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高中数学必修一是学生学习数学的第一个大单元，也是数学知识体系的基础。
本文将围绕这一主题，对高中数学必修一的微专题进行点拨，共32讲。
通过本文的阐述，读者将能够全面了解必修一微专题的内容和重点，为学习和教学提供参考和指导。
一、集合和函数1. 集合的概念和基本运算2. 集合的表示法与运算规律3. 集合运算 laws的应用4. 函数的概念和表示5. 函数的性质和应用6. 函数的运算及函数方程的解法二、数列7. 数列的概念和表示8. 等差数列及其性质9. 等比数列及其性质10. 数列的综合运用三、全等三角形11. 全等三角形的判定12. 全等三角形的性质13. 全等三角形的应用四、直线与圆14. 直线的方程及其应用15. 圆的基本概念和性质16. 圆的方程及其应用五、平面向量17. 平面向量的概念和表示18. 平面向量的线性运算及应用19. 平面向量的数量积及其性质20. 平面向量的数量积及其应用六、三角函数21. 角度制与弧度制22. 三角函数的概念和基本性质23. 三角函数的图像和性质24. 三角函数的综合运用七、概率25. 事件与概率26. 随机事件的计数原理27. 概率的计算及应用28. 概率的运算与应用八、导数29. 导数的概念和计算30. 导数的性质和应用31. 高阶导数及其应用32. 函数的微分和应用以上是对必修一微专题的点拨，希望能够对读者在高中数学学习过程中提供帮助。
在学习必修一微专题时，需要注重理论与实践相结合，多加练习，加深对数学知识的理解和掌握，努力提升数学素养。
教师在教学中也应根据学生的实际情况，采取不同的教学方法，激发学生对数学的兴趣，引导他们主动学习，提高学习效果。
希望通过本文的共享，能够为高中数学必修一微专题的学习和教学提供参考和帮助，促进学生的全面发展。
高中数学是学生学习中的一大重点科目，而高中数学必修一更是其基础和起点，是学生打下数学基础的关键一步。
在这篇文章中，我们列举了必修一微专题的32个教学要点，并重点强调了集合和函数、数列、全等三角形、直线与圆、平面向量、三角函数、概率以及导数等内容。
新教材高中数学微积分教案
教学重点：掌握微积分中的导数和积分的定义，能够运用导数和积分解决相关问题。
教学难点：理解微积分的概念和运用导数和积分解决不同类型的问题。
教学准备：教师备好教材、课件，准备好白板、彩色笔等教学工具。
教学过程：
1.导入：通过举例引入微积分的概念，引发学生对微积分的兴趣。
2.导数的定义：讲解导数的定义及计算方法，通过实例演示如何求导数，引导学生理解导
数的意义。
3.导数的性质：掌握导数的性质及其应用，解决相关的问题，并引导学生进行思考和讨论。
4.积分的定义：介绍积分的定义及计算方法，通过实例演示如何求积分，引导学生理解积
分的意义。
5.积分的性质：掌握积分的性质及其应用，解决相关的问题，并引导学生进行思考和讨论。
6.综合练习：提供一些综合性的练习题，让学生运用导数和积分解决实际问题，巩固所学
知识。
7.课堂小结：对本节课的重点内容进行总结，强调导数和积分的重要性及应用。
8.作业布置：布置相关的作业，巩固学生对微积分的理解和应用能力。
评价方式：通过课堂练习和作业的评价，检查学生对微积分的掌握情况，并及时进行纠正
和指导。
教学反思：在教学过程中，要注重启发学生思维，引导学生自主学习，培养学生的创新思
维和解决问题能力。
同时，要根据学生的实际情况，灵活调整教学方法，确保教学效果。
基于“微专题”思路的高中数学教学1. 引言1.1 微专题的概念微专题是一种针对特定主题或问题进行深入研究和探讨的教学方法。
在高中数学教学中，微专题可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高他们的解决问题能力和创新意识。
微专题教学注重培养学生的思维能力和创造力，让他们在探究过程中逐渐领悟数学的美妙和智慧。
通过微专题教学，学生可以主动参与到课堂教学中，积极思考和交流，从而更好地理解和掌握数学知识。
微专题教学还可以帮助学生培养团队合作精神和解决问题的能力，提升他们的综合素质和学习效果。
在当前高中数学教学中，微专题教学已经得到越来越多教师和学生的认可和推崇。
通过微专题教学，可以有效提高学生对数学的学习兴趣和积极性，激发他们对数学探究的热情和动力。
微专题教学在高中数学教学中具有重要的意义和价值，有助于培养学生的创新能力和解决问题能力，为他们的未来学习和发展打下坚实的基础。
1.2 高中数学教学现状高中数学教学现状可谓是多方面的，受到师资、教材、教学方法等诸多因素的影响。
一方面，由于高中数学知识体系庞大、难度较大，传统的教学方法往往是以教师为中心，注重知识传授和机械应用，导致学生在学习过程中缺乏足够的动力和兴趣，容易产生厌学情绪。
高中数学教学中存在着应试倾向较重、注重应试技巧而非思维能力培养的问题，导致学生在考试中只追求分数而忽视对数学本质的理解和掌握。
随着信息技术的快速发展，现代教学手段的更新也对高中数学教学提出了挑战。
传统的黑板教学方式已经不能满足学生的多元化学习需求，需要借助现代化的教学工具和方法来激发学生的学习兴趣和提高学习效果。
高中数学教学迫切需要一种新的教学模式来解决上述问题，促进学生的全面发展和提高数学学习的效果。
【引言结束】2. 正文2.1 微专题在高中数学教学中的应用微专题在高中数学教学中的应用是一种新颖而有效的教学方法。
通过将数学知识与实际问题相结合，可以激发学生学习的兴趣和动力。
微专题是一个小课题，以一个具体问题为中心，涉及多个数学知识点，可以跨学科进行探究。
高中数学教与学投稿格式要求摘要：一、引言1.高中数学教学现状2.深度学习理论在高中数学教学中的应用二、微专题设计1.回归知识本质2.分层细化问题3.突破思维盲区三、含参零点问题的导数法解决路径1.导数法基本概念2.含参零点问题分析3.解决策略与实践四、创新思维与创新意识培养1.创新思维在高中数学教学中的重要性2.实例分析：创新思维的运用3.创新意识培养策略五、结论1.深度学习理论在高中数学教学中的应用价值2.培养学生创新意识与能力的重要性3.未来发展趋势与展望正文：一、引言随着我国教育改革的深入推进，高中数学教学逐渐从传统的知识传授转向以学生为主体的教学模式。
在这个过程中，深度学习理论为高中数学教与学提供了新的思路和方法。
