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微专题17 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
《函数的极值》讲义在数学的广袤天地中，函数是一个极其重要的概念，而函数的极值问题则是其中一个关键且富有魅力的部分。
一、函数极值的定义首先，咱们得搞清楚啥是函数的极值。
简单来说，对于一个给定的函数，如果在某个点的附近，函数值比这个点的函数值都大（或者都小），那这个点对应的函数值就是函数的一个极值。
极大值就是在这点附近函数值最大，极小值就是在这点附近函数值最小。
比如说，有个函数 f(x)，在 x ＝ a 这点，它左边的函数值都比 f(a) 小，右边的函数值也都比 f(a) 小，那 f(a) 就是一个极小值。
要是左边右边的函数值都比 f(a) 大，那 f(a) 就是极大值。
二、如何判断函数的极值那怎么知道一个函数在某个点是不是有极值呢？这就得靠导数啦。
如果函数在某点的导数为 0，并且在这点的左侧导数为正，右侧导数为负，那这点就是极大值点；反过来，如果左侧导数为负，右侧导数为正，那这点就是极小值点。
为啥是这样呢？咱们可以这么想，导数为正的时候，函数是上升的；导数为负的时候，函数是下降的。
所以从上升到下降的转折点就是极大值点，从下降到上升的转折点就是极小值点。
举个例子，函数 f(x) ＝ x²，它的导数是 f'（x) ＝ 2x。
当 x ＝ 0 时，导数为 0。
在 x ＜ 0 时，导数为负，函数下降；在 x ＞ 0 时，导数为正，函数上升。
所以 x ＝ 0 就是极小值点，极小值是 f(0) ＝ 0。
但是要注意哦，导数为 0 的点不一定都是极值点。
比如说函数 f(x)＝ x³，它的导数 f'（x) ＝ 3x²，当 x ＝ 0 时，导数为 0，但是在 x ＝ 0的两侧，导数的符号是一样的，都是正的，所以 x ＝ 0 不是极值点。
三、函数极值的求法知道了怎么判断极值，那咱们来看看怎么求函数的极值。
第一步，先求出函数的导数。
第二步，令导数等于 0，解出这些方程的根。
第三步，根据上面说的判断方法，判断这些根是不是极值点。
《函数的极值》讲义一、函数极值的定义在数学中，函数的极值是一个非常重要的概念。
简单来说，函数的极值就是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
当函数在某个点的邻域内，函数值比该点的函数值都大，那么这个点就是极小值点，对应的函数值就是极小值；反之，如果函数在某个点的邻域内，函数值比该点的函数值都小，那么这个点就是极大值点，对应的函数值就是极大值。
需要注意的是，极值是局部的概念，也就是说一个函数在某个区间内的极值，不一定是整个定义域内的最大值或最小值。
二、函数极值的判定1、一阶导数判别法如果函数$f(x)＄在点$x_0$处可导，且在$x_0$的左侧导数$f'（x) ＜0$，右侧导数$f'（x) ＞ 0$，那么$x_0$就是函数的极小值点；反之，如果在$x_0$的左侧导数$f'（x) ＞ 0$，右侧导数$f'（x) ＜ 0$，那么$x_0$就是函数的极大值点。
这就好比我们在爬山，当我们沿着山路往上走，坡度逐渐变缓（导数由正变负），此时我们到达的就是山顶，也就是极大值点；而当我们沿着山路往下走，坡度逐渐变缓（导数由负变正），此时我们到达的就是山谷，也就是极小值点。
2、二阶导数判别法对于函数$f(x)＄，如果在点$x_0$处$f'（x_0) ＝ 0$且$f'＇（x_0) ＞0$，那么$x_0$为函数的极小值点；如果$f'（x_0) ＝ 0$且$f'＇（x_0)＜ 0$，那么$x_0$为函数的极大值点。
当二阶导数大于 0 时，函数的图像是开口向上的抛物线，此时对应的点就是极小值点；当二阶导数小于 0 时，函数的图像是开口向下的抛物线，此时对应的点就是极大值点。
三、求函数极值的步骤1、求出函数的导数$f'（x)＄。
2、令$f'（x) ＝ 0$，求出导数为 0 的点（这些点称为驻点）。
3、分析驻点左右两侧导数的符号，确定是极大值点还是极小值点。
微专题17 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。
但要注意检验零点能否成为极值点。
8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点（2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe -=的极值.解：()()'1x x x f x e xe x e ---=-=-令()'0fx >解得：1x < ()f x ∴的单调区间为：()f x ∴的极大值为()1f e=，无极小值 小炼有话说：（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在 例2：求函数1)1()(32+-=x x f 的极值。
解：()()2'2312fx x x =-⋅，令()'0f x >解得：0x >()f x ∴的单调区间为：()f x ∴的极小值为()00f =，无极大值小炼有话说：本题若使用()'0fx =解极值点，则1x =±也满足()'0f x =，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故1x =±均不是极值点。
对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间 例3：求函数()f x =R 上的极值思路：利用()'f x 求出()f x 的单调区间，进而判断极值情况解：()'fx =令()'0fx >解得：()()2,02,x ∈-+∞()f x ∴的单调区间为：()f x ∴的极小值为()()220f f -==，极大值为()0f ==小炼有话说：在本题中如果仅令()'0f x =，则仅能解得0x =这一个极值点，进而丢解。
对于2x =-与2x =，实质上()f x 在这两点处没有导数，所以在()'0f x =中才无法体现出来，由此我们可以得到以下几点经验 （1）利用()'0fx =来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解，此类点往往是不存在导函数的点。
例如：24y x =-中的2,2x x =-=，是极值点却不存在导数（2）在寻找极值点时，若能求出()f x 的单调区间，则利用单调区间求极值点是可靠的 例4：已知函数bx ax x x f 23)(23+-=，在点1=x 处有极小值1-，试确定b a ,的值，并求出)(x f 的单调区间。
