平面向量夹角的计算方法-含答案

平面向量求夹角的知识点一、平面向量夹角的定义。

1. 已知两个非零向量→a和→b，作→OA=→a，→OB=→b，则∠ AOB = θ（0≤slantθ≤slantπ）叫做向量→a与→b的夹角。

- 当θ = 0时，→a与→b同向。

- 当θ=π时，→a与→b反向。

- 当θ=(π)/(2)时，→a与→b垂直，记作→a⊥→b。

二、平面向量夹角的计算公式。

1. 向量点积公式。

- 若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2 + y_1y_2。

2. 向量夹角公式。

- 根据→a·→b=|→a||→b|cosθ，可得cosθ=(→a·→b)/(|→a||→b|)。

- 其中|→a|=√(x_1^2)+y_1^{2}，|→b|=√(x_2^2)+y_2^{2}。

- 例如，已知→a=(1,2)，→b=( - 2,3)。

- 首先计算→a·→b=1×(-2)+2×3 = - 2 + 6=4。

- 然后|→a|=√(1^2)+2^{2}=√(5)，|→b|=√((-2)^2)+3^{2}=√(13)。

- 最后cosθ=(4)/(√(5)×√(13))=(4)/(√(65))，则θ=arccos(4)/(√(65))。

三、平面向量夹角的性质及应用。

1. 性质。

- →a·→b=|→a||→b|cosθ反映了向量的数量积与向量模长和夹角之间的关系。

- 当cosθ = 0（即→a·→b=0）时，→a⊥→b，这是判断两个向量垂直的重要依据。

- 当cosθ = 1（即→a与→b同向）时，→a·→b=|→a||→b|；当cosθ=-1（即→a 与→b反向）时，→a·→b=-|→a||→b|。

2. 应用。

- 在几何问题中，通过计算向量夹角可以判断直线的位置关系（平行、垂直等）。

例如，在三角形中，若已知三边对应的向量→AB、→BC、→CA，可以通过计算向量夹角来判断三角形的内角大小。

利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）1．利⽤⾯⾯垂直建系例1：在如图所⽰的多⾯体中，平⾯平⾯，四边形为边长为2的菱形，为直⾓梯形，四边形为平⾏四边形，且，，．（1）若，分别为，的中点，求证：平⾯；（2）若，与平⾯所成⾓的正弦值为求⼆⾯⾓的余弦值．2．线段上的动点问题例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，使平⾯平⾯．（1）求证：平⾯；（2）若在线段上有⼀点满⾜，且⼆⾯⾓的⼤⼩为，求的值．11ABB A ⊥ABCD 11ABB A ABCD 11BCC B AB CD ∥AB BC ⊥1CD =E F 11A C 1BC EF ⊥11AB C 160A AB ∠=?1AC ABCD 11A AC D --ABCD Y 30A ∠=?2AB =BD ABD △A BD '△A BC '⊥A BD 'A D '⊥BCD A C 'M A M A C λ=''uuuu v uuu v M BD C --60?λ3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正⽅形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．（1）求证：；（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值；（3）求⼆⾯⾓的⼤⼩．练习⼀、单选题1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中ABCD P CD PAD △PBC △PA PB C D O P OAB -E PB PO AB ⊥BP POA P AO E --a 111ABC A B C -D E 1BB 11A C点，则异⾯直线，所成⾓的余弦值为（）A ．BC ．D ．2．在三棱柱中，底⾯是边长为1的正三⾓形，侧棱底⾯，点在棱上，且，若与平⾯所成的⾓为，则的值是（） ABCD3．如图，圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，则空间中两条直线与所成的⾓为（）A ．B ．C ．D ．4．已知四棱锥的底⾯是边长为2的正⽅形，，平⾯平⾯，是的中点，是的中点，则直线与平⾯所成⾓的正弦值是（）AD CE 121545111ABC A B C -1AA ⊥ABC D 1BB 1BD =AD 11AA C C αsin α22AB =OC D 120AOD ∠=?AD BC 30?60?75?90?P ABCD -ABCD PA PD ==ABCD ⊥PAD M PC O AD BM PCOABCD5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最⼩值为（）ABCD ．6．如图，点分别在空间直⾓坐标系的三条坐标轴上，，平⾯的法向量为，设⼆⾯⾓的⼤⼩为，则（）A ．BC ．D ． 7．如图所⽰，五⾯体中，正的边长为1，平⾯，，且．设与平⾯所成的⾓为，，若，则当取最⼤值时，平111ABC A B C -90BAC ∠=?12AB AC AA ===G E 11A B 1CC D F AC AB GD EF ⊥DF A B C 、、O xyz -()0,0,2OC =uuu v ABC ()2,1,2=n C AB O --θcos θ=432323-ABCDE ABC △AE ⊥ABC CD AE ∥12CD AE =CE ABE α(0)AE k k =>ππ,64α??∈k⾯与平⾯所成⾓的正切值为（）AB ．1 CD8．已知三棱柱的侧棱与底⾯边长都相等，在底⾯内的射影为的中⼼，则与底⾯所成⾓的正弦值等于（） ABCD9．如图，四棱锥中，平⾯，底⾯为直⾓梯形，，，，点在棱上，且，则平⾯与平⾯的夹⾓的余弦值为（）ABC10．在正⽅体中，直线与平⾯所成⾓的余弦值为（） ABCD11．已知四边形，，沿折起，使⼆⾯⾓的⼤⼩在内，则直线与所成⾓的余弦值取值范围是（）BDE ABC 111ABC A B C -1A ABC ABC △1AB ABC P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD AD BC ∥AB BC ⊥3AB AD PB ===E PA 2PE EA =ABE BED1111ABCD A B C D -1BC 1A BD ABCD 2AB BD DA ===BC CD =ABD △BD A BD C --5,66π?π?AB CDA ．B ．D ． 12．正⽅体中，点在上运动（包括端点），则与AD 1所成⾓的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．⼆、填空题13．如图，在直三棱柱中，，是的中点，则异⾯直线与所成⾓的余弦值为________．14．已知四棱锥的底⾯是菱形，，平⾯，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平⾯所成⾓的正弦值为__________．15．设，是直线，，是平⾯，，，向量在上，向量在上，，，则，所成⼆⾯⾓中较⼩的⼀个的余弦值为________．16．在四棱锥中，底⾯为平⾏四边形，平⾯，，，，，则当变化时，直线与平⾯所成⾓的取值范围是__________．三、解答题17．如图所⽰：四棱锥，底⾯为四边形，，，，平⾯平⾯，，，01??U ??1111ABCD A B C D -P 1A C BP ππ,43??ππ,42ππ,62ππ,63111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =m AC 1CB 1C M P ABCD -60BAD ∠=?PD ⊥ABCD PD AB =E AD F PC :1:2PF FC =EF ABCD a b αβa α⊥b β⊥1a a 1b b ()11,1,1=a 13,(0)4,=-b αβP ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =120BAD ∠=?PA x =x PD PBC P ABCD -ABCD AC BD ⊥BC CD =PB PD =PAC ⊥PBD AC =30PCA ∠=?4PC =（1）求证：平⾯；（2）若四边形中，，是否在上存在⼀点，使得直线与平⾯的值，若不存在，请说明理由．18．如图，在斜三棱柱中，底⾯是边长为2的正三⾓形，，．（1）求证：平⾯平⾯；（2）求⼆⾯⾓的正弦值．PA ⊥ABCD ABCD 120BAD ∠=?AB BC ⊥PC M BM PBD PM MC111ABC A B C -ABC 13BB =1AB =160CBB ∠=?ABC ⊥11BCC B 1B AB C --参考答案1．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接，∵四边形为菱形，∴．∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，，∴平⾯．⼜平⾯，∴．∵，∴．∵，∴平⾯．∵分别为，的中点，∴，∴平⾯．（2）设，由（1）得平⾯，由，，得过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所⽰，⼜，∴为等边三⾓形，∴，⼜平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，故平⾯．∵为平⾏四边形，∴，∴平⾯．⼜∵，∴平⾯．∵，∴平⾯平⾯．由（1），得平⾯，∴平⾯，∴．∵，∴平⾯，∴是与平⾯所成⾓．1A B 11ABB A 11A B AB ⊥11ABB A ⊥ABCD 11ABB BA I ABCD AB =BC ?ABCD AB BC ⊥BC ⊥11ABB A 1A B ?11ABB A 1A B BC ⊥11BC B C ∥111A B B C ⊥1111B C AB B =I 1A B ⊥11AB C ,E F 11A C 1BC 1EF A B ∥EF ⊥11AB C 11B C a=11B C ⊥11ABB A 160A AB ∠=?2BA =1C 1C M DC ⊥DC M AB H 1A H AM 160A AB ∠=?1ABA △1A H AB ⊥11ABB A⊥ABCD 11ABB A I ABCD AB =1A H ?11ABB A 1A H ⊥ABCD 11BCC B 11CC BB ∥1CC ∥11AA BB CD AB ∥CD ∥11AA BB 1CC CD C =I 11AA BB ∥1DC M BC ⊥11AA BB BC ⊥1DC M 1BC C M ⊥BC DC C =I 1C M ⊥ABCD 1C AM ∠1AC ABCD ∵，，∴平⾯，平⾯，∵，∴平⾯平⾯．在梯形中，易证，分别以，，的正⽅向为轴，轴，轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系．则，，，及设平⾯的⼀个法向量为，由令，得设平⾯的⼀个法向量为，由得令，得⼜∵⼆⾯⾓是钝⾓，∴⼆⾯⾓的余弦值是2．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，∴，∴．作于点，∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，∴平⾯．∵平⾯，∴．⼜∵，，∴平⾯．⼜∵平⾯，∴．11A B AB∥11C B CB∥11A B∥ABCD11B C∥ABCD11111A B C B B=I ABCD∥111A B CABCD DE AB⊥HAuu u vHDuuu v1HAuuu vx y z()1,0,0A()1,0,0B-BB CC=uuu v uuu v 1ADC() 111,,x y z=m1ACAD==uuu vuuu vmm11y=()3,1,2=m11AA C() 222,,x y z=ACAA==uuu vuuu vnn21z=11A AC D--11A AC D--ABD△1BD=222 BD AD AB +=90ADB∠=?90 DBC∠=?DF A B ⊥'FA BC'⊥A BD'I A BD A B'='DF⊥A BC'CB?A BC'DF BC⊥CB BD⊥BD DF D=I CB⊥A DB'A D'?A DB'CB A D⊥'⼜，，∴平⾯．（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以⽅向为轴正⽅向建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系，则，．设，设平⾯的⼀个法向量为，取．平⾯的⼀个法向量可取∵3．【答案】（1）见解析；（2；（3【解析】（1）在正⽅形中，为中点，，，∴在三棱锥中，，．∵，∴平⾯．∵平⾯，∴．A D BD '⊥BD CB B =I A D '⊥BCD DA DB DA 'D DA uu u vx D xyz -()0,1,0B (),,M x y z MDB (),,a b c =m ()11,0,a c λλλλ=-?=?=-m CBD []0,1λ∈ABCD P CD PD AD ⊥PC BC ⊥P OAB -PO OA ⊥PO OB ⊥OA OB O =I PO ⊥OAB AB ?OAB PO AB ⊥（2）取中点，连接，取中点，连接．过点作的平⾏线．∵平⾯，∴，．∵，为的中点，∴．∴．如图所⽰，建⽴空间直⾓坐标系．，，，．∵，为的中点，∴．∵平⾯，平⾯，∴平⾯平⾯．∵平⾯平⾯，平⾯，∴平⾯∴平⾯的法向量设直线与平⾯所成⾓为∴直线与平⾯AB F OF AO M BM O AB OG PO ⊥OAB PO OF ⊥PO OG ⊥OA OB =F AB OF AB ⊥OF OG ⊥O xyz -()A ()B -()0,0,1P 12M ??BO BA =M OA BM OA ⊥PO ⊥OAB PO ?POA POA ⊥OAB POA I OAB OA =BM ?OAB BM ⊥POA POA )1,0= -m BP POA αBP POA设平⾯的法向量为，则有令由题知⼆⾯⾓练习答案⼀、单选题 1．【答案】C【解析】设的中点，以，，为，，轴建⽴坐标系，则，，，，则，，设与成的⾓为，则，故选C ． 2．【答案】D【解析】如图，建⽴空间直⾓坐标系，易求点．平⾯的⼀个法向量是，∴，则．故选D ． 3．【答案】B【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建⽴空间直⾓OAE n 0 0OA OE =??=??uu v uu u v n n1y =-P AOE --AC O OB uu u v OC uuu v OE uu uvx y z 0,,02a A ??,0,2a D ?0,,02a C ?? ???()0,0,E a ,,22a a AD ?=uuu v 0,,2a CE a ??=- uu u v AD CE θ01cos 5a a aaθ-?+?=1,12D ?11AA C C ()1,0,0=n cos ,AD ===uuu v n sin α=AB E O OE x OB y OC z 坐标系，如图所⽰，∵圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，∴可得，，，，则，，设空间两条直线与所成的⾓为，∴，∴，即直线与所成的⾓为，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题可知，，，，则，，∵是的中点，∴，设平⾯的法向量，直线与平⾯所成⾓为，则可取，，故选D ．2AB=OC D 120AOD ∠=?()0,1,0A -()0,1,0B (C 1,02D3,02AD ?=uuuv (0,BC =-u u u vAD BCθ31cos 2AD BC AD BC θ?===?u uuu v uu u u v v u uu u v 60θ=?AD BC 60?()0,0,0O ()0,0,2P ()1,2,0B ()1,2,0C -()0,0,2OP =uu u v ()1,2,0OC =-uuu vM PC 1,1,12M ??- 3,1,12BM ??=--uuu v PCO (),,x y z =n BM PCO θ20 20OP z OC x y ?==?=-=?+uu u vuuu vn n ()2,1,0=n sin cos BM BM BM θ?===?uuu v uuu v uuu v ，n n n5．【答案】A【解析】建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，则，，，，，则，，由于，∴，∴，故，∴当时，线段A ． 6．【答案】C【解析】由题意可知，平⾯的⼀个法向量为：，由空间向量的结论可得：．故选C ． 7．【答案】C【解析】如图所⽰，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，()0,0,0A ()0,2,1E ()1,0,2G 0(),0,F x 0(0,),D y ()1,,2GD y =--uuu v (),2,1EF x =--uu u v GD EF ⊥220GD EF x y =--+=?uuu v uu u v22x y =-DF =45y =DF ABO ()0,0,2OC =uuu v42cos 233OC OC θ?===??uuu vuuu vn n O xyz -则，，，，取的中点，则，则平⾯的⼀个法向量为，由题意⼜由，∴∴当的法向量为，则，取，由平⾯的法向量为，设平⾯和平⾯所成的⾓为，则，∴，∴C ． 8．【答案】B【解析】如图，设在平⾯内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建⽴空间直⾓坐标系如图．，，ABE 3,04CM ?=uuu v sin CE CM CE CM α?==uu u v u uu u u vv uu v uu ππ,64α??∈1sin 2α≤=≤k ≤k k BDE (),,x y z =n 0 1022DE y z BE y z==?++=?uuu v uu u v n n (=-n ABC ()0,0,1=m BDE ABC θcos θ?= =n m n m sin θ=tan θ=1A ABC O O OA 1OA x z设边长为1，的法向量为．设与底⾯所成⾓为故直线与底⾯B ．9．【解析】以为坐标原点，以、、所在直线为、、轴，建⽴空间直⾓坐标系，设平⾯的⼀个法向量为，则，取的法向量为，与平⾯B ．10．【答案】C【解析】分别以，，为，，轴建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系：ABC △112B ? ??ABC ()0,0,1=n 1AB ABC α1AB ABC B BC BA BP x y z ()0,0,0B ()0,3,0A ()0,0,3P ()3,3,0D ()0,2,1E ()0,2,1BE =uu u v ()3,3,0BD =uu u vBED (),,x y z =n 20330BE y z BD x y =+=?=+=?uu u v uu u vn n 1z =ABE ()1,0,0=m ABE BED DA DC 1DD x y z设正⽅体的棱长为1，可得，，，，∴，，，设是平⾯的⼀个法向量，∴，即，取，得，∴平⾯的⼀个法向量为，设直线与平⾯所成⾓为，∴，即直线与平⾯所成⾓的余弦值是C ． 11．【答案】A【解析】取中点，连结，，∵．，，且，∴是⼆⾯⾓的平⾯⾓，以为原点，为轴，为轴，过点作平⾯的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，，，，()0,0,0D ()1,1,0B()10,1,1C ()11,0,1A ()11,0,1BC =-uuu r ()11,0,1A D =--uuu r ()1,1,0BD =--uu u r(),,x y z =n 1A BD 100A D BD =?=uuu v uu u vn n 0 0x z x y =+=+1x =1y z ==-1A BD ()1,1,1=--n 1BC 1A BD θ1BC 1A BD BD O AO CO 2AB BD DA ===BC CD ==CO BD ⊥AO BD ⊥1CO =AO AOC ∠A BD C --O OC x OD y O BCD z ()0,1,0B -()1,0,0C ()0,1,0D设⼆⾯⾓的平⾯⾓为，则，连、，则，，∴，，设、的夹⾓为，则∵，∴，故，∴．故选A ．12．【答案】D【解析】以点为原点，、、所在直线分别为轴建⽴空间直⾓坐标系，设正⽅体棱长为1，点坐标为，则，，设、的夹⾓为，则∴当时，，．当时，取最⼩值，．∵，∴与所成⾓的取值范围是．故选D ．⼆、填空题 13．【解析】在直三棱柱中，，是的中点，A BD C --θ5,66θπ??∈πAO BO AOC θ∠=)A θθ)BA θθ=uu r ()1,1,0CD =-uu u rAB CD αcos AB CD AB CD α?=?uu u r uu u r uu u r uu u r 5,66θπ??∈πcos θ?∈510,2θ??-∈cos α?∈D DA DC 1DD x y z 、、P (),1,x x x -()1,,BP x x x =--uu v ()11,0,1BC =-uuu vBP uu v 1BC uuu vα11cos BP BC BP BC α?==uu v uu uu u v v uuu v 13x =cos απ6α=1x =cos α12π3α=11BC AD ∥BP 1AD ππ,63??111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =M AC∴，．以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，则，，，，∴，，设异⾯直线与所成⾓为，则．∴异⾯直线与． 14．【解析】以点建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，设菱形的边长为2，则，，，平⾯的⼀个法向量为，BM AC ⊥1BM =M MA x MB y M AC z ()C ()10,1,2B ()1C ()0,0,0M )1CB =uuu v ()1MC =uuuu v1CB 1C M θ1111cos CB CB MC MC θ?===?uuu v uuu v uuuu v uuuu v 1CB 1C M D D xyz -ABCD ()0,0,0D 1,02E ?-240,,33F ?? ABCD ()0,0,1=n。