本文结合深度学习理论，设计了微专题，通过回归知识本质，分层细化问题，突破思维盲区，探索含参零点问题的导数法解决路径。
同时，依托创新思维，培养学生的创新意识，为高中数学教学注入新的活力。
二、微专题设计1.回归知识本质在高中数学教学中，教师应关注知识的源头和本质，帮助学生建立起知识体系。
例如，在讲解导数法时，教师可以从导数的概念、几何意义、物理意义等方面入手，让学生深入理解导数的内涵。
2.分层细化问题为满足不同层次学生的需求，教师可以将问题进行分层细化。
例如，在含参零点问题的讲解中，可以设计基础题、提高题和拓展题等，使学生在解决不同层次问题的过程中，逐步提高自己的数学素养。
3.突破思维盲区在教学过程中，教师要引导学生突破思维盲区，培养学生的问题解决能力。
例如，在解决含参零点问题时，教师可以引导学生从不同角度进行分析，如代数方法、几何方法、导数法等，使学生掌握多种解题策略。
三、含参零点问题的导数法解决路径1.导数法基本概念导数法是指利用函数的导数性质来解决函数零点问题的一种方法。
导数法的核心思想是：函数在某一点处的导数等于0，说明函数在此点附近发生极值变化。
2.含参零点问题分析含参零点问题是指在函数中存在一个或多个参数，需要求解这些参数使得函数的零点满足某种条件。
高中数学微专题教学的课题一、引言随着教育改革的不断深入，微专题教学越来越受到教师的关注。
微专题教学是一种以微小、具体、针对性强的主题为中心，通过多元化的教学方式，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，从而提高学生的数学素养和解决问题的能力。
本文旨在探讨高中数学微专题教学的课题，以期为教学实践提供参考。
二、高中数学微专题教学的特点1. 主题明确：微专题教学以具体的数学问题或知识点为主题，具有明确的目标和内容，有助于学生深入探究和理解数学知识。
2. 内容精炼：微专题教学选取的内容具有代表性，能够覆盖重要的数学思想和解题方法，同时避免冗余和重复，提高教学效率。
3. 多元化教学：微专题教学可以采用多种教学方式，如自主学习、合作学习、探究学习等，以适应不同学生的学习风格和需求。
4. 注重实践：微专题教学注重学生的实践能力和问题解决能力的培养，通过引导学生解决实际问题，培养学生的数学应用意识和创新能力。
三、高中数学微专题教学的实施策略1. 选取合适的主题：教师需要根据教学目标和学生实际情况，选取合适的微专题主题，确保主题具有代表性和实际意义，能够引起学生的兴趣和思考。
2. 制定合理的教学计划：教师需要根据主题制定合理的教学计划，包括教学内容、教学方法、教学时间等，以确保教学的有序进行。
3. 引导学生自主学习：在微专题教学中，教师需要引导学生自主学习，通过问题引导、资料查询、小组讨论等方式，培养学生的自主学习能力和问题解决能力。
4. 组织合作学习：在微专题教学中，教师可以组织学生开展合作学习，通过小组讨论、合作探究等方式，促进学生的交流和合作，培养学生的团队协作能力。
5. 进行探究学习：在微专题教学中，教师可以引导学生进行探究学习，通过深入研究、拓展思维等方式，培养学生的探究能力和创新能力。
6. 进行多元化的评价：在微专题教学中，教师需要进行多元化的评价，包括学生的参与度、学习成果、解决问题的能力等，以全面了解学生的学习情况和进步情况。
【学生版】微专题：三角函数线的妙用一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足221x y +=的点组成的集合称为单位圆； 三角函数线可以看作是三角比的几何表示：正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)；如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线；如果，能在理解与掌握三角函数线的作法基础上，充分发挥三角函数线是三角比的几何意义与直观表示，这不仅能数形结合地理解任意角的三角比，同时，在直观、简单地比较任意角的三角比大小，已知三角比求角，证明含多种三角比的等式与不等式，推导诱导公式，作三角函数图像与研究三角函数性质等方面都有重要的妙用。
【典例】妙用1、利用三角函数线求三角比的值 例1、作出56π和4π的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切值。
【提示】 【解析】 【说明】妙用2、利用三角函数线解不等式例2、不等式组sin 02cos 10x x ⎧⎨->⎩，的解集为______________________【提示】 【答案】 【解析】 【说明】妙用3、利用三角函数线证明三角不等式 例3、利用三角函数线证明sin cos 1αα+≥。
妙用4、利用三角函数线确定三角函数值的范围 例4、（1）若236ππθ-≤≤，确定sin θ的范围； （2）若003090θ≤<或0090120θ<≤，确定tan θ的范围；妙用5、三角函数与其他知识的交汇例5、若α、β是关于x 的二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两根，且(α－β)2≤8；求：θ的范围。
【归纳】新教材借助单位圆，得交点坐标为P （cos α ，sin α），结合坐标的几何意义，很容易得到余弦、正弦三角比的几何意义，也就是三角函数线；三角函数线的应用相对老教材而言，重点体现在三角函数概念的理解，诱导公式的推导，以及正余弦函数的图像的得到以及三角函数的性质等；体现这个知识点的基础性和解决问题的本质的根源所在； 1、正弦线与余弦线（1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆； （2）过角α终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，当的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝||OM ， 当的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－||OM ， 称OM 为角α的余弦线；类似地，可以直观的表示sin α，称MP 为角α的正弦线，【说明】利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角β的余弦线是ON ，正弦线是NS ，由此可看成cos 0,sin 0ββ<<，而且还可以看出：|cos ||cos |βα>，|sin ||sin |βα<； 2、正切线设角α的终边与直线x ＝1交于点T ，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线．