苏教版数学高一《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精品教案

平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。

2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。

3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。

教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。

二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。

2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。

三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。

2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。

引导学生思考其中的计算思想和规律。

四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。

2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。

五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。

2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。

教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。

2. 学生课堂参与和讨论。

3. 学生课后完成的作业和练习题。

教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。

2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。

2.4.2平面向量数量积地坐标表示、模、夹角一、教材分析本课地地位及作用：平面向量数量积地坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量地数量积运算，为研究平面中地距离、垂直、角度等问题提供了全新地手段.它把向量地数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一.二．教学目标1．学会用平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.理解掌握向量地模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量地夹角、垂直等问题.2．<1）通出问题，把问题地求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论<2）通过对向量平行与垂直地充要条件地坐标表示地类比，教给了学生类比联想地记忆方法.3．经历根据平面向量数量积地意义探究其坐标表示地过程，体验在此基础上探究发现向量地模、夹角等重要地度量公式地成功乐趣，培养学生地探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积地坐标表示.难点：向量数量积地坐标表示地应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量地坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示地，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用地工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前地一个亟待解决地问题.因此，本节内容地学习是学生认知发展和知识构建地一个合情、合理地“生长点”.所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺地教学方法.因此结合中学生地认知结构特点和学生实际.我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.理解掌握向量地模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量地夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积地意义探究其坐标表示地过程，体验在此基础上探究发现向量地模、夹角等重要地度量公式地成功乐趣，培养学生地探究能力、创新精神.五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪.2．学案导学：见后面地学案.3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习.六、课前准备1．学生地学习准备：预习学案.2．教师地教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案.七、课时安排：1课时八、教学过程(一>预习检查、总结疑惑检查落实了学生地预习情况并了解了学生地疑惑，使教学具有了针对性.<二）情景导入、展示目标.创设问题情景，引出新课⑴a与b地数量积地定义？⑵向量地运算有几种?应怎样计算？出示学习目标：1、理解掌握平面向量数量积地坐标表示、向量地夹角、模地公式.2、两个向量垂直地坐标表示3、运用两个向量地数量积地坐标表示初步解决处理有关长度垂直地几个问题.<三）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2>,b=(x2,y2>,怎样用a与b 地坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1>·(x2,y2>=(x1i+y1j>·(x2i+y2j>=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1 i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2即：两个向量地数量积等于它们对应坐标地乘积地和师生：学生回答提出地问题，教师点评学生：合作探索提出地问题.教师：巡视辅导学生，解决遇到地困难，估计学生对正交单位基向量i,j地运算可能有困难，点拨学：i2=1,j2=1,i·j=0师生：学生展示探究结果，教师给予点评设计意图：回顾平面向量数量积地意义，为探究数量积地坐标表示做好准备.创设情境激发学生地学习兴趣，出示学习目标使学生了解本课地任务问题引领，培养学生地探索研究能力探究二：探索发现向量地模地坐标表达式若a=(x,y>，如何计算向量地模|a|呢？若A(x1,x2>,B(x2,y2>，如何计算向量AB地模两点A、B间地距离呢？教师提出问题学生：独立思考探究合作交流让学生展示探究地结论，教师总结设计意图：在向量数量积地坐标表示基础上，探索发现向量地模例1、如图，以原点和A(5， 2>为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量地坐标.解：设B点坐标(x，y>，则= (x，y>，= (x-5，y-2>∵⊥∴x(x-5> + y(y-2> = 0即：x2 + y2-5x- 2y = 0又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5>2 + (y-2>2即：10x + 4y = 29由∴B点坐标或；=或评述：用向量地垂直关系地坐标表示作为此题地突破点.变式：已知探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1>,b(x2,y2>,如何判定a⊥b或计算a与b地夹角<a,b>呢？1、向量夹角地坐标表示2、a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=0学生：独立思考、探究，合作交流，师生：让学生展示探究地结论，教师总结提醒学生a⊥b与a∥b坐标表达式地不同设计意图：在向量数量积地坐标表示基础上两向量垂直，两向量夹角地坐标表达式例2在△ABC中，=(2， 3>，=(1，k>，且△ABC地一个内角为直角，求k值.解：当A = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =当B = 90︒时，⋅= 0，=-= (1-2，k-3> =(-1，k-3>∴2×(-1> +3×(k-3> = 0 ∴k =当C= 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k(k-3> = 0 ∴k=评述：熟练应用向量地夹角公式.变式：已知，当k为何值时，<1）垂直？<2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？<四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课地主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单地反馈纠正.<课堂实录）<五）发导学案、布置预习.我们已经学习数量积地坐标运算.模.夹角.下节学习平面向量应用举例这节课后大家可以先预习这一部分，着重体会向量是一种处理几何问题.物理问题地工具增强应用意识提高解题能力九、板书设计具备一定地数学思维能力和处理向量问题地方法地现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线地原则，为此，我通过精心设置地一个个问题，激发学生地求知欲，积极地鼓励学生地参与，给学生独立思考地空间，鼓励学生自主探索，最终在教师地指导下去探索发现问题，解决问题.在教学中，我适时地对学生学习过程给予评价，适当地评价，可以培养学生地自信心，合作交流地意识，更进一步地激发了学生地学习兴趣，让他们体验成功地喜悦.2．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课地信息容量，极大提高学生地学习兴趣.十一、学案设计(见下页>2.4.2平面向量数量积地坐标表示、模、夹角课前预习学案一、预习目标：预习平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.了解向量地模、夹角等公式.二、预习内容：1.平面向量数量积<内积）地坐标表示2.引入向量地数量积地坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1>向量模地坐标表示：能表示单位向量地模吗？(2>平面上两点间地距离公式：向量a地起点和终点坐标分别为A(x1，y1>，B(x2，y2>AB=(3>两向量地夹角公式cos =3. 向量垂直地判定<坐标表示）4.向量平行地判定<坐标表示）三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标学会用平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.掌握两个向量共线、垂直地几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积地应用二、学习过程<一）创设问题情景，引出新课a与b地数量积地定义？⑵向量地运算有几种?应怎样计算？<二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2>,b=(x2,y2>,怎样用a与b 地坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1>·(x2,y2>=(x1i+y1j>·(x2i+y2j>=x1x2i2+x1y2i·j+x2y·j+y1y2j2=x1x2+y1y21i教师：巡视辅导学生，解决遇到地困难，估计学生对正交单位基向量i,j地运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量地模地坐标表达式若a=(x,y>，如何计算向量地模|a|呢？若A(x1,x2>,B(x2,y2>，如何计算向量AB地模两点A、B间地距离呢？例1、如图，以原点和A(5， 2>为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量地坐标.变式：已知探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1>,b(x2,y2>,如何判定a⊥b或计算a与b地夹角<a,b>呢？1、向量夹角地坐标表示2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=0例2在△ABC中，=(2， 3>，=(1，k>，且△ABC地一个内角为直角，求k值.变式：已知，当k为何值时，<1）垂直？<2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？<三）反思总结(四>当堂检测1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b>与a垂直，则a与b地夹角是< ）A.60°B.30°C.135°D.４５°2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间地夹角为，那么向量m=a-4b地模为< ）A.2B.2C.6D.123、a=(5,-7>,b=(-6,-4>，求a与b地数量积4、设a=(2,1>,b=(1,3>,求a·b及a与b地夹角5、已知向量a=(-2,-1>,b=(λ,1>若a与b地夹角为钝角,则λ取值范围是多少?课后练习与提高1.已知则< ）A.23B.57C.63D.832.已知则夹角地余弦为< ）A. B. C. D.3.则__________.4.已知则__________.5.则______________6.与垂直地单位向量是__________A. B.D.7.则方向上地投影为_________8.A(1,2>,B(2,3>,C(2,0>所以为( >A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形9.已知A(1,0>,B(5,-2>,C(8,4>,D.(4.6>则四边形ABCD为< ）A.正方形B.菱形C.梯形D. 矩形10.已知点A<1，2），B(4,-1>,问在y轴上找点C，使∠ABC＝90º若不能，说明理由；若能，求C坐标.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