平面向量的夹角和方向角在平面几何中，向量是一种有大小和方向的量。

当涉及到平面向量时，我们经常需要计算夹角和方向角。

本文将详细解释平面向量的夹角和方向角的概念及计算方法。

夹角是指两个向量之间的夹角，用于描述向量之间的关系。

设有两个向量A和A，它们的夹角可以通过向量积的性质来计算。

具体而言，如果将向量A和向量A的向量积表示为A×A，则夹角A的余弦可以通过以下公式计算：cos A = (A×A) / (|A| × |A|)其中，|A|和|A|分别表示向量A和向量A的模长。

利用反余弦函数，我们可以得到夹角A的值。

需要注意的是，夹角的范围通常为0到180度。

方向角是指一个向量相对于某个正轴的角度，用来描述向量在平面上的位置。

在平面直角坐标系中，我们通常以A轴的正向为参考轴。

对于一个向量A(x, y)，方向角A可以通过以下公式计算：tan A = A / A其中，A表示向量A在A轴上的分量，A表示向量A在A轴上的分量。

利用反正切函数，我们可以得到方向角A的值。

需要注意的是，方向角的范围通常为0到360度。

通过夹角和方向角，我们可以更好地理解平面向量的性质和关系。

在实际应用中，夹角和方向角在物理、工程和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

总结起来，平面向量的夹角和方向角是描述向量之间关系和位置的重要概念。

通过合适的计算方法，我们可以准确地计算出夹角和方向角的值，从而更好地理解向量在平面上的性质和应用。

本文介绍了计算平面向量夹角和方向角的基本原理和方法，希望能对读者对该知识点的理解和应用有所帮助。

通过学习夹角和方向角的相关概念和计算方法，读者可以更好地掌握平面向量的性质和应用，进而提高自己在几何学和相关领域中的解题能力。

经过本文的介绍和讲解，读者对平面向量夹角和方向角的概念和计算方法应该有了更深入的理解。

在实际问题中，学会运用夹角和方向角的计算方法，能够更好地分析和解决平面几何中的相关问题。

平面向量夹角计算公式在平面几何中，两个向量的夹角是指这两个向量之间的角度。

计算平面向量夹角的常用方法是使用向量的点乘公式。

假设有两个平面向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们分别可以表示为：$$\mathbf{a} = (a_1, a_2)$$$$\mathbf{b} = (b_1, b_2)$$两个向量的点乘公式为：$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$$如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的长度都不为零，则它们之间的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式计算：$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}$$其中，$\|\mathbf{a}\|$ 表示向量 $\mathbf{a}$ 的长度，也可以表示为 $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，$\|\mathbf{b}\|$ 表示向量$\mathbf{b}$ 的长度，也可以表示为 $\sqrt{b_1^2 + b_2^2}$。