当角的终边在第二、三象限或x 轴的负半轴上时， 终边与直线x ＝1没有交点，但终边的反向延长线与x ＝1有交点， 而且交点的纵坐标也正好是角的正切值；【说明】利用如图所示，角β的正切线为AS ，而且从图中可以看出：tan 0,|tan ||tan |ββα<<，这就是说，角α的正切等于角α的终边或其反向延长线与直线1x =的交点的纵坐标； 【即时练习】1、对三角函数线，下列说法正确的是( )A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2、已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内的角α的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B. ⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C. ⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D. ⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π3、设MP ，OM 和AT 分别是角1318π的正弦线、余弦线和正切线，则MP ，OM 和AT 的大小关系是4、已知： 2cos 10x -≥，则x 的取值范围是5、设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则角α的取值范围是 ．6、已知02x π≤≤，且sin cos x x <，则x 的取值范围是7、在()0,2π内，使cos sin tan x x x >>成立的x 的取值范围是____8、已知A 是ABC 的一个内角，且tan 30A ≥，则sin A 的取值范围是9、已知集合{}2sin 10,A αα=-≥{}2cos 10,B αα=+≥求：AB 。
所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号．一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：类型一已知两根与实数k的大小关系例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．答案[－1＋22，2)解析设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，m－1）2－4（2－m）≥0，，2－m>0，解得－1＋22≤m<2.(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________．答案－211，解析由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a ＝0可化为x2＋9＝0，令f(x)＝x2＋9，则f(1)＝1＋9<0，解得－211<a<0.当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．答案(－6，－25]解析令f(x)＝x 2＋(m－2)x＋6－m，＝（m－2）2－4（6－m）≥0，－m－22>2，2）＝4＋2（m－2）＋6－m>0，即≥25或m≤－25，<－2，>－6，解得－6<m≤－2 5.2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．答案－12，解析解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－2m2m＋1x＋m－12m＋1，则f(0)<0，即m－12m＋1<0，所以(2m ＋1)(m－1)<0，解得－12<m<1.解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝m－12m＋1<0，解得－12<m<1.类型二已知两根所在的区间f（m）<0，另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是：(1)当a >0m ）<0，n ）<0；(2)当a <0m ）>0，n ）>0.例2已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m 的取值范围为________．答案－56，－－12，1－2解析设函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则其图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得0）＝2m ＋1<0，1）＝2>0，1）＝4m ＋2<0，2）＝6m ＋5>0，<－12，∈R ，<－12，>－56，解得－56＜m ＜－12.由题意知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得0）＝2m＋1>0，1）＝4m＋2>0，＝4m2－4（2m＋1）≥0，－m<1，>－12，>－12，≥1＋2或m≤1－2，1<m<0，解得－12＜m≤1－ 2.求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．答案(0，1)解析解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则0）>0，1）<0，3）>0，即（a＋1）>0，2a＋a（a＋1）<0，－3（2a＋1）＋a（a＋1）>0，>0或a<－1，a<1，>3或a<2，所以0<a<1.解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，a<1，a＋1<3，解得0<a<1.4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．