平面向量数量积的坐标表示及模夹角教案章节：一、向量数量积的概念1. 引入向量数量积的概念，让学生了解向量数量积的定义及几何意义。

2. 讲解向量数量积的计算公式，引导学生理解坐标表示下的数量积运算。

二、向量数量积的坐标表示1. 讲解向量坐标的概念，让学生掌握向量坐标的表示方法。

2. 推导向量数量积的坐标表示公式，并通过实例让学生熟悉坐标表示下的数量积运算。

三、向量的模1. 引入向量模的概念，让学生了解向量模的定义及其重要性。

2. 讲解向量模的计算方法，引导学生掌握坐标表示下的向量模运算。

四、向量的夹角1. 引入向量夹角的概念，让学生了解向量夹角的定义及其几何意义。

2. 讲解向量夹角的计算方法，引导学生掌握坐标表示下的向量夹角运算。

五、数量积、模、夹角的关系1. 讲解向量数量积、模、夹角之间的关系，让学生理解三者之间的内在联系。

2. 通过实例让学生掌握如何利用数量积、模、夹角之间的关系解决问题。

教学目标：1. 理解向量数量积的概念及其几何意义。

2. 掌握向量数量积的坐标表示及运算方法。

3. 熟悉向量的模及其计算方法。

4. 掌握向量的夹角及其计算方法。

5. 理解向量数量积、模、夹角之间的关系，并能应用于实际问题。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量数量积、模、夹角的概念及计算方法。

