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论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法1引言理论力学是机械、土木类专业的专业基础课。
包括静力学、运动学和动力学三大部分。
运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。
其中点的合成运动是运动学的重点内容。
此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。
当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。
本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。
2点的合成运动概述在日常生活中，会经常遇到这样的情况。
当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。
举个最常见的例子，如图1。
人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。
而以公共汽车为参考物，则人静止的。
可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。
再引申一个例子，如图2。
沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。
对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。
车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。
轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。
于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
3一点二系三运动研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。
3.1两个参考坐标系研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。
（1）定参考系建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。
点的合成运动一、是非题1. 在研究点的合成运动问题时，所选的动点必须相对地球有运动。
（ × ）2. 牵连速度是动参考系相对于静参考系的速度。
（ × ）3. 牵连运动为定轴转动时，科氏加速度始终为零，动点在空间里一定作直线运动。
（ × ）4. 如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（ √ ）5. 用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度00≠ω，相对速度0≠r v ，则一定有不为零的科氏加速度。
（ × ）6. 牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。
（ × ）7. 当牵连运动为定轴转动时，牵连加速度等于牵连速度对时间的一阶导数。
（ × ）8. 当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（ √ ）9. 在点的复合运动中，下述等式是否一定成立（式中各导数均为相对静系求导）：A. t d d e e v a =， ( × ) B. t d d r rv a =， ( × ) C. t v a d d e e=， ( × ) D. t v a d d r r=， ( × ) E.t v d d a a =a ， ( √ ) F. tv a a d d a =。
( × ) 10. 在点的复合运动中，请选出正确的说法：A. 若0,0e =≠v r ，则必有0=C a ， ( × )B. 若0,0e =≠a r ，则必有0=C a ， ( × )C. 若0≠e n a ，则必有0=C a ， ( × )D. 若0,0r ≠≠v ϕ，则必有0≠a ， ( × )E. 若0,0r ≠≠a ω，则必有0≠a ( × )这里r 为动点的绝对矢径，上面所指皆为某瞬时。
11. 在点的复合运动中，下述说法是否成立：A. 若v r 为常量，则必有0r =a ， （ × ）B. 若ω为常量，则必有0e =a ， （ × ）C. 若ω||r v ，则必有0c =a 。
四年级复合运动知识点归纳总结运动对于孩子的成长和身体健康具有重要的作用。
在四年级的学习中，学生们会接触到一些复合运动，这些运动需要综合多种技巧和动作。
下面将对四年级复合运动的知识点进行归纳总结。
一、踢踏球1. 动作要领：- 平衡身体，将球放在适当位置；- 用脚腕踢球，踢球时要有力但不要用力过猛；- 踢球时将视线放在球上，目标是控制球的方向和力量。
