[4].本文采用PML技巧对无界区域进行截断.下面解决第二个难点.通过PML截断技巧:σ1(x)=σ0((x-L)/δ)β0, L≤x≤L+δ,(8)问题(6)可化为如下有界规则区域上的抛物问题:至此解决了第二个难点.Black-Scholes方程(1)已转化为一个有界矩形区域上的抛物问题.该问题可以采用有限差分法[5-7]进行数值求解.考虑求解方程(9)的数值方法----有限差分法.对方程(9)采用θ格式的有限差分法进行离散化,为此需引入时间剖分:空间剖分:及差分近似:方程(9)在点(τm,xn)处对应的θ格式如下：其中给定bm的一个初值,可利用方程(9)的第1,3,4,5式离散求解一旦已知,即可通过对方程(9)的第2式离散得到bm的一个更好近似,这两步交替求解,便可得到和bm的逼近结果.观察方程(9)的θ格式,时间方向为一阶精度,空间方向为二阶精度,为达到数值精度匹配的目的,对方程(9)的第3式采用如下二阶公式离散:方程(9)相应的矩阵形式可记为其中:).整理后矩阵A可表示为如下三对角矩阵：fm为如下向量:由于期权的价格非负,故要求算法求得的数值解非负.定理1 当θ∈[0,1),α≤-++时,假设h=o(1),=O(1),则系数矩阵A为M矩阵,且右端fm非负.证明：由b(τ)的定义可知bm<0.下面先证明系数矩阵A是一个M矩阵.当n=1,2,…,N-1时,当n=0时,故系数矩阵A为M矩阵.下面证明右端fm各项均非负.对于固定的m,由于故gy(bm,τm)A(1,2)h≥0,因此只需证注意到,对于固定的m,故只要保证则从而由M矩阵的性质可知以此类推,可得所有的和fm均非负.事实上,证毕.下面考虑如何求解bm.注意到是关于bm的非线性函数,根据方程(9)中第2式可知,可视为bm的隐函数:采用Newton法求解非线性方程(10),其中算法如下：1) b(0)=bm-1-km-1,1<m≤M;2) 对于j=1,2,…① 求解和A=ψ,ψ为对两端关于b(j-1)求导时得到的右端,从而得到和；② 计算b(j)=b(j-1)-；③ 如果|bj-b(j-1)|≤ε,令bm=b(j),终止循环;3) 求解得到的最佳逼近.实际计算时,取b0=Kmin(r/q,1),ε=10-6.考虑对美式看跌期权定价问题(1)进行数值模拟,在方程(1)中,令σ=0.2,K=100,T=1,r和q取以下两种情形: 1) r=0.05,q=0.05; 2) r=0.1,q=0.01. 为了验证本文算法得到的数值结果不依赖于θ的选取,对于情形1)和情形2),分别选取不同的θ,数值结果如图1和图2所示.其中: t表示时间; S表示股票价格; P表示期权价格.图1给出了本文算法得到的最佳实施边界与二叉树法[8]最佳实施边界的对比结果.情形1)中取θ=0.5,M=500,N1=1 000,N=1 010,σ0=10,β0=3; 情形2)中取θ=0,M=500,N1=1 000,N=1 010,σ0=10,β0=3；对于这两种情形,二叉树法中都选取M=1 000.图2给出了两种情形下本文算法得到期权价格的三维图像.由数值结果可见,本文算法能较精确地拟合出最佳实施边界和期权价格.【相关文献】[1]ZHU Songping,ZHANG Jin. A New Predictor-Corrector Scheme for Valuing American Puts [J]. Appl Math Comput,2011,217(9): 4439-4452.[2]Wu L,Kwok Y. A Front-Fixing Finite Difference Method for the Valuation of American Options [J]. J Financial Engineering,1997,6(2): 83-97.[3]Holmes A D,YANG Hongtao. A Front-Fixing Finite Element Method for the Valuation of American Options [J]. SIAM J Sci Comput,2008,30(4): 2158-2180.[4]Lantos N,Nataf F. Perfectly Matched Layers for the Heat and Advection-Diffusion Equations [J]. J Comput Phys,2010,229(24): 9042-9052.[5]Muthuraman K. A Moving Boundary Approach to American Option Pricing [J]. J Economic Dynamics Control,2008,32(11): 3520-3537.[6]HAN Houde,WU Xiaonan. A Fast Numerical Method for the Black-Scholes Equation of American Options [J]. SIAM J Numer Anal,2004,41(6): 2081-2095.[7]姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法 [M]. 2版. 北京：高等教育出版社,2008: 170-191. (JIANG Lishang. Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing [M]. 2nd ed. Beijing: Higher Education Press,2008: 170-191.)[8]Barone-Adesi G,Whaley R E. Efficient Analytic Approximation of American Option Values [J]. J Finance,1987,42(2): 301-320.。

