平面向量的模、夹角测试题(人教A版)(含答案)

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (21)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.平面内给定三个向量a⃗=(3,2),b⃗ =(−1,2),c⃗=(4,1)．(Ⅰ)求|3a⃗+b⃗ −2c⃗|；(Ⅱ)求满足a⃗=m b⃗ +n c⃗的实数m和n；(Ⅲ)若(a⃗+k c⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k．2.已知，与的夹角为．(1)求；(2)求为何值时，3.已知向量a⃗=(1,0)，|b⃗ |=√2，a⃗、b⃗ 的夹角为45°，c⃗=a⃗+b⃗ ，d⃗=a⃗−b⃗ ，求c⃗在d⃗方向上的数量投影．4.已知向量a⃗=(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，c⃗=(−1,0)(1)求向量b⃗ +c⃗的长度的最大值;(2)设α=π，且a⃗⊥(b⃗ +c⃗ )，求cosβ的值。

45.如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠DAB =π3．求：(1)|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)cos∠CAB 的大小．7. 已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2000km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°方向飞行2000km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行 1000√2km 到达D 地．画图表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并指出向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向．8. 设两个非零向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 共线．9. 已知平面上一定点O ，不共线的三点A ，B ，C ，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)，λ∈[0,+∞)，求证：P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．10. 已知点A(p,t)、B(q,t +4)、C(0,2)，O 为坐标原点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．11.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/ℎ，此时水的流向是正东，流速为20km/ℎ.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．12.已知向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，|a⃗−b⃗ |=2，求|a⃗+b⃗ |．13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角θ=120°，且|a⃗|=4，|b⃗ |=2，求：(1)a⃗⋅b⃗ ；(2)(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ )；(3)|a⃗+b⃗ |．14. 在△ABC 中，∠B =120°，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量c 0⃗⃗⃗ ．15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，记a ⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)用a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 表示AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB 1⊥BC 1，A 1C ⊥BC 1，求证：AB 1=A 1C .16.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−7,−6)，求与a⃗+b⃗ 同向，且模等于20的向量c⃗．17.已知a⃗=(−6,8)，2a⃗−b⃗ =(2,2)，求b⃗ 和|b⃗ |．18.如图，正方形ABCD，P是对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量法证明：(1)PA=EF；(2)PA⊥EF．19.在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量；(1)写出与A1A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量；(2)写出与A1B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的负向量．(3)写出A1A3⃗⃗⃗⃗⃗ 共20.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，写出与AB线(平行)的向量．21. 设a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量(t ∈R ).(1)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=13(a ⃗ +b ⃗ )，则当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ (2)若|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，则当实数x 为何值时，|a ⃗ −x b⃗ |的值最小？22. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，|a ⃗ −b ⃗ |=√7．求：(1)a ⃗ 与b ⃗ 的夹角；(2)向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的数量投影．23. 在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，F 、G 分别是DB 、EC 的中点，判别下列命题是否正确．(1)DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和FG⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量； (3)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <FG⃗⃗⃗⃗⃗ ．24. 如图，质点O 受到两个力F 1和F 2的作用，已知∠F 1OF 2=135°，|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8 N ，|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2 N ，求这两个力的合力OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小以及∠FOF 1的大小．25. 已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若平面上另一点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，求证：A 、B 、C 三点共线，且C 恰为线段的中点．26.已知a⃗=(3,−1)，b⃗ =(1,−2)，求a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，⟨a⃗,b⃗ ⟩．27.已知平面向量a⃗与b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，且a⃗与b⃗ 的夹角为2π．3(1)求|2a⃗+b⃗ |；(2)若2a⃗+b⃗ 与a⃗+λb⃗ (λ∈R)垂直，求λ的值．28.已知，|b⃗ |=4，a⃗与b⃗ 的夹角为135°.求：；(2)|a⃗+b⃗ |．29.已知|a⃗|=|b⃗ |=3，且向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°.求|a⃗+b⃗ |，|a⃗−b⃗ |．30.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点、终点和模；(1)向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量；(2)与向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量．(3)与向量OA【答案与解析】1.答案：解：(Ⅰ)根据题意，向量a ⃗ =(3,2),b ⃗ =(−1,2),c ⃗ =(4,1)． 则3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ =(0,6)，故|3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |=6； (Ⅱ)若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，即(3,2)=m(−1,2)+n(4,1)， 则有{3=−m +4n 2=2m +n ，解可得{m =59n =89， 故m =59，n =89；(Ⅲ)根据题意，a ⃗ +k c ⃗ =(3+4k,2+k)，2b ⃗ −a ⃗ =(−5,2)，若(a ⃗ +k c ⃗ )⊥(2b ⃗ −a ⃗ )，则(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=(−5)(3+4k)+2(2+k)=0， 解可得k =−116， 故k =−116．解析：本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标和向量模的计算，属于基础题． (Ⅰ)根据题意，求出3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意，由向量的坐标计算公式可得若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，必有{3=−m +4n 2=2m +n ，求出m 、n 的值，即可得答案；(Ⅲ)根据题意，求出a ⃗ +k c ⃗ 与2b ⃗ −a ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=0，求出k 的值，即可得答案．2.答案：解：(1)因为|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=8，a ⃗ 与b ⃗ 夹角是，所以，因此|a ⃗ +b ⃗ |=√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√42+82+2×(−16)=4√3；(2)因为(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ )，所以(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )=k a ⃗ 2−2b ⃗ 2+(2k −1)a ⃗ ⋅b ⃗ =0，整理得16k −128+(2k −1)×(−16)=0， 解得k =−7．即当k =−7值时，(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ )．解析：本题考查了向量的数量积和向量垂直的判断与证明，属于基础题．(1)利用向量的数量积计算得a ⃗ ⋅b ⃗ =−16，再利用|a ⃗ |2=a ⃗ 2计算得结论；(2)利用向量垂直得16k −128+(2k −1)×(−16)=0，计算求解即可．3.答案：解：设b ⃗ =(m,n)，又|b ⃗ |=√2.所以m 2+n 2=2，因为a⃗ 、b ⃗ 的夹角为45°， 所以cos 45∘=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=m √2=√22，联立方程组， 可解得：{m =1,n =1,或{m =1,n =−1.当b ⃗ =(1,1)时，c ⃗ =(2,1)，d ⃗ =(0,−1)， 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗ |d|=−11=−1；当b ⃗ =(1,−1)时，c ⃗ =(2,−1)，d⃗ =(0,1)， 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗|d|=−11=−1， 综上所述：c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为−1解析：本题考查向量的投影以及向量夹角和向量模的计算，首先设b ⃗ =(m,n)，利用已知条件求出m ，n 然后分别求出c ⃗ 和d⃗ ，进而通过向量投影公式求出结果，属于基础题． 4.答案：解：，c ⃗ =(−1,0)，∴b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ)，=√2−2cosβ，当cosβ=−1时，上式取最大值2； (2)由(1)知，b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ)，当α=π4时， a ⃗ =(√22,√22)， 由向量垂直可得a ⃗ ·(b ⃗ +c ⃗ )=0， 故√22(−1+cosβ)+√22sinβ=0， 由三角函数公式化简可得sin(β+π4)=√22，∴β+π4=2kπ+π4，或β+π4=2kπ+3π4，k ∈Z ，故β=2kπ或β=2kπ+π2，k ∈Z ， ∴cosβ=1或0．解析：本题考查平面向量和三角函数的综合，解决问题的关键是熟练掌握先关的结论． (1)由已知可得b ⃗ +c ⃗ 坐标，可得|b ⃗ +c ⃗ |，由三角函数最值可得答案；(2)由(1)可得向量坐标，由垂直可得数量积为0，由等式和三角函数可得sin(β+π4)=√22，可得β=2kπ或β=2kπ+π2，k ∈Z ，求其余弦值可得答案．5.答案：解：设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b →，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →， 而|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a →−b →|=√a →2−2a →·b →+b →2=√1+4−2a →·b →=√5−2a →·b →=2， 所以5−2a →·b →=4，所以a →·b →=12，又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|a →+b →|2=a →2+2a →·b →+b →2=1+4+2a →·b →=6， 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6， 即AC =√6．解析：【试题解析】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，根据条件可以得到BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →，然后由向量数量积求解即可．6.答案：解：(1)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB =2，AD =4， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4， ∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4−2×4=12， ∴|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3． (2)由|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4+2×2×4×cos60°=28， 故|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7， 在△ABC 中，AB =2，AC =2√7，BC =4， 根据余弦定理得出：cos∠CAB =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=2×2×2√7=2√77．解析：本题综合考察了平面向量的运算，几何意义，三角形中的定理，考察了学生的计算能力，运用图形的能力．(1)根据向量的加法几何意义得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，再求解|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即可得出|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (2)在△ABC 中，AB =2，AC =2√7，BC =4，运用余弦定理求解即可．7.答案：解：以A 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系．据题设，B 点在第一象限，C 点在x 轴正半轴上，D 点在第四象限，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图所示，由已知可得△ABC 为正三角形，所以AC =2000km ．又∠ACD =45°，CD =1000√2 km ，所以△ADC 为等腰直角三角形， 所以AD =1000√2 km ，∠CAD =45°． 故向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2 km ，方向为东南方向．解析：本题主要考查平面向量问题有生产生活中的实际应用，是中档题，解题认真审题，注意向量加法法则和数学结合思想的合理运用，是高考中常见的题型．8.答案：(1)证明：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a ⃗ −b ⃗ ).∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ +3(a ⃗ −b ⃗ ) =2a ⃗ +8b ⃗ +3a ⃗ −3b ⃗=5(a ⃗ +b ⃗ )=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解：∵k a ⃗ −b ⃗ 和a ⃗ −k b ⃗ 共线， ∴存在实数λ，使k a ⃗ −b ⃗ =λ(a ⃗ −k b ⃗ )， 即k a ⃗ −b ⃗ =λa ⃗ −λk b ⃗ ， ∴(k −λ)a ⃗ =(1−λk)b ⃗ . ∵a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的两个非零向量， ∴k −λ=1−λk =0， ∴k 2−1=0，∴k =±1．解析：略9.答案：证明：如图所示，因为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |均为单位向量，且两向量方向分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向． 记AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由向量加法的几何意义知AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |对应一个平行四边形AMQN 的对角线AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又因为|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1， 所以▱AMQN 是菱形． 所以AQ 在∠BAC 的平分线上．因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以点P 在∠BAC 的平分线上，即P 的轨迹必过△ABC 的内心．解析：本题考查平面向量的加减运算和向量运算的平行四边形法则，先根据AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的单位向量，判断AQ 在∠BAC 的平分线上，确定OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，据此可判断． 10.答案：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(q −p,4)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴2(q −p)=0，即p =q ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(p,t)⋅(p,t +4)=p 2+t 2+4t =5．∴|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=p2+t2=5−4t，∵p2+t2+4t=5，∴p2=5−t2−4t≥0，解得−5≤t≤1，1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤25，∴1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5．|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围：[1,5]．解析：通过向量平行，推出p=q，利用向量的数量积，求解p，t的关系式，通过p2=5−t2−4t≥0求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．11.答案：解：建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ)，水流的方向为正东，速度为|v2⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ)，设帆船行驶的速度为v⃗，则v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ ．由题意，可得向量，向量v2⃗⃗⃗⃗ =(20,0)，则帆船的行驶速度v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ =(10,10√3)+(20,0)=(30,10√3)，所以．因为tanα=10√330=√33(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α=30°．所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20√3km/h．解析：本题考查了向量的物理运用、向量的模和平面向量的坐标运算，建立如图所示的直角坐标系，设帆船行驶的速度为v ⃗ ，则v ⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ +v 2⃗⃗⃗⃗ .由向量坐标运算得出v⃗ ，再求模即可． 12.答案：解：|a ⃗ −b ⃗ |2=(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ·b ⃗ =4+1−2a ⃗ ·b ⃗ =4， 故a ⃗ ·b ⃗ =12，|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√4+1+2×12=√6．解析：此题考查向量的模，属于基础题．将|a ⃗ −b ⃗ |=2完全平方求得a ⃗ ·b ⃗ ，进而再对|a ⃗ +b ⃗ |平方求解即可．13.答案：解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=4×2×cos120°=−4．(2)(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=16+4−8=12． (3)|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√12=2√3．解析：本题考查了平面向量的数量积运算，以及向量的模，属于基础题． (1)利用数量积的定义进行计算； (2)利用数量积的运算法则展开计算； (3)先计算(a ⃗ +b ⃗ )2，再开方即可．14.答案：解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1919(a ⃗ +b⃗ )．解析：此题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量，三角形法则以及向量的坐标运算． 由在直角三角形ABC 中，∠B =120°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，直接利用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ ▱AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a⃗ +b ⃗ |a ⃗ +b⃗ |求解即可求得答案． 15.答案：(1)解：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ， ∴a ⃗ ·c ⃗ =0，a ⃗ ·b ⃗ =0， ∵AB 1⊥BC 1，∴(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+a ⃗ ·c ⃗ +b ⃗ ·c ⃗ =|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+b ⃗ ·c ⃗ =0，∵A 1C ⊥BC 1，∴(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|c ⃗ |2−|a ⃗ |2−b ⃗ ·c ⃗ =0， ∴|b ⃗ |2=|c ⃗ |2，∴|b ⃗ |=|c ⃗ |，即AB 1=A 1C .解析：本题考查向量线性运算、向量数量积、向量的模，属于基础题． (1)由向量加减法可得BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)由题意得(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，且(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，化简得 |b ⃗ |2=|c ⃗ |2，即可得AB 1=A 1C .16.答案：解：∵向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(−7,−6)，∴a ⃗ +b ⃗ =(−6,−8)，与之同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45)， 故：c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ =(−12,−16)．解析：本题主要考查了向量的模以及向量同向共线的概念，平面向量的坐标运算，属于基础题． 先求出与a ⃗ +b ⃗ 同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45)，再由c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ 可得结论．17.答案：解：由题意可得：b ⃗ =2a ⃗ −(2,2)=2(−6,8)−(2,2)=(−12,16)−(2,2)=(−14,14)， 那么|b ⃗ |=√(−14)2+142=14√2，综上所述，结论为：b ⃗ =(−14,14)，|b ⃗ |=14√2．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量的模，属于基础题． 直接利用平面向量的坐标运算可的结论．18.答案：证明：(1)建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，设| DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ，则A(0,1)， P(√22λ, √22λ),E(1, √22λ),F(√22λ,0)， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22λ,1− √22λ), EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( √22λ−1,− √22λ)， | PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(−√22λ)2+(1−√22λ)2=λ2− √2λ+1 ， | EF |2=( √22λ−1)2+(− √22λ)2=λ2− √2λ+1，∴| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故PA =EF ； (2)由(1)可得： PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(− √22λ)( √22λ−1)+(1− √22 λ)(− √22λ)=0， ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⊥EF ．解析：略19.答案：解：(1)A 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)A 1C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 3A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3)A 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析：本题考查向量相等、平行、相反的概念，属于基础题， (1)根据向量相等的概念求解即可； (2)根据向量平行的概念求解即可； (3)根据向量相反的概念求解即可．20.答案：解：∵点D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的中点，∴AB//EF ，AC//DE ，BC//DF ，∴与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量有BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 。