然后，使用反余弦函数可以计算出夹角 $\theta$ 的值。

计算平面向量夹角的步骤如下：1. 获取向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的坐标表示。

2. 计算向量的点乘，使用公式 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$。

3. 计算向量的长度，使用公式 $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 +a_2^2}$ 和 $\|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$。

4. 使用公式 $\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}$ 计算夹角的余弦值。

平面向量夹角的计算问题（湖北省红安县职教中心 金哲 438400）摘要：“《平面向量》是中等职业教育课程改革国家规划新教材配套教学用书基础模块中的新增内容之一，是近几年技能高考（新教材）中的必考内容，已成为高三复习备考中的热点．从前几年高职统考以及这两年技能高考来看，除了对向量的基本概念的考查外，还要求学生掌握平面向量的坐标运算、内积、夹角的计算、模的计算。

本文将对平面向量夹角的计算问题进行一个归纳和整理，希望可以给将要技能高考的学生一点帮助。

【关键词】 平面向量的夹角定义，范围，夹角公式一、引言：1、平面向量的夹角定义：设两个非零a 与b ，作b OB a OA ==,,由射线OA 与OB 所形成的角叫做a 与b 的夹角，记作b a ,。

2、平面向量的夹角范围为[] 180,0 注:①若两向量方向相同，则夹角为0°②若两向量方向相反，则夹角为180°③若两向量垂直，则夹角为90°3、平面向量夹角公式： ba b a b a ∙∙=,cos 二、平面向量夹角的计算方法：在对2015年湖北省技能高考文化综合试卷数学部分进行分析，以及对2016年湖北省技能高考考试大纲和多套模拟试卷进行研究后，笔者总结归纳了中职生技能高考中平面向量的夹角计算方法。

欲求两向量a 与b 的夹角。

第一步，计算两向量的内积b a ∙ 和a ，b第二步，直接代入夹角公式ba b a b a ∙∙=,cos ，求出a 与b 的夹角的余弦值。

第三步，结合平面向量的夹角范围[] 180,0以及特殊角三 角函数值，确定a 与b 的夹角的大小。

三、经典例题例1、（2010年高职统考第16题）已知(1,3)a =- ,(1,2)b = ,(,6)c k = ,若向量b 和c 平行.求：（Ⅰ）实数k 的值；（Ⅱ）向量a 与c 的夹角.()()()c b k c b //,6,,2,1且由于Ⅰ解：== 02-61=⨯⨯k 因此，，3=k 故， ()()()6,3,3,1=-=c a 由于Ⅱ， ()5363,10312222=+==-+=c a 因此，, ()156331-=⨯-+⨯=∙c a 所以，由夹角公式有： 22531015,cos -=⨯-=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 43,π=c a 所以， 例2、（2012年高职统考第17题第三问）已知点A(3+1,1)、B(1,1)和C(1,2)，且向量a =CB→、b =AB →和c =CA →．求： a 与c 之间的夹角<a ,c >．()()()2111113，，，，，解：C B A + ()()()1,3,0,3,1,0-==-==-==∴CA c AB b CB a ()()11130=-⨯-+⨯=∙∴c a ()()()213,1102222=-+==-+=c a 代入夹角公式有： 21211,cos =⨯=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 3,π=c a 所以， 例3、（2015年文化综合29题第2问）已知向量()()()3,5,1,3,5,4=-==c b a ，求c a -与b 的夹角.θ解：由()()3,5,5,4==c a 有()2,1-=-c a又()1,3-=b ，则()()()51231=⨯+-⨯-=∙-b c a ()()1013,5212222=+-==+-=-b c a代入夹角公式中有： ()221055cos =⨯=∙-∙-=b c a b c a θ又[]πθ,0∈，所以4πθ= 注：对于两向量之间的夹角的求解，第一选择就是夹角公式，先求出夹角的余弦值，再结合两向量之间夹角的范围确定夹角的大小。

平面向量的夹角及其余弦定理在平面几何学中，平面向量是研究对象之一。

本文将重点关注平面向量的夹角以及与之相关的余弦定理。

1. 夹角的概念夹角是指由两个向量构成的角度。

两个向量的夹角可以通过向量的数量积来计算。

设两个向量A和B，在二维平面上，它们的夹角θ定义如下：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，·表示向量的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。

这个公式利用了余弦函数的性质，可以通过向量的数量积直接计算夹角的余弦值。

2. 余弦定理余弦定理是三角学中的重要定理，它也可以在平面几何中应用到向量上。

对于平面向量A和B，以及它们的夹角θ，余弦定理可表达为：|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cosθ其中，|A - B|表示向量A和B之间的距离（模长），|A - B|^2表示其平方。

这个定理的表达式与传统的三角形的余弦定理非常类似，只是将边长的概念替换成了向量的模长。

3. 应用举例现在我们通过一个具体的例子来说明夹角以及余弦定理的应用。

假设有两个向量A = (3, 4)和B = (1, 2)，我们想要计算它们的夹角θ。

首先，我们需要计算向量A和B的数量积，即A·B = 3*1 + 4*2 = 11。

接下来，我们计算向量A和B的模长，即|A| = √(3^2 + 4^2) = 5，|B| = √(1^2 + 2^2) = √5。

带入夹角公式，我们可以得到cosθ = 11 / (5 * √5) = 11 / (5√5)。

因此，我们可以求得夹角θ的余弦值，进而计算出夹角的具体数值。

同时，我们也可以应用余弦定理来计算向量A和B之间的距离。

根据余弦定理的表达式，我们有：|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cosθ= 3^2 + 4^2 + 1^2 + 2^2 - 2*5*√5*cosθ= 10 - 22cosθ因此，我们可以通过上述公式计算出向量A和B之间的距离。

平面向量夹角平面向量夹角是向量学中的一个重要概念，在解决许多向量问题时起着重要作用。

理解和掌握平面向量夹角的概念和相关性质，对于学习向量运算和解决相关数学问题具有重要意义。

本文将介绍平面向量夹角的概念及其性质，并通过一些实例展示如何应用和解决相关问题。

一、平面向量夹角的概念平面向量夹角是指两个非零平面向量之间的夹角。

设有两个平面向量a和b，它们的夹角记作∠a，b（或∠b，a），夹角的大小为0到180度之间。

平面向量夹角的大小可以通过余弦定理进行计算，即：cos(∠a，b) = a·b / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的数量积，|a|和|b|分别代表向量a和向量b的模长。

二、平面向量夹角的性质1. 平面向量a和b的夹角∠a，b满足余弦定理，即0 ≤ ∠a，b ≤ 180度；2. 当且仅当a与b的数量积a·b等于0时，向量a和向量b垂直，夹角为90度；3. 当且仅当a与b的数量积a·b大于0时，夹角∠a，b为锐角；4. 当且仅当a与b的数量积a·b小于0时，夹角∠a，b为钝角。

三、平面向量夹角的应用平面向量夹角的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1. 向量的运算在向量的加法和减法运算中，经常需要计算向量之间的夹角。

通过计算夹角，可以判断两个向量是否互相垂直、平行或具有一定的夹角关系，从而进一步分析和解决向量运算问题。

2. 平面几何问题在平面几何问题中，平面向量夹角经常用于计算两条直线的夹角、判断两条直线是否平行或垂直等。

通过计算夹角，可以进一步分析和解决平面几何问题，如证明两个三角形相似、判断四边形是否是矩形等。

3. 物理问题在物理学中，平面向量夹角有着广泛的应用。

例如，在力学中，通过计算平面向量夹角可以求解物体受力情况、分析物体的运动轨迹等。

在电磁学中，通过计算平面向量夹角可以判断电磁场的方向、计算电场和磁场的合力等。

平面向量的夹角与投影平面向量是在平面内进行运算和描述的一种数学工具。

在平面向量的求和、减法以及乘法等运算中，夹角和投影是两个重要的概念。

本文将详细阐述平面向量的夹角和投影的相关知识，并且给出一些具体的例子，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 夹角的定义和计算方法夹角是两个向量之间的角度，它的大小可以通过向量之间的数量关系来计算。

假设有两个平面向量a和a，它们的夹角可以用如下公式计算：a = arccos(a·a / (|a|*|a|))其中，a·a表示向量a和a的点积，|a|和|a|分别表示向量a和a的模或长度。

通过这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角大小。

2. 夹角的性质与意义夹角的大小可以告诉我们两个向量之间的关系。

若夹角为0度，则表示两个向量完全重合；若夹角为90度，则表示两个向量垂直；若夹角大于90度，则表示两个向量之间的夹角是一个钝角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间的夹角是一个锐角。

夹角还可以用来判断两个向量之间的相似性和平行性。

3. 向量投影的定义和计算方法向量投影是将一个向量投影到另一个向量上的过程。

假设有一个向量a和一个非零向量a，我们可以计算出向量a在向量a上的投影，即a在a上的投影aaaa。

投影的计算公式为：aaaa = (a·a) / |a|其中，a·a表示向量a和a的点积，|a|表示向量a的模或长度。

通过这个公式，我们可以得到向量a在向量a上的投影长度。

4. 投影的意义与应用向量投影在几何学和物理学中都有着广泛的应用。

它可以用来求解两个向量之间的夹角，或者求解向量在某个方向上的投影。

在物理学中，投影也被广泛应用于力的分解以及对运动轨迹的描述等方面。

5. 夹角和投影的实际应用示例为了更好地理解夹角和投影的概念，我们举一个实际的应用示例。

假设有一台斜坡，其倾斜角度为30度。

我们可以将斜坡的倾斜角度表示为一个向量a，而一个人在斜坡上行走的路径可以表示为向量a。

【知识要点】一、两个非零向量的夹角的概念已知非零向量a 与b ，作,,OA a OB b ==，则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向；当2πθ=时，a 与b 垂直，记a b ⊥.（1）对于0,不谈它与其它向量的夹角问题.（2）a 与b 的夹角，记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如：A ∠>=<, 但是B ∠>≠<, B ∠->=<π,二、求两个向量的夹角一般有两种方法方法一：cos ,a b a b a b<>=方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=【方法讲评】 b a b求解.一般没有坐标背景.b ，||,|a b b a b求解.【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ （1）求||||x y 和；（2）求,x y 夹角的余弦值.【点评】（1）222||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用公式cos ,a b a b a b<>=求解时，要先求a b ，||,||a b 这些基本量，再代入公式.【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角.【例2】 如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1).（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦.【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.【点评】 此类问题的一般步骤是：先求,a b 的坐标，再cos θ=求解. 学科@网【反馈检测2】||1,||3,(3,1a b a b ==+=已知）， ||a b a b a b -+-（1）试求；（2）与的夹角.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第44讲:平面向量夹角的计算方法参考答案【反馈检测1答案】3a b π与的夹角为【反馈检测2答案】（1）2；（2）23π. 【反馈检测2详细解析】222||()242a b a b a a b b a b -=-=-+=-(1)22||224424a b a a b b a b +=∴++=∴+=20||42a b a b ∴=∴-==(2)设两个向量的夹角为α，22()()131442||||a b a b a b a b a b α+---∴===--+cos =203απαπ<<∴=。

