高中数学讲义微专题40 利用函数性质与图像解不等式

微专题40利用函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。

相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。

本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。

一、基础知识： （一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。

所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。

在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。

两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。

在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。

所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。

那么问题便易于解决了。

（二）利用函数性质与图像解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。

高中数学教案：函数的图像和性质引言大家好！今天我来给大家介绍一下高中数学中的一个重要概念——函数的图像和性质。

函数是高中数学的核心内容之一，掌握了函数的图像和性质，对于理解和解决实际问题都是至关重要的。

本文将带你逐步深入理解函数的图像和性质，并提供一些相关的教案和学习方法，帮助你更好地掌握这一知识点。

1. 函数的定义和基本概念首先，我们来回顾一下函数的定义和基本概念。

函数是一种将一个集合中的元素（称之为自变量）映射到另一个集合中的元素（称之为因变量）的规则。

用数学符号表示，函数可以表示为：y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)是函数的定义域。

函数的图像是指函数在坐标系中的表示方式，通常用曲线图来表示。

函数的性质则是指函数的一些特点和规律，例如函数的单调性、奇偶性、极值、零点等。

通过研究函数的图像和性质，我们可以更好地理解函数的行为和特性。

2. 函数的图像函数的图像是通过将函数的自变量和因变量对应的值进行绘制得到的。

函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的规律和特点。

下面是一个简单的教案，帮助学生绘制函数的图像：H2: 教案一：绘制一元一次函数的图像1.教师可以从一个实际问题入手，例如描述一个自行车行驶的距离与时间之间的关系。

2.引导学生设置自变量和因变量的对应关系，例如距离 = 时间 × 速度。

3.通过列举不同的时间值，计算对应的距离值，并标出在坐标系中。

4.连接所有的点，形成一条直线，即为函数的图像。

这样的教案可以帮助学生通过具体的例子，了解函数的图像是如何绘制出来的，进一步理解函数的定义和关系。

3. 函数的性质函数的性质是指函数具有的一些特点和规律。

下面是一些常见的函数性质：H2: 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

一个函数可以是递增的（当自变量增大时，因变量也增大），也可以是递减的（当自变量增大时，因变量减小）。

为了帮助学生理解函数的单调性，可以使用下面的教案：H3: 教案二：探究函数的单调性1.给定一个函数的图像，例如一元一次函数y = 2x + 1。

函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法奇偶性 B简单函数奇偶性的判断和证明①复合函数的奇偶性判断与证明*②抽象函数的奇偶性周期性B简单函数周期性的判断和证明①复合函数的周期性判断与证明*②抽象函数的周期性一、函数单调性（一） 主要知识：1.函数单调性的定义：知识内容高考要求模块框架函数的图像与性质①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ．⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．⑽函数(0,0)by ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．二、函数的奇偶性与对称性（一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． ⑹对称性关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。