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（ ）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（ ） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（ ） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（ ）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（ ）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（ ） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-， （1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明： （1）BE CF ⊥； （2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D 【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、 13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b .14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒. 在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===.在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒.在ABE △中，由余弦定理得22216312cos3025253323BE AB AE AB AE︒=+-=+-⨯⨯=，故BE ∴船速的大小为/h)3BEt==.四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b .又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ，221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜，4sin 5B ∴=.由正弦定理得sin sin a bA B=， 42sin 25sin 45a B A b⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==，142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C=-， sin02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =.（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sincos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(42214c a b abab ⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，9cos AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin ADα=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）.∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F . （1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫⎪⎝⎭.222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112xπ=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2xπ=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)g gg g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是 ．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32， 所以 B =60∘ 或 B =120∘． 当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2， 故 a =4 或 a =2． 【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0， 所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ， 则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2， 所以 DN =AM =AB +BM =2+√2， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘， 所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ， 所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ， 即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆． 当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得， 所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ， 又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32， 又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ， 所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4， 又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20， 即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4． 【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ， 故有 tanB =sinBcosB =√3． 即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3． 【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③． 理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12， 所以 0<C <π6． 又因为 A =π3， 所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾， 所以 △ABC 不能同时满足 ①，④， 所以 △ABC 同时满足 ②，③． 因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④， 则 A <C <π6，则 B >π2， 这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7． 当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合， 所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3． 【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则 当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0， 当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0， 所以必要性得证． 反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0， 当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时， 不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线， 当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线， 充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减， 消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时， 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣， 所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ， 因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45， 因为 x ∈(−π3,π6)， 所以 x +π3∈(0,π2)， 所以 cos (x +π3)=35， 所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)， 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0， 即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0， 所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2， 所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。

必修 4 第二章平面向量教学质量检测一.选择题（ 5 分× 12=60 分） :1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．（AB＋CD）＋BC；B ．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM； D ．OC－OA＋CD；3．已知a =（ 3， 4），b =（ 5， 12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为60°,那么 |a+ 3b| =（）A ．7B．10C．13D． 45．已知 ABCDEF 是正六边形，且AB ＝ a ， AE ＝ b ，则BC＝（）（ A ）12( a b) （B）12(b a ) （C） a ＋12b（D）12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5 a－ 3 b , 则下列关系式中正确的是（）（A）AD＝BC（B）AD＝2BC（C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋ k e2共线，则 k 的值是（）（ A） 1（B）－1（C）1（D）任意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝ 0，则四边形ABCD是（）（ A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知 M （－ 2， 7）、 N（ 10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN ＝－2PM，则P点的坐标为（）（ A ）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知a＝（ 1，2），b＝（－ 2，3），且 k a + b与a－ k b垂直，则k＝（）（A）12（B） 21（C） 2 3（D） 32r r(2 x 3, x) 互相平行，其中r r）11、若平面向量a(1, x) 和 b x R .则a b （A.2或0；B.25；C.2或2 5；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 0 a0 ② a b b a ③a2 a 2④(a b )c a (b c)⑤a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二. 填空题 (5 分× 5=25 分 ):13．若AB(3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a(3, 4), b (2,3) ，则 2 | a | 3a b．15、已知向量 a 3, b (1,2) ，且a b ，则a的坐标是_________________。

平面向量的夹角、模(人教A版)一、单选题(共15道，每道6分)1.已知正方形的边长为1，，，，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的模2.已知向量，，若，则等于( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行向量与共线向量3.在△ABC中，如果且，则下列结论一定正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的模4.已知向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的模5.若向量满足，则的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的模6.已知，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的模7.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算8.已知，是两夹角为120°的单位向量，，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算9.已知向量的夹角为，且，则( )A.4B.3C.2D.1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算10.若，则的夹角是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算11.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算12.已知是非零向量，且满足，，则向量与的夹角是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算13.若，且，则向量与的夹角是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算14.若向量满足，且，则向量与的夹角是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算15.已知向量与的夹角为120°，，且，则( )A.6B.7C.8D.9答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算。

高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 单元试卷一、单选题(共14题；共55分)1．（3分）已知Rt △ABC ，AB=3，BC=4，CA=5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的最大值是（ ） A ．54B ．43C ．√176D ．532．（4分）已知向量 a ⇀ ， b ⇀ 的夹角为 60° ， |a ⇀|=1 且 c ⇀=−2a ⇀+tb ⇀(t ∈R) ，则 |c ⇀|+|c ⇀−a ⇀|的最小值为（ ） A ．√13B ．√19C ．5D ．9√1343．（4分）下列说法中：⑴若向量a →∥b →，则存在实数λ，使得a →=λb →；⑵非零向量a →，b →，c →，d →，若满足d →=(a →·c →)b →−(a →·b →)c →，则a →⊥d →⑶与向量a →=(1，2)，b →=(2，1)夹角相等的单位向量c →=(√22，√22)⑷已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA →−tBC →|≥|AC →|，则△ABC 一定为锐角三角形。

