(完整版)平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教案)

2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学案一、教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法，本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。

3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想(一)导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.(二)推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示？②已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1ｉ+y1j，b=x2ｉ+y2j，∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1，ｉ·j=j·ｉ=0，∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐标表示若a =(x ，y )，则|a |2=x 2+y 2，或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么 a =(x 2-x 1，y 2-y 1)，|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙讨论结果:略.(三)应用示例例1 已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角.可先作出草图，进行直观判定，再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)三点，我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1，3-2)=(1，1)，AC =(-2-1，5-2) =(-3，3)， ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明.在△ABC 中，=(2，3)，=(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 解:由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论.若∠A =90°，则⊥，所以·=0.于是2×1+3k =0.故k =32-. 同理可求，若∠B =90°时，k 的值为311； 若∠C =90°时，k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 例2 (1)已知三点A (2，-2)，B (5，1)，C (1，4)，求∠BAC 的余弦值；(2)a =(3，0)，b =(-5，5)，求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1，y 1)与b =(x 2，y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +，|b |=2222y x +的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误.解:(1)=(5，1)-(2，-2)=(3，3)， =(1，4)-(2，-2)=(-1，6)， ∴·AC =3×(-1)+ 3×6=15. 又∵|AB |=2233+=32，||=226)1(+-=37，∴cos ∠BAC =.74745372315||||=∙=∙AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15，|a |=3，|b |=52.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a b a 又∵0≤θ≤π，∴θ=43π. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.设a =(5，-7)，b =(-6，-4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+，|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03. 利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3，b =(2，3)，试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ，求a ；(2)若a ∥b ，求a .活动:对平面中的两向量a =(x 1，y 1)与b =(x 2，y 2)，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆， 应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直是a ·b =0，而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练. 解:(1)设a =(x ，y )，由|a |=3且a ⊥b ，得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x ，y )，由|a |=3且a ∥b ，得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y =2x -3的图象(直线l 1)与一次函数y =21 x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y =2x -3中，令x =1得y =-1；令x =2得y =1，即在l 1上取两点A (1，-1)，B (2，1). 同理，在直线l 2上取两点C (-2，1)，D (-4，2)，于是:=(2，1)-(1，-1)=(2-1，1+1)=(1， 2)，CD =(-4，2)-(-2，1)=(-4+2，2-1)=(-2，1). 由向量的数量积的坐标表示，可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0， ∴AB ⊥，即l 1⊥l 2.(四)课堂小结1.在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等.(五)作业。

平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。

2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。

3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。

教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。

二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。

2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。

三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。

2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。

引导学生思考其中的计算思想和规律。

四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。

2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。

五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。

2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。

教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。

2. 学生课堂参与和讨论。

3. 学生课后完成的作业和练习题。

教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。

2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。

东莞中学数学科叶钦耀
教学目标
1．知识目标：
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
2．能力目标：
⑴培养学生的动手能力和探索能力；
⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结
合的思想；
3．情感目标：
引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣. 教学重点
平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质
教学难点
平面向量数量积的坐标表达式的推导
教学方法
启发引导式，讲练结合
教学过程设计。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案）
教学目标
1．知识目标：
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
2．能力目标：
⑴培养学生的动手能力和探索能力；
⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想；
3．情感目标：
引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣.
教学重点
平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质
教学难点
平面向量数量积的坐标运算的综合应用
教学方法
启发引导式，讲练结合，多媒体辅助教学
教学过程设计
平面内两点间的距离公式
，
135
65①若
②若
③若
2
a 已知()()a 3,4,b=5,12-则a
b 与夹角的余弦为（ A. B.65 C D.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且则λ＝__________a=(2,3),b=(-3,5)则a b 在方向上的投影为_________。