2. 利用多媒体辅助教学，展示向量数量积、模、夹角的图形表示。

3. 通过例题讲解，让学生熟悉坐标表示下的向量数量积、模、夹角运算。

4. 组织学生进行小组讨论，探讨向量数量积、模、夹角之间的关系。

5. 布置课后习题，巩固所学知识。

六、数量积的性质及应用1. 讲解数量积的性质，包括交换律、分配律、结合律等。

2. 引导学生了解数量积在几何中的应用，如求解向量构成的平行四边形的面积。

七、模的性质及应用1. 讲解模的性质，包括非负性、单调性等。

2. 引导学生了解模在几何中的应用，如求解向量所在直线的倾斜角。

八、夹角的性质及应用1. 讲解夹角的性质，包括范围、平分线等。

（3）已知| |=12,| | = 9, · = ，则 与 的夹角 =
（4） =， =， =
引入
提出问题：
（1）已知a=(1,3),b=(2,1),则
（2）已知a=(k,-2),b=(1,2),且 ，则k=
（3）已知m=(1,-2),n=(3,-1),则m与n的夹角为
已知 怎样用a与b的坐标表示 ？
重点难点
1、平面向量数量积的坐标表示和夹角公式的推导
2、平面向量数量积的公式及夹角的运用
3、增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识
教法与学法
自主学习、合作探究
教学过程
第一阶段（准备阶段）
复习
1．复习达标：
（1）已知 =（1，-2）， =（-2，-1），则 =， =，2 =。
（2）已知| |= 6,| |=4 ,若 与 的夹角为30°,则 · =
第二阶段（尝试探究，合作交流）
尝试探究：
（1）数量积的坐标运算公式怎么推导？设
结论： =
（2）当向量用坐标的形式表示时，是否用新的方法求模？设a=(x,y)，则 =
设 则 =
（3）设非零向量 ＝( ), ＝( )，若 ⊥ ，则 ， ， ， 之间的关系如何？反之成立吗？
（4）设 、 是两个非零向量，其夹角为θ，若 ＝( ), ＝( )，那么 如何用坐标表示？
开县实验中学高一数学备课组学案
一编：王旭二编：聂代祥审定：石白成
时间：2010年12月28日教师姓名：
课题
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案
新授课
学习目标
1、理解平面向量数量积的坐标表示方法
2、能用数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
3、增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识

第一课时2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）物理学中，在力的作用下，功的表达式W = |F|⋅|s|cosθ，θ是F与s的夹角.二、讲解教材：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与，b它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a⋅b = b⋅ca = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα =|b||OA|⇒a⋅b = b⋅c 但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、a⊥b⇔a⋅b = 02、当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|.特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a||b|cos θ，b ⋅ a = |b||a|cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b)⋅c = a ⋅c + b ⋅c4.有如下常用性质：22||a a = （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解例题：例1．已知|a|=12， |b|=9，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分．在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法，本节是平面向量数量积的第二部分．前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示．那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题．另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来．利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示．教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础．教学目标三维目标：知识技能目标：知道指数函数的形式，会辨别是否是指数函数。