答案(－3，0)解析显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋xa＋2a＝0，设f(x)＝x2＋xa＋2a，则0）<0，1）<0，，＋1a＋2a<0，解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0)．类型三可转化为一元二次方程根的分布的问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f (x )＝－32cos2x ＋a sin x ＋a ＋92，若方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案(－3，6－62)解析f (x )＝－32(1－2sin 2x )＋a sin x ＋a ＋92＝3sin 2x ＋a sin x ＋a ＋3，x ∈(0，π)，令sin x ＝t ，t ∈(0，1]，h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3，当0<t <1时，sin x ＝t 有两个不相等的实数根，当t ＝1时，sin x ＝t 有且仅有一个实数根，因为方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以－a6<1，＝a 2－12（a ＋3）>0，（0）＝a ＋3>0，（1）＝2a ＋6>0，解得－3<a <6－6 2.本题中，令sin x ＝t ，将原问题转化为3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的函数g (x )＝[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3恰好有六个零点，则实数a 的取值范围是________．答案23－2，32解析作出函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0的图象如图，令f (x )＝t ，则当t ∈(1，2]时，方程f (x )＝t 有3个不同的实数解，所以使关于x 的方程[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则＝（a ＋2）2－12>0，1<a ＋22<2，（1）＝2－a >0，（2）＝3－2a ≥0，解得23－2<a ≤32，故实数a 23－2，32.。
高中数学讲义微专题100利用同构特点解决问题同构是指两个数学结构（例如图形、线性空间、代数系统等）在其中一种意义上是相似的或等价的。
利用同构特点解决问题，是一种常见的数学解题方法。
本文将从几个不同的角度介绍并讨论利用同构特点解决问题的方法和技巧。
首先，我们来看一个几何问题。
假设有一个几何图形A，我们想要解决一个关于A的问题，但是图形A非常复杂，很难直接求解。
这时，我们可以寻找一个与图形A同构的图形B，使得B相对较简单，容易求解。
然后我们可以通过研究B来解决问题。
例如，对于一个正六边形A，我们可以寻找一个与A同构的正三角形B。
通过观察发现，A的一个内角可以被B的一个内角所代替。
因此，我们可以将A的问题转化为B的问题，然后通过解决B的问题来得到A的答案。
这种利用同构特点的方法在几何问题中经常被使用，可以大大简化问题的求解过程。
其次，我们来看一个线性代数问题。
假设我们需要求解一个线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，x和b是向量。
但是这个线性方程组非常复杂，难以直接求解。
这时，我们可以寻找一个与A同构的矩阵B，使得B 相对较简单，容易求解。
然后我们可以通过研究B来解决问题。
例如，对于一个对角矩阵A，我们可以寻找一个与A同构的单位矩阵B。
通过观察发现，A的一个非零元素可以被B的一个对角元素所代替。
因此，我们可以将A的问题转化为B的问题，然后通过解决B的问题来得到A的答案。
这种利用同构特点的方法在线性代数问题中也经常被使用，可以简化问题的求解过程。
除了几何和线性代数问题，利用同构特点解决问题的方法还可以应用于其他数学领域，如群论、拓扑学等。
在这些领域中，同构概念是非常重要的工具。
通过找到两个同构的结构，我们可以将一个复杂的问题转化为一个相对简单的问题，从而更容易求解或者研究。
总之，利用同构特点解决问题是一种常见的数学解题方法。
通过找到与原问题同构的结构，我们可以将复杂的问题转化为相对简单的问题，从而更容易求解或者研究。
微专题98 含新信息问题的求解一、基础知识：所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。
它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。
这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。
在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。
2、理解“新信息”的技巧与方法（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。
二、典型例题例1：设,P Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，则P Q -等于（ ）A. {}|01x x <<B. {}|01x x <≤C. {}|12x x ≤<D. {}|23x x ≤< 思路：依{}|P Q x x P x Q -=∈∉且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成，或者可以理解为P 集合去掉PQ 的元素后剩下的集合。
先解出,P Q 中的不等式。
:P2log 102x x <⇒<<，:2113Q x x -<⇒<<，所以()1,2PQ =，从而可得：(]0,1P Q -=答案：B例2：()y f x =在(),-∞+∞内有定义。
基于“微专题”思路的高中数学教学随着信息化技术的不断发展，传统的高中数学教学方式也面临着新的挑战和机遇。
在这样的背景下，基于“微专题”思路的高中数学教学开始引起人们的关注。
