高中数学讲义微专题21 多元不等式的证明

【不等式的证明方法】不等式的证明ppt 不等式的证明ppt不等式的证明1.比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0。

作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b,只要证明a/b>1例1 求证：x2+3>3x证明：∵x2+3-3x=x2-3x+ 2- 2+3= + ≥ >0∴ x2+3>3x例2 已知a,bR+，并且a≠b，求证a5+b5>a3b2+a2b3证明：a5+b5-a3b2+a2b3=a5-a3b2-a2b3-b5=a3a2-b2-b3a2-b2=a2-b2a3-b3=a+ba-b2a2+ab+b2∵ a,bR+∴ a+b>0, a2+ab+b2>0又因为a≠b,所以a-b2>0∴ a+ba-b2a2+ab+b2>0即 a5+b5-a3b2+a2b3>0∴ a5+b5>a3b2+a2b3例3 已知a,bR+，求证：aabb≥abba证明：= ∵a,bR+,当a>b时， >1,a-b>0， >1;当a≤b时, ≤1,a-b≤0, ≥1.∴ ≥1, 即aabb≥abba综合法了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式定理1 如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时劝=”号）证明：a2+b2-2ab=a-b2≥0当且仅当a=b时取等号。

所以a2+b2≥2ab当且仅当a=b时取等号。

定理2 如果a,b,cR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时劝=”号）证明：∵a3+b3+c3-3abc=a+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ac=a+b+c[a-b2+b-c2+a-c2]≥0∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显，当且仅当a=b=c时取等号。

高二数学不等式的证明知识点归纳1.不等式证明的依据2不等式的性质略3重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;a-b2≥0a、b∈R②a2+b2≥2aba、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号2.不等式的证明方法1比较法：要证明a>ba0a-b<0，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.2综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.3分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.1记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

2建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

3熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

4经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

5阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

6及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

7学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

高二数学不等式同步辅导讲义第1讲 不等式的证明一、辅导内容不等式证明的方法与技巧二、学习指导不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。

其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。

不等式的性质是不等式证明的基础。

不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。

比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。

根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。

三、典型例题【例1】 设a ，b ∈R ，求证：a 2+b 2≥ab+a+b-1。

解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a 或b 看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。

作差δ=a 2+b 2-ab-a-b+1=a 2-(b+1)a+b 2-b+1=43b 23b 43)21b a (22+-++- =22)1b (43)21b a (-++-≥0 思路二：注意到不等式两边式子a 2+b 2与ab 的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a 与b 项，应用增减项法变形。

增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。

因a 2+b 2≥2ab ，a 2+1≥2a ， b 2+1≥2b 三式同向相加得：a 2+b 2≥ab+a+b-1思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a 的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。

记f(a)=a 2-(b+1)a+b 2-b+1因二次项系数为正，△=(b+1)2-4(b 2-b+1)=-3(b-1)2≤0 ∴ f(a)≥0【例2】 已知0<a ≤1，0<b ≤1，0<c ≤1，求证：abcc b a cabc ab 1++++++≥1。

微专题21 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。

一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。

二、典型例题：例1：已知()()2ln ,()f x x g x f x ax bx ==++，其中()g x 图像在()()1,g 1处的切线平行于x 轴（1）确定a 与b 的关系（2）设斜率为k 的直线与()f x 的图像交于()()()112212,,,A x y B x y x x <，求证：2111k x x << 解：（1）()2ln g x x ax bx =++ ()'12gx a x bx∴=++，依题意可得： ()()'112021g a b b a =++=⇒=-+（2）思路：21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，所证不等式为2122111ln ln 1x x x x x x -<<- 即21221211ln x x x x x x x x --<<，进而可将21xx 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式解：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，故所证不等式等价于：212122112222112112111ln ln 1ln 1ln 1x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x ---<<⇒<<⇔-<<-- 令21,(1)x t t x =>，则只需证：11ln 1t t t-<<- 先证右边不等式：ln 1ln 10t t t t <-⇔-+< 令()ln 1h x t t =-+ ()'111th t t t-=-=()h t ∴在()1,+∞单调递减 ()()10h t h ∴<=即ln 10t t -+<对于左边不等式：111ln ln 10t t tt-<⇔+->令1()ln 1p t t t =+-，则()'22111t p t t t t-=-=()p t ∴在()1+∞，单调递增 ()()10p t p ∴>=小炼有话说： （1）在证明不等式2122111ln ln 1x x x x x x -<<-时，由于12,x x 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式()12,f x x ：使得不等式以()12,f x x 为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x 独立取值，可对12,x x 定序，从而增加一个可操作的条件例2：已知函数()ln f x x x =． （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，且12x x ≠，证明：()()'2112212f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭解：（1）定义域为()0,+∞()'ln 1f x x =+令()'0f x > 解得：1x e>∴()f x 的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴的极小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无极大值（2）思路：所证不等式等价于证22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+-，轮换对称式可设12x x <，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设12x x <12()2AB x x k f +'<⇔22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+- 121222112121ln ln lnln 22x x x xx x x x x x x x ++-<-+- （由于定序12x x <，去分母避免了分类讨论）212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++ （观察两边同时除以1x ，即可构造出关于21xx 的不等式）两边同除以1x 得，2212221111122ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅<+-++ 令21x x t =，则1t >，即证：22lnln 111t t t t t <+-++ 令22()ln ln 111t g t t t t t=--+++2221212()ln112(1)2(1)t t t g t t t t t t ++'=+⋅⋅+⋅-+++2111ln ln(1)1111t t t t t t t t ---=+=+-++++ 令()101t m m t -=>+，()()ln 1h m m m =+- （再次利用整体换元） ()'11011mh m m m=-=-<++，()h m 在()0,+∞上单调递减，所以()()00h m h <=即()ln 1m m +<，即()g t '11ln(1)011t t t t --=+-<++恒成立 ∴()g t 在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)0g t g <=∴22ln ln 111t t t t t<+-++得证 所以12()2AB x x k f +'<成立小炼有话说：（1）本题考验不等式的变形，对于不等式212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以1x ，结果为21x x 或者1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以1x ，结果为21x x 或者1，进而就将不等式化为以21x x 为核心的不等式 （2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式 例3：已知函数21()2x f x e x ax =--（a ∈R ）． （1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）如果函数()()212g x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭恰有两个不同的极值点12,x x , 证明：12ln 22x x a +<． 解： （1）()f x 是R 上是增函数()',0x x R fx e x a ∴∀∈=--≥ (注意：单调递增→导数值0≥）()minxa e x∴≤-设()xh x e x =- ()'1xh x e =-令()'0h x >解得0x > 故()h x 在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增()()min 01h x h ∴== 1a ∴≤（2）思路：()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()'2xg x e ax a =--。