高中数学中的函数图像与性质在高中数学中，函数是一个重要的概念。

函数图像是通过将自变量的取值代入函数，得到对应的因变量的值所形成的图形。

函数图像的形状和性质可以帮助我们更好地理解和分析函数。

本文将探讨高中数学中的函数图像与性质。

一、函数图像的基本形状函数图像的形状与函数的性质密切相关。

在高中数学中，我们常见的函数图像有直线、抛物线、指数函数、对数函数等。

1. 直线函数图像直线函数的图像是一条直线。

直线的斜率决定了直线的倾斜程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。

直线的截距表示直线与坐标轴的交点位置。

2. 抛物线函数图像抛物线函数的图像是一条弯曲的线。

抛物线函数可以分为开口向上和开口向下两种情况。

开口向上的抛物线函数图像在顶点处有最小值，开口向下的抛物线函数图像在顶点处有最大值。

3. 指数函数图像指数函数的图像呈现出逐渐上升或逐渐下降的形状。

指数函数图像的特点是在x轴的左侧逐渐下降或右侧逐渐上升。

指数函数的底数决定了图像的陡峭程度，底数大于1时图像上升较为陡峭，底数小于1时图像下降较为陡峭。

4. 对数函数图像对数函数的图像是指数函数的反函数。

对数函数图像的特点是在x轴的左侧逐渐上升或右侧逐渐下降。

对数函数的底数决定了图像的陡峭程度，底数大于1时图像上升较为缓慢，底数小于1时图像下降较为缓慢。

二、函数图像的性质函数图像不仅有基本的形状，还具有一些特殊的性质。

下面将介绍一些常见的函数图像性质。

1. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。

奇函数的图像关于原点对称，即当函数中的自变量取相反数时，函数值也取相反数。

偶函数的图像关于y轴对称，即当函数中的自变量取相反数时，函数值不变。

2. 单调性函数的单调性是指函数图像在定义域上的增减性。

若函数图像在定义域上逐渐上升，则函数为增函数；若函数图像在定义域上逐渐下降，则函数为减函数。

3. 极值点函数图像上的极值点是指函数的最大值或最小值所对应的点。

高中数学《利用函数证明数列不等式》基础知识与讲义专题利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。

一、基础知识： 1、考察类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。

（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。

其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式：（1）ln 1x x <− 对数→多项式 （2）1xe x >+ 指数→多项式4、关于前n 项和的放缩问题：求数列前n 项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第k 项与第1n k −+项的和为常数的特点（2）错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式（例如2nn a n =⋅，求和可用错位相减）（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且n a 裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。

注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。

5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。

6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）二、典型例题：例1： 已知函数()()2ln f x x a x x =+−−在0x =处取得极值（1）求实数a 的值（2）证明：对于任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n +++++>+都成立 解：（1）()'121f x x x a=−−+ 0x =为()f x 的极值点()'10101fa a∴=−=⇒= （2）思路一：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在()()2ln 1f x x x x =+−−中，存在对数，且左边数列的通项公式22111n n a n n n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭也具备()f x 项的特征，所以考虑分析()ln 1x +与2x x +的大小关系，然后与数列进行联系。