平面向量的夹角计算计算平面向量夹角的方法总结：1.cos〈a⃑∙b⃑⃑〉=a⃑⃑∙b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|2.cos〈a⃑∙b⃑⃑〉=1212√x12+y12∙√x22+y22（其中a⃑=(x1,y1),b⃑⃑=(x2,y2)）注意：两个向量的夹角要求这两个向量起点相同，这样做成的角才是平面向量的夹角高频考题1.设向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=|b⃑ |=1，|3a⃑−2b⃑ |=√7，则a⃑，b⃑ 的夹角为()A. π3B. π6C. π4D. 2π32.已知向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑⋅b⃑ =−6，则cos ⟨a⃑,a⃑+b⃑ ⟩=()A. −3135B. −1935C. 1735D. 19353.若|a⃑|=1，|b⃑ |=2，且(a⃑+b⃑ )⊥a⃑，则a⃑与b⃑ 的夹角为()A. π3B. −π3C. 2π3D. 2π3或−π34.已知a⃑，b⃑ 均为单位向量，若|a⃑−2b⃑ |=√3，则向量a⃑与b⃑ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65.已知向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑·b⃑ =−6，则cos<a⃑，a⃑+b⃑ >=()A. −3135B. −1935C. 1735D. 19356.若两个非零向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑+b⃑ |=|a⃑−b⃑ |=2|a⃑|，则向量a⃑+b⃑ 与a⃑−b⃑ 的夹角是()A. π6B. 5π6C. π3D. 2π37.设向量a⃑=(x,1),b⃑ =(1,−√3)，且，则向量a⃑−√3b⃑ 与b⃑ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 点A(3,0)、B(0,3)、、O(0,0)，若|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√13，α∈(0,π)，则OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为( ) A. π2B. π4C. π3D. π69. 已知a ⃑ =(3,−1)，b ⃑ =(1,−2)，则a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π210. 设等边三角形△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12 AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 则向量AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角的余弦值为( )A.√63B.√36C.√1912D. 4√191911. 已知向量，b ⃑ =(−3,1)，c ⃑ =(√55,−2√55)，则( ) A.B. 向量在向量上的投影向量为C. 与的夹角余弦值为2√55D. a ⊥c12. 如果平面向量a ⃑ =(2,−4),b ⃑ =(−6,12)，那么下列结论中正确的是( )A. |b ⃑ |=3|a ⃑ |B. a ⃑ //b ⃑C. a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为30°D. a ⃑ 在b ⃑ 上的投影向量的模为2√513. 已知向量a ⃑ +b ⃑ =(1,1)，a ⃑ −b ⃑ =(−3,1)，c ⃑ =(1,1)，设a ⃑ ,b ⃑ 的夹角为θ，则( )A. |a ⃑ |=|b⃑ | B. a⃑ ⊥c ⃑ C. b ⃑ //c ⃑D. θ=135°14. 已知a ⃑ ，b ⃑ 为单位向量，且a ⃑ ⋅b ⃑ =0，若c ⃑ =2a ⃑ −√5b ⃑ ，a⃑ 与c ⃑ 的夹角为θ，则cos θ=_______．15. 已知|a ⃑ |=2,|b ⃑ |=3，a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为60∘.若a ⃑ +λb ⃑ 与λa ⃑ +b ⃑ 的夹角锐角，则实数λ的取值范围为________．16. 已知a ⃑ ，b ⃑ 均为非零向量，(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ，(b ⃑ −2a ⃑ )⊥b ⃑ ，则a ⃑ ，b ⃑ 的夹角为________． 17. 已知平面向量a ⃑ ，b ⃑ 满足a ⃑ =(1,−1)，|b ⃑ |=1，|a ⃑ +2b ⃑ |=√2，则a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为________．18. 已知向量a ⃑ 在向量b ⃑ =(1,√3)方向上的投影为2，(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ．(1)求向量a⃑与b⃑ 的夹角；(2)求|2a⃑−b⃑ |的值；(3)若向量c⃑=3a⃑−4b⃑ ，d⃑=m a⃑+b⃑ ，c⃑//d⃑，求m的值．19.已知a⃑，b⃑ 都是非零向量，且a⃑+3b⃑ 与7a⃑−5b⃑ 垂直，a⃑−4b⃑ 与7a⃑−2b⃑ 垂直，求a⃑与b⃑的夹角θ．20.已知向量a⃑=(1,2)，b⃑ =(3,x)，c⃑=(2,y)，且a⃑//b⃑ ，a⃑⊥c⃑．(1)求b⃑ 与c⃑;(2)若m⃑⃑⃑ =2a⃑−b⃑ ，n⃑=a⃑+c⃑，求向量m⃑⃑⃑ ，n⃑的夹角的大小．21.已知单位向量e⃑1与e⃑2是夹角为α，且cosα=1，向量a⃑=3e⃑1−2e⃑2与b⃑ =3e⃑1−e⃑2的夹3角为β，求β的余弦值．22. 已知a ⃑ a ⃑ =(1,2)，b ⃑ =(−3,1)．(Ⅰ)求a ⃑ −2b ⃑ ；(Ⅱ)设a ⃑ ,b ⃑ 的夹角为θ，求cosθ的值；(Ⅲ)若向量a ⃑ +k b ⃑ 与a ⃑ −k b ⃑ 互相垂直，求k 的值．23. 已知a⃑ =(1,2)，b ⃑ =(1,λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为直角； (2)a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为钝角； (3)a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为锐角．24. 在△ABC 中，AB =3，AC =6，∠BAC =2π3，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点．(1)求中线AD 的长;(2)求BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角θ的余弦值．25.已知向量a⃑=(2cosα,2sinα)，b⃑ =(6cosβ,6sinβ)，且a⃑⋅(b⃑ −a⃑ )=2．(1)求向量a⃑，b⃑ 的夹角；(2)若|t a⃑−b⃑ |=3√3，求实数t的值．答案和解析1.【答案】A根据|3a⃑⃑⃑⃑ −2b⃑ |=√7，|a⃑|=|b⃑ |=1求出a⃑·b⃑ ，然后代入向量夹角公式计算即可求解．【解答】解：设a⃑与b⃑ 的夹角为θ，由题意得(3a⃑−2b⃑ )2=7，∴9|a⃑|2+4|b⃑ |2−12a⃑⋅b⃑ =7，又|a⃑|=|b⃑ |=1，∴a⃑⋅b⃑ =12，∴|a⃑||b⃑ |cos θ=12，即cos θ=12．又θ∈[0,π]，∴θ=π3．故选A．2.【答案】D计算出a⃑⋅(a⃑+b⃑ )，|a⃑+b⃑ |的值，即可得解．【解答】解：∵|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑⋅b⃑ =−6，∴a⃑⋅(a⃑+b⃑ )=|a⃑|2+a⃑⋅b⃑ =52−6=19，|a⃑+b⃑ |=√(a⃑+b⃑ )2=√a⃑2+2a⃑⋅b⃑ +b⃑ 2=√25−2×6+36=7，因此，cos<a⃑,a⃑+b⃑ >=a⃑ ⋅(a⃑ +b⃑)|a⃑ |⋅|a⃑ +b⃑|=195×7=1935．故选D．3.【答案】C【解析】解：|a⃑|=1，|b⃑ |=2，且(a⃑+b⃑ )⊥a⃑，∴(a⃑+b⃑ )⋅a⃑=a⃑2+a⃑⋅b⃑ =0，∴a⃑⋅b⃑ =−1，设a⃑与b⃑ 的夹角θ，则cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=−11×2=−12，，∴θ=2π3，故选：C．由(a⃑+b⃑ )⊥a⃑，结合向量数量积性质可求a⃑⋅b⃑ ，然后根据向量夹角公式cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|，代入即可求解．4.【答案】B由|a⃑−2b⃑ |=√3，得a⃑2+4b⃑ 2−4a⃑ ⋅ b⃑ =3，设单位向量a⃑与b⃑ 的夹角为θ，则有，解得，进而求出结果..【解答】解：由|a⃑−2b⃑ |=√3，得(a⃑−2b⃑ )2=3，即a⃑2+4b⃑ 2−4a⃑ ⋅ b⃑ =3，设单位向量a⃑与b⃑ 的夹角为θ，则有，解得，又θ∈[0, π]，所以θ=π3．故选B．5.【答案】D利用已知条件求出|a⃑+b⃑ |，然后利用向量的数量积求解即可．【解答】解：向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑·b⃑ =−6，可得|a ⃑ +b ⃑ |=√a ⃑ 2+2a ⃑ ⋅b⃑ +b ⃑ 2=√25−12+36=7， cos <a ⃑ ，a ⃑ +b ⃑ >=a ⃑ ⋅(a ⃑ +b⃑ )|a ⃑ ||a ⃑ +b⃑ |=a ⃑ 2+a ⃑ ⋅b ⃑ 5×7=25−65×7=1935．故选D ．6.【答案】D先根据模相等分别得到a ⃑ ·b ⃑ =0及|b ⃑ |2=3|a ⃑ |2，进一步利用向量的夹角公式计算即可得解．【解答】解：∵|a ⃑ +b ⃑ |=|a ⃑ −b⃑ |， ∴a ⃑ 2+2a ⃑ ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=a ⃑ 2−2a ⃑ ⋅b ⃑ +b ⃑ 2，∴a⃑ ⋅b ⃑ =0． 又∵|a ⃑ +b ⃑ |=2|a ⃑ |，∴|a ⃑ |2+2a ⃑ ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2=4|a ⃑ |2，∴|b ⃑ |2=3|a ⃑ |2． 设a ⃑ +b ⃑ 与a ⃑ −b ⃑ 的夹角为θ， 则cosθ=(a ⃑ +b ⃑ )⋅(a ⃑ −b⃑ )|a ⃑ +b ⃑ ||a ⃑ −b⃑ |=|a ⃑ |2−|b ⃑ |24|a ⃑ |2=−2|a ⃑ |24|a ⃑ |2=−12．又∵θ∈[0,π]，∴θ=2π3．故选D ．7.【答案】D【解答】解：根据题意，设向量a ⃑ −√3b ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ， 向量a ⃑ =(x,1)，b ⃑ =(1,−√3)，若a ⃑ ⊥b ⃑ ，则有a ⃑ ⋅b ⃑ =x −√3=0，解得x =√3， 即a ⃑ =(√3,1)，b ⃑ =(1,−√3)， 则a ⃑ −√3b ⃑ =(0,4)，则有|a ⃑ −√3b ⃑ |=4，|b ⃑ |=2，(a ⃑ −√3b ⃑ )⋅b ⃑ =a ⃑ ⋅b ⃑ −√3b ⃑ 2=−4√3，则cosθ=√3b⃑ ⃑ |a ⃑ −√3b⃑ ||b ⃑ |=−√32， 又由0≤θ≤π，则θ=5π6；故选D ．8.【答案】D【解答】 解：∵A(3,0)，，O(0,0)，，|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(3+cosα)2+sin 2α=√10+6cosα=√13，，∵α∈(0,π)， ∴α=π3，即C (12,√32)，∴OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角余弦值为OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3×√323×1=√32， ∵OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角范围为[0,π]， ∴OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角为π6． 故选D ．9.【答案】B先由已知向量的坐标求出向量的模，再代入向量的夹角公式得到cos θ=√22，即可求出夹角．【解答】解：设a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，∵|a ⃑ |=√10，|b ⃑ |=√5，a ⃑ ⋅b ⃑ =5， ∴cos θ=a⃑ ⋅b ⃑ |a ⃑ ||b⃑ |=√10×√5=√22， 又θ∈[0,π]， ∴a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为π4． 故选B ．10.【答案】D由AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，两边平方得|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√196，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =23，由向量数量积公式求解． 【解答】解：|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=(12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+(13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+2×12×13·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1936， 则|AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√196， AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =23， ∴向量AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角的余弦值为：AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4√1919． 