得出指数函数的性质，并会利用性质，解决具体问题。

过程与方法目标：通过画出图象，并尝试找出指数函数的相关性质，培养自主摸索、敢于实践的精神与素养。

情感态度与价值观目标：激发学生探索未知世界的兴趣。

重难点分析：重点：知道指数函数的形式。

画出图象，说出图象特征，得出指数函数的性质。

难点：得出指数函数的性质，并会利用性质，解决具体问题。

教学内容分析内容：本节课的主要内容是引入指数函数的概念，并通过画图，由图象得出指数函数的性质，并会应用性质解决问题。

【教学设计】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004一、教学任务分析前面已经学习了学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示,本节课是对平面向量数量积从坐标表示方面的进一步研究, 是对前面所学知识的延续.教科书以推导平面向量数量积的坐标表示入手，进而研究平面向量的模、两非零向量垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的坐标表示，模的坐标表示,垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.难点：平面向量数量积的坐标表示的推导过程，平面向量数量积的坐标表示的应用.二、教学基本流程本节课是平面向量数量积的第二节课，与第一节课紧密联系，且主要以公式为主，因此我设计了以下顺序来安排本节课的教学：（一）复习回顾：主要复习上节课所学，并且本节课用到的知识；（二）引入新课：复习回顾向量加法、减法、数乘的坐标运算，从而引出数量积的坐标表示；（三）探究新知：探究平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示；（四）运用新知：运用所学知识解决相关问题；（五）课堂小结：回顾这节课主要学习了哪些知识，用到了哪些思想方法；（六）布置作业：课下巩固完善.三、学生课前准备因为本节课与上一节课紧密联系在一起，所以要求学生课前一定要复习好上一节课的内容：平面向量数量积的定义、运算律及性质.另外，本节课又是对坐标运算的继续加深，而且在推导平面向量数量积的坐标表示时用到了平面向量的坐标表示和运算，因此要求学生复习好平面向量的坐标表示和运算的内容.四、教学过程设计(一)复习回顾（课件上展示问题）1．平面向量数量积（内积）的定义；2.平面向量的数量积满足的运算律；3.设向量a 与b 都是非零向量，则________⊥⇔a b ；=a a 或=a . 学生活动：以上问题由学生回答，老师适当给以点评.(二)引入新课已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b ,则=+a b ；=-a b ；λ=a .提问学生回答，并给出问题：向量a 与b 的数量积⋅a b 能否也用坐标表示？这就是我们这节课要研究的问题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【设计意图】通过回顾平面向量数量积的定义和对有关性质运算题目的掌握，为探究数量积的坐标表示做好准备．另外，通过对向量的加、减、数乘的坐标运算的回顾，很自然的联想到数量积的坐标表示，从而创设情境激发学生的学习兴趣．(三)探究新知探究1：平面向量数量积的坐标表示教师：已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b .试根据向量加法、减法的坐标运算的推导过程，写出向量a 与b 的数量积⋅a b 的坐标表示的推导过程.学生：学生回顾向量加法、减法的坐标运算的推导过程，自己独立推导平面向量数量积的坐标表示.学生推导完成后，用实物投影展示学生推导过程，并让学生讲解.解:因为()()1122x y x y ⋅++a b =i j i j 2212122112x x x y x y y y =+⋅+⋅+i i j i j j又1⋅=i i ，1⋅=j j ，0⋅=⋅=i j j i ，所以⋅a b 2121y y x x +=．教师：你能用文字表述上面的结论吗？学生：学生尝试表述，并同位间交流，最后得出结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即⋅a b 2121y y x x +=．【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力,让学生体会成功的乐趣.探究2：向量的模的坐标表达式教师：若(),x y a =，如何计算2a 和a 呢？学生:222||x y =+a ， ||=a 教师：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，那么向量a 的坐标如何表示？a 等于什么？学生: 2121(,)x x y y =--a ， =a .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模小试牛刀：已知()3,4=-a ，(5,2)=b ，求,,⋅a b a b .学生:学生计算,并提问学生回答: 5,7.==⋅=-a b a b【设计意图】熟练应用向量数量积的坐标公式．探究3：向量垂直的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量,()()1122,,,x y x y =a =b ,如何用向量a,b 的坐标来表示⊥a b ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：1212=00x x y y ⊥⇔⋅⇔+=a b a b .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直.此时,展示例1.让学生把答案写在导学案上.给学生4分钟的时间完成，并用投影展示学生的答案，在展示时可以多选取学生完成几种不同的方法.多媒体上展示变式1，让学生完成并口述答案.多媒体上展示变式2，提问一名同学到黑板上板书过程.【设计意图】此时展现例题，注重讲练结合，而且能够及时加深学生对两向量垂直的记忆和理解.两个变式题目的设计也注重梯度性，有利于各层次学生的学习.探究4：向量夹角的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量， ()()1122,,,x y x y =a =b ，θ是a 与b 的夹角，你能用a ，b 的坐标来表示cos θ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：cos θ=接下来讲解例2.先给学生2分钟的思考时间,然后提问一名同学回答,教师板书，给学生起到示范作用.并引导学生总结求两向量夹角余弦值的方法.（四）应用新知例1.已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断ABC ∆的形状，并给出证明.引导学生用不同的方法做这道题目,并展示学生的答案.变式：（1）已知ABC ∆为直角三角形，090A ∠=,(1,3),(2,)AB AC k ==，求k 的值.（2）若上式中090C ∠=，那么k 的值是多少? 答案：（1）23k =-；（2）k =1或2. 例2．已知向量()5,7=-a ，()6,4=--b ,求a b 及a 、b 的夹角θ的余弦值. 解：5(6)(7)(4)3028 2.⋅⨯-+-⨯-=-+=-a b ===，a ==b∴cos 0.03.96274θ===-≈-a b a b 教师:结合本题,总结一下求两向量夹角余弦值的步骤?学生：求两向量夹角的余弦值，先求|⋅、|、,a b a b 再代入公式计算.(五)课堂小结提问一名同学回答,通过本节课的学习,在知识方面和思想方法你有哪些收获?知识方面:1.平面向量数量积的坐标表示；2.向量模的坐标表示；3.向量垂直的坐标表示；4.向量夹角的坐标表示.思想方法：数形结合，类比.【设计意图】培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性．(六)布置作业1.阅读课本P106-P107；2.必做:课本P108 A 组第9、10、11题；选做：课本P108 B 组第2题.【设计意图】学生养成先复习后做作业的学习习惯,另外分层布置作业,满足不同学生的需要．(七)板书设计x x+12【学情分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004在学习本节之前学生已经学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示，且大部分同学有了一定的推理计算能力和处理向量问题的方法，完全有能力推导出平面向量数量积的坐标表示，对于少数不能推导出平面向量数量积坐标表示的可以让他们看课本上的推导过程.有了数量积的坐标表示，在结合上一节中平面向量数量积的性质，那么平面向量的模、两非零向量的垂直关系以及两非零向量的夹角也就很容易用坐标来表示了，学生接受起来也会比较容易.为了更好的学习本节课，在课前需要学生提前预习并且复习好上一节的内容和平面向量的坐标表示，尤其是向量加法、减法运算的推导过程，以便能够顺利的推导出平面向量的数量积的坐标表示.【效果分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004本节课是从坐标表示对平面向量数量积的进一步学习，本节课公式比较多，通过本节课的教学，基本上达到了预期的效果，可以通过以下几个方面来说明：1.课堂教学效率比较高，学生思维活跃，整堂课气氛比较热烈。

课题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第 ______ 课时 总序第 ______个教案课型：新授课 编写时间：____年___月___日 执行时间：___年___月___日 教学目标：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的等价条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 批 注教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学用具：三角板 教学方法：讲练结合 教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ =||||b a ba ⋅⋅讲解范例：设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x . 解：设x = (t ， s )，222221212121y x y x y y x x +++=由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349s t s t b x a x ⎩⎨⎧-==⇒32s t ∴x = (2， -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(-例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3)23-∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133± 三． 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） .57 C2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-=(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .小结：本节课讲述了平面向量数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示的等价条件及平面内两点间的距离公式.五课后作业 学海导航。