思路探寻不等式问题比较常见.有些不等式问题较为复杂，很难直接根据不等式的性质快速求得问题的答案，此时需将不等式与函数关联起来，根据不等式的结构特征合理构造出函数模型，以利用函数的图象、性质顺利求得问题的答案.那么在运用函数的图象解不等式时，要注意哪些要点呢？主要有下面两点.一、要构造出合适的函数模型在解不等式时，要把不等式与函数关联起来，将不等式进行合理拆分、整合，使其中一部分式子为一次函数式、二次函数式、指数函数式、对数函数式、幂函数式等.这样便可根据函数式快速画出函数的图象，以利用函数的图象确定不等式的解集.例1.已知函数ƒ(x)=|3x+1|-2|x-1|，则不等式ƒ(x)>ƒ(x+1)的解集是_____．解：设函数ƒ(x)=|3x+1|-2|x-1|=ìíîïïïïx+3，x≥1，5x-1，-13≤x<1，-x-3，x<-13，画出函数ƒ(x)的图象，并将函数ƒ(x)的图象向左平移一个单位，即可得到函数ƒ(x+1)的图像，如图1所示.图1直线y=5x-1向左平移一个单位后即为y=5(x+1)-1=5x+4，联立方程可得{y=-x-3，y=5x+4，解得x=-76，所以不等式ƒ(x)>ƒ(x+1)的解集为{}x|||x<-76.对于含有绝对值的不等式，往往可以直接将含有绝对值的式子看作函数式，并用绝对值内部式子的零点将实数集划分为几个区间.然后利用分类讨论思想，讨论每个区间上函数的解析式和图象，就能根据函数的图象找到满足不等式的点的集合.例2.解不等式：2|x+1|+|x|<4.解：设函数ƒ(x)=2|x+1|+|x|=ìíîïï-3x-2,x<-1，x+2,-1≤x≤0，3x+2,x>0，画出其图象，如图2所示.图2由-3x-2=4，得x=-2，由3x+2=4，得x=23，则ƒ(x)与y=4的交点为(-2,4)，(23,4)，由图可知，要使ƒ(x)<4，需使函数ƒ(x)的图象在y=4的下方，即使-2<x<23，所以不等式的解集为{}x|||-2<x<23.该不等式中含有两个绝对值式子，于是构造函数ƒ(x)=2|x+1|+|x|；然后分三段x<-1、-1≤x≤0、x>0讨论绝对值的符号，以去掉绝对值符号，得到最简的函数解析式；再在同一个坐标系中画出函数ƒ(x)和y=4的图象，讨论满足不等式的点的集合：在函数ƒ(x)图象上且在y=4的下方的点，求得ƒ(x)与y=4的图象相交时的点的坐标，即可解题.在解不等式时，我们可以根据不等式的特征构造一个函数，也可以构造两个函数.例3.已知函数ƒ(x)=2x-x-1，则不等式ƒ(x)>0的解集是（）.A.（-1，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（0，1）D.（-∞，0）∪（1，+∞）解：由ƒ(x)=2x-x-1=0，可得2x=x+1，在同一个坐标系中作出两个函数y=2x和y=x+1的图象，如图3所示，由图可知，两个函数y=2x和y=x+1在R上均为增函数，交点分别为（0，1），（1，2）.51图3观察图3不难发现，要使不等式ƒ(x)>0，需使函数y=2x的图象始终在直线y=x+1的上方，只需使x<0或x>1，所以不等式的解集是(-∞,0)⋃(1,+∞).故选D.对于一些较为复杂的不等式，如含有绝对值、指数式、对数式、高次幂、根式、分式的式子，此时需先将不等式进行合理的变形、化简，如通过分类讨论去掉绝对值，通过平方去掉根号，通过分离参数使分式简化，通过移项整合单项式，等等，必要时可以将其中较为复杂的式子，如根号下的式子、绝对值内部的式子进行换元，即可根据化简后不等式的结构特征，快速构造出合适的函数模型.二、要关注图象位置关系的临界情形利用函数的图象解不等式，往往要先根据函数的解析式画出函数的图象，再讨论图象之间的位置关系，此时要重点关注函数图象位置关系的临界情形，如相交、相切、重合、一个交点、两个交点等.然后求得该临界情形下点的坐标，并根据图象的位置关系确定满足不等式的解集.例4.若定义在R的奇函数ƒ(x)在(-∞,0)上单调递减，且ƒ(2)=0，则满足xƒ(x-1)≥0的x的取值范围是().A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]解：根据题意可知ƒ(x)的大致图象如图4所示，将ƒ(x)的图象向右平移一个单位可得ƒ(x-1)的图象，如图5所示.图4图5当x=0时，不等式xƒ(x-1)≥0成立；当x=1时，不等式xƒ(x-1)≥0成立；当x-1=2或x-1=-2时，即x=3或x=-3时，xƒ(x-1)≥0成立.当x>0时，不等式xƒ(x-1)≥0等价为ƒ(x-1)≥0,此时{x>0,0<x-1≤2,得1<x≤3；当x<0时，不等式xƒ(x-1)≥0等价为ƒ(x-1)≤0，此时{x<0,-2≤x-1<0,得-1≤x<0.综上可得-1≤x≤0或1≤x≤3，因此不等式的解集是[-1，0]∪[1，3].解该不等式，需重点关注不等式的临界情形：xƒ()x-1=0，以及函数图象ƒ(x-1)与y=0的位置关系的临界情形∶相交.分别求出各种情形下x的值，即可根据函数图象与x轴的位置关系，确定不等式的解集.例5.已知ƒ(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,ƒ(x)=x2-4x,那么不等式ƒ(x+2)<5的解集是______.解：因为ƒ(x)在R上为偶函数，所以ƒ(-x)=ƒ(x)，ƒ(x)=x2-4x(x≥0)，画出ƒ(x)=ìíîx2-4x，x≥0,x2+4x，x<0,的图象，如图6所示.图6由ƒ(x)=5，得{x2-4x=5,x≥0,或{x2+4x=5,x<0,解得x=5或x=-5.通过观察图象不难发现，要使ƒ(x+2)<5，需使图象上的点都在y=5的下方，即-5<x+2<5，故不等式的解集是{}x|-7<x<3.画出函数的图象后，需重点关注ƒ(x)与y=5的临界情形，即相交时的情形，此时ƒ(x)=5，据此求得交点的坐标，即可根据函数的图象确定ƒ(x+2)<5的解集.有时根据所给的条件我们只能画出函数的部分图象，为了得到完整的答案，我们需根据函数的奇偶性、对称性、周期性，得到完整的函数图象，再通过研究函数图象确定满足不等式的解集.虽然运用函数的图象，能较直观和便捷地解答不等式问题，但是同学们一定要注意用函数的图象解不等式的要点，这样才能快速、准确地获得问题的答案.（作者单位：山东省临沂经济技术开发区明德实验学校）思路探寻52。