其中正确说法的序号是( ) A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)4．（4分）如图，在 ΔABC 中，点 M ， N 分别为 CA ， CB 的中点，若 AB =√5 ， CB =1 ，且满足 3AG⇀⋅MB ⇀=CA ⇀2+CB ⇀2 ，则 AG ⇀⋅AC ⇀ 等于（ ）A ．2B ．√5C ．23D ．835．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y)是函数y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈(0，1)．已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN |→≤k 恒成立，则称函数y =f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[32+√2，+∞)D ．[32−√2，+∞)6．（4分）已知集合M ={1，2，3}，N ={1，2，3，4}，定义函数f ：M →N ． 若点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →+DC →=λDB →(λ∈R ) ，则满足条件的函数f (x )有（ ） A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个7．（4分）点P 是△ABC 内一点且满足4PA →+3PB →+2PC →=0→，则△PBC,△PAC,△PAB 的面积比为（ ） A ．4:3:2B ．2:3:4C ．1:1:1D ．3:4:68．（4分）已知向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足 |OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ，μ∈R) ，若M 为AB 的中点，并且 |MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ，则λ+μ的最大值是（ ） A ．1−√3B ．1+√2C ．√5D ．1+√39．（4分）在 ΔABC 中， ∠C =900，|AB|=6 ，点 P 满足 |CP|=2 ，则 PA⇀⋅PB ⇀ 的最大值为（ ） A ．9B ．16C ．18D ．2510．（4分）点M 是 △ABC 的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 x +y =13 ，则 △NBC 的面积与 △ABC 的面积的比值是 ( )A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，在半径为2的扇形 AOB 中， ∠AOB =3π4， P 是弧 AB 上的一个三等分点， M,N 分别是线段 OA ， OB 上的动点，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．4√212．（4分）在 ΔABC 中， E ， F 分别为 AB ， AC 的中点， P 为 EF 上的任一点，实数x ， y 满足 PA ⇀+xPB ⇀+yPC ⇀=0⃗ ，设 ΔABC 、 ΔPBC 、 ΔPCA 、 ΔPAB 的面积分别为 S 、 S 1 、 S 2 、 S 3 ，记 Si S=λi （ i =1,2,3 ），则 λ2⋅λ3 取到最大值时， 2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．−32D ．3213．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图象上两点A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，M(x ，y)是y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，3]上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为( )A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[43−23√3，+∞)D ．[43+23√3，+∞)14．（4分）在中，已知,则为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形二、填空题(共11题；共43分)15．（4分）已知非零平面向量 a ⃗ ,b ⃗ 不共线，且满足 a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ 2=4 ，记 c ⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ，当 b ⃗ ,c ⃗ 的夹角取得最大值时， |a −b⃗ | 的值为 ． 16．（4分）已知O 是锐角△MBC 的外接圆圆心，A 是最大角，若cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 的取值范围为 。

必修4 第二章 向量(一)一、选择题:1.下列各量中不是向量的是 （ ）A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等D ．与相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3=，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒9.下列命题中，不正确的是( )A ．a =2aB ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb )C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅cD ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b10．下列命题正确的个数是( ) ①=+0 ②0=⋅0③=-④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为( )A ．（34，-35） B ．（-34，35） C ．（4，-5）D ．（-4，5） 12．已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于( )A ．34±B ．43±C ．53±D ．54±二、填空题13．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 14．若3=OA 1e ，3=OB 2e ，且P 、Q 是AB 的两个三等分点，则=OP ，=OQ . 15．若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）共线且方向相反，则x= . 16．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则a = .三、解答题17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线20．i、j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j，CB=i+λj, CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.必修4 第二章 向量(一)必修4第三章向量(一)参考答案 一、选择题1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6. A 7. D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．3 14．12e 2e +122e e + 15．4- 16．4三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t ∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD , 即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.第二章平面向量（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C. 4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且∴， ∴.选C.5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e 【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 【答案】A 【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABACλ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 23C. 7D. 4 【答案】C8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】D 【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D.10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A.322 B. 2 C. 322- D. 3152- 【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =，2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83- 【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=-. 14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a a b -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点 O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______【答案】2133a b +【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF ＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥；【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以2,64,22cos ,240204020a b a b -⋅-+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解λ=-.得：119．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】(1) ;(2) 与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。