2. 技巧训练：- 练习踢球的力量控制，逐渐学会踢出不同程度的力量；- 练习踢球的准确性，目标是将球踢到特定的位置；- 练习快速反应，适应不同方向和高度的球。
3. 注意事项：- 注意安全，避免与他人碰撞；- 在练习时要有着正确的姿势和动作，避免受伤。
二、跳绳和弹跳球1. 动作要领：- 跳绳：双脚轮流用力跳起，在空中绕过绳子再着地；- 弹跳球：用力将球抛上空中，迅速用双手接住球并使球弹回地面。
2. 技巧训练：- 练习跳绳节奏，逐渐提高跳绳速度和连续性；- 练习控制弹跳球的力度和角度，实现球的精准弹跳；- 练习调整身体的平衡和节奏，适应不同的跳绳和弹跳球动作。
3. 注意事项：- 在跳绳时，避免绳子打到自己和他人；- 弹跳球的练习需要确保活动空间的安全。
三、滚球1. 动作要领：- 将球放在地面上，用手推动球前进；- 控制手臂的力度和角度，使球能够在目标区域内停下。
2. 技巧训练：- 练习推滚球的力度和准确性；- 练习调整推球的方向，使球能够顺利移动到目标区域；- 练习观察球的速度和滚动方向，提前做出反应。
3. 注意事项：- 在练习时要注意站稳，避免滑倒；- 滚球练习应在平坦的地面上进行。
四、投掷与接住1. 动作要领：- 投掷：将物体向目标方向抛出；- 接住：迅速移动身体，用手接住正在空中下落的物体。
2. 技巧训练：- 练习投掷的力度和准确性；- 练习接住的反应能力和准确性；- 练习从不同角度和距离进行投掷与接住。
3. 注意事项：- 投掷时要注意力度，避免抛出过猛；- 接住物体时要注意手部的力道，避免受伤。
点的复合运动的分类
一、直线运动：又称作线性运动，是指在限定的直线路径上，沿着一定方向和速度移动的运动。
二、角动：也称为旋转运动，是指物体围绕某一点旋转，或以一定角速度斜率运动，以该点为转轴，其轨迹是一个旋线。
三、抛物运动：指物体投掷后，在重力作用下，以匀加速度直线运动，以及水平和竖直方向上有相对应变化而称之为抛物运动。
四、径向运动：也称为近似圆周运动。
指物体在一定的轨道上以其圆心为旋转轴，以相对圆心的位置的改变不断诞生外转力。
五、螺旋运动：也称升降运动，是指一个物体水平沿螺旋线运动，由低点向高点或者高点到低点而移动，以螺旋线形式而呈现上升或下降的运动状态。
§2-5 点的复合运动(1)在动系、定系中观测动点的运动量之间的关 系：位置关系、速度关系加速度关系。
(2)借助动系研究动点的运动规律的方法。
定义动点对于定参考系的 运动，称为绝对运动。
动点对于动参考系的 运动，称为相对运动。
动参考系对于定参考 系的运动，称为牵连运动 x0 z0相对轨 迹 绝对轨迹Pz Ay x y0O绝对运动、相对运动与牵连运动 例1 动点：滑块P；定系：圆板；动系：杆 OA 绝对运动：螺旋线相对运动：沿杆直线 牵连运动：定轴转动 牵连点Pe: 动系上与动点P位置重 合的点（杆上的点） 牵连点的位置随动点的相对运动而改变。
牵连速度：牵连点的绝对速度，记为ve 。
点的复合运动公式动点的绝对速度 v a 等于动点相 对动系的相对速度 v r 与其牵连点 的速度 ve 之和。
该动系上瞬时与 动点的几何位置重合的点称为动点 的牵连点。
相对 轨迹P绝对轨迹z0z Ay x y0v a = ve + v r动点的绝对加速度 aa 等于 动点相对动系的相对加速度 ar 与其牵连点的加速度 ae 以及哥 氏加速度 aC 之和。
O x0a a = ae + a r + ac哥氏加速度 ac = 2ω × vrω动系的绝对角速度例：速度合成定理的一个启发性证明Oxyz 为定系；刚性金属丝为动系，作刚体一般运动；丝上套小环P为动点。
绝对 轨迹 相对 轨迹e e前时刻动系上与动点重合的点的绝对轨迹速度合成定理：动点的绝对速度等于其牵连速度与相对 速度的矢量和： v a = ve + v r∆r = ∆rr + ∆re⎛ ∆r ∆rr ∆re ⎞ = + lim ⎜ ⎟ t →0 ⎝ ∆t ∆t ∆t ⎠绝对 速度v a = ve + v rP的绝 对位移牵连 速度相对 速度∆rr相对 位移e牵连点的 绝对位移ee定义：在t 瞬时，动系上与动点相重合之点（牵连点） 的绝对速度称为牵连速度，记为 v e 。
第14章点的复合运动工程力学学习指导第14章 点的复合运动由于运动的相对性，在不同的参考系中，对于同一动点，其运动方程、速度和加速度是不相同的。
许多力学问题中，常常需要研究一点在不同参考系中的运动量(速度和加速度)的相互关系。
本章用定、动两种参考系，描述同一动点的运动；分析两种结果之间的相互关系，建立点的速度合成定理和加速度合成定理。
点的运动的合成与分解是运动分析方法的重要内容，在工程运动分析中有着广泛的应用；同时可为相对运动动力学提供运动分析的理论基础；点的复合运动分析方法还可推广应用于分析刚体的复合运动。
本章是“工程运动学基础” 篇的重点内容。
14.1 教学要求与学习目标1. 准确理解本章阐述的若干概念，如：动点、动系、三种运动、三个速度、三个加速度以及科氏加速度等。
尤其要注意牵连速度、牵连加速度与科氏加速度的概念与计算。
2.明确动点与动系的选择原则，能在具体问题中恰当地选择动点与动系，并正确地分析三种运动。
3. 应用速度、加速度合成定理解题时，能正确地确定各已知量，明确问题的可解性（未知量数目与方程数相等）。
使用投影式时会选择恰当的投影轴。