故选D ．11.【答案】BCD【详解】对于A 选项，a ⃑ +b ⃑ =(−1,2)，∵22≠1×(−1)，则a ⃑ +b ⃑ 与a⃑ 不平行，A 选项错误； 对于B 选项，∵a ⃑ ⋅b ⃑ =2×(−3)+12=−5，b ⃑ 2=10，则a ⃑ ⋅b ⃑ =−12b 2， 所以，向量a ⃑ 在向量b ⃑ 上的投影向量为−12b ⃑，B 选项正确； 对于C 选项，由已知可得a ⃑ −b ⃑ =(5,0)，cos <a ⃑ ,a ⃑ −b ⃑ >=a ⃑ ⋅(a ⃑ −b ⃑ )|a ⃑ |⋅|a ⃑ −b⃑ |=√5×5=2√55， C 选项正确；对于D 选项，a ⃑ ⋅c ⃑ =2√55−2√55=0，故a⃑ ⊥c ⃑ ，D 选项正确． 故选：BCD ．12.【答案】ABD直接依据平面向量模长，夹角，投影的运算方法以及两向量平行的判断方法运算求解． 【解答】解：因为a ⃑ =(2,−4)，b ⃑ =(−6,12)，所以b ⃑ =−3a ⃑ ． 在A 中，因为b ⃑ =−3a ⃑ ，所以|b ⃑ |=3|a ⃑ |，故A 正确； 在B 中，因为b ⃑ =−3a ⃑ ，所以a ⃑ //b ⃑ ，故B 正确；在C 中，因为b ⃑ =−3a ⃑ ，所以a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为180°，故C 错误； 在D 中，a ⃑ 在b ⃑ 上的投影向量的模为|a⃑ ⋅b ⃑ |b ⃑ |×b⃑ |b ⃑ ||=|√(−6)2+122|=2√5，故D 正确，故选ABD ．13.【答案】BD【解答】解：根据题意，a ⃑ +b ⃑ =(1,1)，a ⃑ −b ⃑ =(−3,1)， 则a ⃑ =(−1,1)，b ⃑ =(2,0)，依次分析选项：对于A ，|a ⃑ |=√2，|b ⃑ |=2，则|a ⃑ |=|b ⃑ |不成立，A 错误； 对于B ，a⃑ =(−1,1)，c ⃑ =(1,1)，则a ⃑ ⋅c ⃑ =0，即a ⃑ ⊥c ⃑ ，B 正确； 对于C ，b ⃑ =(2,0)，c ⃑ =(1,1)，b ⃑ //c ⃑ 不成立，C 错误； 对于D ，a ⃑ =(−1,1)，b ⃑ =(2,0)，则a ⃑ ⋅b ⃑ =−2，|a ⃑ |=√2，|b ⃑ |=2，则cos θ=2√2=−√22，则θ=135°，D 正确； 故选：BD ．14.【答案】23【解答】解：由题|a ⃑ |=|b ⃑ |=1,a ⃑ ·b ⃑ =0，所以c ⃑ 2=(2a ⃑ −√5b ⃑ )2=4a ⃑ 2+5b ⃑ 2−4√5a ⃑ ·b⃑ =9， 故|c⃑ |=3， 又因为a ⃑ ·c ⃑ =a ⃑ ·(2a ⃑ −5b ⃑ )=2a ⃑ 2−5a ⃑ ·b ⃑ =2，a⃑ 与c ⃑ 的夹角为θ，所以cosθ=a ⃑ ·c ⃑|a⃑ |·|c ⃑ |=21×3=23， 故答案为23．15.【答案】(−∞,−13−√1336)∪(√133−136,1)∪(1,+∞) 【分析】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“a →+λb →与λa →+b →共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为a →⋅b →>0与⟨a →,b →⟩为锐角等价.先求得a ⃑ ⋅b ⃑ ，根据(a →+λb →)⋅(λa →+b →)>0，结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得λ的取值范围，排除a →+λb →与λa →+b →共线时λ的值，由此求得λ的取值范围． 【解答】解：由题意可知a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos60°=2×3×12=3． 又∵(a →+λb →)⋅(λa →+b →)=λa →2+(λ2+1)a →⋅b →+λb →2，∴a →+λb →与λa →+b →的夹角为锐角，∴λa →2+(λ2+1)a →⋅b →+λb →2>0．∵a →2=|a →|2=4,b →2=|b →|2=9,a →⋅b →=3，∴3λ2+13λ+3>0．解得λ>√133−136或λ<−13−√1336． 当λ=1时，a →+λb →与λa →+b →共线，其夹角不为锐角，故λ的取值范围是(−∞, −13−√1336)∪(√133−136, 1)∪(1, +∞)．故填：(−∞,−13−√1336)∪(√133−136, 1)∪(1,+∞)．16.【答案】本题考查平面向量数量积运算，夹角.难度一般.由(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ，(b ⃑ −2a ⃑ )⊥b ⃑ ，可得a ⃑ 2=|a ⃑ |2=2a ⃑ ⋅b ⃑ ，b ⃑ 2=|b ⃑ |2=2a ⃑ ⋅b ⃑ ，所以由cos⟨a ⃑ ,b ⃑ ⟩=a ⃑ ⋅b ⃑ |a ⃑ |⋅|b⃑ |=12，求出⟨a ⃑ ,b ⃑ ⟩=π3． 【解答】解：由题意得，因为，(b ⃑ −2a ⃑ )⊥b ⃑ ，所以(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ =a ⃑ 2−2a ⃑ ⋅b ⃑ =0，(b ⃑ −2a ⃑ )⋅b ⃑ =b ⃑ 2−2a ⃑ ⋅b ⃑ =0，即a⃑2=|a⃑|2=2a⃑⋅b⃑ ，b⃑ 2=|b⃑ |2=2a⃑⋅b⃑ ，所以，又⟨a⃑,b⃑ ⟩∈[0,π]，所以⟨a⃑,b⃑ ⟩=π3．故答案为．17.【答案】本题考查向量的模，向量的数量积，平面向量的坐标运算，向量的夹角，属于基础题．根据条件对|a⃑+2b⃑ |=√2的两边平方即可求出a⃑⋅b⃑ =−1，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【解答】解：∵a⃑=(1,−1)，∴|a⃑|=√2，∵|b⃑ |=1，|a⃑+2b⃑ |=√2，∴(a⃑+2b⃑ )2=a⃑2+4a⃑⋅b⃑ +4b⃑ 2=2+4a⃑⋅b⃑ +4=2，∴a⃑⋅b⃑ =−1，∴cos⟨a⃑,b⃑ ⟩=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=−√22．又，∴a⃑与b⃑ 的夹角为3π4．故答案为3π4．18.【答案】解：(1)因为b⃑ =(1,√3)，所以|b⃑ |=√12+(√3)2=2，因为向量a⃑在向量b⃑ 方向上的投影为2，设向量a⃑与b⃑ 的夹角为θ，所以|a⃑|cosθ=2，所以a⃑·b⃑ =|a⃑||b⃑ |cosθ=2×2=4，∵(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ， ∴(a ⃑ −2b ⃑ )·a ⃑ =0，∴a ⃑ 2−2a ⃑ ·b ⃑ =0，∴a ⃑ 2=8，则|a ⃑ |=2√2， 则cosθ=a⃑ ·b ⃑ |a⃑ |·|b ⃑ |=√22， 又，，∴向量a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为π4； (2)由向量模的计算公式|a ⃑ |=√a ⃑ ·a ⃑ 得：|2a ⃑ −b ⃑ |=√(2a ⃑ −b ⃑ )2=√4a ⃑ 2−4a ⃑ ·b ⃑ +b ⃑ 2=√32−16+4=2√5． (3)∵c ⃑ //d ⃑ ， ∴c ⃑ =λd⃑ ， ∴3a ⃑ −4b ⃑ =λ(m a ⃑ +b ⃑ )， ∵a ⃑ 、b ⃑ 不共线，∴{3=λm−4=λ, 解得m =−34．【解析】本题考查向量的数量积，向量的夹角以及向量的模的求法，向量垂直与平行的判定，向量的投影的求解，属于中档题．(1)先求出|b ⃑ |，再利用向量a ⃑ 在向量b ⃑ 方向上的投影为2，求出a ·b ⃑ ，由(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ 得到|a ⃑ |=2√2，再利用夹角公式求出两向量a →与b →的夹角； (2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；(3)由c ⃑ //d ⃑ ，则存在实数λ，使得c ⃑ =λd⃑ 成立，由此利用向量相等可得参数值．19.【答案】解：∵a ⃑ +3b ⃑ 与7a ⃑ −5b ⃑ 垂直，∴(a⃑+3b⃑ )⋅(7a⃑−5b⃑ )=0，即7a⃑2+16a⃑⋅b⃑ −15b⃑ 2=0． ①又∵a⃑−4b⃑ 与7a⃑−2b⃑ 垂直，∴(a⃑−4b⃑ )⋅(7a⃑−2b⃑ )=0，即7a⃑2−30a⃑⋅b⃑ +8b⃑ 2=0． ② ①− ②整理得2a⃑⋅b⃑ =b⃑ 2． ③将 ③代入 ①，得a⃑2=b⃑ 2，∴|a⃑|=|b⃑ |，∴cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=|b⃑|22|b⃑|2=12．∵0∘≤θ≤180∘，∴θ=60∘．20.【答案】解：(1)由a⃑//b⃑ ，得x−2×3=0，解得x=6．由a⃑⊥c⃑，得1×2+2y=0，解得y=−1．所以b⃑ =(3,6)，c⃑=(2,−1)．(2)因为m⃑⃑⃑ =2a⃑−b⃑ =(−1,−2)，n⃑=a⃑+c⃑=(3,1)，所以m⃑⃑⃑ ⋅n⃑=−1×3−2×1=−5，|m⃑⃑⃑ |=√(−1)2+(−2)2=√5，|n⃑|=√32+12=√10．所以cos<m⃑⃑⃑ ，n⃑>=m⃑⃑⃑ ⋅n⃑⃑|m⃑⃑⃑ |⋅|n⃑⃑ |=−5√5×√10=−√22，又因为．所以向量m⃑⃑⃑ ，n⃑的夹角为3π4．21.【答案】解：∵单位向量e1⃑⃑⃑ 与e2⃑⃑⃑ 的夹角为α，且cosα=13，向量a⃑=3e1⃑⃑⃑ −2e2⃑⃑⃑ 与b⃑ =3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ 的夹角为β，∴|a⃑|2=(3e1⃑⃑⃑ −2e2⃑⃑⃑ )2=9e1⃑⃑⃑ 2−12e1⃑⃑⃑ ⋅e2⃑⃑⃑ +4e2⃑⃑⃑ 2=9+4−12cosα=9，∴|a⃑|=3,|b⃑ |2=(3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ )2=9−2×3cosα+1=8，a⃑·b⃑ =(3e1⃑⃑⃑ −2e2⃑⃑⃑ )⋅(3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ )=9e1 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2−9e1⃑⃑⃑ ⋅e2⃑⃑⃑ +2e2 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=9−9×1×1×13+2=8，∴cosβ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=3×2√2=2√23．22.【答案】解：(Ⅰ)a⃑−2b⃑ =(1，2)−2(−3，1)=(1+6，2−2)=(7，0)．(Ⅱ)cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ |⋅|b⃑|=√1+(−3)2×√22+1=−√210．(Ⅲ)因为向量a⃑+k b⃑ 与a⃑−k b⃑ 互相垂直，所以(a⃑+k b⃑ )⋅(a⃑−k b⃑ )=0，即a⃑2−k2b⃑ 2=0因为a⃑2=5，b⃑ 2=10，所以5−10k2=0，解得k=±√22．23.【答案】解：设a⃑与b⃑ 的夹角为θ，|a⃑|=√12+22=√5，|b⃑ |=√1+λ2，a⃑⋅b⃑ =(1,2)⋅(1,λ)=1+2λ．(1)因为a⃑与b⃑ 的夹角的直角，所以a⃑⋅b⃑ =0，所以1+2λ=0，所以λ=−12．(2)因为a⃑与b⃑ 的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠−1，即a⃑⋅b⃑ <0且a⃑与b⃑ 不反向．由a⃑⋅b⃑ <0得1+2λ<0，故λ<−12，由a⃑与b⃑ 共线得λ=2，故a⃑与b⃑ 不可能反向．所以λ的取值范围为(−∞,−12)．(3)因为a⃑与b⃑ 的夹角为锐角，所以cosθ>0且cosθ≠1，即a⃑⋅b⃑ >0且a⃑、b⃑ 不同向．由a⃑⋅b⃑ >0，得λ>−12，由a⃑与b⃑ 同向得λ=2．所以λ的取值范围为(−12,2)∪(2,+∞)．【解析】本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算，求出两个向量的模，进而得到a⃑·b⃑ ．(1)根据两个向量的夹角为直角，即可求出λ的值；(2)根据两个向量的夹角为钝角，得到cosθ的范围，继而得到有关λ的不等式，求解即可； (3)根据两个向量的夹角为锐角，得到cosθ的范围，继而得到有关λ的不等式，求解即可． 24.【答案】解：(1)根据题意，得AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) 所以|AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )2 =14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2) =14(32+2×3×6×cos 2π3+62) =274，∴|AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√32； (2)BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以|BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=916×9−38×(−9)+116×36=17116，从而|BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√194． BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−38×9−28×(−9)+18×36=278， 所以cosθ=BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=278×3√193√3=√5719．25.【答案】解：(1)由题意可知，|a ⃑ |=2,|b⃑ |=6， a ⃑ ·(b ⃑ −a ⃑ )=a ⃑ ·b ⃑ −a ⃑ 2=2，则a ⃑ ·b ⃑ =2+4=6， 设向量a ⃑ ，b ⃑ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃑ ·b ⃑ |a⃑ ||b ⃑ |=62×6=12，且，则．(2)由(1)可知，a ⃑ ·b ⃑ =6，|t a ⃑ −b ⃑ |=√(t a ⃑ −b ⃑ )2=√4t 2−2t ×6+36=3√3， 解得t =32．。