平面向量综合检测、分析及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 平面向量a与b的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b| ＝1，则 | a＋2b| ＝ ()A. 3B．2 3C．4D．12分析： | a＋2b| ＝( a＋2b) 2＝4＋4＋4＝2 3.答案： B2. 已知 |a| ＝1，|b| ＝6，a·(b －a) ＝2，则向量 a 与 b 的夹角是 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2分析：由 a·(b－a)＝2得 a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，1b>＝2，又<a，b>∈[0，π]，π∴<a，b>＝3.答案： C3.一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位：牛顿 ) 的作用而处于均衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为()A．2 7B．2 5C．2D．6分析：由题意得 F1＋F2＋F3＝0.答案： A4.(2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为b，向量 m＝ (a ，b) ，n＝(1,2) ，则向量 m与向量 n 不共线的概率为 ()15A. 12B. 12711C.12D. 12分析： m 与 n 共线的情况共有三种： m ＝(1,2) ，m ＝(2,4) ，m ＝(3,6) ，3 11故 m 与 n 不共线的概率 P ＝1－36＝12.答案： D5. 已知向量 a ＝(λ2＋6和 j ＝(0,1) ，若 a ·j ＝－ 3，3 ，λ) ，i ＝(1,0)且向量 a 与 i 的夹角为 θ，则 cos θ 的值为 ()3 3A ．－ 2 B. 2 1 1 C ．－2 D. 2答案： Buuur uuur uuur uuur)6．四边形 ABCD 中，AB · BC ＝0，且 AB ＝ DC，则四边形 ABCD 是( A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 uuuruuuruuur分析：由AB ＝可知为平行四边形，由 AB ·BC ＝0 知∠＝DCABCDABC90°，故 ABCD 为矩形．答案： B7．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－ (b －2a) 共线，则λ＝ ( )1A ．0B ．－ 21C ．－ 2D.2分析：由题意得 a ＋λb ＝－ k ( b －2a ) ∴2k ＝1,，＝－ k1∴λ＝－ 2. 答案： B8. 设向量 a ，b 知足： |a| ＝3，|b| ＝4，a ·b ＝0，以 a ，b ，a －b 的模为第2页共 8页分析：三角形的内切圆半径为 1，将圆平移，最多有 4 个公共点． 答案： B9．设 a ，b ，c 是非零向量，以下命题中正确的选项是 ( )A ．( a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c )B ．| a －b | 2＝| a | 2－2| a || b | ＋| b | 2C ．若 | a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°D ．若 | a | ＝| b | ＝| a －b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°分析：A 、B 明显不正确． 由平行四边形法例可知， 若| a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，可知 <a ，b >＝120°，故 C 不正确．答案为 D.答案： D10. 设 a 、b 、c 是单位向量，且 a ·b ＝0，则 (a －c) ·(b －c) 的最小值为()A ．－ 2B. 2－2C ．－ 1D ．1－ 2分析：( a －c ) ·(b －c ) ＝a ·b －b ·c ＋c 2－a ·c ＝1－( a ＋b ) · c ，又 a ·b＝0，| a | ＝| b | ＝1，∴|a ＋b | ＝ 2.设 a ＋b 与 c 的夹角为 θ，则上式＝ 1－2cos θ当 cos θ＝1 时( a －c ) ·(b －c ) 获得最小值 1－ 2. 答案： Duuur uuuruuur11．点 O 在△ABC 内部且知足 OA ＋2 OB ＋2 OC＝0，则 △ABC 的面积与△OBC 的面积之比为 ( )5A.4 B ．3 C ．4 D ．5uuuruuuruuur1 uuuruuur1 uuur分析：由 OA ＋2 OB ＋2OC ＝0，∴2( OB ＋ OC ) ＝4AO ，∴△ABC△OBC底边 BC 的高之比为 5 1，∴ S △ABC S △OBC ＝5 1.答案： D12．在直角 △ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则以下等式不建立的是( )uuur2uuuruuurA ．| AC | ＝AC· AB uuur2uuuruuurB ．|BC | ＝BA · BCuuur 2uuuruuurC ．| AB | ＝AC · CDuuurD ．| CD |uuur uuuruuur uuur2 （ACgAB ）（BA gBC ） ＝uuur 2ABuuur uuur uuur分析：∵AB ·AC ＝| ACuuur uuur uuur uuur（AC gAB ）（BA gBC ）同理：uuur 2AB| 2 uuuruuur 2，故 B 建立．故 A 建立，又 BA ·BC ] ＝| BC |uuur uuurACBA＝uuur 2ABuuuruuur uuuruuur又| AC |·|BC | ＝| AB || CD |uuuruuuruuuruuur uuuruuur 2ACACuuur 2∴|CD |2 ＝uuur2，故 D 也正确．，又AC ·CD ＝| CD≠|| ，故AB AB选 C.答案： Cm13．设两个向量 a ＝( λ＋2，λ2－cos2α) 和 b ＝(m ，2＋sin α) ，此中λλ， m ，α 为实数，若 a ＝2b ，则 m 的取值范围是 ()A ．[ －6,1]B ．[4,8]C ．[ －1,1]D ．[ －1,6]＋ ＝①,分析：由 a ＝2b 知2 2m,2－2＝ ＋ ②)cos m 2sin , ＝2m －2,∴2－m ＝ cos 2 ＋2sin又 cos 2α＋2sin α＝－ (sin α－1) 2＋2∴－ 2≤cos 2 α＋2sin α≤2，即－ 2≤ λ2－m ≤2，由 λ＝2m －22 1 －2≤(2 m －2) －m ≤2，得 4≤m ≤2λ 2m －22∴＝＝2－ ∈[ －6,1] ． mm m答案： A二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．uuur uuur uuur uuuruuuur14．在? ABCD 中， AB ＝a ，AD ＝b ，AN＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则 MNuuur uuur分析：由 AN ＝3 NC 得 4 AN ＝3 AC ＝3( a ＋b ) ．uuuur1AM ＝a ＋2b ，uuuur 3111∴ MN ＝4( a ＋b ) －( a ＋2b ) ＝－ 4a ＋4b .1 1答案：－ 4a ＋4b711715．向量 c 与 a ＝( 2，2) ，b ＝( 2，－ 2) 的夹角相等，且 |c| ＝1，则 c ＝________.x2＋ 2＝分析：设 c ＝( x ，y ) ，由题意得：y 1,得 ＝bgcagcx= 4 , x=-455 ,y= 3 y=- 355434 3答案： ( 5，－ 5) 或( －5，5)16．已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB 、AC 两边分别交于 M 、Nuuuur uuur uuur uuur 1 1两点，且 AM ＝xAB ， AN ＝ y AC ，则 ＋ ＝________.xyuuur1 uuuruuur1 1 uuuur1 uuur1分析： AG ＝3( AB ＋ AC ) ＝3( x AM ＋y AC ) ，∵M 、N 、G 三点共线， ∴3x11 1＋3y ＝1，即 x ＋y ＝3.答案： 317. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， ∠xOy ＝60°，平面上任一点 P 在斜uuur OPuuur轴方向同样的单位向量 ) ，则点 P 的斜坐标为 (x ，y) ．若点 P 知足 |OP| ＝1，则点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________．uuuruuur22122又| OP | ＝1，∴ x ＋y ＋2xy ×2＝1，即 x ＋y ＋xy ＝1. 答案： x2＋y2＋xy ＝1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．uuur uuur uuur uuur uuur18．(10 分) 在△ ABC 中， AB · AC ＝ | AB － AC | ＝2，求|AB|2 ＋| AC|2. 解：由题意可知uuur uuuruuurABgAC 2uuur 2 uuur2＝8.2 uuur uuur uuur 得| AB | ＋| AC| AB2 ABgAC AC 4uuuruuuruuuruuur uuur19．(12 分) 如图 |OA| ＝|OB|＝1，| OC|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥ OC.uuuruuuruuur设 OC ＝x OA ＋y OB，求 x 、y 的值．uuur uuur uuur解： ∵ OC ＝x OA ＋y OB uuur 2uuur uuur uuur uuur①∴ OB · OC ＝x OA · OB＋y OBuuur 2uuur uuur uuuruuurOC ＝x OA· OC ＋y OB · OC ②将①②联立得12x ＋y ＝0332×( － 2 ) x ＝3 得 x ＝－2,y ＝1π20．(12 分 ) 已知 a ，b 知足 |a| ＝3，|b| ＝ 1，a 与 b 的夹角为 3 ，求 2a＋3b 与 a －b 的夹角的余弦值．1 3解： ∵a ·b ＝| a || b |cos< a ，b >＝3×1× 2＝2又(2 a ＋3b ) 2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝36＋9＋18＝63， ∴|2 a ＋3b | ＝3 7.同理可得 | a －b | ＝ 7 ∵ (2 a ＋3b ) ·(a －b ) ＝2a 2＋a ·b －3b 23 33 ＝18＋2－3＝ 2＋ · －333b )211(2 a( a b ) ＝∴cos 〈 (2 a ＋3b ) ，( a －b ) 〉＝a －b | ＝ .|2 a ＋3b ||37·7 1421．(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，设 m ＝(a ，b) ，n ＝(sinB ，sinA) ，p ＝(b －2，a －2)(1) 若 m ∥n ，求证 △ABC 为等腰三角形；π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，∠C ＝ 3 ，求 △ABC 的面积． 解： (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ a sin A ＝b sin B .由正弦定理得 a 2＝b 2，a ＝b ，∴△ ABC 为等腰三角形． (2) ∵m ⊥p ，∴ m ·p ＝0. 即 a ( b －2) ＋b ( a －2) ＝0 ∴a ＋b ＝ab由余弦定理得 4＝a 2＋b 2－ab ＝( a ＋b ) 2－3ab 即( ab )2－3ab －4＝0，∴ ab ＝4 或 ab ＝－ 1( 舍)11 π∴S △ABC ＝2ab sin C ＝2×4×sin 3 ＝ 3.uuur uuuruuur22．(12 分) 已知 OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝ (6 ，－ 3) ， OC＝(5 －m ，－ 3－m)．(1) 若点 A 、B 、C 不可以组成三角形，务实数 m 知足的条件；(2) 若△ABC 为直角三角形，务实数 m 的值．解： (1) uuur uuur∵ OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝(6 ，－ 3)uuurOC ＝(5 －m ，－3－m ) ．若 A 、B 、C 三点不可以组成三角形， 则这三点共线，uuur∵ AB ＝(3,1)uuur1AC ＝(2 －m,1－m ) ，∴ 3(1 － m ) ＝2－m ，得 m ＝2(2) ∵△ ABC 为直角三角形．uuuruuur7若∠ A ＝90°，则 AB · AC ＝0，∴ 3(2 － m ) ＋(1 －m ) ＝0，得 m ＝4.uuuruuuruuur若∠ B ＝90°，则 AB · BC ＝0，又 BC ＝( －1－m ，－ m )3∴ 3( －1－m ) ＋( －m ) ＝0 得 m ＝－ 4.uuur uuur若∠ C ＝90°，则 BC ⊥ AC .1± 5∴(2 －m ) ·( － 1－m ) ＋(1 －m ) ·( －m ) ＝0，得 m ＝2731±5综上得 m＝4或 m＝－4或 m＝223．(12 分) 已知 a＝(1,2) ，b＝( －2,1) ，k、t 为正实数， x＝a＋(t2 ＋1 11)b ，y＝－k a＋t b(1)若 x⊥y，求 k 的最大值；(2)能否存在 k、t ，使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围，若不存在，说明原因．解： x＝a＋( t 2＋1) b＝(1,2)＋( t 2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)1111y＝－k a＋t b＝－k(1,2)＋t(－2,1)1 2 2 1＝( －k－t，－k＋t )2 1 22 2 1(1) 若x⊥y，则x·y＝ 0，即：( －2t－1) ·( －k－t ) ＋( t＋3)( －k＋t )＝0t111整理得：k＝t2＋1＝1≤2(当且仅当t＝t即t＝1时“＝”建立)故k maxt＋t1＝2.(2)假定存在正实数 k、t ，使 x∥y，则221212( －2t－1)(－k＋t ) －( t＋3)( －k－t ) ＝0t 2＋113整理得k＋t＝0，即t＋t ＋k＝0∵k、t 为正实数，故知足上式的k、t 不存在．即不存在这样的正实数k、t 使 x∥y.。

平面向量夹角与垂直测试题1. 已知平面向量a=3a−4a和a=−2a+a，求向量a和向量a的夹角。

解析：要计算向量的夹角，可以使用向量的点积公式。

设向量a和向量a的夹角为a，则有：cos a = a·a / (‖a‖‖a‖)其中，a·a表示向量a与向量a的点积，‖a‖和‖a‖分别表示向量a和向量a的模长。

首先计算向量a和向量a的点积：a·a= (3)(−2) + (−4)(1) = −6 − 4 = −10接下来计算向量a和向量a的模长：‖a‖ = √((3)^2 + (−4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5‖a‖ = √((−2)^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √5将点积和模长代入公式求解夹角a：cos a= −10 / (5√5)a = arccos(−10 / (5√5))最后，可以使用计算器得到：a≈ 153.43°所以，向量a和向量a的夹角为约153.43°。