14.2 理 论 要 点14.2.1 动点、定系、动系与三种运动一般工程问题中，通常将固连在地球或相对地球不动的机架上的坐标系，称为定参考系,简称定系，以Oxyz 坐标系表示；固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系，以z y x O ′′′′坐标系表示。
所研究的点称为动点。
动点（研究对象）相对于定系的运动，称为动点的绝对运动。
动点相对于定系的运动速度和加速度，分别称为动点的绝对速度和绝对加速度，分别用符号a v 和a a 来表示。
动点相对于动系的运动，称为动点的相对运动。
动点相对于动系的运动速度和加速度，分别称为动点的相对速度和相对加速度，分别用符号r v 和r a 来表示。
动系相对于定系的运动，称为牵连运动。
由于除了刚体平移以外，一般情形下，刚体上各点的运动并不相同。
动系上每一瞬时与动点相重合的那一点，称为瞬时重合点（又称牵连点）。
由于动点相对于动系是运动的，因此，在不同的瞬时，牵连点是动系上的不同点。
动系上牵连点相对定系的运动速度和加速度，定义为动点的牵连速度和牵连加速度，分别用符号e v 和e a 表示。
需要注意的是：1) 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可能作直线运动或曲线运动；而牵连运动则是指动系的运动，实际上是其所固连的参考体——刚体的运动，牵连运动可能是平移、定轴转动或其他较复杂的运动；2) 牵连速度（加速度）是指牵连点的（绝对）速度（加速度），而牵连运动是指动参考体——刚体的运动。
这在概念上是不同的，而其联系是牵连点是动参考体上的瞬时重合点；3) 分析这三种运动时，必须明确：以哪一物体作为参考系。
14.2.2 速度、加速度合成定理1. 速度合成定理动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，即a v =e v +r v由于证明时没有对绝对运动和相对运动轨迹形状作任何限制，也没有对牵连运动为何种刚体运动作限制，因此速度合成定理对各种运动都是适用的。
2. 牵连运动为平移时点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和，即r e a a a a +=3. 牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，加速度合成定理与动系为平移时的情况不同。
当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，即C r e a a a a a ++=当牵连运动为任意运动时这一定理都成立，所以这是点的加速度合成定理的普遍形式。
因为科氏加速度为C e r 2=×a ωv其中e ω为动参考体牵连运动的角速度，v r 为动点的相对速度；当牵连运动为平移时，e 0=ω，因此0C =a 。
14.2.3 动点与动系的选择点的复合运动问题一般分为两类：运动合成与运动分解。
对于运动合成，是将相对运动和牵连运动合成为绝对运动，根据给定的条件比较容易选定动点与动系。
对于运动分解，正确选择动点与动系的原则是：动点与动系应选在不同的刚体上，而且动点相对动系的相对轨迹易于确定。
14.3 学 习 建 议1. 恰当选取动点、动系和定系所选的参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。
其中动点可以不动，但动点和动系间必须有相对运动，即动点和动系不能选在同一个物体上。
为了便于求解，应使相对运动轨迹简单或直观，一般情况下，所选择的动点在运动过程中应始终与动系相接触或与动系的坐标轴保持常距。
定系一般不作说明时指固连于机架或地球上。
选择动点、动系时之所以要求相对运动轨迹简单或直观，目的是希望相对运动的运动量v r 、n r a 、t r a 方向已知，以便于求解。
2. 分析三种运动绝对运动和相对运动指点的运动（直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动）；正确判断相对运动的要领是观察者在动系上观察（即视动系不动）时，动点（不包括动点所在的刚体）将作何种曲线运动；牵连运动是指动系（所固连的刚体）的运动（平移、定轴转动或其他某种形式刚体运动）。
注意不要将点的运动与刚体的运动概念相混。
3. 正确分析速度和加速度通常绝对速度概念容易理解掌握；至于相对速度、相对加速度分析之关键在于相对运动轨迹的判断；而牵连速度、牵连加速度完全是新概念，它与牵连运动有联系又有明显区别。
牵连运动是动系（刚体）的运动，而牵连速度和牵连加速度分别是动系上牵连点（与动点重合点）的（绝对）速度和加速度。
要注意动点与牵连点的联系与区别。
另外，当动系含转动时，若e ω×r v 0≠，则有科氏加速度，它可由速度分析完全确定。
4. 点的速度、加速度合成定理的应用点的速度合成定理永远为r e a v v v +=而点的加速度合成定理一般可写成如下形式：n t n t n t a a e e r r C +=++++a a a a a a a上式中每一项都有大小和方向两个要素，必须根据选定的动点、动系及相应的三种运动，认真分析每一项，才可能正确地解决问题。
