2018-2019学年高中数学 第三章 统计案例学案 新人教A版选修2-3
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三 统计案例
1．最小二乘法
对于一组数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n，如果它们线性相关，则线性回归方程为y^＝b^ x＋a^，
其中b^=
2．2×2列联表
2×2列联表如表所示：
B
B 总计
A a b a＋b
A
c d c＋d
总计 a＋c b＋d n
其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3．K2检验
常用随机变量K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）来检验两个变量是否有关系．
1．回归分析的两个关注点
(1)回归分析是建立在两个具有相关性的变量之间的一种模拟分析，因此先判断其是否具有相关性．
(2)并非只有线性相关关系，还可能存在非线性相关关系．
2．独立性检验的两个注意点
(1)通过独立性检验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测．
(2)2×2列联表中，当数据a，b，c，d都不小于5时，才可以用K2检验．
主题1 回归分析
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【解】 (1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．
c^＝y―－d^w―＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.
(3)①由(2)知，当x＝49时， 年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.
所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
解决回归分析问题的一般步骤
(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．
(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．
(3)回归分析．画残差图或计算R2，进行残差分析．
(4)实际应用．依据求得的回归方程解决问题．
在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
x(元) 14 16 18 20 22
y(件) 12 10 7 5 3
且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏．
解：x―＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
y―＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
所以a^＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以y对x的回归直线方程为y^＝－1.15x＋28.1.
列出残差表为
yi－y^i
0 0.3 －0.4 －0.1
0.2
yi－y― 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
主题2 独立性检验
某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数大于等于70的人，饮食以肉类为主．)
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；
(2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表．
主食蔬菜 主食肉类 总计
50岁以下
50岁以上
总计
(3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？
【解】 (1)30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．
(2)2×2列联表如表所示：
主食蔬菜 主食肉类 总计
50岁以下 4 8 12
50岁以上 16 2 18 总计
20
10
30
(3)随机变量K2的观测值k＝30×（4×2－8×16）212×18×20×10＝10>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．
独立性检验问题的求解策略
(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．
(2)K2统计量法：通过公式
K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论．
在考查黄烟是否经过药物处理与发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．
解：由已知，得2×2列联表如下：
经过药物处理 未经过药物处理 总计
青花病 25 185 210
无青花病 60 200 260
总计 85 385 470
提出假设H0：经过药物处理跟发生青花病无关系．
根据列联表中的数据，可以求得随机变量K2的观测值为
k＝470×（25×200－185×60）2210×260×85×385≈9.788.
因为当H0成立时，K2≥7.879的概率约为0.005，而此时K2的观测值k≈9.788>7.879，
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．
, [A 基础达标]
1．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( )
A．由样本数据得到的回归方程y^＝b^x＋a^必过样本点的中心(x，y)
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间具有线性相关关系
解析：选C.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C.
2．下列说法中正确的有：( )
①若r＞0，则x增大时，y也相应增大；
②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选C.若r＞0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确，r＜0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．
3．若两个变量的残差平方和是325，i＝1n （yi－y―）2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( )
A．64.8% B．60%
C．35.2% D．40%
解析：选C.由题意可知随机误差对预报变量的贡献率约为325923≈0.352.
4．有下列数据
x 1 2 3
y 3 5.99 12.01
下列四个函数中，模拟效果最好的为( )
A．y＝3×2x－1 B．y＝log2x
C．y＝3x D．y＝x2
解析：选A.分别把x＝1，2，3，代入求值，求最接近y的值，即为模拟效果最好，故选A.
5．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
男 女 合计
爱吃 10 40 50
不爱吃 20 30 50
合计 30 70 100
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841
5.024
由K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），计算得K2＝100（10×30－20×40）250×50×30×70≈4.762.
参照附表，得到的正确结论为( )
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
解析：选A.因为K2≈4.762>3.841，P(K2>3.841)＝0.05.所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A.
6．某种活性细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间有如下几组样本数据：
存放温度x(℃) 10 4 －2 －8
存活率y(%) 20 44 56 80
经测算，上述样本数据具有线性相关关系，且回归直线的斜率为－3.2.则当存放温度为6 ℃时，该种细胞的存活率的预报值为________%.
解析：设回归直线方程为y^＝－3.2x＋a^，因为x―＝1，y―＝50，则a^＝y―＋3.2x―＝53.2.当x＝6时，y^＝－3.2×6＋53.2＝34.
答案：34
7．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图象附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________．
解析：由y＝3e2x＋1，
得ln y＝ln(3e2x＋1)，
即ln y＝ln 3＋2x＋1，
令u＝ln y，v＝x，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2v.
答案：u＝1＋ln 3＋2x(其中u＝ln y)
8．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：
患慢性气管炎 未患慢性气管炎 总计
吸烟 20 20 40
不吸烟 5 55 60
总计 25 75 100
根据列联表数据，求得K2＝________(保留3位有效数字)，根据下表，在犯错误的概率不超