2. 已知平面向量a=−2a+3a和向量a=4a−6a，判断向量a和向量a是否垂直。

解析：要判断两个向量是否垂直，可以利用向量的点积公式。

如果两个向量的点积为0，则它们垂直；否则，它们不垂直。

计算向量a和向量a的点积：a·a= (−2)(4) + (3)(−6) = −8 − 18 = −26由于a·a不等于0，所以向量a和向量a不垂直。

综上所述，根据计算结果，向量a和向量a不垂直。

3. 已知平面向量a=2a+3a和向量a=−3a+2a，求向量a与向量a的夹角。

解析：同样使用向量的点积公式来计算向量的夹角。

首先计算向量a和向量a的点积：a·a= (2)(−3) + (3)(2) = −6 + 6 = 0由于a·a等于0，所以向量a和向量a是垂直的。

在二维平面上，如果两个向量互相垂直，它们的夹角为90°或270°。

平面向量及其应用（向量篇）典型例题实战（练透核心考点）练透核心考点一：平面向量的概念1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（ ）A．B．C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，且，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形3．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A ．且B．C．D．4．（2023·全国·高三专题练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．（2023春·河北·高二统考学业考试）下列说法中正确的是（ ）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．零向量与其它向量都共线练透核心考点二：平面向量的线性运算角度1：向量的加法与减法运算1．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）．A．B．C．D．2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.A．内心B．外心C．重心D．垂心3．（2023·高一课时练习）在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，用、的线性组合表示为（ ）A．B．C．D．4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）在 中，点 满足 ，则（ ）A．点 不在直线 上B．点 在 的延长线上C．点 在线段 上D．点 在 的延长线上5．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则P点（ ）A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且6．（2023·高一课时练习）如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.角度2：平面向量的数乘运算1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（ ）A．B．C．D．3．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则等于（ ）A．B．C．D．4．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在中，，设点P，Q满足.若，则（ ）A．B．C．D．5．（2023·高三课时练习）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）A．外心B．内心C．重心D．垂心高频考点三：平面向量基本定理1．（2023·福建漳州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）A．B．C．D．3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知是内部（不含边界）一点，若，，则__________.4．（2023秋·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则______，若是线段的中点，且，则______.练透核心考点四：平面向量数量积运算角度1：用定义求向量的数量积一、单选题1．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（ ）A．4B．C．D．32．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（ ）A ．0B．C．1D．3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）A．B．C．D．14．（2023·全国·高三专题练习）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.5．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D ，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．角度2：已知数量积求模1．（2023秋·云南·高二统考期末）设，夹角为，则等于（ ）A．37B．13C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）A．B．C．D．3．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知为单位向量，且，则__________. 4．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.5．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知向量，若与垂直，则___________.角度3：已知模求参数1．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（ ）A．B．C．D．2．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知向量，若，则（ ）A．B．C．D．3．（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则_______ _．4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，，，则的取值范围是________.5．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量，，若，，则______.角度4：向量模的最值问题1．（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.2．（2022·高一单元测试）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______．3．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为__．4．（2022秋·江苏宿迁·高三泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知向量满足：，，．(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．5．（2022·全国·高一专题练习）已知两个不共线的向量的夹角为，且．(1)若，求的值；(2)若为定值，点M在直线上移动，的最小值为，求的值．角度5：求向量的夹角1．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，若与的夹角为，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·高一课时练习）设向量，，若与的夹角大于，则实数的取值范围为____________.3．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知平面向量，，其中，．(1)求与的夹角；(2)若与共线，求实数的值．4．（2023·高一课时练习）平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．5．（2022秋·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考阶段练习）已知向量，.(1)若，求实数m的值；(2)若非零向量满足，求与的夹角.角度6：向量数量积的最值问题1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是（ ）A．2B．3C．4D．52．（2023·高一课时练习）如图，正六边形的边长为，记，从点､､､､､这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为______.3．（2023·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________.4．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）已知中，，，的对边，，成等比数列，，延长至点，使.求：(1)的大小；(2)的取值范围.5．（2023·高三课时练习）已知P是边长为2的正六边形内的一点，求的取值范围．角度7：向量的投影（向量）1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）A．B．3C．D．12．（2023·全国·高三专题练习）已知，则在上的投影向量是（ ）A．B．C．D．3．（2023·上海黄浦·统考一模）已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为______.4．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.5．（2023秋·浙江·高三期末）已知向量，则在方向上的投影向量是______________．练透核心考点五：平面向量的共线（平行）问题1．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知空间向量，若，则（ ）A．B．C．D．2．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）如图，已知平行四边形中，点为的中点，，，若，则（ ）A．2B．1C．-1D．-23．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．(1)求；(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．4．（2023·高一课时练习）已知，，，且与平行，求m的值．5．（2023·全国·高一专题练习）平面内给定三个向量，，．(1)若，求实数；(2)若满足，且，求的坐标．高频考点六：已知向量成锐角（钝角）求参数1．（2022春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知向量，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求实数k的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．3．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．4．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知，，(1)求在方向上的投影．(2)求．(3)若，求k的值．(4)若与的夹角为锐角，求的范围．练透核心考点七：平面向量的垂直问题1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知向量，，若，则实数__________．2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知向量，，若，则___________. 3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知向量，，若，则t的值为______．4．（2023·高一单元测试）已知向量，，．(1)当k为何值时，与平行；(2)若向量满足，且，求．5．（2022春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）已知向量，．(1)求；(2)若向量与互相垂直，求的值．练透核心考点八：三点共线的等价关系1．（2023·全国·高三专题练习）在中，点D满足，E为上一点，且，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）在中，是边上一点.若，则的值为（ ）A．B．C．D．3．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为A．B．C．D．4．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（ ）A．B．C．D．5．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（ ）A．B．C．6D．8练透核心考点九：向量在物理中的应用举例1．（2023·高一课时练习）已知一物体在两力、的作用下，发生位移，则所做的功是________．2．（2023·高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、的合力对该质点所做的功为______．3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．4．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.5．（2023·全国·高三专题练习）平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：(1)的大小；(2)与夹角的大小．练透核心考点十：向量新定义题1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（ ）A．B．C．D．2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）图1 图2A．若，则B．若，则C ．D．3．（多选）（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（ ）A．B．，则C．在方向上的投影向量为D．的最小值是-34．（多选）（2022·全国·高三专题练习）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）A．与能构成一组基底B．C．D．5．（2023·全国·高三专题练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．答案解析练透核心考点一：平面向量的概念1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误；对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确；对于③，当时，可以为任意实数，③错误；对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，且，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形【答案】D【详解】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A ．且B．C．D．【答案】D【详解】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，所以是成立的充分条件，故选项D正确；故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【详解】中，因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.故选：B5．（2023春·河北·高二统考学业考试）下列说法中正确的是（ ）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．零向量与其它向量都共线【答案】D【详解】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.故选：D.练透核心考点二：平面向量的线性运算角度1：向量的加法与减法运算1．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）．A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意可知，，故选：A2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【详解】因为，且D为中点，，则，又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线，所以平分，即直线经过的内心故选:A3．（2023·高一课时练习）在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，用、的线性组合表示为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知得，.故选：B4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）在 中，点 满足 ，则（ ）A．点 不在直线 上B．点 在 的延长线上C．点 在线段 上D．点 在 的延长线上【答案】B【详解】因为，得，所以，所以三点共线，且点 在 的延长线上，故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则P点（ ）A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且【答案】B【详解】由题设，，则，所以共线且在延长线上，.故选：B6．（2023·高一课时练习）如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.【答案】相等， 证明见解析【详解】证明：由向量加法三角形法则知：，所以，因为，所以，所以角度2：平面向量的数乘运算1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选：C．2．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意可得：.故选：A.3．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则等于（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】如图，因为，所以,又因为，所以，所以，又因为,所以且所以相似于相似比为，所以,,所以，故选:B.4．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在中，，设点P，Q满足.若，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】设，则，，，，由，得，即.故选：.5．（2023·高三课时练习）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【详解】，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B高频考点三：平面向量基本定理1．（2023·福建漳州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】，，故.故选：C2．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：如图，因为点为的中点，，所以，，，所以，即，解得所以，的值为.故选：B3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知是内部（不含边界）一点，若，，则__________.【答案】【详解】如图，连结并延长交于点，设点到的距离为，点到的距离为，因为，所以设,设，，所以，所以，即，，所以.故答案为：4．（2023秋·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则______，若是线段的中点，且，则______.【答案】【详解】由，，所以，所以；由是的中点，所以,所以又，所以，化简可得，又，所以，所以故答案为:练透核心考点四：平面向量数量积运算角度1：用定义求向量的数量积一、单选题1．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（ ）A．4B．C．D．3【答案】B【详解】如下图所示：在平行四边形中，因为，所以，因此.又，所以，故.故选：B2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（ ）A ．0B．C．1D．【答案】C【详解】由知是边中点，因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，且，因为，所以△为等边三角形，所以，，所以，故选：C.3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）A．B．C．D．1【答案】A【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：因为，根据上图可知故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.【答案】【详解】如图，作，垂足为，作于，于，则，当是锐角时，，此时，当是钝角时，，此时，取最小值，当是直角时，，综上，的取值范围是．故答案为：．5．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D ，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．【答案】【详解】如图，取线段EF的中点P，连DP，则有，，在正中，当点E与B重合时，， ，则，此时，即，点E从点B开始向点C移动，线段DP长逐渐增大，当点F与C重合时，，，则，则，，所以的取值范围是.故答案为：角度2：已知数量积求模1．（2023秋·云南·高二统考期末）设，夹角为，则等于（ ）A．37B．13C．D．【答案】D【详解】解：∵．夹角为，所以，故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知，，，所以．故选：B．3．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知为单位向量，且，则__________.【答案】【详解】已知，均为单位向量，所以.，所以.故答案为：4．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.【答案】【详解】由，得，所以，得，所以，则.故答案为：.5．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知向量，若与垂直，则___________.【答案】【详解】∵与垂直，∴，则，解得，∴，则，∴，故答案为：.角度3：已知模求参数1．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由题得，所以，所以在方向上的投影向量模长为，解得.故选：B2．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知向量，若，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】由，可得，又，则，即，解之得故选：A.3．（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则_______ _．【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，故答案为：.4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，，，则的取值范围是____ ____.【答案】【详解】可设，.，故答案为：5．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量，，若，，则______.【答案】【详解】由题意得，，，所以，所以，解得或.当时，，不符合题意；当时，.所以.故答案为：.角度4：向量模的最值问题1．（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.【答案】【详解】.因为,所以，当且仅当时取等号，所以,则的最小值是.故答案为：.2．（2022·高一单元测试）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______．【答案】3【详解】因为，所以，所以，即，则．因为点是圆内部一点，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3．故答案为：3.3．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为__．【答案】12【详解】因为，不妨设，由向量，得，所以，因为，所以，，则，所以当时，取最大值12．故答案为：12.4．（2022秋·江苏宿迁·高三泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知向量满足：，，．(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：；（2）又，，所以令所以所以当时，取到最小值为5．（2022·全国·高一专题练习）已知两个不共线的向量的夹角为，且．(1)若，求的值；(2)若为定值，点M在直线上移动，的最小值为，求的值．【答案】(1)-6(2)或（1）解：因为，，，，所以．（2）因为点M在直线上移动，所以设，则，，，当时，的最小值为，则，故．又，所以或．角度5：求向量的夹角。

综合算式专项练习平面向量的模与夹角平面向量的模与夹角是综合算式中的重要概念。

本文将通过专项练习来讨论如何计算平面向量的模与夹角，并提供一些实例来加深理解。

一、平面向量的模在学习平面向量时，我们经常需要计算向量的模，也就是向量的长度。

向量的模可以通过勾股定理来求解。

假设有一个平面向量a=(a1, a2)，则向量a的模记为|a|，可表示为：|a| = √(a1^2 + a2^2)举例说明：假设有向量a=(3, 4)，我们可以使用上述公式计算其模：|a| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量a的模为5。