这种教学方式倡导以小单元、小专题为主题，通过微课堂、微任务、微资源等方式，将学科知识进行有机整合，以提高学生的学习兴趣和学习效果。
本文将从何为“微专题”思路、为何要采用该思路以及如何实施“微专题”思路等方面进行探讨。
何为“微专题”思路“微专题”思路是指以微课堂、微任务、微资源等方式为主要教学手段，以小单元、小专题为主题，将学科知识进行有机整合，实现跨学科融合的一种教学模式。
相较于传统的数学教学方式，它更注重学科之间的融合和交叉，更注重知识的实用性和灵活性，更注重学生的学习兴趣和学习效果。
采用“微专题”思路进行高中数学教学，不仅有助于提高学生的学习兴趣，还有助于提高学生的学习效果和实际应用能力。
采用“微专题”思路进行高中数学教学，有助于培养学生的综合素质和创新能力。
当前，社会对于高中毕业生的要求不仅仅是懂得知识，更重要的是能够灵活运用知识解决问题。
而采用“微专题”思路进行教学，可以让学生从小专题、小问题出发，通过微课堂、微任务、微资源等方式，不断地思考、解答和实践，从而培养他们的综合素质和创新能力。
要实施“微专题”思路进行高中数学教学，首先需要改变传统的教学观念和教学方式。
传统的数学教学往往由教师主导，学生被动接受知识，容易让学生感到枯燥和无趣。
而在“微专题”思路下，教师应该发挥更多的启发性和引导性作用，让学生主动参与到学习中来。
要实施“微专题”思路进行高中数学教学，需要倡导以小单元、小专题为主题。
小单元、小专题是“微专题”思路的核心，它是教学的切入点，也是教学的出发点。
教师需要有针对性地选择和设置一些与学生生活和实际应用相关的小专题和小问题，通过微课堂、微任务、微资源等方式，激发学生的学习兴趣和学习动力。
要实施“微专题”思路进行高中数学教学，还需要注重微课堂、微任务、微资源等方式的运用。
高中数学讲义微专题08函数方程问题的分析函数方程问题是高中数学中的重要内容，也是学生们较为困难的部分之一、在解决函数方程问题时，我们需要分析题目给出的条件，确定方程中未知函数的性质，通过代入和推理找到满足条件的函数解。
本文将从函数方程问题的分析方法、常见的函数方程类型以及解决函数方程问题的思路进行讨论。
首先，我们先来讨论函数方程问题的分析方法。
在遇到函数方程问题时，我们首先要仔细阅读题目，理解题意。
然后，我们可以通过已知条件给出的函数关系来分析未知函数的性质。
在分析函数性质的过程中，我们可以根据函数的定义、导数性质、复合函数等常见性质，来推导出更多的函数关系。
同时，我们也要留意题目给出的特殊条件，比如函数取值范围、函数的连续性、周期性等，这些条件会对函数的性质有所限制。
通过合理的分析，可以大大缩小解决问题的范围，为我们找到函数解提供线索。
接下来，我们来看一些常见的函数方程类型。
常见的函数方程类型包括函数的加法、乘法、复合、反函数以及函数的一些值等于常数等。
在解决这些类型的函数方程时，我们可以根据题目的给定条件和已知函数性质，进行代入、联立方程、构造逆函数等方法进行求解。
另外，函数方程问题中也存在一些特殊的函数方程，如Cauchy函数方程、Jensen函数方程等，这些问题需要掌握相应的特殊方法进行解答。
最后，我们来讨论解决函数方程问题的思路。
解决函数方程问题时，我们可以利用已知条件进行函数关系的推导和联立方程的建立。
在推导函数关系时，我们可以通过替换变量、函数的导数性质、复合函数等进行推算。
而建立联立方程时，我们可以根据题目中给出的多个函数关系来建立方程组，通过解方程组来确定未知函数。
此外，我们还可以通过构造特殊的函数解或者利用函数方程的性质进行推导。
总之，解决函数方程问题需要勤于思考，善于归纳和运用已知条件，通过分析和推导来解决问题。
综上所述，函数方程问题的分析是解决该类问题的关键。
我们需要运用所学的函数性质和常见的代数方法，通过分析题目给出的条件和推导函数关系，来确定未知函数的性质，进而找到解答。
再谈高中数学“微专题”教学———微专题的编制策略与方法仙游县华侨中学陈志恩摘要：在实际的微专题制作的过程中，需要选择有价值的主体，并且进行典型问题模型的拆解.除此之外应当增加有关联的知识点，可以将问题串联起来进行知识点的连接.而且在微专题制作的过程中，应当秉承小、准、精、透的特点，将课堂教学与学生的课后学习进行有效地衔接，这对学生的学习质量能够起到有效地提升.关键词：高中数学；微专题教学；编制策略与方法新知识的学习以及旧知识的复习始终是高中阶段教学的主旋律,在实际的高中数学教学的过程中需要保留对旧知识的回顾,实现知识网络的完善和核心素养的培养.传统模式的数学学习一般都是按照知识点以及解题方法进行课题的拆解,将大量的知识点进行专题学习与复习.高中学习方法虽然能够很好地将知识点进行有机结合,但是因为知识点涵盖较多,所以针对性不强,学生对针对性的知识点难有全面的了解,这将会在很大程度上阻挡了数学学习课程的开展,并且影响到数学课堂教学质量.针对此情况,在高中阶段的数学教学中,可采用传统课堂与微专题教学相结合的教学模式,两者之间能够长短互补,实现课堂质量的提升。
1微专题的内涵在传统的数学课堂教学的过程中[1],教师的教学开展一般都是按照“函数与方程”、“函数与导数”、“三角与向量”、“数列综合题”、“解析几何问题”、“立体几何问题”、“统计与概率”、“非主干知识”、“数学思想方法”等模块将知识点进行整合,按照教学进度依次展开.不可避免会使学生对其中一部分知识点无法理解,从而产生学习疲劳的情况.模块化、大专题的教学,在知识点讲解完成之后,很可能造成学生对细微知识点遗漏情况的出现[2].在高中阶段的学习过程中,需要进一步使用小专题、微专题来加强各个知识点之间的联系,重视对知识点的整理以及深度加工,在微专题的学习过程中帮助学生养成数学思维以及综合素养.使用微专题将课堂中学生掌握薄弱的部分进行重点教学,对预制式系统结构应当进行重组与整理,掌握一定的数学解题方法与能力.2微专题的特征及编制策略微专题的设计相对于其它模块化、大专题的教学而言,自身有着一个非常明显的特点,就是“微”,因为自身针对性较强,所以在实际使用过程中灵活性更强,可以做到知识点微而讲解透彻,微而讲解明白.所以,我们可以将微专题的特点定义为以下四个字:小、准、精、透。
2019-2020年高三数学《第98课特征值与特征向量》基础教案一．课标解读掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义，会求二阶矩阵特征值与特征向量，并能解决简单的问题。