2.4.2平面向量数量积地坐标表示、模、夹角一、教材分析本课地地位及作用：平面向量数量积地坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量地数量积运算，为研究平面中地距离、垂直、角度等问题提供了全新地手段.它把向量地数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一.二．教学目标1．学会用平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.理解掌握向量地模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量地夹角、垂直等问题.2．<1）通出问题，把问题地求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论<2）通过对向量平行与垂直地充要条件地坐标表示地类比，教给了学生类比联想地记忆方法.3．经历根据平面向量数量积地意义探究其坐标表示地过程，体验在此基础上探究发现向量地模、夹角等重要地度量公式地成功乐趣，培养学生地探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积地坐标表示.难点：向量数量积地坐标表示地应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量地坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示地，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用地工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前地一个亟待解决地问题.因此，本节内容地学习是学生认知发展和知识构建地一个合情、合理地“生长点”.所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺地教学方法.因此结合中学生地认知结构特点和学生实际.我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.理解掌握向量地模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量地夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积地意义探究其坐标表示地过程，体验在此基础上探究发现向量地模、夹角等重要地度量公式地成功乐趣，培养学生地探究能力、创新精神.五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪.2．学案导学：见后面地学案.3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习.六、课前准备1．学生地学习准备：预习学案.2．教师地教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案.七、课时安排：1课时八、教学过程(一>预习检查、总结疑惑检查落实了学生地预习情况并了解了学生地疑惑，使教学具有了针对性.<二）情景导入、展示目标.创设问题情景，引出新课⑴a与b地数量积地定义？⑵向量地运算有几种?应怎样计算？出示学习目标：1、理解掌握平面向量数量积地坐标表示、向量地夹角、模地公式.2、两个向量垂直地坐标表示3、运用两个向量地数量积地坐标表示初步解决处理有关长度垂直地几个问题.<三）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2>,b=(x2,y2>,怎样用a与b 地坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1>·(x2,y2>=(x1i+y1j>·(x2i+y2j>=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1 i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2即：两个向量地数量积等于它们对应坐标地乘积地和师生：学生回答提出地问题，教师点评学生：合作探索提出地问题.教师：巡视辅导学生，解决遇到地困难，估计学生对正交单位基向量i,j地运算可能有困难，点拨学：i2=1,j2=1,i·j=0师生：学生展示探究结果，教师给予点评设计意图：回顾平面向量数量积地意义，为探究数量积地坐标表示做好准备.创设情境激发学生地学习兴趣，出示学习目标使学生了解本课地任务问题引领，培养学生地探索研究能力探究二：探索发现向量地模地坐标表达式若a=(x,y>，如何计算向量地模|a|呢？若A(x1,x2>,B(x2,y2>，如何计算向量AB地模两点A、B间地距离呢？教师提出问题学生：独立思考探究合作交流让学生展示探究地结论，教师总结设计意图：在向量数量积地坐标表示基础上，探索发现向量地模例1、如图，以原点和A(5， 2>为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量地坐标.解：设B点坐标(x，y>，则= (x，y>，= (x-5，y-2>∵⊥∴x(x-5> + y(y-2> = 0即：x2 + y2-5x- 2y = 0又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5>2 + (y-2>2即：10x + 4y = 29由∴B点坐标或；=或评述：用向量地垂直关系地坐标表示作为此题地突破点.变式：已知探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1>,b(x2,y2>,如何判定a⊥b或计算a与b地夹角<a,b>呢？1、向量夹角地坐标表示2、a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=0学生：独立思考、探究，合作交流，师生：让学生展示探究地结论，教师总结提醒学生a⊥b与a∥b坐标表达式地不同设计意图：在向量数量积地坐标表示基础上两向量垂直，两向量夹角地坐标表达式例2在△ABC中，=(2， 3>，=(1，k>，且△ABC地一个内角为直角，求k值.解：当A = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =当B = 90︒时，⋅= 0，=-= (1-2，k-3> =(-1，k-3>∴2×(-1> +3×(k-3> = 0 ∴k =当C= 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k(k-3> = 0 ∴k=评述：熟练应用向量地夹角公式.