二、平面向量的夹角夹角是指两个向量之间的角度关系。

在计算夹角时，我们可以利用向量的点积和模的知识进行计算。

假设有两个平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，则向量a和向量b的夹角记为θ，可表示为：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)其中，(a·b)表示向量a和向量b的点积。

为了求得夹角θ，我们可以通过反余弦函数来计算：θ = arccos((a·b) / (|a| * |b|))举例说明：假设有向量a=(3, 4) 和向量b=(1, 2)，我们可以使用上述公式计算它们的夹角：cosθ = ((3*1) + (4*2)) / (|a| * |b|)= (3 + 8) / (5 * √(1^2 + 2^2))= 11 / (5 * √5)≈ 0.982θ = arccos(0.982)≈ 11.48°因此，向量a和向量b的夹角约为11.48°。

综合算式专项练习下面我们来进行一些综合算式的专项练习，以加深对平面向量模和夹角的理解。

练习一：已知向量a=(3, 4)，求向量a的模。

解答一：向量a的模可以通过勾股定理计算，即：|a| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量a的模为5。

人教A 版数学高二平面向量基本定理精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知向量()()1,2,2,a b x ==-.若a b +与a b -平行,则实数x 的值是A ．4B ．1C ．1-D ．4-2．在ABC ∆中，5,6AB AC BC ===,I 是ABC ∆的内心，若BI mBA nBC =+ (,)m n ∈R ，则m n=A ．43B ．65C ．2D ．123．已知平面向量(1,2)a m =+- ，(3,3)b =- ，若//a b ，则实数m 的值为（）A ．0B ．-3C ．1D ．-14．设α为锐角，()()sin ,1,1,2a b α== ，若a 与b 共线，则角α=（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．已知向量(1,2)a =- ，(2,4)b =- ，则a 与b （）．A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向6．在平行四边形ABCD 中，E 是CD 中点，F 是BE 中点，若AF mAB nAD =+ ，则（）A ．31,42m n ==B ．13,44m n ==C ．11,22m n ==D ．13,24m n ==7．已知平面向量(,4)a m =，(1,2)=-b ，且a ∥b ，则m =A ．8-B ．2-C ．2D ．88．如图，在△ABC 中,13AN NC = ,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为()A ．B ．C ．19D ．9．已知向量a ＝b ＝(cos θ,sin θ),若a ∥b ,则tan θ＝A ．33B C ．33-D ．10．(2017·安徽六校素质测试)在平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AC ＝b ，DE ＝2EC ，则BE ＝()A ．b －13a B ．b －23a C ．b －43a D ．b ＋13a 11．若A ，B ，C 三点共线，O 是这条直线外的一点，且满足20mOA OB OC -+= ，则m 的值为()A ．－1B ．1C ．2D ．312．在△ABC 中，2BD DC = ，若12AD AB AC λλ=+ ，则λ1λ2的值为()A ．19B ．29C ．12D ．10913．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(ka ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为()A ．－13B ．13C ．－3D ．314．已知点M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN = ，则点P 是()A ．(－8,1)B ．3(12--，C ．3(12，D ．(8,1)15．已知向量)()(3,1,0,1,,3a b c k ==-= ，若（2a b - ）与c 平行，则k 的值为（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-16．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+ ，则r s +的值为()A ．85-B ．85C ．0D ．4517．如果1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①()12,λμλμ+∈R e e 可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使12=λμ+a e e 的实数对(),λμ有无穷多个；③若向量1112λμ+e e 与2122λμ+e e 共线，则有且只有一个实数λ，使得()11122122λμλλμ+=+e e e e ；④若存在实数,λμ使得12λμ+=0e e ，则0λμ==.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②18．如图所示，点P 在AOB ∠的对角区域MON 的阴影内，已知OP xOA yOB =+ ，则实数对(),x y 可以是()A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．32,45⎛⎫- ⎪⎝⎭19．下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A ．①B ．②C ．①③D ．②③20．已知△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0 .若存在实数m 使得AB AC +=mAM 成立，则m 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．521．已知向量12,e e 不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是()A ．12-e e 与21-e e B ．1223-e e 与1232-e e C ．122--e e 与1224+e e D ．122-e e 与122-e e 22．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且14AF FD =，连接CF 并延长交AB 于E ，则AE EB等于()A ．110B ．13C ．15D ．1823．如图，在四边形ABCD 中，12DC AB = ，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =+ ，则2x y -=()A ．12B ．32C ．1D ．224．D 是ABC ∆所在平面内一点，(),AD AB AC R λμλμ=+∈ ，则01,01λμ<<<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要25．已知，与平行，则k 的值为（）A ．2B ．12C ．12D ．12-评卷人得分二、填空题26．与向量()3,4a =平行的单位向量的坐标为_______________27．设向量(1,2)a = ，(2,3)b = ，若向量a b λ+ 与向量c = (－3,－3)共线，则λ=_____．28．已知向量(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =- ，(,1,2)c x =- ，若,,a b c 是共面向量，则x =__________．29．已知(1,1)A -，(3,3)B ，(1,)a m =，且//AB a ，则AB = __________，m =__________．30．已知向量()2,3a =- ，(),1b m = ，若向量2a b - 与b 平行，则m =____________.31．已知45(2sin,cos )36a ππ=，(,1)b k =.若a b ∥，则k =__________．32．已知向量a ，b 满足(3,)a λ= ，(1,2)b λ=- ，若//a b ，则λ=__________．33．已知向量()()223.a m b ==- ，，，若()()//a b a b +- ，则实数m =______．34．已知平面向量()1,2a = ，()2,b y =- ，且//a b ，则y =______．35．已知向量()1,2a =- ，(),4b k = ，且a b ，则实数k 的值为__________．36．已知向量(2,5)a = ，向量(1,)b y = ，若//a b ，则实数y 的值是________37．已知向量a ＝(4,4)，b ＝(3,2)，c ＝(m,4)，若(a －b)∥c ，则实数m 的值为________．38．已知向量(5,3),(,6)a b m ==- ，若//a b ，则实数m =__________39．设向量()()2,6,1,a b m =-=- ，若//a b ，则实数m 的值为__________．40．两个不共线向量OA OB 、的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且()OC xOA yOB x y R =+∈ ，，则22x y +的最小值为_______．41．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是__________．42．设(1,3,2)a =- ，(2,+1,1)b m n =- ，且a //b ，则实数m n -=_____．43．已知向量，不共线，实数满足，则________.44．如图所示，//OM AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP xOA yOB =+ ，则x 的取值范围是______；当12x =-时，y 的取值范围是______．45．向量，，，若、、三点共线，则_________．评卷人得分三、解答题46．已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值；(2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．47．设,OA OB 不共线，且(),OC aOA bOB a b R =+∈ .（1）若12,33a b ==，求证：,,A B C 三点共线；（2）若,,A B C 三点共线，问：+a b 是否为定值？并说明理由.48．已知在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，求证：AD 、BE 、CF 交于一点．49．如图所示，在△OAB 中，14OC OA = ，12OD OB = ，AD 与BC 交于点M ，设OA = a ，OB = b ，以a 、b 为基底表示OM .50．如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，2OD DB = ，DC和OA 交于点E ，设OA = a ，OB = b .(1)用a 和b 表示向量OC 、DC ；(2)若OE OA λ= ，求实数λ的值．参考答案1．D2．B3．C4．B5．D6．A7．B8．C9．B10．C11．B12．B13．A14．B15．A16．C17．B18．C19．C【答案】B【答案】D【答案】D【答案】C24．B25．D26．3434 ,, 5555⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或27．-1 28．-2，29．230．23-31．232．2-或333．43-34．-435．-236．5237．238．10-39．340．1841．k ＝142．843．【答案】(),0-∞；13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭45．46．(1)m ＝1或11＋.(2)m 的值为2或－3.47．（1）证明见解析；（2）1a b +=48．详见解析49．1377OM =+a b 50．(1)2OC =- a b ，523DC =- a b (2)45λ=。

