高中数学 第三章(统计案例)学案1 新人教A版选修2-3 学案

统计

【学法导航】

1．一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验．在确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程；由部分数据得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究．由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用。

2．对卡方统计量的表达式的由来，学生只需要了解，作为探究问题可以在课后学习。

统计的基本思维模式是归纳的，它的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质，因此，统计推断可能是错误的，也就是说，我们从数据上体现的只是统计上的关系，而不是因果关系。

【典例精析】

1．线性相关性检验 例1．一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间由如下一组数据： 1）画出散点图；2）检验相关系数r的显著性水平；3）求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程.

解析：

1）画出散点图：

2）

r=

= 在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r0.05=0.576<0.997891,

这说明每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间存在线性相关关系。

3）设回归直线方程，

利用

，

计算a，b，得b≈1.215, a=≈0.974，

∴回归直线方程为：

2．独立性检验

例2．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：

患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计

吸烟 43 162 205

不吸烟 13 121 134

合计 56 283 339

试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？

解析：由公式469.728356134205)1316212143(3392K，因为7.469>6.635,所以我们有99%的把握说：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。

3.独立的概念及应用

例3．(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07

y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07

yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50

xiyi 2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245

=，==2.8475，=29.808，=99.2081，=54.243 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品

净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),

[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于

100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且

小于104克的产品的个数是 ( ).

A.90 B.75 C. 60 D.45

答案 A

解析 产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,

已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,

则300.036n,所以120n,净重大于或等于98克并且小于

104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本

中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是

120×0.75=90.故选A.

4．随机变量的分布列

例4．（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（I2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。

分析 （1）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意

此分层抽样与性别无关。

（2）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815CCPC

（3）的可能取值为0，1，2，3

1234211056(0)75CCPCC，1112146342212110510528(1)75CCCCCPCCCC，

21622110510(3)75CCPCC，31(2)1(0)(1)(3)75PPPP 分布列及期望略.

5.随机变量的均值

例5．（1）（2009湖南卷文） 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为 .

答案 120

解析 设总体中的个体数为x，则101120.12xx

（2）（2009四川卷文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝618.0215，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是

A.甲批次的总体平均数与标准值更接近

B.乙批次的总体平均数与标准值更接近

C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

答案 A

解析 甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613

6．随机变量的方差

例6．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：

ε 0 1 2 η 0

1

2

P

106 101 103 P

105 103 102

试对这两名工人的技术水平进行比较。

分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小。

解析：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

7.0103210111060E， 96 98 100 102 104 106 0.150

0.125

0.100

克 频率/组距

第8题图 891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222D；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

7.0102210311050E，

664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222D；

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定。

7.正态分布

例7．2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；

乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

解析 本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率.

解 （1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽

取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人.

（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则158)(2101614CCCAP

（3）iA表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，210，，i

jB表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，210j，，

B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

iA与jB独立，210，，，ji ，且021120BABABAB

故)()(021120BABABAPBP

)()()()()()(021120BPAPBPAPBPAP

210262102628141621016142102421024CCCCCCCCCCCCCC

【专题突破】 1． 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )

A．2283CA B．2686CA C．2286CA D．2285CA

2．设两个正态分布2111()(0)N，和

2222()(0)N，的密度函数图像如图所示。则有（ ）

A．1212, B．1212,

C．1212, D．1212,

3．在正方形ABCD内任取一点P，求0120APB的概率.

4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）

（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）

5．．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【专题突破】答案

1．C 解析：从后排8人中选2人共28C种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为26A；综上知选C。