求向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角。

在几何和物理学中，向量的夹角是一个重要的概念，用于描述两个向量之间的方向和关系。

向量的夹角可以通过向量的数量积来计算，也可以通过向量的坐标表示来计算。

首先，我们来看一下向量的数量积。

向量的数量积可以用以下公式来表示：a·b = |a||b|cosθ其中，a和b是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模，θ是它们之间的夹角。

根据这个公式，我们可以得到向量的夹角的计算公式：θ = arccos((a·b) / (|a||b|))这个公式告诉我们，如果我们已知两个向量的数量积和它们的模，就可以计算出它们之间的夹角。

接下来，我们来看一下向量的坐标表示。

在二维空间中，向量可以用坐标表示为(a1, a2)和(b1, b2)，其中a1和a2是向量a的x和y坐标，b1和b2是向量b的x和y坐标。

此时，向量的夹角可以通过以下公式计算：θ = arccos((a1*b1 + a2*b2) / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2)))在三维空间中，向量可以用坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，其中a1、a2和a3是向量a的x、y和z坐标，b1、b2和b3是向量b的x、y和z坐标。

此时，向量的夹角可以通过以下公式计算：θ = arccos((a1*b1 + a2*b2 + a3*b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) *sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2)))需要注意的是，这个公式只适用于夹角在0到π之间的情况。

如果夹角在π到2π之间，则可以将计算所得的夹角减去2π。

总结一下，向量的夹角是通过向量的数量积或坐标表示来计算的。

它可以用来描述两个向量之间的方向和关系。

在几何学和物理学中，向量的夹角是一个非常重要的概念，被广泛应用于各种问题的求解中。

无论是二维空间还是三维空间，我们都可以用相应的公式来计算向量的夹角。

初二数学平面向量的夹角计算平面向量是数学中的一种重要概念，它不仅有大小，还有方向。

在平面向量中，夹角的概念起着至关重要的作用。

本文将介绍如何计算初二数学中的平面向量夹角，并提供一些实际问题的例题。

1. 平面向量的模和方向在开始计算夹角之前，我们先来回顾一下平面向量的模和方向的概念。

对于平面上的一个向量，我们可以通过两个坐标点来确定它，比如向量AB可以表示为→AB。

在这个向量中，A点叫做起点，B点叫做终点。

向量的模表示从起点到终点的距离，一般用|→AB|表示。

向量的方向表示起点指向终点的方向，可以用角度的方式表示，一般用α表示。

2. 平面向量的夹角夹角是指两个向量之间的夹角，它是由两个向量的方向确定的。

对于平面上的两个向量→AB和→CD，它们之间的夹角可以用α表示。

夹角的计算有两种方法：数量积和坐标法。

2.1 数量积计算夹角数量积是一个向量运算，它可以用于计算两个向量之间的夹角。

对于两个向量→AB和→CD，它们的数量积可以表示为→AB·→CD。

两向量的数量积等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

具体计算公式如下：→AB·→CD = |→AB| · |→CD| · cos(α)2.2 坐标法计算夹角在平面直角坐标系中，我们可以通过向量的坐标来计算夹角。

对于向量→AB（x1，y1）和→CD（x2，y2），它们之间的夹角可以通过以下公式计算：cos(α) = (x1·x2 + y1·y2) / (|→AB|· |→CD|)3. 实例演练现在，我们通过一些实际问题的例题来加深对夹角计算的理解。

例题1：计算向量→AB(3，4)和→CD(−2，6)之间的夹角。

解：首先，我们可以通过坐标法计算夹角。

根据公式，我们有：cos(α) = [(3·(-2)) + (4·6)] / (√(3²+4²) · √((-2)²+6²))= (-6 + 24) / (5·√5·√40)= 18 / (5·√200)= 18 / (5·10√2)= 18 / (50√2)= 9√2 / 25因此，夹角α的余弦值为9√2 / 25。

空间几何中的平面与直线的夹角空间几何是数学中的一个重要分支，研究了点、线、面以及它们之间的关系。

在空间几何中，平面和直线是两个基本的几何元素，它们之间的夹角是我们研究的主题之一。

一、在平面上的夹角在二维平面中，两条线段之间的夹角可以通过它们的斜率来计算。

设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则直线L1和L2之间的夹角θ可以表示为：θ = arctan(|(k1-k2)/(1+k1k2)|)其中，arctan函数代表反正切函数，|x|代表x的绝对值。

举个例子来说明，假设直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为-1/2，则它们之间的夹角θ可以计算为：θ = arctan(|(1-(-1/2))/(1+1/2)|) = arctan(3/2)二、在三维空间中的夹角在三维空间中，平面与直线的夹角的计算稍微复杂一些。

我们可以通过计算平面的法向量与直线的方向向量之间的夹角来确定。

1. 平面的法向量平面可由一般式方程表示为Ax + By + Cz + D = 0。

其法向量可由系数A、B、C得到，即向量N = (A, B, C)。

2. 直线的方向向量直线可表示为参数方程：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中向量V = (a, b, c) 就是直线的方向向量。

3. 夹角的计算设平面的法向量为N = (A, B, C)，直线的方向向量为V = (a, b, c)，则平面与直线的夹角θ可以计算为：θ = arccos(|N·V| / (|N| * |V|))其中，·代表向量的点乘，|N|和|V|分别表示向量N和向量V的模。