平面向量数量积的坐标表示,模及夹角学案一.复习引入新课: 1.平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算率.3.重要结论:设a 、b 都是非零向量,则(1)(2)(3) 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用呢？的坐标表示和b a b a ⋅在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x 1，y 1）， b = （x 2，y 2）， 如何用a 与b 的坐标表示a ·b单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 ① =⋅i i ② =⋅j i③=⋅i j④ =⋅j j()()j y i x j y i x b a 2211+⋅+=⋅在坐标平面xoy 内，已知 a ＝(x 1，y 1)，b ＝ (x 2，y 2)，则两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例 1:已知 a ＝3 )，b ＝3), 求a ·b________________.•=r ra b (1)............•=•r r r ra ab b 交换率(2)()()()......λλλ•=•=•r r r r r ra a ab b b "结率"合(3)()............+•=•+•r r r r r r r a a b c c b c 分配率_________.⊥⇔r r a b ___________.•==r r a a ||__________.=ra ||____||||.•r r r r a a b b 1212a b x x y y ⋅=+r r练习：则2、向量的模和两点间的距离公式例 1:已知 a ＝)，b ＝), 求,a b →→,3、两向量夹角公式的坐标运算向量夹角公式的坐标式：),4,3(),1,3(),2,1(-=-==c b a ρρρ____)(=⋅c b a ρρρ||a b -r r例 1:已知 a ＝ )，b ＝ ), 求a 与b 的夹角θ.4、两向量垂直的坐标表示练习： 且 起点坐标为( 1, 2) 终点坐标为( x, 3x), 则 例 2：已知a ＝(5, 0)，b ＝(–3.2, 2.4),求证：(a ＋b )⊥b .例3:已知A （1、2），B （2，3），C （2，5）， 求证ΔABC 是直角三角形注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学目标：（1）知识与技能：能熟练进行数量积的坐标运算，并初步体会其应用。

（2）过程与方法：在数量积的坐标运算中，提高学生运算能力；渗透数形结合思想、方程思想；学会提出问题——直观猜想——严格论证，促进学生思维能力的发展。

（3）情感、态度：通过本节课的学习，让学生体会到数学结构的完善；在从直观猜想到严格论证中，培养学生理性的态度；鼓励学生自主提问，培养学生问题意识，孕育创新精神。

二、教学重点与难点：（1）重点：数量积的坐标运算及简单应用。

（2）难点：数量积的坐标表示的推导。

关键：向量的坐标表示还原为基底形式。

三、教学过程设计已知两个非零向量,a b 的夹角a b ⋅=___________ a a ⋅=___________ cos θ=___________ ④若a b ⊥⇔___________问题2：已知非零向量(a x =怎样用b a ,的坐标表示1、推导数量积的坐标表示12a b x x ⋅=+、自主练习：(1) 已知(1,1),(3,3),a b ==-a b ⋅=则___ ______;a a ⋅=(2)已知(3,4),(5,),7a b y a b =-=⋅=-且，_______y =则。

交流检查、自主探究(1) 设(,),a x y =则_______,a a ⋅= _________a =。

(2) 设112(,),(,),A x y B y 则AB =___AB =____。

(3) 设非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==的夹角为θcos θ= _______。

(4) 若非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b ⊥⇔________。

教师巡视指导，学生相互交流，1：设(5,7),(6,4),:a b =-=--求 1）b ·a ，a ，b ； 2）a 和b 夹角θ的余弦值； 3）2)b a (+； )()a b a b +⋅-。

平面向量数量积的坐标表示及模夹角教案章节一：平面向量数量积的概念1.1 向量的定义向量的概念及表示方法向量的几何表示1.2 向量数量积的定义数量积的定义及表示方法数量积的计算法则教案章节二：平面向量数量积的坐标表示2.1 坐标系的建立直角坐标系的定义及表示方法坐标系的性质及转换关系2.2 向量坐标表示方法向量坐标的定义及表示方法向量坐标的计算法则2.3 向量数量积的坐标表示向量数量积的坐标表示方法向量数量积的坐标计算法则教案章节三：模的定义及计算3.1 向量模的定义向量模的概念及表示方法向量模的计算法则3.2 向量模的性质向量模的性质及应用向量模的坐标表示方法教案章节四：夹角的概念及计算4.1 向量夹角的定义向量夹角的概念及表示方法向量夹角的计算法则4.2 向量夹角的性质向量夹角的性质及应用向量夹角的坐标表示方法4.3 向量夹角与数量积的关系向量夹角与数量积的关系及表示方法向量夹角与数量积的应用示例教案章节五：综合练习5.1 数量积与向量坐标的综合练习数量积与向量坐标的计算练习数量积与向量坐标的应用练习5.2 模与向量夹角的综合练习模与向量夹角的计算练习模与向量夹角的应用练习5.3 综合应用练习数量积、模、夹角的综合应用练习实际问题的解决练习教案章节六：数量积的性质与应用6.1 数量积的交换律与分配律介绍数量积的交换律和分配律通过坐标表示进行证明和应用6.2 数量积与向量垂直的关系说明数量积与向量垂直的条件推导数量积为零时向量垂直的结论6.3 数量积在几何中的应用利用数量积计算向量的投影利用数量积判断平行或共线向量教案章节七：模的性质与应用7.1 模的单调性介绍模的单调性及其证明举例说明模的单调性在几何中的应用7.2 模的三角不等式介绍模的三角不等式及其证明利用模的三角不等式解决实际问题7.3 模在几何中的应用利用模计算向量的不变量利用模解决距离和长度的问题教案章节八：夹角的性质与应用8.1 夹角的范围与单位介绍夹角的范围和单位（弧度制）说明夹角的取值范围及其意义8.2 夹角的余弦定理介绍夹角的余弦定理及其证明利用余弦定理计算夹角的余弦值8.3 夹角在几何中的应用利用夹角计算三角形的内角和利用夹角解决角度和边长的问题教案章节九：向量数量积与模夹角的综合问题9.1 综合问题的类型与解法介绍综合问题的类型及解题策略通过实例演示解题步骤和技巧9.2 综合问题的练习与解析提供综合问题的练习题解析练习题的解题思路和方法9.3 综合问题的拓展与应用探讨综合问题在不同领域的应用引导学生思考综合问题的实际意义10.1 知识点回顾强调重点概念和重要定理10.2 复习题与解答提供复习题供学生巩固所学内容给出复习题的解答和解析10.3 课程反馈与改进建议征求学生对课程的意见和建议根据反馈调整教学方法和内容安排重点和难点解析1. 教案章节一和二重点关注向量数量积的定义及其坐标表示。