二．课前预习1.矩阵A = 的特征值和特征向量 .2.矩阵的特征值和特征向量 .3.设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．则矩阵的特征值及相应的特征向量为 ；逆矩阵 ；椭圆在的作用下的新曲线的方程 .4.已知 ，，则 .5. 已知方程AX=B ，其中A= ，B ＝，则X ＝____________6. 已知向量，在矩阵⎢⎢⎢⎢⎣⎡2321 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-2123作用下得到向量，则△OPP ’的面积____7.已知盒子A 中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的，盒子B 中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A ，B 两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有 。
8.A ，B ，C 三个城市的交通情况，小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择？如果他想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另一个城市，她又可以有 种选择。
三 典型例题例1. 给定矩阵M ＝⎢⎢⎢⎣⎡-3132 ⎥⎥⎥⎦⎤-3231，N ＝ 及向量， （1）证明和同时是M 和N 的特征向量 （2）求出M 和N 的特征值。
例2.已知点列满足，且，求例3.在军事密码学中，密码发送的流程如图所示，它的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵X 表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0记)，在矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆方阵A ，得到B=AX ，则B 即为传送出去的密码。
接受方收到密码后，只需左乘A 的逆矩阵，即可得到发送出去的明码X=B 。
不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让，先已知发送方传出的密码为7，13，39，67，双方约定的可逆矩阵为 ，试破解发送的密码.明发送方加密接受方解明例4.自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。
微专题98 含新信息问题的求解一、基础知识：所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。
它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。
这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。
在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。
2、理解“新信息”的技巧与方法（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。
二、典型例题例1：设,P Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，则P Q -等于（ ）A. {}|01x x <<B. {}|01x x <≤C. {}|12x x ≤<D. {}|23x x ≤< 思路：依{}|P Q x x P x Q -=∈∉且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成，或者可以理解为P 集合去掉PQ 的元素后剩下的集合。
先解出,P Q 中的不等式。
:P2log 102x x <⇒<<，:2113Q x x -<⇒<<，所以()1,2PQ =，从而可得：(]0,1P Q -=答案：B例2：()y f x =在(),-∞+∞内有定义。
高中数学微型课题教案教案标题：高中数学微型课题教案教学目标：1. 理解微积分中的导数和微分的概念。
2. 掌握求导法则和常见函数的导数。
3. 能够应用导数求解实际问题。
教学重点：1. 导数和微分的概念。
2. 求导法则和常见函数的导数。
3. 导数应用于实际问题的解决。
教学难点：1. 导数的概念和求导法则的理解。
2. 将导数应用于实际问题的转化和解决。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、教学工具。
2. 学生准备：课前预习和复习相关知识。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入微积分的概念，解释微积分在实际生活中的应用。
2. 提问学生对导数和微分的理解，并激发学生的学习兴趣。
二、知识讲解（20分钟）1. 介绍导数的概念和意义，解释导数与函数图像的关系。
2. 讲解求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数计算方法。
3. 给出常见函数的导数表格，让学生掌握常见函数的导数。
三、示范与练习（25分钟）1. 示范如何求解具体函数的导数，解释每一步的计算过程。
2. 给学生提供一些练习题，让学生独立计算函数的导数，并及时给予指导和纠正。
四、应用拓展（20分钟）1. 引导学生将导数应用于实际问题的解决，如求解最值、判断函数的单调性等。
2. 给学生提供一些实际问题，让学生运用导数的知识解决问题，并进行讨论和分享。
五、总结与评价（10分钟）1. 总结本节课所学内容，强调导数和微分的重要性和应用。
2. 对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续学习和探索微积分知识。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习和探索更多的导数应用问题。
2. 提供更多的练习题和挑战题，巩固学生的知识运用能力。