举个例子来说明，假设平面的法向量为N = (1, 2, 3)，直线的方向向量为V = (4, 5, 6)，则它们之间的夹角θ可以计算为：θ = arccos(|(1, 2, 3)·(4, 5, 6)| / (√(1^2+2^2+3^2) * √(4^2+5^2+6^2)))= arccos(32 / (√14 * √77))在计算夹角的过程中，要注意向量的模不为零，否则会出现除数为零的情况。

专题四 平面向量的夹角平面向量的夹角公式(1)平面向量夹角公式的非坐标形式：cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |．<a ，b >∈[0，π]． (2)平面向量夹角公式的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos<a ，b >＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22．<a ，b >∈[0，π]．考点一 平面向量的夹角问题【方法总结】求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步：分别求出这两个向量的模；第三步：根据公式cos ＜a ，b ＞＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 【例题选讲】[例1] (1)(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为__________．答案 π6 解析 因为cos<a ，b >＝a·b |a||b|＝1×3＋3×12×2＝32，所以a 与b 夹角的大小为π6． (2)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案 B 解析 a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以向量a 与b 的夹角为π3． (3)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 C 解析 设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2．因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°． (4)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案 B 解析 答案 B 解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b－|b |2＝0，又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B ． 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b ．因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B ． (5)已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________． 答案 90° 解析 由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2，由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2，则a·b ＝0，即a ⊥b ，∴a 与b 的夹角为90°．(6)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A ．π3B ．2π3C ．5π6D ．π6答案 D 解析 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2．由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6． (7)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A ．π2B ．π3C ．π6D ．π 答案 B 解析 ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a⊥b ．如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ．∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3．(8)(2020·全国Ⅰ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos<a ，a ＋b >等于( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案 D 解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49，∴|a ＋b |＝7，∴cos<a ，a ＋b >＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935． (9)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．答案 223 解析 ∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223． (10)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A ．126B ．－126C ．112D ．－112答案 B 解析 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126． (11)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________．答案 －1010解析 因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝A E →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010． 优解：因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E(2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝A E →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010．(12)(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2．又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1．cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5)＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829． 【对点训练】1．(2016·全国Ⅲ)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π2C ．5π6D ．2π33．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．4．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且|a ＋b |＝|2a －b |，则a 与b 的夹角为( )A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π65．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π36．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 8．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．3π49．不共线向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且b 2＝a·b ，则a 与b －a 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°10．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________． 11．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________．12．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( ) A ．55 B ．15 C ．－55 D ．－1513．在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，CA ＝33，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝2，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于________．14．△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°15．(2014·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ＝12(AB ＋AC )，则AB 与AC 的夹角为________． 16．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________．考点二 平面向量的夹角的应用【方法总结】(1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线．(2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．研究向量的夹角应注意“共起点”，两个非零共线向量的夹角可能是0或π．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．【例题选讲】[例1] (1)(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝________． 答案 2 解析 解法1 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b＝12，由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 解法2 由t ＋(1－t )＝1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则c ＝⎝⎛⎭⎫32，－32．把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2．(2)(2013·山东)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2．若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．答案 712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712． (3)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是_____．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞． (4)已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－34，12)∪(12，＋∞) 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m )．若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12．由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )．∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34．由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →．故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是(－34，12)∪(12，＋∞)． (5)已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是__________． 答案 (－∞，－1)∪(－1，1) 解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，所以|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a·b＝λ－1．因为a ，b 的夹角α为钝角，所以⎩⎨⎧ λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.所以λ<1且λ≠－1，所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．(6)已知向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是__________．答案 解析 因为2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，所以2t e 21＋(2t2＋7)(e 1·e 2)＋7t e 22<0．因为|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1·e 2＝1，所以2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12．若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线，由于e 1，e 2不共线，所以2t 1＝7t ，解得t ＝±142，所以t ≠±142，因此实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12． 【对点训练】1．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是 ________．2．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 3．若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A ．126 B ．－126 C ．112 D ．－1124．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．5．设向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，3)，且a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是___________．6．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．7．若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．。

平面向量的夹角运算1. 引言平面向量的夹角运算是研究平面上两个向量之间的夹角的一种数学运算。

在解决几何问题和物理问题中，夹角运算经常被用到，因此了解和掌握平面向量的夹角运算是很重要的。

2. 定义设平面上有两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，则它们的夹角 $\theta$ 定义为：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$$其中，$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 表示向量内积，$|\vec{a}|$ 和$|\vec{b}|$ 分别表示向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模。

3. 夹角的性质根据夹角的定义，我们可以得到以下夹角的性质：- 当 $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$ 时，夹角 $\theta$ 是锐角。

- 当 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 时，夹角 $\theta$ 是直角。

- 当 $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ 时，夹角 $\theta$ 是钝角。

4. 夹角的计算计算夹角的步骤如下：1. 计算向量内积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。

2. 计算向量的模 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$。

3. 将步骤 1 计算的结果和步骤 2 计算的结果代入夹角定义的公式中，求解夹角 $\theta$。

5. 示例假设有两个向量 $\vec{a}=(3, 4)$ 和 $\vec{b}=(-2, 6)$，我们来计算它们的夹角。

首先，计算向量内积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$：$$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\times (-2)+4\times 6=-6+24=18$$然后，计算向量的模 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$：$$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$$$|\vec{b}|=\sqrt{(-2)^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$最后，代入夹角定义的公式中计算夹角 $\theta$：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{18}{5\times 2\sqrt{10}}=\frac{9}{5\sqrt{10}}$$ 因此，向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 可以表示为：$$\theta=\arccos\left(\frac{9}{5\sqrt{10}}\right)$$。

平面向量的夹角公式：跨越欧几里得空间的
坚实基础
在平面欧几里得几何中，向量的夹角是一条基础性的数学概念，
它在多个学科领域都有应用，如物理学、工程学、计算机科学等等。

那么，我们该如何计算平面向量的夹角呢？
首先，我们要明确向量的长度和方向都是它的本质特征。

因此，
我们可以将两个向量分别表示为矢量OA、矢量OB（O为坐标原点），
且满足|OA| ≠ 0，|OB| ≠ 0。

其次，我们需要知道两个向量的数量积（点积）的定义：矢量OA
与矢量OB的数量积记为OA·OB，如果向量OA和矢量OB的夹角记为θ，则OA·OB=|OA||OB|cosθ。

接下来，我们便可以推导出平面向量的夹角公式：cosθ=(a1b1＋
a2b2)/(√a1²+a2²)(√b1²+b2²)。

其中a1、a2是向量OA的两个分量，b1、b2是向量OB的两个分量。

可以看到，这个公式的计算非常简单，只需要对两个向量进行分量运算，再进行点积计算即可。

最后，我们需要注意的是，平面向量的夹角公式仅适用于欧几里
得空间中的向量。

如果在其他空间中使用，则需要根据具体情况进行
扩展和修正。

总结来说，平面向量的夹角公式是跨越欧几里得空间的坚实基础。

它不仅在数学学科中应用广泛，还在从事实际问题解决中具有重要意
义。

对于学习和应用向量的同学们来说，熟练掌握平面向量的夹角公式是一项必要的技能。

平面向量的夹角
平面向量的夹角，是描述两个平面向量之间方向关系的一个重要概念。

在二维平面中，任意两个非零向量都可以形成一个夹角，这个夹角的大小是由这两个向量的方向决定的。

具体来说，如果我们有两个平面向量A和B，那么它们之间的夹角θ可以通过以下公式来计算：cosθ = (A·B) / (||A|| * ||B||)。

其中，A·B表示向量A和B的点积，||A||和||B||分别表示向量A和B的模长。

通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角余弦值，进而得到夹角的大小。

需要注意的是，夹角θ的取值范围是0到π（包括0和π）。

当两个向量的方向相同时，夹角为0；当两个向量的方向相反时，夹角为π；当两个向量的方向垂直时，夹角为π/2。

在其他情况下，夹角的大小会根据两个向量的具体方向而定。

平面向量的夹角在向量运算中有着广泛的应用。

例如，在计算向量的投影时，我们需要知道一个向量在另一个向量上的投影长度，而这个投影长度就与两个向量之间的夹角有关。

又如，在向量的合成与分解中，夹角也扮演着重要的角色。

当我们将一个向量分解为两个方向上的分量时，这两个分量的大小和方向都与原向量和这两个方向之间的夹角有关。

因此，理解和掌握平面向量的夹角概念及其计算方法，对于深入学习和应用向量知识具有重要的意义。

通过不断地练习和实践，我们可以逐渐熟悉和掌握这一概念，并在实际问题中灵活运用。

平面向量中夹角问题本文将讨论平面向量中的夹角问题。

平面向量是在平面上具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

两个平面向量的夹角可以通过向量的坐标形式或向量的数量积来计算。

坐标形式计算夹角设平面上有两个向量A和B，其坐标形式分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。

则通过求解向量A和B的数量积，可以计算出它们的夹角θ。

具体步骤如下：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = x1·x2 + y1·y2。

2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和 |B| = √(x2² + y2²)。

3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。

4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。

数量积计算夹角除了坐标形式，还可以使用向量的数量积来计算平面向量的夹角。

数量积的性质之一是：若两个向量的夹角为θ，则它们的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积，即A·B =|A|·|B|·cosθ。

根据这个性质可以得到以下计算夹角的公式：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = |A|·|B|·cosθ。