BS模型及违约距模型公式BS模型是迄今为止应用较广且较为成熟的股票定价模型之一，其全名为Black-Scholes-Merton模型，是由费雪-布莱克、默顿-斯科尔斯共同独立发现并推导的，能够用来计算欧式期权（European Option）的理论价格。

BS模型最初应用于股票期权的定价和交易策略，但后来也被广泛应用于其他金融工具的定价和风险管理中。

根据BS模型，欧式期权的理论价格由五个变量决定：标的资产价格（S），行权价格（K），无风险利率（r），标的资产的波动率（σ），以及期权到期时间（t）。

BS模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程求解问题，该方程即为著名的Black-Scholes方程，表达式如下：$\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t}- rV = 0$其中，V为期权的价格。

由于BS模型是个复杂的非线性偏微分方程，并且具有封闭解的限制，因此通常采用数值方法，如有限差分法或蒙特卡洛模拟等，来求解BS方程并计算期权的理论价格。

违约距模型（Distance-to-Default Model）是一种衡量公司违约风险的模型，用于评估公司违约可能性和违约损失的大小。

违约距（distance-to-default）指的是公司当前净资产价值与其违约边界之间的差距。

当违约距小于等于0时，该公司被认为处于违约状态。

违约距模型的公式可以有多种形式，根据不同的内含假设和数据可获得不同的模型。

其中，常见的一种违约距模型公式是基于Merton模型（也称为公司债务默认模型）的基础上建立的。

该模型首次由Robert Merton于1974年提出，主要基于了股票价格和债券价格之间的关系。

Merton模型假设公司负债不可调整，公司价值遵循几何布朗运动的随机过程，违约发生的条件是公司资产价值（V）首次小于债务偿付额（F）。

对期权定价的有限差分法分析摘要：期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。

第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。

B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。

不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。

现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。

这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用，该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

关键词：期权定价；有限差分方法；1、引言期权，也即期货合约的选择权，指的是其购买者在交付一定数量的权利金之后，所拥有的在未来一定时间内以一定价格买进或卖出一定数量相关商品合约（不论是实物商品，金融证券或期货）的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。

在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。

随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。

在过去的20年中，投资者通过运用布莱克——斯克尔斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。

2、期权定价2.1期权定价的概念期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying assets)的选择权。

期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。

早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。

此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。

70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。

基于Monte-Carlo和Crank-Nicolson有限差分法的欧式障碍期权定价胡素敏中国矿业大学理学院，江苏徐州(221116)Email:husumin@摘要：近年来国际金融衍生市场除了人们熟知的欧式和美式期权外，还涌现出了大量的由标准期权变化、组合、派生出的新品种。

障碍期权便是新型期权的一种，障碍期权比普通欧式期权便宜，因而受到市场的青睐，被广泛的用来进行风险管理。

本文采用Monte-Carlo和Crank-Nicolson有限差分法对欧式障碍期权定价，以欧式看跌期权为例，运用Matlab编程，将所得两个结果与基于公式解的结果进行比较，结果表明Crank-Nicolson有限差分法比Monte-Carlo方法更优。

关键词： Monte-Carlo；障碍期权；有限差分方法；欧式看跌期权中图分类号：F832.511 引言及文献综述近年来国际金融衍生市场除了交易人们广为熟悉的欧式和美式期权外，还涌现出大量的由标准期权变化组合及派生的新品种，即新型期权[1]。

障碍期权就是其中一种，它是一种奇异期权，在金融衍生市场上发展非常迅猛，据估计从1992年起每年以2倍的惊人速度发展。

Carr发现“标准的障碍期权无处不在，以致人们很难把它叫作奇异期权”。

障碍期权具有以下优点：（1）障碍期权的价格低于标准期权的价格。

（2）设置的障碍具有可变性[2]。

障碍期权是一种路径有关期权（path-dependent options）,它的最终收益依赖于标的资产变动的路径，当原生资产价格触及设定的障碍时，期权合约生效或失效，自20世纪60年代末，市场上出现障碍期权交易后，障碍期权的发展便一发不可收，到目前为止，障碍期权的种类已经超过数十种，主要包括欧式障碍期权(Euroption barrier options)、美式障碍期权(American barrier options)、双障碍期权(double barrier options)、彩虹障碍期权(rainbow barrier options)，部分障碍期权(partial barrier options)、阶梯期权(step options)、巴拉期权(parasian options)、巴黎期权(Parisian options )等。