人教A 版数学高二平面几何中的向量方法精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-= ，则ABC ∆是（）A ．以AB 为底面的等腰三角形B ．以BC 为底面的等腰三角形C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅= ，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈ ，则AP 的最大值是（）A B CD ．3323．已知平面向量a ，b 的夹角为6π，且a = ，2b = ．在ABC 中，22AB a b =+ ，26AC a b =- ，D 为BC 的中点，则AD 的长等于（）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知O 是ABC 所在平面上一点,满足|OA |2+|BC |2=|OB |2+|CA|2,则点OA ．在与边AB 垂直的直线上B ．在∠A 的平分线所在直线上C ．在边AB 的中线所在直线上D ．以上都不对5．设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若()1312R A A A A λλ=∈ ,()1412R A A A A μμ=∈ ,且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A .已知平面上的点,C D 调和分割点,A B ，则下列说法正确的是A ．C 可能线段AB 的中点B ．D 可能线段AB 的中点C ．,CD 可能同时在线段AB 上D ．,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上6．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP = ，记1I AB AP =⋅ ，2I AC AP =⋅ ，3I AD AP =⋅ ，则（）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <7．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足0AB PC BC PA CA PB ⋅+⋅+⋅= ，则点P 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心8．若||1OA = ，||OB = 0OA OB ⋅= ，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m n的值为（）A ．13B ．3C ．3D ．9．在平行四边形ABCD 中，AB =，2AD =，135A ∠=︒，,E F 分别是,AB AD上的点，且AE AB λ= ，AF AD μ= ，（其中,(0,1)λμ∈），且41λμ+=.若线段EF的中点为M ，则当MC 取最小值时，μλ的值为（）A ．36B ．37C ．38D ．3910．已知ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是ABC 内部两点，且满足1(),4AD AB AC =+ 18AP AD BC =+ ，则ADP △的面积为（）.A ．34B ．33C ．32D ．11．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin 2b C ，点O 满足0OA OB OC ++= ，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为（）A ．553B ．C ．D ．12．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++= ，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（）A ．12B ．1C ．32D ．213．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅< ”是“ABC ∆为钝角三角形”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件评卷人得分二、填空题14．若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则ABC∆的形状为___________15．已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若()()f AP AB R λλλ=-∈ 的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为43,则线段AB 的长度为________.16．若()2,2a = ，1b = ，则a b + 的最大值为___________17．如图，在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，DCA 2BAC ∠=∠．若(),BD xBA yBC x y =+∈R ，则x y -的值为__________．18．已知ABC ∆满足3AB =，4AC =，O 是ABC ∆的外心，且()12AO AB AC R λλλ-=+∈ ，则ABC ∆的面积是______.19．如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,3,2AB DC ABC AB BC DC ∠==== ，若,E F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是__________．20．在ABC 中，和313AC BC AB ===，且CE xCA = ，CF yCB = （其中,(0,1)x y ∈），且41x y +=，若M ，N 分别为线段,EF AB 的中点，则线段MN 的最小值为______．21．已知正方形ABCD 的边长为1，M 是正方形ABCD 四边上或内部的动点，则AB AM ⋅的取值范围是_________22．已知正四面体1234A A A A ，点5A 、6A 、7A 、8A 、9A 、10A 分别是所在棱的中点，如图，则当110i ≤≤，110j ≤≤，且i j ≠时，数量积12i j A A A A ⋅ 的不同数值的个数为________23．如图，在ABC ∆中，M 为BC 上不同于B C 、的任意一点，点N 满足2AN NM = ，若AN xAB y AC =+,则229x y +的最小值为________24．已知ABC ∆的正三角形，PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆边上的动点，则PM MQ ⋅ 的最大值是______.25．在△ABC 中，60A ∠=°，M 是AB 的中点，若|AB|=2，D 在线段AC上运动，则DB DM ⋅ 的最小值为___________.26．已知a = 3b = ，a 与b 的夹角为45°，若向量a b λ+ 与a b λ+ 的夹角为锐角时，则λ的取值范围为______27．在四边形ABCD 中，AC ＝(1，2)，BD ＝(－4，2)，则该四边形的面积为___________.28．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形上的动点，则131A A A P ⋅ 的取值范围________.29．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅= ，||2AB = ，2BC BD = ，则AC AB ⋅= ____30．在平面内，不共线的四个定点O 、A 、B 、C 满足2OA OB OC === ，且OA 、OB 、OC 两两夹角相等，动点E 、F 分别满足1AF = ，AE EC = ，则EF 的取值范围为________31．AB 为单位圆O 的直径，O 为圆心，在Rt COD ∆中，COD ∠为直角，4OC =，3OD =，AC BD ⋅ 的取值范围为____.32．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅= ，则ABC ∆面积的最大值为_______.33．已知ABC ∆是边长为的正三角形，PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆边上的动点，则PM MQ ⋅的最大值是__________．34．如图，正三角形ABC 边长为2，D 是线段BC 上一点，过C 点作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，则AD DE ⋅的最大值为______.35．已知正ABC ∆的边长为1，EF 为该三角形内切圆的直径，P 在ABC ∆的三边上运动，则PE PF⋅的最大值为______.评卷人得分三、解答题36．已知点O 是四边形ABCD 内一点，判断结论：“若0OA OB OC OD +++= ，则该四边形必是矩形，且O 为四边形ABCD 的中心”是否正确，并说明理由．37．如图，已知直角梯形ABCD 中，22AD AB AB AD CD ⊥==，，过点C 作CE AB ⊥于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：（1）DE BC ‖；（2）D M B ，，三点共线.38．如图，在ABC 中，0AB AC ⋅= ，8,6AB AC == ，L 为线段BC 的垂直平分线，L 与BC 交与点,D E 为L 上异于D 的任意一点.()1求AD CB ⋅ 的值；()2判断AE CB ⋅的值是否为一个常数，并说明理由．39．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 上的点，且满足,2BE EC DF FC == ，记AB a = ，AD b= ，试以,a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；（1）用,a b 来表示向量,DE BF ；（2）若3,2AB AD == ，且BF =DE ；40．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且14AE FC AC ==．试用向量方法证明四边形DEBF 也是平行四边形．41．如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：AF D E ⊥（利用向量证明）.42．如图，DE 是ABC ∆的中位线，用向量方法证明：//DE BC ，12DE BC =．43．证明：等腰三角形的两个底角相等．44．如图，四边形ABCD 是正方形，//,BE AC AC CE =，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ．求证：AF AE =．45．求证：以(1,0),(5,2),(8,4),(4,6)A B C D -为顶点的四边形是一个矩形.46．如图，平行四边形ABCD 中，点E 在线段AD 上，BE 与AC 交于点F ，设,AB a AD b == ，用向量的方法探究：在线段AD 上是否存在点E ，使得点F 恰好为BE 的一个三等分点，若有，求出满足条件的所有点E 的位置；若没有，说明理由.47．已知OA a OB b == ，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N .（1）用a ，b 表示向量MN；（2）设12a b MN ⎡==∈⎣ ，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.48．M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交两边,AB AC 于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC == ，记()y f x =.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求APQABC S S ∆∆的取值范围.49．已知向量(1m = ，向量n 是与向量m 夹角为6π的单位向量．（1）求向量n ；（2）若向量n与向量)q = 共线，且n与44x p x +⎫=-⎪⎭ ，的夹角为钝角，求实数x的取值范围．参考答案1．B2．C3．A4．A5．D6．C7．B8．B9．B10．A11．D12．A13．A14．直角三角形15．22 316．117．1-18．2 19．[]46-，20．7 721．[0,1]；22．923．2 5.24．3 425．231626．()111185,,11,66⎛⎫---+⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 27．28．⎡-+⎣29．4-30．1]+31．[]6,4-32．233．334．1435．1436．该结论不正确,见解析37．（1）见解析；（2）见解析38．()114；()2是.39．（1）见解析；（240．证明见解析41．详见解析.42．证明见解析43．证明见解析44．证明见解析45．证明见解析46．存在；是线段AD 的中点.47．（1）()2MN b a =- ；（2）π2π33θ48．（1）()41x y f x x ==-，1(1)3x ；（2）11[,]4349．(1) n =（0，1）或3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，；(2)（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，23-）∪（0，2）．。

课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．(山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( ) A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3答案：B2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )A ．4 2B ．2 5C ．8D ．8 2 答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案：D4．(湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3 152C ．－322D ．－3 152 答案：A5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案：A二、填空题6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．答案：47.如图，已知点A (1,1)和单位圆上半部分上的动点B ，若OA ⊥OB ，则向量OB 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫－22，22 8．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 三、解答题9．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， ∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点． (1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)．∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴OM ＝(2y ，y )．又MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)，∴MA ＝(1－2y,7－y )．同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．于是MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12.可知当y ＝202×5＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时，有MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)，|MA |＝34，|MB |＝2， MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA ·MB | MA ||MB |＝－834×2＝－41717.11．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意知，a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos α－12，sin α＋32， a －b ＝⎝⎛⎭⎫cos α＋12，sin α－32， ∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2，化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0，∴tan α＝33，又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.。