高中数学教案：函数的性质与图像一、函数的定义与基本性质函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程的重点内容之一。

在学习函数的性质与图像前，首先需要明确函数的定义以及其基本性质。

1. 函数的定义：函数是两个集合之间的一种对应关系。

设有两个非空集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素a，在集合B中都恰好有唯一确定的元素b和它对应，则称这个对应关系为函数。

常用符号记作f：A→B，其中f表示函数名，A为自变量（或称定义域），B为因变量（或称值域）。

2. 定义域和值域：函数的定义域是指所有自变量可能取值的集合，值域则是指所有因变量可能取值组成的集合。

在确定一个函数时，需要明确其定义域和值域。

3. 单调性：函数的单调性表达了自变量增大（或减小）时相应因变量取值随之增大（或减小）或者保持不变。

根据自变量和因变量之间递增递减关系可将单调性分为严格单调递增、严格单调递减、非严格单调递增、非严格单调递减等四种情况。

4. 奇偶性：奇函数与偶函数是指自变量的正负对称性。

若对于函数中的任意一个定义域内的实数x，有f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数；若对于函数中的任意一个定义域内的实数x，有f(-x)=f(x)，则该函数为偶函数。

二、函数图像与性质根据前面所学习的函数基本性质，可以进一步探讨函数图像与其性质之间的关系。

下面将以常见的数学函数作为例子，说明它们在坐标平面上的图像特点。

1. 一次函数：一次函数也称为线性函数，其形式为y=kx+b，其中k和b均为实数且k≠0。

一次函数在坐标平面上呈现出直线的特点，通过两个已知点即可确定唯一一条直线。

根据斜率k可以判断直线的斜率方向（正斜率表示递增趋势，负斜率表示递减趋势）及斜率大小（绝对值越大表示变化越快）。

2. 二次函数：二次函数是指自变量最高项为二次项（x²）的多项式。

其形式通常表示为y=ax²+bx+c，其中a、b和c均为实数而a≠0。

二次函数的图像是抛物线，其开口方向、顶点坐标以及对称轴位置与函数中的系数相关。

函数的不等式性质与应用函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。

在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的不等式性质的情况。

函数的不等式性质不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够深化我们对函数的理解。

本文将探讨函数的不等式性质以及其应用。

一、函数的不等式性质函数的不等式性质是指函数在定义域上的取值范围。

通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值、最小值以及函数值的正负情况。

对于一元函数来说，我们可以通过求导的方法来研究其不等式性质。

当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。

通过求导并研究导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区间，从而得出函数的不等式性质。

对于二元函数来说，我们可以通过偏导数的方法来研究其不等式性质。

偏导数表示了函数在某个方向上的变化率。

通过研究偏导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区域，从而得出函数的不等式性质。

二、函数不等式的应用函数的不等式性质在实际问题中有着广泛的应用。

下面将介绍函数不等式的两个典型应用：最优化问题和约束条件问题。

最优化问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值。

通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量取值。

例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得成本最小或者产量最大。

这个问题可以通过建立成本函数或产量函数，并研究其不等式性质来解决。

约束条件问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。

通过研究函数的不等式性质以及约束条件，我们可以确定函数在约束条件下的最大值或最小值所对应的自变量取值。

例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得产量达到一定的要求，同时成本最小。

这个问题可以通过建立成本函数和产量函数，并研究其不等式性质以及约束条件来解决。

三、函数不等式性质的实例为了更好地理解函数的不等式性质与应用，我们来看一个具体的实例。

假设有一块长方形的土地，其中一条边是河流。

借助函数图象巧解不等式提要：数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法。

本文论述了利用函数求不等式的解集的问题，结合一节初三数学常态课实例进行阐述，抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数,并利用现代信息技术在课堂上借助软件快速的绘制函数图象，利用函数的图象和性质解不等式，往往会优化解题过程,甚至出奇制胜,给人耳目一新的感觉。

