数学从特殊到一般共33页文档

分析 由 an＋1an＝(n＋1)(n＋2)，得 a1＝p，
a2＝6p，a3＝2p，a4＝1p0，a5＝3p，a6＝1p4．
由 a1＝p，a3＝2p，a5＝3p；a2＝6p，a4
＝1p0，a6＝1p4，可以发现：似乎数列{an} 的奇数项按原来的顺序构成的数列 {a2n－1}成等差数列，偶数项按原来的顺 序构成的数列{a2n}也成等差数列．
从特殊到一般
南京市金陵中学数学组 张松年
从特殊到一般是重要的数学思维方 式之一，其特征是通过对特殊现象的认 识，利用归纳、类比、猜想，探索、发 现一般性的知识，如一般性的结论、解 决问题的方法等．
一、代数中的特殊到一般 二、几何中的特殊到一般
一、代数中的特殊到一般
问题 1 函数 f(x)＝log2(2x＋1)－x2，x∈R
yC P
O FB x D
分析 根据对称 性，定直线关于 x 轴对称，只要求
A
定直线上点的横 坐标即可．
y
C
l P
OF B x D P'
当 CD 是通经时，设 C(c，y1)，D(c，－y1)，
P(x0，y0)，利用 AC与 AP共线，得 y
l
(c＋a)y0＝(x0＋a)y1．
CP
同理 (c－a)y0＝－(x0－a)y1．A
重合，故 OB＋ OC＝0，且OH＝ OA≠0，
所以 m＝1．
A (H)
OH＝m( OA＋ OB＋ OC)． B
O
C
提示：易知 OA2＝ OB2＝ OC2， AH· BC＝0． A
又 OH＝m( OA＋ OB＋ OC)，所以
H
O
B
C
( OA ＋ AH)· BC ＝m( OA ＋ OB ＋ OC )· BC ，

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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤

B
D
C
重合, 分析 2 设 D 与 C 重合,则 AB = AC , 即| AB |=| AC |,所以∠B=∠C. = ,所以∠ = . π 因为∠ = 因为∠A= , 6 5π 所以∠ = 所以∠B=∠C= . = 12
→ →
→2
→2
A
B
→2 →2
(D) C
→→
| AB | =| AD | + BD DC .
y O C F B D P x
2
2
分析 根据对称 性, 定直线关于 x 定直线关于 轴对称, 轴对称 , 只要求 定直线上点的横 定直线 上点的横 坐标即可. 坐标即可.
y A
二,几何中的特殊到一般
π 问题 1 △ABC 中,∠A= , = 6 D 是 BC 边上任意一点 与 B, 边上任意一点(D , C 不重合),且| AB | =| AD | + 不重合 ,
→→ →2 →2
A
BD DC ,则∠B= =
. B
D
C
的中点, 分析 1 取 D 是 BC 的中点,则
→2
1→2 1 → → 2 1 → → 2 AB = AD + BC = ( AB + AC ) + ( AC - AB ) 4 4 4
→2
1 →2 →2 = ( AB + AC ), , 2 所以 AB = AC ,即| AB |=| AC |. = .
→2 →2 → →
A
5π π 所以∠ = 因为∠ = 因为∠A= ,所以∠B=∠C= . = 12 |→|2=|→|2+→ →. 6 AB AD BD DC
C1 B1 C B
问题 4 圆 x +y +4 2x+4=0 的所 + = 有的切线中, 有的切线中, 纵截距与横截距相等的直 线共有_________条. 线共有 条

从特殊到一般作者：沈建华宣卓翔来源：《小学教学参考(数学)》2012年第11期一、问题的提出【例1】甲乙两枚大小相等的硬币。

现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？当时很多人认为硬币乙旋转了1圈，但如果我们亲自拿硬币做个试验，就会发现：硬币乙竟然旋转了2圈。

实际结果怎么会跟我们想象的不一样？因为我们将非常熟悉物体在直线上滚动的规律运用到物体在圆周上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。

那应该如何理解硬币乙旋转了2圈呢？预备定理：一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。

”证明：如图2，圆和直线l相切于A点，这个圆从A点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A′点，这时圆心所经过路径长度为线段OO′的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA′的长度，这两个长度是一样的。

事实上，因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。

因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。

利用以上的结论，对于例1，可以这样去理解：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙硬币把甲硬币的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆。

如图3，设这个大圆的半径为R，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR。

利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。

所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙滚动过的距离也等于2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为2πr（本圆的周长）。

这里R=2r，所以2πR是2πr的2倍，即硬币乙一共旋转了2圈。

因此，只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，就得到物体所旋转的圈数。