高中数学人教A版选修2-3课件第三章统计案例

1 §2 独立性检验

自主整理

1.设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值,

变量A：A1，A2=A1；

变量B：B1，B2=B1.

通过观察得到下表所示数据:

A

B B1 B2 总计

A1 a b baa

A2 c d dc

总计

ca db dcban

其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据.

设n=a+b+c+d,用_______________估计P(A1B1), ______________估计P(A1),

__________估计P(B1).

若有式子

ncanbana,

则可以认为______________独立.

同理,若ndbnbanb，则可以认为______________独立；若ncandcnc，则可以认为______________独立；若ndbndcnd，则可以认为______________独立.

但是,在ncanbana中，由于ncanbana,,表示的是______________，不同于概率，即使变量之间独立，式子两边也不一定恰好相等.但是当两边相差______________时,变量之间就不独立.

2.选取χ2作统计量,用它的大小来检验变量之间是否独立.

χ2=______________________________________________________________________

当数据量较大时,在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断.

(1)当χ2≤______________时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;

(2)当χ2＞______________时,有90%的把握判定变量A,B有关联;

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、两个分类变量之间关系的定性分析

1.分类变量

取不同的“值”表示个体所属不同类别的分量称为分类变量.这里的“变量”和值都应作为“广义”的变量和值进行理解.例如：对于性别变量，其取值为男和女两种.那么这里的变量指的是性别，同样这里的“值”指的是“男”和“女”，因此，这里所说的“变量”和值不一定取的是具体的数值.

要点提示 注意此处空半格分类变量是大量存在的，例如：吸烟变量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别.

2.定性分析的方法

（1）频率分析

通过对样本的每个分类变量的不同类别的事件发生的频率大小比较来分析分类变量之间是否有关联关系.通常通过列联表列出两个分类变量的占少数表来进行分析.

（2）图形分析

①三维柱形图.它可以清晰的看出各个频数的相对大小；

②二维条形图.如本节引例中，可画叠在一起的二维条形图.浅色条高表示不患肺癌的人数，深色条高表示患肺癌的人数；

③频率分布条形图：为了更清晰的表示引例的特征，我们可用等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例.

方法归纳 注意此处空半格三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况.作三维柱形图时要注意选择恰当的视角，以使每个柱体都能被看到.

二、独立假设

1.2×2列联表

不患肺癌 患肺癌 总计

不吸烟 7 775 42 7 817 吸烟 2 099 49 2 148

总计 9 874 91

9 965

上表称为2×2列联表.意思是问题要考虑调查的人的两种状态：是否吸烟，是否患肺癌.每种状态又分两种情况：吸烟，不吸烟以及患肺癌、未患肺癌.表中排成两列的数据是调查得来的结果，希望根据这4个数据来检验上述两种状态是否有关.这一检验就称为2×2列联表的独立性检验.

2.独立性检验：利用随机变量K2=))()()(()(2dbcadcbabcadn（其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ为样本容量）来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.

1 1.2相关系数

自主整理

判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：

（1）_______________________________________________________________.

（2）_______________________________________________________________.

高手笔记

1.假设两个随机变量的数据分别为（x1，y1），（x2，y2)，„，（xn，yn），则变量间线性相关系数r的计算公式为

r=niiniiniiiniiniiiniiyyxxxyynyxnxyxnyxyyxxyyxxlll122122121121)()()()(

2.（1）r∈［-1，1］，|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高.

（2）|r|值越接近0,Q越大,变量之间的线性相关程度越低.

(3)当r＞0时,lxy＞0,b=xxxyll＞0,两个变量正相关.

当r＜0时,lxy＜0,b=xxxyll＜0,两个变量负相关.

当r=0时,两个变量线性不相关.

名师解惑

如何用变量间线性系数r来恒量两变量间的线性相关程度的大小?

剖析：误差Q(a，b）=ni1［yi-(a+bxi)］2=lyy+n［y-(a+bx)］2+lxx(b-xxxyll)2-xxxyll2.

当b=xxxyll,a=y-bx时，Q（a，b）最小=lyy-xxxyll2=lyy（1-yyxxxylll2）=lyy·（1-r2）.

∵Q(a,b)≥0，

∴1-r2≥0，即r∈［-1，1］.

（1）|r|值越大，1-r2越接近于0，误差Q（a，b）越小，两变量之间的线性相关程度越高.

（2）|r|值越接近于0，1-r2越大，误差Q（a，b）越大，两变量之间的线性相关程度越低.

（3）当r=0时，两变量线性不相关.

讲练互动

【例1】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x（克/升）去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.

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高中数学第三章统计案例单元测评北师大版选修2-3（6页）

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《统计案例》测评

（时间90分钟，满分100分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

下面变量之间的关系是函数关系的是

扎已知二次函数y二a€+bx+c,其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的 判别式A=bs-4ac

光照时间和果树亩产量

降雪疑和交通事故发生率

每亩施用肥料呈:和粮食亩产量

答案:A解析：B、C、D是相关关系，A是确雄性关系，即函数关系.

设有一个回归方程为y二3-5x,变量x增加一个单位时

扎y平均增加3个单位 B. y平均减少5个单位

C. y平均增加5个单位 D. y平均减少3个单位

答案:B解析：斜率b二-5的意义是：变量x增加1个单位时，y平均增加-5个单位，即y 平均减少5个单位.

若回归直线方程中的回归系数b二0时,则相关系数为

扎 r=l B.r二-1 C. r=0 D.无法确

定 答案:C

4?在一个2X2列联表中，由其数据计算得x ±13.097,则其两个变量间有关 2

系的可能性为

D.无关系99% B. 95% C.

D.无关系

答案:A解析：当x=>6. 635时，有99%的把握认为两个变量之间有关系.