点的复合运动2011b

10图示倾角ϕ=30°的尖劈以匀速u =200 mm/s 沿水平面向右运动，使杆OB 绕O 轴转动，
mm r =。

求当ϕθ=时，杆OB 的角速度和角加速度。

解：取尖劈为动系，杆上B 为动点，其牵连运动为水平直线运动，相对运动为沿尖劈斜面的直线运动，绝对运动为绕O 点的圆周运动。

速度分析如图(a)所示。

e
v B v r
v
由速度合成公式及几何关系可得：
sin 30sin120e B v v ==
故杆OB 的角速度为：
1/rad/s 3
B v r ω==
加速度分析如图(b)所示，其中0e a =，2Bn a r ω=。

加速度合成公式为：
B Bn e r τ+=+a a a a
e
a B τa r
a Bn
a
将上式向垂直于r a 的方向投影，得：
sin30cos300Bn B a a τ+=
2B a r τ= 故杆OB 的角加速度为：
2rad/s B a r τε=
= （顺时针）
12小环M 同时与半径为r 的两圆环如图相交，圆O ' 固定，圆环O 绕其圆周上一点A 以匀角速度ω转动。

求当A 、O 、O ' 位于同一直线时两圆环交点M 的速度大小与加速度大小。

解： 取圆环O 为动系，M 点为动点，牵连运动为绕A 点的圆周运动，相对运动为沿圆环O
的圆周运动，绝对运动为沿则圆O ' 的圆周运动，速度分析如图(a)所示，其中e v ω。

由几何关系可知，30MAO MBO '∠=∠= ，60MO O '∠= ，连线AM 为圆O '的切线，MB 为圆O 的切线。

v
e
v r
v B
(a)
速度合成公式为：
e r =+v v v （1）
因此有：
cot 60e v v r ω== /cos602r v v r ω==
加速度分析如图(b)所示，其中2
e a ω=，2
4c a r ω=，22
4r rn v a r r ω==，22n v a r r
ω==。

a τa r τ
a B
n
a e c
a rn
a
(b)
加速度合成公式为：
n e r rn c ττ+=+++a a a a a a
（2） 将上式向rn a 方向投影，得：
cos30cos60cos30n e rn c a
a a a a τ-+=+-
解得：
2
a τω= 因此M 点的加速度的大小为
2
a ω=
13OA 杆以等角速度0ω绕O 轴转动，半径为r 的滚轮在OA 杆上作纯滚动，已
知
r B O 31=，图示瞬时O 、B 在同一水平线上，B O 1在铅垂位置，︒=∠30AOB ，求在此瞬时：（1）B O 1杆的角速度与角加速度；（2）滚轮的角速度与角加速度；（3）滚轮上P 点
的速度与加速度。

解：建立如图所示的动系11Ox y ，坐标轴的单位矢量分别记为1i 和1j 。

取OA 杆为动系，B 点为动点，牵连运动为定轴转动，相对运动为平行于1x 方向的直线运动，绝对运动为绕
1O 点的圆周运动，如图(a)所示，其中02e v r ω=。

B v r
v e
v
(a)
由速度合成关系可得：
04r v r ω=，0B v ω=。

由此可得：
1
012B
O B v O B
ωω=
= （逆时针） 以点B 为基点分析P 点运动，得到：
1+
P B B r ω=ννi
由于轮作纯滚动，故01P v r j 。

将上式向1x 轴方向投影，得：
0cos30B B v r ω=+
故有：
03B ωω=-（顺时针）
加速度分析如图(b)所示，其中202e a r ω=，2
8c a r ω=，22
1B Bn v a O B
ω==。

B τa r
a Bn
a e
a c
a
加速度合成公式为：
Bn B r e c τ+=++a a a a a
将上式向c a 方向投影，得：
cos30cos60cos60Bn B e c a a a a
τ+=-+
解得：
20
2B a r τω= 因此得
1
2
01B O B a O B
τεω=
= （逆时针） 以B 为基点，分析P 点的加速度，有：
2
11P B Bn B B r r τωε=+++a a a j i
由于轮作纯滚动，轮上P 点和其在杆上的接触点的加速度在1x 方向的分量相同，故有
2
011P Py a ω=+a i j 。

将上式分别向1x 和1y 轴方向投影，得：
2
0cos30cos60B Bn B a a r τωε=-+
2
cos60cos30Py B Bn B
a a a r τω=++ 解得：
0B ε=，2
16Py a r ω=
答： （1）102O B ωω=（逆时针），12
0O B ε=
（逆时针） （2）03B ωω=（顺时针），0B ε=
（3）01P ω=v j ，()
2
116P r ω=+a j
17图示机构中，小环M 套在直角曲杆AB O 1上，同时还套在半径为r 的半圆环上，当半圆
环以水平速度0v 、水平加速度0a 行至图示位置时，︒=30θ，且知AM ，曲杆绕1
O 轴转动的角速度为1ω，角加速度为零，试求此瞬时小环M 的速度和加速度。

解：由几何关系可知1O A =
，3
2
AM r ==，112O M O A ==。

1.求速度。

取曲杆AB O 1为动系，小环M 为动点，牵连运动为定轴转动，相对运动为沿AB 的直线
运动。

牵连速度和相对速度分别记为e v 和r v ，其中1e v ω。

如图(a)所示。

e
v 30
r
v e
'v r 'v
(a)
速度合成公式为：
M e r +v =v v (a)
式(a)有三个未知数，不能直接求解。

取半圆环为动系，小环M 为动点，牵连运动为水平方向的平动，相对运动为沿半圆环
的圆周运动，牵连速度和相对速度分别记为e 'v 和r 'v ，其中0v v '
e =。

如图(a)所示。

速度合成公式为：
M e
r ''+v =v v (b)
联立式(a)和(b)，得：
e
r e r ''++v v =v v (c) 将式(c)向竖直方向投影，得：
sin30cos30r
e v v '= 解得：
'
13r v r ω=
将式(c)向水平方向投影，得：
cos60cos30e r e
r v v v v ''-=- 解得：
10r v v ω=-
所以：
011113
()2
M e
r v r ωω''=+=+v v v i j
2. 求加速度
加速度分析如图(b)所示，其
中21
e a ω=，0e
a a '=，2219r
rn v a r r
ω''==
，1102)c a v ωω=-。

30
r
a e
'a r τ'a rn
'a e
a c
a
(b)
加速度合成公式为：
e r c e
r rn τ'''++=++a a a a a a 将上式向
c a 方向投影，得：
sin30sin30cos30
c e r
rn a a a a τ''-=- 可解得：21104r a wv τω'=-
所以：
22
010111
10157()2)2M e
r rn a v r v τωωω'''
=++=+-
+
-a a a a i j 答：
011113
()M v r ωω=+v i j 22
010********()2)2M
a v r v ωωω=+-+-a i j。