高中数学选修2-3第三章 统计案例

第三章 统计案例目录

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（一）(新授课)

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（二）(新授课)

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（三）(新授课)

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（四）(新授课)

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（一）（新授课）

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（二）（新授课）

第三章 统计案例单元练习题（习题课）

第三章 统计案例目录

一、课程目标

在《数学3（必修）》概率统计内容的基础上，通过典型案例进一步介绍回归分析的基本思想、方法以及初步应用；通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法以及初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用。

二、学习目标

1、通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其应用。

2、通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法以及初步应用。

三、本章知识框图

四、课时分配

本章共2小结，教学约需2课时，具体安排如下

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 约4课时

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 约2课时

统计案例 回归分析模型

独立性检验模型 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（一）(新授课)

一、教学目标：

知识与能力：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

过程与方法：通过本节的学习，让雪生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想。

情感、态度与价值观：培养学生运用所学的知识，解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点：

重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.

难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.

三、教学过程：

（一）课前复习：

1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报.

（二）讲授新课：

1. 举例应用：

例1

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编

号

1

2

3

4

5

6

7

8

身高/cm 165 165

157

170

175

165

155

170

体重/kg

48

57

50

54

64

61

43

59

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路教师演示学生整理）

第一步：作散点图 第二步：求回归方程 第三步：代值计算

（1）思考：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.

（2）解释线性回归模型与一次函数的不同

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 010203040506070150155160165170175180身高/cm体重/kg2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.

（三）课时小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

四、课后反思：

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（二）(新授课)

一、教学目标：

知识与能力：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

过程与方法：从散点图中点的分布上发现直接求回归方程存在的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路，进行回归分析，进而介绍残差分析的方法。

情感态度与价值观：培养学生运用所学的知识，解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

三、教学过程：

（一）课前复习：

1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.

2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

（二）讲授新课：

1. 总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：

（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()niiSSTyy.

残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()niiiSSEyy.

回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()niiSSRyy.

（2）注意问题：①注意iy、iy、y的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnniiiiiiiyyyyyy；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()niiiniiyyRyy来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率.

2R的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.

2. 举例应用：

例2、关于x与Y有如下数据：

x 2 4 5 6

8

y 30 40 60 50

70

为了对x、Y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：6.517.5yx，717yx，试比较哪一个模型拟合的效果更好.

分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.

（答案：52211521()155110.8451000()iiiiiyyRyy，221R521521()18010.821000()iiiiiyyyy，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）

（三）课时小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

四、课后反思 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（三）（新授课）

一、教学目标：

知识与能力：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

过程与方法：选择较合理的回归方程，建立回归模型的基本步骤。

情感、态度与价值观：培养学生运用所学的知识，解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点：

重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.

难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.

三、教学过程：

（一）、课前练习：

1. 例3：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程.

温度/xC

21

23

25

27

29

32

35

产卵数/y个

7

11

21

24

66

115

325

（学生描述步骤，教师演示）

2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.

（二）讲授新课：

1. 探究非线性回归方程的确定：

① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.

② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=2C1exC的周围（其中12,cc是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.

③ 在上式两边取对数，得21lnlnycxc，再令lnzy，则21lnzcxc，而z与x间的关系如下：

X

21

23

25

27

29

32

35

z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784

观察z与x的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.

④ 利用计算器算得3.843,0.272ab，z与x间的线性回归方程为0.2723.843zx，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.2723.843xye.

⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行. 050100150200250300350010203040温度产卵数01234567010203040xz