3. 引导学生进行数学建模，将导数应用于更复杂的实际问题中。
教学资源：1. 教学课件：包括导数和微分的概念、求导法则和常见函数的导数计算方法等内容。
2. 教学素材：包括常见函数的导数表格、实际问题的应用示例等。
3. 教学工具：计算器、白板、笔等。
微专题98 含新信息问题的求解一、基础知识：所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。
它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。
这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。
在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧1、读取“新信息”的步骤（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围（2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律（4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。
2、理解“新信息”的技巧与方法（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。
二、典型例题例1：设,P Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，则P Q -等于（ ）A. {}|01x x <<B. {}|01x x <≤C. {}|12x x ≤<D. {}|23x x ≤<思路：依{}|P Q x x P x Q -=∈∉且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成，或者可以理解为P 集合去掉P Q 的元素后剩下的集合。
先解出,P Q 中的不等式。
:P 2log 102x x <⇒<<，:2113Q x x -<⇒<<，所以()1,2P Q =，从而可得：(]0,1P Q -=答案：B例2：()y f x =在(),-∞+∞内有定义。
对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,k f x f x K f x K f x K≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 取函数()2x f x x e =+-。
若对任意的(),x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1 思路：由所给分式函数()k f x 可知，若()f x K ≤，则取()f x ，如果()f x K >，就取K ，由这个规则可知，若()()k f x f x =恒成立，意味着(),x ∀∈-∞+∞，均有()f x K ≤恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，即()max K f x ≥，下面求()f x 的最大值：()'1x f x e =-，可知()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,+∞单调递减，所以()()max 01f x f ==，从而1K ≥，即K 的最小值为1答案：D例3：设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算⊕为：ij k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3i j =，则满足关系式()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本题的关键在于读懂规则，“⊕”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：13A A ⊕，按照要求，()13+除以4的余数为0，所以130A A A ⊕=。
掌握规律后再看所求关系式：要求得x ，则需要先解出()x x ⊕，将其视为一个整体m A ，可知20m A A A +=，即()2m +除以4的余数为0，可推断2m =，即2x x A ⊕=，不妨设n x A =，即()n n +除以4的余数为2，则n 的值为1,3，所以1x A =或者3x A =，共有两个解答案：C例4：定义两个平面向量,a b 的一种运算sin a b a b θ⊗=，其中θ为,a b 的夹角，对于这种运算，给出以下结论：① a b b a ⊗=⊗；②()()a b a b λλ⊗=⊗；③()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗；④ 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221a b x y x y ⊗=- 你认为恒成立的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个思路：本题的新运算sin a b a b θ⊗=，即,a b 的模长乘以夹角。
所以对于结论①，sin sin b a b a a b a b θθ⊗===⊗；对于②，()sin a b a b λλθ⊗=，而()sin sin a b a b a b λλθλθ⊗==⋅，显然当0λ<时等式不成立；对于③，()sin ,a b c a b c a b c +⊗=+⋅⋅+（其中sin ,a b c +表示,a b c +的夹角），而()()sin ,sin ,a c b c a c a c b c b c ⊗+⊗=+，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况如a b =-，左边为0，而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考虑将左边平方，从而22sin 1cos θθ=- ，可与a b ⋅ 找到联系：()()()()222222222222221122sin 1cos a b a b a ba b a b x y x y θθ⊗==-=-⋅=++()()2212121221x x y y x y x y -+=-，即1221a b x y x y ⊗=-。