平面问题中，一个矢量方程相当于两个代数方程，因而一般均能求解两个未知量。
式中各项法向加速度的方向总是指向相应曲线的曲率中心，它们的大小总是可以根据相应的速度大小和曲率半径求出。
因此，在应用加速度合成定理时，一般应在运动分析的基础上，先进行速度分析，这样各项法向加速度都是已知量。
科氏加速度C a 的大小和方向两个要素也是已知的。
在加速度合成定理中，通常只有三项切向加速度的六个要素可能是待求量，若已知其中的四个要素，则余下的两个要素就完全可求了。
一般先将矢量式向两个未知要素之一的垂直方向投影求解（注意：因此时有些矢量方向是假设的，不要用平行四边形两两合成求解）。
14.4 例 题 示 范【例题14-1】如图14-1a 所示平面机构中，已知：杆O 1A 以匀角速度ω绕O 1轴转动，O 1A= r ，O 2B =2L ，CDE 构件CD 段水平，DE 段在ϕ = 60º的滑道内。
在图示位置时，O 1A 杆水平，滑块A 处于杆O 2B 中点，试求该瞬时CDE 构件的速度。
解：1．分析机构的运动杆O 1A 、O 2B 作定轴转动，构件CDE 作平移；滑块A 与杆O 1A 在点A 铰接并可沿杆O 2B 滑动，滑块B 与杆O 2B 在点B 铰接并套在构件CDE 上可沿CD 段滑动。
2．选择动点、动系因为杆O 1A 转动的角速度已知，故可先选择滑块Α为动点，而动系固连在杆O 2B 上。
3．分析三种运动由于滑块A 与杆O 1A 在点A 铰接，故其绝对运动为以O 1为圆心，r 为半径的圆周运动；又因为滑块始终套在动系O 2B 上，所以相对运动为沿O 2B 的直线运动；牵连运动为绕轴O 2的定轴转动。
4．速度分析根据三种运动的分析，将三个速度画在滑块A 处（图14-1b ），先将大小、方向均已知的绝对速度（v A a = r ω）画出，再根据速度合成定理v A a = v A r + v A e ，将相对速度和牵连速度画出，并使绝对速度成为速度平行四边形的对角线。
根据速度的平行四边形可求得v A e = v A a sin θ =rr Lω因为牵连速度v A e 是动系O 2B 上与动点A 重合点的速度，故杆O 2B 的角速度为12e 2A O Bv r L L ωω==图14-1 例题14-15．分析滑块B此时再设滑块B 为动点，动系固连在与滑块B 有相对运动的构件CDE 上。
这样，动点B 的绝对运动为以O 2为圆心，2L 为半径的圆周运动；相对运动为沿CD 段的水平直线运动；而牵连运动为沿滑道（DE ）方向的平移。
据此，画出速度的平行四边形如图14-1b 所示 6．求构件CDE 平移的速度因为 22a 22B O B r v L Lωω=⋅=构件CDE 的平移速度，即为牵连速度v B e 。
将速度合成定理v B a = v B r + v B e 向铅垂方向投影a e sin sin B B v v θϕ=得构件CDE 的平移速度为3e CDEB v v == 7．讨论当点（通常有滑块、销钉、小环等）在一运动物体上作相对运动时，都将此点选为动点（如此题中的滑块A 、B ），动系则固连在运动的物体上（如杆O 2B 、构件CDE ），这样相对运动轨迹较容易判断。
【例题14-2】图14-2a 所示半径为R 的半圆形凸轮沿水平面向右运动，使杆OA 绕定轴O 转动。
OA =R ，若在图示瞬时，杆OA 与铅垂线间的夹角θ = 30º，点O 与O 1恰在同一铅垂线上，凸轮的速度为v ，加速度为a 。
试求该瞬时杆OA 的角速度及其上点A 相对于半圆形凸轮的加速度。
解：1．分析机构的运动并选择动点、动系14-2 例题机构由作定轴转动的杆OA 和作水平直线平移的凸轮组成，图示瞬时两物体在点A 相接触。
由于杆OA 上的点A 在运动过程中始终与凸轮表面相接触，故选此点为动点，并将动系固连在凸轮上。
2．三种运动及速度分析动点A 的绝对运动为以O 为圆心，R 为半径的圆周运动；由于动点始终与动系相接触，故其相对运动的轨迹为凸轮的轮廓曲线；牵连运动为凸轮的平移。
根据运动分析，可画出速度分析图（图14-2b ）。
根据速度图可得e v v =r a sin 30sin 30v v °=°；a r v v =a e r cos30cos30v v v °=−°a r v v ==；a OA v R ω==3．加速度分析由于动点的绝对运动和相对运动均为曲线运动，故其加速度应分为切向和法向两个分量；牵连运动为直线平移，所以有e a a =； C 0a = 加速度分析如图14-2c 所示，加速度合成定理可表示为t nt n a a r r e a a a a a +=++其中绝对和相对的法向加速度分别为22n a a 3v v a R R ==； 22nr r 3v v a R R==此时加速度合成定理中有两个未知量t a a 和tr a ，但前者并不需要求出，故可选择与t a a 相垂直的投影轴，将加速度合成定理沿AO 方向投影，得 n n t a r r e sin 30cos30sin 30a a a a =−°+°−°2tn nra r ))a a a a a =++=+最后可得点A 相对于半圆形凸轮的加速度22r a =4．讨论当两个物体相接触时，其中一物体上有确定不变的点在运动过程中始终与另一物体相接触。