一、 教学冃标1、 掌握平而向量数量积的坐标表示2、 会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以及垂二、 教学重点：平面向量数量积的坐标表示及几个公式教学难点：用坐标法处理长度、角度、垂直问题 三、 教学过程： 一、复习引入：1、 数量积的定义2、 2.两个向量的数量积的性质：设爪0为两个非零向量，e 是与方同向的单位向量.3° 当日与方同向时b 二|日| | 特别的二| a|2或la I 二亦万4° cos0 二 °"； 5° 分方 Wlal"l3. 平面向量数量积的运算律交换律：a • b - b • a 数乘结合1° c-a - a-c - a cos0； 2° 吐b u> a ・b = 0；当日与方反向时,a-b--\a\ \b\.律：（九$）•力二九3Z?）二日•（九Q二、讲解新课:1、平面两向量数量积的坐标表示向量的坐标表示为我们解决有关向量的加、减、乘方运算带来方便，那么坐标表示对数量积运算又带来哪些变化？已知两个非零向量a =，b = (x2,y2)，试用°和b的处标表不a • b・设，是x轴上的单位向量，_/是y轴上的单位向量，那么a = Xi i +yj, b = x2i-^-y2j 所以a-b = (x l i + yj)(x2i + y2j) = x{x2i2 + x x y2i • j + x2y\i • j + 儿y2j2又 = j • j = \ , i • j = j • i = 0 ,所以 a =兀]兀2 + )'』2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a-b = x i x2+ y l y2由a-b=同问cos0出发,5, 5可以用坐标表示，那么同，问能否用坐标表示呢？COS0呢？2、平面内两点间的距离公式—、设 a = (x,y),则I 6/12= %2 + y2或I a 1= Jx? +)".(2)如果表示向量°的有向线段的起点和终点的坐标分别为(坷j)、 (兀2，力)，那么1。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案）
教学目标
1．知识目标：
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
2．能力目标：
⑴培养学生的动手能力和探索能力；
⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想；
3．情感目标：
引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣.
教学重点
平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质
教学难点
平面向量数量积的坐标运算的综合应用
教学方法
启发引导式，讲练结合，多媒体辅助教学
教学过程设计
平面内两点间的距离公式
，
135
65①若
②若
③若
2
a 已知()()a 3,4,b=5,12-则a
b 与夹角的余弦为（ A. B.65 C D.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且则λ＝__________a=(2,3),b=(-3,5)则a b 在方向上的投影为_________。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计——信息技术环境下的小组合作学习一、教学目标【知识与技能】1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式；3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 【过程与方法】通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.【情感、态度与价值观】体会类比、数形结合的数学思想和方法，培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．二、学科素养✧抽象概括：用数量积判断两个平面向量的垂直关系✧逻辑推理：证明两向量垂直以及解决一些简单问题✧数学运算：用平面向量数量积解决有关长度、角度问题✧数学建模：感受数量积与生活实的密切关系，增强应用意识和对数学的热爱✧直观想象：用坐标表示平面向量数量积的有关运算三、学情分析之前学生已学习了平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

四、重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.五、教具准备平板、翻页笔、PPT六、设计思路七、教学环节平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计(一)表示方法：(二)模长公式：(三)夹角公式：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学情分析之前学生已学习了平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