第一章 1.4 1.4.2 第2课时请同学们认真完成练案 [9]A 组·素养自测一、选择题1．(多选题)已知v 为直线l 的方向向量，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列选项中，正确的是( AB )A ．n 1∥n 2⇔α∥βB ．n 1⊥n 2⇔α⊥βC ．v ∥n 1⇔l ∥αD ．v ⊥n 1⇔l ∥α[解析] 对于A ，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，A 正确；对于B ，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，B 正确；对于C ，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，C 错误；对于D ，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，D 错误．故选AB ．2．若平面α的一个法向量为n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n 2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成的角等于( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 因为n 1·n 2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°． 3．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( A )A ．52266B ．－52266C ．52222D ．－52222[解析] AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， 而cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，故直线AB 和CD 所成角的余弦值为52266．4．已知正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系．设P A ＝AB ＝1，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)， ∴AD →＝(0,1,0)． 取PD 的中点E ， 则E ⎝⎛⎭⎫0，12，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12， 易知AD →是平面P AB 的一个法向量，AE →是平面PCD 的一个法向量，所以cos 〈AD →，AE →〉＝22，故平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°． 5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为( A )A ．16B ．14C ．－16D ．－14[解析] 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则M (1,0,0)，N (0,1,2)，O (1,2,1)，D 1(0,0,2)，∴MN →＝(－1,1,2)，OD 1→＝(－1，－2,1)．则cos 〈MN →，OD 1→〉＝MN →·OD 1→|MN →||OD 1→|＝16×6＝16．∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为16，故选A ．二、填空题6．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为__64__．[解析] 解法一：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连接MM 1、BM ．过D 作DN ∥BM ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C ．连接AN ，则∠DAN 就是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角．在Rt △DAN 中，sin ∠DAN ＝ND AD ＝322＝64．解法二：取AC 、A 1C 1中点O 、E ，则OB ⊥AC ，OE ⊥平面ABC ，以O 为原点OA 、OB 、OE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC 中，BM ＝32AB ＝32， ∴A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫0，32，1， ∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，1，又平面AA 1C 1C 的法向量为e ＝(0,1,0)， 设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD →，e 〉|＝|AD →·e ||AD →|·|e |＝64．解法三：设BA →＝b ，BC →＝a ，BD →＝c ， 由条件知a ·b ＝12，a ·c ＝0，b ·c ＝0，又AD →＝BD →－BA →＝c －b ，平面AA 1C 1C 的法向量BM →＝12(a ＋b )．设直线AD 与平面AA 1C 1C 成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，BM →〉|＝|AD →·BM →||AD →|·|BM →|，∵AD →·BM →＝(c －b )·12(a ＋b )＝12a ·c －12a ·b ＋12b ·c －12|b |2＝－34． |AD →|2＝(c －b )2＝|c |2＋|b |2－2b ·c ＝2， ∴|AD →|＝2，|BM →|2＝14(a ＋b )2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34，∴|BM →|＝32，∴sin θ＝64．7．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝__125__．[解析] 平面xOy 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则x ＝a 3，y ＝a4，∴m ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1． 由题意得|cos 〈n ，m 〉|＝1a 29＋a 216＋1＝22． 又因为a ＞0，所以a ＝125．8．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝217 cm，则这个二面角的度数为__60°__．→，BD→〉＝θ，∵CA⊥AB，AB⊥BD，[解析]设〈AC∴AC→·AB→＝BD→·AB→＝0，〈CA→，BD→〉＝180°－θ，∴|CD→|2＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2|CA→||BD→|cos (180°－θ)．∴(217)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos θ)，∴cos θ＝1，∴θ＝60°．2因此，所求二面角的度数为60°．三、解答题9．(2020·衡阳市高三联考)如图1，平面四边形BADE中，C为BE上一点，△ABC和△DCE均为等边三角形，EC＝2CB＝2，M，N分别是EC和CB的中点，将四边形BADE沿BE 向上翻折至四边形BA′D′E的位置，使二面角D′－BE－D为直二面角，如图2所示．(1)求证A′A∥平面D′MD；(2)求平面A′AB与平面D′DE所成角的正弦值．[解析](1)在等边△D′CE和△DCE中，D′M⊥CE，DM⊥CE，D′M∩DM＝M，所以直线CE⊥平面D′MD，即直线BE⊥平面D′MD，同理可证直线BE⊥平面A′NA，故平面D′MD∥平面A′NA．又A′A⊂平面A′NA，从而有A′A∥平面D′MD．(2)如图，以M 为坐标原点，MD ，ME ，MD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M －xyz ，易知M (0,0,0)，E (0,1,0)，D (3，0,0)，D ′(0,0，3)，B (0，－2,0)，A (32，－32，0)，A ′(0，－32，32)． 则BA ′→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BA →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，设平面A ′ AB 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BA ′→＝0m ·BA →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3z ＝03x ＋y ＝0，令z ＝1，得x ＝1，y ＝－3，所以平面A ′AB 的一个法向量为m ＝(1，－3，1)．同理，设平面D ′DE 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0n ·ED ′→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－y 1＝0－y 1＋3z 1＝0， 令z 1＝1，得x 1＝1，y 1＝3，所以平面D ′DE 的一个法向量为n ＝(1，3，1)． 从而|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪－15＝15， 故平面A ′AB 与平面D ′DE 所成角的正弦值为 1－(－15)2＝265．10．(2020·全国Ⅲ卷理，19)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1．(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值．[解析] 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系C 1xyz ．(1)连接C 1F ，则C 1(0,0,0)，A (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫a ，0，23c ，F ⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，EA →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，C 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，得EA →＝C 1F →， 因此EA ∥C 1F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面， 所以点C 1在平面AEF 内．(2)由已知得A (2,1,3)，E (2,0,2)，F (0,1,1)，A 1(2,1,0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2,0，－2)，A 1E →＝(0，－1,2)，A 1F →＝(－2,0,1)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0， 可取n 1＝(－1，－1,1)． 设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，同理可取n 2＝⎝⎛⎭⎫12，2，1． 因为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77，所以二面角A －EF －A 1的正弦值为427．B 组·素养提升一、选择题1．(2021·福建泉州市普通高中质量检测)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为( A )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π3B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C ．⎣⎡⎦⎤π6，π2D ．⎣⎡⎦⎤π4，π2[解析] 以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设DA ＝2，易得EF →＝(1,0，－1)，设CM →＝λCA 1→＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，BM →＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cos θ＝|cos 〈BM →，EF →〉|，即cos θ＝22(2λ－2)2＋8λ2＝123λ2－2λ＋1＝123(λ－13)2＋23(0≤λ≤1)， 当λ＝13时，cos θ取到最大值32，当λ＝1时，cos θ取到最小值12，所以θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，π3，故选A ．2．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点．则平面FOE 与平面OEA 夹角的余弦值为( B )A ．－33 B ．33 C ．－63D ．63[解析] 由题意，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题知，OA ＝OB ＝2，则A (0，－2,0)，B (2,0,0)，P (0,0,2)，∴E (1，－1,0)，F (0，－1,1)，∴OE →＝(1，－1,0)，OF →＝(0，－1,1)，设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OE →＝0，m ·OF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1,1,1)，易知平面OAE 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，设平面FOE 与平面OEA 夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝33． 3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为( C ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )，∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )， 设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0， ∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ， 令z ＝1，则n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)， cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12，而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°．4．(多选题)如图，多面体OABDC 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝23，AC ＝BD ＝10，且OA ，OB ，OC 两两垂直，则下列结论正确的是( AB )A ．三棱锥O －ABC 的体积是定值B ．球面经过点A ，B ，C ，D 四点的球的直径是13 C ．直线OB ∥平面ACD D ．二面角A －OC －D 等于30°[解析] 由题意，构造长方体，如图，设OA ＝x ，OB ＝y ，OC ＝z ，则x 2＋y 2＝4，x 2＋z 2＝10，y 2＋z 2＝12， 解得x ＝1，y ＝3，z ＝3，对于A ，三棱锥O －ABC 的体积为13OC ×12OA ×OB ＝32，故A 正确；对于B ，球面经过点A ，B ，C ，D 四点的球的直径即为长方体的体对角线长，即为12＋32＋(3)2＝13，故B 正确；对于C ，由于OB ∥AE ，AE 和平面ACD 相交，则OB 和平面ACD 相交，故C 错误； 对于D ，因为AO ⊥OC ，DC ⊥OC ，所以异面直线CD 与OA 所成的角大小为二面角A －OC －D 的二面角大小，连接OE ，则∠AOE 即为所求，tan ∠AOE ＝AEOA ＝3，所以∠AOE ＝60°，故D 错误．二、填空题5．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝4，E 是侧棱CC 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为__49__．[解析] 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝4，E 是侧棱CC 1的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，A (2，0,0)，E (0,1,2)，A 1(2,0,4)，D (0,0,0)，EA →＝(2，－1，－2)，DA 1→＝(2,0,4)，DE →＝(0,1,2)，设平面A 1ED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝2x ＋4z ＝0，n ·DE →＝y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2，－2,1)，设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ，则 sin θ＝cos 〈EA →，n 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪EA →·n |EA →||n |＝49×9＝49． ∴直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为49．6．如图，四面体ABCD 中， E ，F 分别为AB ，DC 上的点，且AE ＝BE ，CF ＝2DF ，设DA →＝a ，DB →＝b ，DC →＝c ．(1)以{a ，b ，c }为基底表示FE →，则FE →＝__－13c ＋12a ＋12b __；(2)若∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝60°，且|DA →|＝4，|DB →|＝3，|DC →|＝3，则|FE →|＝__332__．[解析] (1)如图所示，连接DE ．因为FE →＝FD →＋DE →，FD →＝－DF →＝－13DC →，DE →＝12(DA →＋DB →)，所以FE →＝－13c ＋12a ＋12b ．(2)|FE →|2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b －13c 2＝14a 2＋14b 2＋19c 2＋12a ·b －13a ·c －13b ·c ＝14×42＋14×32＋19×32＋12×4×3×12－13×4×3×12－13×3×3×12＝274．所以|FE →|＝332．7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小为__30°__． [解析] 解法一：连接BC 1，设与B 1C 交于O 点，连接A 1O ． ∵BC 1⊥B 1C ，A 1B 1⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，∴A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影为A 1O ．∴∠OA 1B 就是A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角， 设正方体的棱长为1．在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2，BO ＝22， ∴sin ∠OA 1B ＝BO A 1B ＝222＝12．∴∠OA 1B ＝30°．即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°．解法二：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(1，0,1)、C (0,1,0)．∴DA 1→＝(1,0,1)、DC →＝(0,1,0)．设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＝0，令z ＝－1得x ＝1．∴n ＝(1,0，－1)，又B (1,1,0)，∴A 1B →＝(0,1，－1)， cos 〈n ，A 1B →〉＝A 1B →·n |A 1B →||n |＝12·2＝12．∴〈n ，A 1B →〉＝60°，∴A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°． 三、解答题8．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角的余弦值．[解析] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD ．(2)解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ．又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝2319＝25719． 设平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝25719， 所以平面C 1OB 与平面OB 1D 夹角的余弦值为25719．9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝2，BC ＝22，P A ＝2．(1)取PC 的中点N ，求证：DN ∥平面P AB ； (2)求直线AC 与PD 所成角的余弦值；(3)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面ACD 的夹角为45°？如果存在，求出BM 与平面MAC 所成角的大小；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：取BC 的中点E ，连接DE ，交AC 于点O ，连接ON ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (2，－1,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0，－1,2)．∵点N 为PC 的中点，∴N (0,0,1)，∴DN →＝(1,0,1)． 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2,0,0)， 可得n ＝(0,1,0)，∴DN →·n ＝0． 又∵DN ⊄平面P AB ，∴DN ∥平面P AB ．(2)解：由(1)知AC →＝(0,2,0)，PD →＝(－1,1，－2)． 设直线AC 与PD 所成的角为θ， 则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22×6＝66． ∴直线AC 与PD 所成角的余弦值为66． (3)解：存在．设M (x ，y ，z )，且PM →＝λPD →，0＜λ＜1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ，y ＋1＝λ，z －2＝－2λ，∴M (－λ，λ－1,2－2λ)．设平面ACM 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由AC →＝(0,2,0)，AM →＝(－λ，λ，2－2λ)，可得m ＝(2－2λ，0，λ)， 由图知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝λ1·λ2＋(2－2λ)2＝22， 解得λ＝23或λ＝2(舍去)．∴M ⎝⎛⎭⎫－23，－13，23， ∴BM →＝⎝⎛⎭⎫－83，23，23，m ＝⎝⎛⎭⎫23，0，23． 设BM 与平面MAC 所成的角为φ，则sin φ＝|cos 〈BM →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－129223×22＝12，∴φ＝30°．故存在点M ，使得平面MAC 与平面ACD 的夹角为45°，此时BM 与平面MAC 所成的角为30°．。