2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和|B| = √(x2² + y2²)。

3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。

4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。

以上就是平面向量中夹角问题的相关计算方法。

在应用中，根据实际情况选择合适的计算方法，可以更方便地求解平面向量的夹角。

用空间向量研究夹角问题课程标准 学习目标1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角.2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点一 空间角空间图形范围 向量法几何法 异面直线所成的角0°< θ≤90°cosθ=|cos <u ,v>|= 平移交于一点,解三角形直线与平面所成的角sin θ=|cos <u ,n>|=过直线上一点作平面的垂线,解三角形 平面与平面的夹角cos θ=|cos <n 1,n 2>|=作两平面的垂面解三角形【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )(2)若平面α的法向量为u ,直线l 的方向向量为v ,直线l 与平面α所成的角为θ,则cos θ=|u ·v ||u ||v |.( )(3)二面角的大小等于平面与平面的夹角. ( ) 知识点二 解决立体几何中空间角问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的角度问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一 异面直线所成角的求法例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系,图1-4-27则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( )A .√1010 B .√105 C .-√1010D .-√105(2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值.图1-4-28[素养小结]用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.运用向量法常有两种途径:①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos <a ,b>=a ·b|a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量.②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.探究点二求直线和平面所成的角例2 [2020·安徽芜湖高二期中] 如图1-4-29,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点.(1)证明:AC1⊥平面D1B1C;(2)求直线CE与平面D1B1C所成角的余弦值.图1-4-29变式[2020·山东肥城高二期中] 在如图1-4-30所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,CD=2.(1)若F为BP的中点,证明:EF∥平面PDC;BP,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.(2)若BF=13图1-4-30[素养小结]向量法求线面角的步骤:①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;③求出夹角<s,n>;④判断直线和平面所成的角θ和<s ,n>的关系,求出角θ.拓展 [2021·北京丰台区高二期中] 如图1-4-31,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=3.M 是AB 的中点,N 是B 1C 1的中点,点P 在线段A 1N 上,且A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 1与B 1C 的交点.(1)求证:PQ ∥平面A 1CM.(2)在线段AA 1上是否存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214?请说明理由.图1-4-31探究点三 求平面与平面的夹角例3 [2020·江苏如皋高二期中] 如图1-4-32所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC ,AA 1,AC ,A 1C 1的中点分别为D ,E ,F. (1)求证:AC ⊥平面BEF ;(2)若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°,且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55,求平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值.图1-4-32变式 [2020·江苏盐城亭湖区月考] 如图1-4-33所示,在三棱锥P-ABC 中,△PAC 为等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC 为正三角形,AC=2. (1)证明:PB ⊥AC ;(2)若平面PAC ⊥平面ABC ,求平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值.图1-4-33[素养小结]设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角θ,用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n 1,n 2; (3)计算:cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|.拓展 如图1-4-34,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥AD ,AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE ⊥平面BEF ;(2)设PA=a ,若平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,求a 的取值范围.图1-4-341.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( )A .120°B .60°C .30°D .以上均错2.已知两个平面的法向量分别是m=(1,2,-1),n=(1,-1,0),则这两个平面所成的二面角的余弦值为 ( ) A .-√36或√36B .-√33或√33C .-√36D .√363.[2020·江苏南通高一期末] 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角的正弦值为 ( ) A .√63B .√102C .√155D .√1054.[2021·天津部分区高二期中] 如图1-4-35,在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,则平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为 ( )图1-4-35A .√33 B .√22C .1D .13用空间向量研究夹角问题参考答案【课前预习】知识点一|u ·v ||u ||v |0°≤θ≤90° |u ·n ||u ||n |0°≤θ≤90° |n 1·n 2||n 1||n 2|诊断分析(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误. (2)sin θ=|u ·v ||u ||v |,故错误.(3)二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.故错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] ∵A (2,2,0),B 1(2,0,2),E (0,1,0),D 1(0,2,2),∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-2+4=2,∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2×√5=√1010,∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为√1010. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,√3),A (√3,0,0),A 1(√3,1,√3),B (0,2,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),所以|cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3,√3)·(√3,√3√7×√7=17,所以异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.探究点二例2 解:(1)证明:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),E (2,1,0),C (0,2,0),B 1(2,2,2),C 1(0,2,2),D 1(0,0,2), ∴CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2). ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×0+2×(-2)+2×2=0, AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×2+2×0+2×2=0,∴AC 1⊥D 1C ,AC 1⊥B 1C ,又D 1C ∩B 1C=C , ∴AC 1⊥平面D 1B 1C.(2)由(1)知,EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2)是平面D 1B 1C 的一个法向量,设直线CE 与平面D 1B 1C 所成的角为θ,则sin θ=|cos <EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×2√3=√155,∴直线CE 与平面D 1B 1C 所成角的余弦值为(√155)=√105. 变式 解:(1)证明:以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴,过点D 且与平面ABCD 垂直的直线为y 轴,DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略),则D (0,0,0),C (2,0,0),B (2,0,3),P (-2,2√3,0),A (0,0,3). 因为E 为AD 的中点,F 为BP 的中点,所以E 0,0,32,F 0,√3,32,所以直线EF 的方向向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 易知平面PDC 的一个法向量为n=(0,0,1). 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,又EF ⊄平面PDC , 所以EF ∥平面PDC.(2)由(1)知,CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2√3,0), 设F (x ,y ,z ),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y ,z-3)=13BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43,23√3,-1, 所以F23,23√3,2,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23√3,-1.设平面PBC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则{n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3z =0,4x -2√3y =0,取y=1,得n 1=√32,1,0,所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1>=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1|=23×√32+23√3√49+43+1×√34+1=√353×√72=6√2135, 所以直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为635√21.拓展 解:(1)证明:以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A 1(0,0,3),C (2,0,0),M (0,1,0),N (1,1,3),Q 1,1,32,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,1,-32,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,3),∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,0,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13,13,-32.设平面A 1CM 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +3z =0,-2x +y =0,取z=2,得n=(3,6,2),∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=3×13+6×13-2×32=0,∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 又PQ ⊄平面A 1CM ,∴PQ ∥平面A 1CM.(2)假设在线段AA 1上存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214. 不妨设AS=h (0≤h ≤3), 则S (0,0,h ),∴CS⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,h ), ∴|cos <CS ⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|CS⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CS⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√4+ℎ2×7, ∴7√4+ℎ2=√214,解得h=2或h=347(舍),∴当点S 为线段AA 1上靠近A 1的三等分点时,直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214.探究点三例3 解:(1)证明:由题可知,AA 1⊥平面ABC ,∵AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,E ,F 分别是AC ,A 1C 1的中点,∴AE=A 1F ,∴四边形AEFA 1是平行四边形, ∴EF ∥AA 1,∴EF ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC ,∴EF ⊥AC.∵AB=BC ,E 是AC 的中点, ∴BE ⊥AC ,又BE ∩EF=E , ∴AC ⊥平面BEF.(2)∵AA 1∥EF ,∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角,即∠BFE=45°,∴EF=BE.∵AC ⊥平面BEF ,∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角, ∴sin ∠CBE=√55,∴tan ∠CBE=12,∴BE=2CE.以E 为原点,EB ,EC ,EF 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设CE=1,则B (2,0,0),C (0,1,0),D (0,-1,1),B 1(2,0,2), ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,2).设平面BCD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 1-z 1=0,-2x 1+y 1=0,取x 1=1,得m=(1,2,4).设平面CDB 1的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 2-z 2=0,2x 2-y 2+2z 2=0, 取y 2=1,得n=-32,1,2,∴cos <m ,n>=m ·n|m ||n |=172√21×√292=17√609609.设平面BCD 与平面CDB 1的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=17√609609, ∴平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值为17√609609. 变式 解:(1)证明:取AC 的中点D ,连接PD ,BD ,∵△PAC 为等腰直角三角形,D 为中点,∴PD ⊥AC ,又△ABC 为正三角形,D 为中点,∴BD ⊥AC ,又PD ∩BD=D ,PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥平面PBD.∵PB ⊂平面PBD ,∴PB ⊥AC.(2)∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,PD ⊂平面PAC ,PD ⊥AC ,∴PD ⊥平面ABC.由(1)知BD ⊥AC ,以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0),C (-1,0,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0). 设n=(x ,y ,z )为平面PBC 的法向量,则{CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +z =0,x +√3y =0, 取x=1,得n=1,-√33,-1,又DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)是平面PAC 的一个法向量, ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√77, 设平面APC 与平面PCB 的夹角为θ,则cos θ=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=√77, ∴平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值为√77.拓展 解:(1)证明:∵AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,F 为CD 的中点,∴四边形ABFD 为矩形,∴AB ⊥BF.∵DE=EC ,F 为CD 的中点,∴DC ⊥EF ,又AB ∥CD ,∴AB ⊥EF.∵BF ∩EF=F ,∴AB ⊥平面BEF.又AB ⊂平面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF.(2)由(1)知DC ⊥EF ,又PD ∥EF ,AB ∥CD ,∴AB ⊥PD.又AB ⊥AD ,PD ∩AD=D ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PA.以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (1,0,0),D (0,2,0),P (0,0,a ),C (2,2,0),E 1,1,a 2, 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,1,a 2. 易得平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1).设平面EBD 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),由{n 2⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{n 2·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,y +az 2=0, 取y=1,得x=2,z=-2a , 则平面EBD 的一个法向量为n 2=2,1,-2a , ∴cos θ=2a√4+1+4a 2=√5a 2+4.又∵平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,∴cos θ∈12,√22, 即2√5a 2+4∈12,√22,∴2√55≤a ≤2√155, 故a 的取值范围是2√55,2√155.【课堂评价】 1.C [解析] ∵l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°,则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2.A [解析] 设两个平面的夹角为θ,则|cos θ|=|cos <m ,n>|=√6×√2=√36,故cos θ=±√36. 3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (2,2,0),C 1(0,2,1),D (0,0,0),D 1(0,0,1),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面BB 1DD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0,n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0,取x=1,得n=(1,-1,0).设直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角为θ,则sin θ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√5×√2=√105.故选D .4.A [解析] 在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OC 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设OA=OB=OC=1,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),O (0,0,0),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面ABC 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),由题知平面AOC 的一个法向量为m=(0,1,0),设平面BAC 与平面ACO 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=|m ·n ||m ||n |=√3=√33,故平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为√33.故选A .。

平面直角坐标系向量夹角公式好的，以下是为您生成的文章：咱今儿来聊聊平面直角坐标系向量夹角公式，这可是个挺有意思的知识呢！还记得我之前教过的一个学生小明，那时候他刚接触到向量夹角公式，整个人都懵圈了。

他瞪着那双大眼睛看着我，满脸的迷茫：“老师，这都是啥呀，怎么这么复杂！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”平面直角坐标系向量夹角公式，其实就像是一把解开向量关系之谜的钥匙。

它能让我们清楚地知道两个向量之间的角度关系。

公式是这样的：设两个向量分别为 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，那么它们的夹角余弦值cosθ = (a·b) / (|a|×|b|) 。

这里的 a·b 就是两个向量的数量积，等于 x1×x2 + y1×y2 ；|a| 和 |b| 分别是向量 a 和 b 的模，|a| =√(x1² + y1²) ，|b| = √(x2² + y2²) 。

咱们拿个具体的例子来说说。

比如说有向量 a = (2, 3)，b = (4, -1)。

先算数量积 a·b = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5 。

再算向量 a 的模|a| = √(2² +3²) = √13 ，向量 b 的模|b| = √(4² + (-1)²) = √17 。

那它们夹角的余弦值cosθ = 5 / (√13×√17) 。

要想知道夹角θ 的大小，还得用反三角函数，θ= arccos(5 / (√13×√17)) 。

话说回来，小明刚开始做这类题的时候，总是把公式记错，不是忘了算模，就是数量积算错。

我就给他布置了好多练习题，让他反复去练。

一开始他还叫苦连天的，可慢慢地，他做得越来越熟练，错误也越来越少。

在实际应用中，平面直角坐标系向量夹角公式用处可大了。