思路：()'2362f x x ax b =-+，由极值点()1,1-条件可得：()()'1110f f =-⎧⎪⎨=⎪⎩，两个条件可解出,a b ，进而求出单调区间解：()'2362fx x ax b =-+在点1=x 取得极小值72-()()'11113+21336201102a f ab a b f b ⎧==-⎧⎪-=-⎧⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨-+==⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩()()()'2321311f x x x x x =--=+-，令()'0f x >，解得13x <-或1x >()f x ∴的单调区间为：小炼有话说：关注“在点1=x 处有极小值1-”，一句话表达了两个条件，作为极值点导数等于零，作为曲线上的点，函数值为1，进而一句话两用，得到关于,a b 的两个方程。
例5：若函数()322f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a b +=_________思路：()'232f x x ax b =++，依题意可得：()()2'11101320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩，可解得：411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，但是当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2'236331f x x x x =-+=- 所以尽管()'10f =但1x =不是极值点，所以舍去。
经检验：411a b =⎧⎨=-⎩符合，7a b +=- 答案：7a b +=-小炼有话说：对于使用极值点条件求参数值时，求得结果一定要代回导函数进行检验，看导数值为0的点是否是极值点例6：2)()(c x x x f -=在1=x 处有极小值，则实数c 为 . 思路：()'2234fx x cx c =-+,1x =为极小值点，()'21340f c c ∴=-+=，解得：1c =或3c =，考虑代入结果进行检验：1c =时，()()()'2341311fx x x x x =-+=--，可得()f x 在()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
进而1x =为极小值点符合题意，而当3c =时，()()()'23129313fx x x x x =-+=--，可得()f x 在()(),13,-∞+∞单调递增，在()1,3单调递减。
进而1x =为极大值点，故不符合题意舍去 1c ∴= 答案：1c =小炼有话说：在已知极值点求参数范围时，考虑利用极值点导数值等于零的条件，但在解完参数的值后要进行检验，主要检验两个地方：① 已知极值点是否仍为函数的极值点 ② 参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意。
例7：（1）已知函数()3234f x x ax x =-+-有两个极值点，则a 的取值范围是___________（2）已知函数()3234f x x ax x =-+-存在极值点，则a 的取值范围是_________（1）思路：()'2323fx x ax =-+，若()f x 有两个极值点，则方程23230x ax -+=有两个不等实根，从而只需0∆>，即243603a a ∆=->⇒<-或3a > 答案：3a <-或3a >（2）思路：()f x 存在极值点即()'23230f x x ax =-+=有实数根，0∆≥，但是当0∆=即3a =±时, ()()2'2363310f x x x x =+=≥，不存在极值点，所以方程依然要有两个不等实数根，a 的范围为3a <-或3a > 答案：3a <-或3a >小炼有话说：本题有以下几个亮点（1）在考虑存在极值点和极值点个数时，可通过导数转化成为方程的根的问题，使得解决方法多样化，可与函数零点和两图象的交点找到关系 （2）方程()'0fx =根的个数并不一定等于极值点的个数，所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化（3）本题两问结果相同，是由导函数方程为二次方程，其0∆=时，其根不能作为极值点所致。
例8：设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点；思路：()()2'2221b x x bf x x x x-+=-+=，定义域为()0,+∞，若函数()f x 的有极值点，则()'0fx =有正根且无重根，进而转化为二次方程根分布问题，通过韦达定理刻画根的符号，进而确定b 的范围解：（1）()()2'2221b x x b f x x x x-+=-+=，令()'0f x =即2220x x b -+=()f x 有极值点 ∴2220x x b -+=有正的实数根，设方程的根为12,x x ① 有两个极值点，即12,0x x >,1212480110202b x x b bx x ⎧⎪∆=->⎪∴+=⇒<<⎨⎪⎪=>⎩② 有一个极值点，即12=002bx x b ≤⇒≤∴综上所述：1,2b ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭（2）思路：利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论方程2220x x b -+=的两根为：212x ±==±① 当102b <<时，1211x x ==()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极大值点为1x =-1x =+② 当0b ≤时，1210,1x x =<=()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极小值点为1x =+综上所述：当102b <<时，()f x 的极大值点为1x =-1x =+当0b ≤时，()f x 的极小值点为1x =+ 小炼有话说：（1）导函数含有参数时，其极值点的个数与参数的取值有关，一方面体现在参数的取值能否保证导函数等于0时存在方程的解，另一方面体现在当方程的解与参数有关时，参数会影响到解是否在定义域内。