高一数学?必修4?导学案平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角【课前导学】〔一〕复习引入：1．平面向量数量积〔内积〕的定义： __________a b ⋅=2．两个向量的数量积的重要性质：〔1〕________a b ⊥⇔；〔2〕__________a a a ⋅==或||；〔3〕cos __________θ=3．探究：两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，试用a 和b 的坐标表示a b ⋅.提示：假设直角坐标系中，x 轴方向的单位向量为i ，y 轴方向上的单位向量为j ，那么向量,a b 用,i j 可以表示为a = ，b = ；其中i i = ，j j = ，i j = 故：a b ⋅= 〔二〕新课学习 〔阅读课本P106～107后，完成以下内容〕1、平面两向量数量积的坐标表示：假设两个非零向量11()a x ,y =、22()b x ,y =，那么_________a b ⋅= 即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的________________.2. 平面内两点间的距离公式：〔1〕设()a x,y =，那么2_____________||_________a a ===，故. 〔2〕如果11()A x ,y 、22()B x ,y ，那么_____________,AB = A 、B 间的距离||___________________AB = 〔平面内两点间的距离公式〕3、 向量垂直的判定：设11()a x ,y =、22()b x ,y =，那么⊥_________________a b ⋅=⇔.4、两向量夹角的余弦：两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，a 与b 之间的夹角为θ，那么cos θ=_____________________.【例1】(34)a ,=-，(5,2)b =，那么_________a b ⋅=，||_______a =，||_______b =.【变式训练1】a=(2，-1)，b=(3，-2)，那么(3a-b)·(a-2b)=________.例2、1212121,=b b =b =1b =2e e e e e e ⋅⋅⋅是平面单位向量，且，若向量满足，则例3、(1,2),(2,3),(-2,5)A B C ，先作图观察△ABC 的形状，然后给出证明.变式2：()()(3-4)6-35-m -3-m m A ,ABC 已知，B ，，C ，，若为直角三角形，求的值变式3：(1,2),(4,0),(8,6),(5,8)A B C D 为顶点的四边形ABCD 的形状是例4、(13)(223)a ,b ,a b ==-已知，，求与的夹角.变式练习4：()()()()()1,0,0,1,2,5122cos A B C AB AC BAC +∠已知求的模求变式练习5：A(2，1)，B(3，2)，C(-1，5)，求证△ABC 是锐角三角形【总结提升】 1、掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；2、要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题. 【当堂训练达标】1、()()1,=2a-a a a b b b =已知且与垂直，则与的夹角是0.60A 0.30B 0.135C 0.45D2、()2,=1a b a-3a b b π=已知且与的夹角是，那么的模是.2A B .6C .12D3、()10,b=12a//b a a =已知，且，求的坐标4、()()()()a=33b=1-1a+b a-b =λλλ已知，，，，若与垂直，则实数5、()()a=12b=-32k ，，，，为何值时()()1ka+b a-3b 2ka+b a-3b 与垂直？与平行？平行时它们是同向还是反向.高一数学?必修4?导学案平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角〔答案〕·b=|a||b|cos θ2.〔1〕a ·b=0 〔2〕a ·a=2a 或a =a a • 〔3〕)cos θ=ba b a •. 3. a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ,i ·i =1,j ·j =1, i ·j =j ·i =0, a ·b =(x 1i +y 1j )·(x 2i +y 2j )=x 1x 2 i 2+x 1y 2i ·j +x 2y 1i ·j +y 1y 2j 2=x 1x 2+y 1y 2.新课学习1. a ·b =x 1x 2+y 1y2. 乘积之和2.〔1〕|a |2=x 2+y 2 |a |=22y x +〔2〕a =(x 2-x 1,y 2-y 1) |a |=.)()(212212y y x x -+-3. a ⊥b ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4. cos θ=222221212121||||yx y x y y x x b a b a +•++=•例1：-7 5变式训练1：-15 例2：23=3b 例3：ABC A ∠是以为直角的直角三角形变式2：071m=4A ∠为直角时，032m=-4B ∠为直角时，013m=2C ±∠为直角时， 例4：01cos ==602θθ∴变式3：矩形变4：()()12=522cos AB AC BAC +∠求变5：0,0,0AB AC BA BC CB CA ⋅>⋅>⋅>证明当堂训练达标3. ((a=2，或4. =3λ±5. ()()11k=192k=-3，方向相反。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.教学重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.教学过程导入新课在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？推进新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？推导过程如下:∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2.又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x ,y ),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得cos θ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•应用示例例1.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.解:在平面直角坐标系中标出A (1,2),B (2,3),C (-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.例2.已知三点A (2,-2),B (5,1),C (1,4),求∠BAC 的余弦值;解:=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵||=2233+=32,||=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC =.74745372315||||=•=•AC AB 例3.已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a .解:(1)设a =(x ,y ),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x ,y ),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 课堂检测1.在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值. 解:若∠A =90°,则⊥,所以·=0.于是2×1+3k =0.故k =32-.同理可求,若∠B =90°时,k 的值为311; 若∠C =90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 2.设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°) 解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cos θ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器得θ≈92°.3.求证:一次函数y =2x -3的图象(直线l 1)与一次函数y =21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y =2x -3中,令x =1得y =-1;令x =2得y =1,即在l 1上取两点A (1,-1),B (2,1). 同理,在直线l 2上取两点C (-2,1),D (-4,2),于是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴⊥,即l 1⊥l 2.。