综上所述，①④正确答案：B例5：如果函数()f x 对任意两个不等实数()12,,x x a b ∈，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，在称函数()f x 为区间(),a b 上的“G ”函数，给出下列命题：① 函数()2sin f x x x =-是R 上的“G ”函数② 函数()24,01,0x x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩是R 上的“G ”函数 ③ 函数()2,121,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩是()3,6-上的“G ”函数④ 若函数()2xf x e ax =--是R 上的“G ”函数，则0a ≤ 其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：()()()()1122210x f x f x x f x f x -+->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦即()12x x -与()()12f x f x -⎡⎤⎣⎦同号，反映出()f x 是(),a b 上的增函数，从而从单调性的角度判断四个命题：①：()'2cos 0f x x =->恒成立，所以()f x 是R 上的增函数②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②正确，③不正确④：若()f x 是“G 函数”，则()f x 是R 上的增函数，所以()'0x f x e a =-≥即x a e ≤恒成立，因为()0,x e ∈+∞，所以可得：0a ≤，④正确综上所述：①②④正确，共有三个命题答案：C例6：对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ，其中2,n n N *≥∈，如果在p q <时，有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”，例如：数组()2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2，若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4思路：本题中对于“顺序”的定义为p q p q i i <⇒<，即序数小的项也小。
要得到“顺序数”则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。
在所求数组中可发现()54321,,,,a a a a a 刚好是()12345,,,,a a a a a 进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数组不成“顺序”的（即p q p q a a <⇒>）反而成为所求数组的“顺序”。
在五元数组中任意两个数比较大小，共有2510C =组，在()12345,,,,a a a a a 中“顺序”有4个，则非“顺序”有6个，所以到了()54321,,,,a a a a a 中，顺序数即为6答案：B小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，假设12131415,,,a a a a a a a a <<<<，其余各项2345a a a a >>>，则在()54321,,,,a a a a a中即可数出顺序数为6例7：对任意实数,a b 定义运算*如下：()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，则函数()212()log 32log f x x x =-*的值域为（ ）A. [)0,+∞B. (],0-∞C. 22log ,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 22log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 思路：本题可将()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩描述成取,a b 中较小的数，即{}min ,a b ，所以对于()212()log 32log f x x x =-*，即()0f x 为()20102log 32,log x x -中较小的数。
解不等式()212320log 32log 01132x x x x x x x ⎧⎪->⎪-≥⇒>⇒≥⎨⎪⎪->⎩，则()2122log 32log 13x x x -<⇒<<，所以()212log 32,1()2log ,13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，从而可解得值域为(],0-∞ 答案：B小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式， ()212()log 32log f x x x =-*的图像为将()212log 32,log y x y x =-=的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出()f x 的图像，其中()212log 32,log y x y x =-=的交点通过计算可得1x =，所以结合图像即可得到()f x 的值域为()(,1f -∞⎤⎦，即(],0-∞例8：已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为P 到l 的距离，记作(),d P l（1）求点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l（2）设l 是长为2的线段，求点的集合(){}|,1D P d P l =≤所表示的图形面积思路：首先要明确新定义的“距离”，即线段上的点到该点的最小值。