关键词：数形结合；函数；不等式一、数形结合的内涵“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

把握、运用好数形结合，能激发学生兴趣，促进学生情感、态度、价值观的发展，提高课堂教学效果，有利于数学知识的应用与推广。

二、数形结合，求不等式的解集不等式知识是初中数学中的一个重要知识，也是人们解决生产生活问题的一个有力工具，因此怎样解不等式就成为问题解决的关键。

初三的学生已经学习了函数、方程、不等式的有关内容，但是所学知识就像一盘散沙，学生并不清楚前后知识之间的内在联系。

遇到解不等式的问题，学生也更容易想到用代数的方法解决问题，一元一次不等式很容易求解，但对于解分式不等式和一元二次不等式等问题，用代数方法来解，必须进行分类讨论，而分类讨论思想对学生来说本身就是一个难点，在分类中学生很容易漏解或者考虑不全面，而借助函数图象，学生就能直观地得到不等式的解集。

如何更好地帮助学生掌握函数、方程、不等式之间的内在联系一直是笔者想要解决的问题。

(一)数形结合,求一元一次不等式的解集例1：解不等式课堂上所有的学生都是利用不等式的性质直接求不等式的解集。

笔者开始上课时并没有急于让学生尝试用一次函数图象来求不等式的解集，而是在后面求分式不等式的解集，学生出现困难的时候，返回例1引导学生利用一次函数图象求不等式的解集。

一元一次不等式用代数方法求解的确更简单，但我们的目的在于通过简单的、学生熟知的知识介绍新的方法，用新的方法解决棘手的问题。

利用函数性质与图像解不等式典例精讲1.定义在0,+∞ 上的可导函数f x 满足：xf x <f x ，f 1 =0，则f x x <0的解集为()A . 0,1B . 0,1 ∪1,+∞C . 1,+∞D . ∅思路：本题并没有f x 的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。

由条件xf x <f x 可得xf x -f x <0，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得，再结合所解不等式f x x <0，发现f x x =xf x -f x x 2，刚好与条件联系起来，故设F x =f x x ，则F x =f x x=xf x -f x x 2<0⇒F x 在0,+∞ 上单调递减。

F 1 =f 1 1=0，所以f x x<0的解集为1,+∞ 答案：C 2.f (x )的定义域为R ，f (−1)=2，对任意的x ∈R ，有f (x )>2，则f (x )>2x +4的解集是；思路：所解不等式化为f (x )-2x +4>0，令g x =f x -2x +4，则g x =f x -2由f (x )>2可得g x >0(这也是为何构造g x 的原因)，g x 在R 上单调递增。

考虑g 1 =f 1 -2×1+4=0，∴g x >0⇒x ∈1,+∞答案：1,+∞3.设定义在-1,1 上的函数f x 的导函数为f x =5+cos x ，且f 0 =0，则不等式f x -1 +f 1-x 2 <0的解集为思路：由f x =5+cos x 可得原函数f x =5x +sin x +C (注意由导函数反求原函数时要带个常数C )，再由f 0 =0可得C =0，∴f x =5x +sin x (看到函数解析式的反应：定义域？奇偶性？)显然f x 是奇函数，且在-1,1 单调递增。