第十一课时平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），怎样用a和b的坐标表示a·b呢？这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），∴a＝x１i＋y１j，b＝x２i＋y２j∴a·b＝（x１i＋y１j）（x２i＋y２j）＝x１x２i２＋（x１y２＋x２y１）i·j＋y１y１j２＝x１x２＋y１y２１．平面向量数量积的坐标表示：已知a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），∴a·b＝x１x２＋y１y２２．两向量垂直的坐标表示：设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２）则a⊥b⇔a·b＝0⇔x１x２＋y１y２＝0［例１］已知a＝（１，错误!），b＝（错误!＋１，错误!—１），则a与b的夹角是多少？分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a＝（１，错误!），b＝（错误!＋１，错误!—１）有a·b＝错误!＋１＋错误!（错误!—１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２错误!.记a与b的夹角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!又∵0≤θ≤π，∴θ＝错误!评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例２］已知a＝（３，４），b＝（４，３），求x，y的值使（x a＋y b）⊥a，且｜x a＋y b｜＝１．分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a＝（３，４），b＝（４，３），有x a＋y b＝（３x＋４y，４x＋３y）又（x a＋y b）⊥a⇔（x a＋y b）·a＝0⇔３（３x＋４y）＋４（４x＋３y）＝0即２５x＋２４y＝0 １又｜x a＋y b｜＝１⇔｜x a＋y b｜２＝１⇔（３x＋４y）２＋（４x＋３y）２＝１整理得：２５x２＋４8xy＋２５y２＝１即x（２５x＋２４y）＋２４xy＋２５y２＝１２由１２有２４xy＋２５y２＝１３将１变形代入３可得：y＝±错误!再代入１得：x＝错误!∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例３］在△ABC 中，错误!＝（１，１），错误!＝（２，k ），若△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值.解：若A ＝90°，则错误!·错误!＝0，∴１×２＋１×k ＝0，即k ＝—２若B ＝90°，则错误!·错误!＝0，又错误!＝错误!—错误!＝（２，k ）—（１，１）＝（１，k —１） 即得：１＋（k —１）＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则错误!·错误!＝0，即２＋k （k —１）＝0，而k ２—k ＋２＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝—２或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例４］已知：O 为原点，A （a ，0），B （0，a ），a 为正常数，点P 在线段AB 上，且错误!＝t 错误! （0≤t ≤１），则错误!·错误!的最大值是多少？解：设P （x ，y ），则错误!＝（x —a ，y ），错误!＝（—a ，a ），由错误!＝t 错误!可有：⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴错误!＝（a —at ，at ），又错误!＝（a ，0），∴错误!·错误!＝a ２—a ２t∵a ＞0，可得—a ２＜0，又0≤t ≤１，∴当t ＝0时，OA ·错误!＝a ２—a ２t ，有最大值a ２.［例５］已知｜a ｜＝３，｜b ｜＝２，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量３a ＋５b 与m a —３b互相垂直？解法：（３a＋５b）·（m a—３b）＝３m｜a｜２—9a·b＋５m a·b—１５｜b｜２＝２7m＋（５m—9）×３×２cos60°—１５×４＝４２m—87＝0∴m＝错误!＝错误!时，（３a＋５b）⊥（m a—３b）.Ⅲ.课堂练习课本P8２练习１～8．Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.Ⅴ.课后作业课本P8３习题6，8，9，１0平面向量数量积的坐标表示１．在已知a＝（x，y），b＝（—y，x），则a，b之间的关系为（）Ａ．平行Ｂ．不平行不垂直Ｃ．a⊥bＤ．以上均不对２．已知a＝（—４，３），b＝（５，6），则３|a|２—４a·b为（）Ａ．6３ B.8３ C.２３Ｄ．５7３．若a＝（—３，４），b＝（２，—１），若（a—x b）⊥（a—b），则x等于（）Ａ．—２３Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!４．若a＝（λ，２），b＝（—３，５），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）Ａ．（错误!，+∞）Ｂ．［错误!，+∞）Ｃ．（—∞，错误!）Ｄ．（—∞，错误!］５．已知a＝（—２，１），b＝（—２，—３），则a在b方向上的投影为（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．0 Ｄ．１6．已知向量c与向量a＝（错误!，—１）和b＝（１，错误!）的夹角相等，c的模为错误!，则c＝ .7．若a＝（３，４），b＝（１，２）且a·b＝１0，则b在a上的投影为 .１|a|＝错误!２b２＝错误!３a·b＝x１x`２＋y１y`２４a⊥b x１x`２＋y１y`２＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A（２，１），B（３，２），D（—１，４），（１）求证：错误!⊥错误!；（２）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.１0．已知a＝（３，—２），b＝（k，k）（k∈R），t＝|a—b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？１１．设向量a，b满足|a|＝|b|＝１及|３a—２b|＝３，求|３a＋b|的值.平面向量数量积的坐标表示答案１．C ２．B ３．C ４．A ５．B 6．（错误!，错误!）或（—错误!，错误!）7．２8．２9．已知A（２，１），B（３，２），D（—１，４），（１）求证：错误!⊥错误!；（２）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.（１）证明：∵错误!＝（１，１），错误!＝（—３，３）∴错误!·错误!＝１×３＋１×（—３）＝0，∴错误!⊥错误!.（２）解：∵A BC D为矩形，设C（x，y），∴错误!＝错误!，（１，１）＝（x+１，y—４）∴x＝0，y＝５，∴C（0，５）.１0．已知a＝（３，—２），b＝（k，k）（k∈R），t＝|a—b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？解：∵a—b＝（３—k，—２—k）∴t＝|a—b|＝错误!＝错误!＝错误!∴当k＝错误!时，t取最小值，最小值为错误!.１１．设向量a，b满足|a|＝|b|＝１及|３a—２b|＝３，求|３a＋b|的值.解：a＝（x１，y１），b＝（x２，y２）,∴|a|＝|b|＝１，∴x１２＋y１２＝１，x２２＋y２２＝１１３a—２b＝３（x１，y１）—２（x２，y２）＝（３x１—２x２，３y１—２y２）,又|３a—２b|＝３,∴（３x１—２x２）２＋（３y１—２y２）２＝9,将１代入化简，得x１x２＋y１y２＝错误!２又３a＋b＝３（x１，y１）＋（x２，y２）＝（３x１＋x２，３y１＋y２）,∴|３a＋b|２＝（３x１＋x２）２＋（３y１＋y２）２＝9（x１２＋y１２）＋（x２２＋y２２）＋6（x１x２＋y １y２）＝１２,故|３a＋b|＝２错误!.。