进而不等式可利用单调性解出x 的范围。

巧用函数图象破解不等式问题求解不等式问题往往需要一定的技巧.这里介绍利用图象法求不等式(组)的解集，可以迅速准确巧妙地求解不等式问题. 一、知识储备 以一次函数为例.1. 一个函数值的正负 设一次函数为(0)y kx b k =+≠，其图象与x 轴交于0(,0)x . (1)若0k >，如图1.当0x x <时，函数图象对应的部分在x 轴下方，所以函数值0y <，因此不等式0kx b +<的解集是0x x <；当0x x >时，函数图象对应的部分在x 轴上方，所以函数值0y >，因此不等式0kx b +>的解集是0x x >.(2)若0k <，如图2.当0x x <时，函数图象对应的部分在x 轴上方，所以函数值0y >，因此不等式0kx b +>的解集是0x x <；当0x x >时，函数图象对应的部分在x 轴下方，所以函数值0y <，因此不等式0kx b +<的解集是0x x >.2.比较两个函数值的大小如图3，设两个一次函数分别为1111(0)y k x b k =+≠，2222(0)y k x b k =+≠，两个函数图象交于00(,)x y .当0x x <时，函数1111(0)y k x b k =+≠的图象对应的部分函数在2222(0)y k x b k =+≠的图象对应的部分的上方，所以12y y >，因此不等式1122k x b k x b +>+的解集是0x x <； 当0x x >时，函数1111(0)y k x b k =+≠的图象对应的部分函数在2222(0)y k x b k =+≠ 的图象对应的部分的下方，所以12y y <，因此不等式1122k x b k x b +<+的解集是0x x >.二、应用举例 1. 巧画图象例1 如图4，直线y kx b =+经过(2,1)A ，(1,2)B --两点，则不等式122x kx b >+>- 的解集为.简析 本题一般解法是:先运用待定系数法求出一次函数y kx b =+表达式为1y x =-，再解不等式组11212x x x ⎧>-⎪⎨⎪->-⎩，从而求出原不等式的解集.这种解法虽然不失一般性，但是对于本题来说，解题过程显得麻烦.若能巧妙利用条件画出函数12y x =的图象，便可直 接从图象看出原不等式的解集.巧解 容易看出函数12y x =的图象经过点(2,1)A ，图象为直线OA ，如图5. 观察图象可知，不等式12x kx b >+的解集是2x <; 不等式2kx b +>-的解集是1x >-.所以，原不等式的解集是12x -<<.2.巧用平移例2 若函数y kx b =-的图象如图6所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集 是 .简析 本题很难用常规思维求解.事实上，如果根据图象可以判断出0k <，不等式(3)0k x b -->两边都除以k 时，不等号必须改变方向，应该得30bx k--<，所以3b x k <+.又因为y kx b =-经过点(2,0)，代入后又得2b k=，所以原不等式的解集是5x <.这个解法不仅麻烦，更容易出错.若能看出不等式左端的代数式对应的函数图象可以通过直线y kx b =-平移获得，即 可巧解.巧解 把直线y kx b =-向右平移3个单位，得到直线(3)y k x b =--，并且它与x 轴交于(5,0)(如图7).观察可见原不等式的解集是5x <. 3.巧用与x 轴交点坐标例3 如图8，直线y x b =+与4(0)y ax a a =-≠的交点的横坐标为2，则关于x 的不等式40x b ax a +>->的解集为 .简析 本题的易错点在于求不等式40ax a ->解集时，两边除以a ，得40x ->，已错也.学生解含有字母系数的不等式总不设防，容易犯错.而变换一下策略就能避开陷阱. 因为不等式40ax a ->表示函数4(0)y ax a a =-≠的值大于0，所以只需求出函数4y ax a =-的图象与x 轴交点的横坐标，即可利用图象得出不等式40ax a ->的解集.巧解 令40y ax a =-=，解得4x =，如图9.观察图象，可得不等式40ax a ->的解集是 4x <;又不等式4x b ax a +>->的解集是 2x >.所以，原不等式的解集是24x <<. 4.巧变形，再用图例 4 一次函数y ax b =+与正比例函数y x =的图象如图10所示，则不等式(1)0a x b -+<的解集是.简析 本题一般解法是，先求出一次函数y ax b =+与正比例函数y x =的图象的交点坐标(2,2)，再把(2,2)和(5,0)分别代入y ax b =+，得2250a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得23103a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩然后代入原不等式求出解集，甚是麻烦.若将原不等式适当变形，利用图象求解集，则非常简单.巧解 将不等式(1)0a x b -+<变形为ax b x +<，此不等式表示一次函数y ax b =+的值小于正比例函数y x =的值.观察图象，可知x 的取值范围是2x >，即为原不等式的解集. 例5 一次函数y ax b =+与反比例函数ky x=的在同一坐标系内的图象如图11所示，则不等式4kax b a x+-≥的解集是 .简析 本题一般解法是:把(2,0)-和(0,2)-分别代入一次函数y ax b =+表达式，可求得1a =-，2b =-.把2x =代入2y x =--，得4y =-，把(2,4)-代入反比例函数表达式k y x =，得8k =-，所以，原不等式是824x x ----≥-，即82x x-+≥-，它表示一次函数2y x =-+的值大于或等于反比例函数8y x =-的值，令82x x -+=-，解得12x =-，24x =，利用图象可得不等式82x x -+≥-的解集是2x ≤-或04x <≤，即为原不等式的解集.巧解 把不等式4k ax b a x +-≥变形为(4)ka xb x-+≥，它表示一次函数(4)y a x b =-+的值大于或等于反比例函数ky x=的值.而一次函数(4)y a x b =-+的图象可由y ax b =+的图象向右平移4个单位长度得到，并且一次函数(4)y a x b =-+的图象与y ax b =+的图象恰好关于原点对称，如图12.我们知道，反比例函数ky x=图象也关于原点对称，因此一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象的交点A ，B 和一次函数(4)y a x b =-+的图象与反比例函数ky x=上的图象的交点'A ，'B 分别关于原点对称.根据对称性，可知点'A ，'B 的横坐标分别是4和2-，所以原不等式的解集是2x ≤-或04x <≤.从以上数例可以看出，用图象法求不等式的解集，重在观察图象，巧在充分利用和发掘题目自身的隐含条件，化隐为显，把问题转化为基本模型，即可顺利解决，大大提高了求解不等式问题的效率.。

利用函数图像解一类不等式桐乡市濮院桐星学校 潘铁丰 课堂教学研究一、教学目标1、知识与技能：理解函数图像的意义，能用函数图像解特殊不等式。

2、方法与过程： 把不等式问题转化成函数问题，并结合图像分析解答。

4、情感态度与价值观：体验图象解题的优越性，增强学生应用数形结合思想的意识。

二、教学重难点重点：掌握用函数图像解不等式问题的方法。

难点：如何把不等式问题转化成函数图像问题。

三、课堂设计：1、探究活动一：利用图象解不等式此不等式中含有分式，是一类特殊的不等式，如何求解学生不甚明白。

引导学生其求解方法可以分为两种：一、把分式方程转化为整式方程，但需要进行分类讨论；二、转化成函数问题，结合图像进行求解。

因为利用图像后问题变得直观、简单，故我们选择后者。

引导学生如何利用图像解不等式：①设函数②画草图③选图像（选择符合条件的那部分图像）④ 定范围（定出选取图象的自变量取值范围）让学生理解不等式问题是如何转化成函数问题是一个难点，对于 学生可能会不理解，所以在下面又给出解释，即自变量x 取何值时，函数值y>4。

不等式问题又转变成已知函数值范围，求自变量范围的问题。

要解决自变量x 取何值时，函数值y>4,必须先找到y>4的那部分图像，然后根据图像再去求出自变量x 的范围，这其中包含了逆向思维，学生其实很难想到，也是本节课的又难点。

探究活动二：解不等式: 本题作为上一题的巩固提高,其基本过程和上题一样：①设函数44>x 4)4(>=x y xx 32<+②画草图③选图像（选择符合条件的那部分图像）④定范围（定出选取图象的自变量取值范围）同样要先找到y1<y2时的图像，再确定自变量x的取值范围，此处特别强调根据反比例函数的性质，x=0是取不到的，因此y轴也是分界线。

四、总结反思对于初中生来说函数是一个比较难以理解的概念，很多学生函数题会做，但不见得就理解，本节课正是想通过不等式、函数表达式、函数图像，让学生有机会去体验他们各自的意义，为以后的数学学习打好基础。

利⽤函数性质与图像⽐较⼤小一、基础知识：（一）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x "Î<Û<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x æö-=ç÷èø3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：()()'0f x f x >Þ单调递增；()()'0f x f x <Þ单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->éùëû：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。

所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。

在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。

两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。

在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +¥单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +¥单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。