变式：已知，当k为何值时，<1）垂直？<2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？<四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课地主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单地反馈纠正.<课堂实录）<五）发导学案、布置预习.我们已经学习数量积地坐标运算.模.夹角.下节学习平面向量应用举例这节课后大家可以先预习这一部分，着重体会向量是一种处理几何问题.物理问题地工具增强应用意识提高解题能力九、板书设计具备一定地数学思维能力和处理向量问题地方法地现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线地原则，为此，我通过精心设置地一个个问题，激发学生地求知欲，积极地鼓励学生地参与，给学生独立思考地空间，鼓励学生自主探索，最终在教师地指导下去探索发现问题，解决问题.在教学中，我适时地对学生学习过程给予评价，适当地评价，可以培养学生地自信心，合作交流地意识，更进一步地激发了学生地学习兴趣，让他们体验成功地喜悦.2．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课地信息容量，极大提高学生地学习兴趣.十一、学案设计(见下页>2.4.2平面向量数量积地坐标表示、模、夹角课前预习学案一、预习目标：预习平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.了解向量地模、夹角等公式.二、预习内容：1.平面向量数量积<内积）地坐标表示2.引入向量地数量积地坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1>向量模地坐标表示：能表示单位向量地模吗？(2>平面上两点间地距离公式：向量a地起点和终点坐标分别为A(x1，y1>，B(x2，y2>AB=(3>两向量地夹角公式cos =3. 向量垂直地判定<坐标表示）4.向量平行地判定<坐标表示）三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标学会用平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.掌握两个向量共线、垂直地几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积地应用二、学习过程<一）创设问题情景，引出新课a与b地数量积地定义？⑵向量地运算有几种?应怎样计算？<二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2>,b=(x2,y2>,怎样用a与b 地坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1>·(x2,y2>=(x1i+y1j>·(x2i+y2j>=x1x2i2+x1y2i·j+x2y·j+y1y2j2=x1x2+y1y21i教师：巡视辅导学生，解决遇到地困难，估计学生对正交单位基向量i,j地运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量地模地坐标表达式若a=(x,y>，如何计算向量地模|a|呢？若A(x1,x2>,B(x2,y2>，如何计算向量AB地模两点A、B间地距离呢？例1、如图，以原点和A(5， 2>为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量地坐标.变式：已知探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1>,b(x2,y2>,如何判定a⊥b或计算a与b地夹角<a,b>呢？1、向量夹角地坐标表示2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=0例2在△ABC中，=(2， 3>，=(1，k>，且△ABC地一个内角为直角，求k值.变式：已知，当k为何值时，<1）垂直？<2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？<三）反思总结(四>当堂检测1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b>与a垂直，则a与b地夹角是< ）A.60°B.30°C.135°D.４５°2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间地夹角为，那么向量m=a-4b地模为< ）A.2B.2C.6D.123、a=(5,-7>,b=(-6,-4>，求a与b地数量积4、设a=(2,1>,b=(1,3>,求a·b及a与b地夹角5、已知向量a=(-2,-1>,b=(λ,1>若a与b地夹角为钝角,则λ取值范围是多少?课后练习与提高1.已知则< ）A.23B.57C.63D.832.已知则夹角地余弦为< ）A. B. C. D.3.则__________.4.已知则__________.5.则______________6.与垂直地单位向量是__________A. B.D.7.则方向上地投影为_________8.A(1,2>,B(2,3>,C(2,0>所以为( >A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形9.已知A(1,0>,B(5,-2>,C(8,4>,D.(4.6>则四边形ABCD为< ）A.正方形B.菱形C.梯形D. 矩形10.已知点A<1，2），B(4,-1>,问在y轴上找点C，使∠ABC＝90º若不能，说明理由；若能，求C坐标.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

平面向量数量积的坐标表示及模夹角教案章节：一、向量数量积的概念1. 引入向量数量积的概念，让学生了解向量数量积的定义及几何意义。

2. 讲解向量数量积的计算公式，引导学生理解坐标表示下的数量积运算。

二、向量数量积的坐标表示1. 讲解向量坐标的概念，让学生掌握向量坐标的表示方法。

2. 推导向量数量积的坐标表示公式，并通过实例让学生熟悉坐标表示下的数量积运算。

三、向量的模1. 引入向量模的概念，让学生了解向量模的定义及其重要性。

2. 讲解向量模的计算方法，引导学生掌握坐标表示下的向量模运算。

四、向量的夹角1. 引入向量夹角的概念，让学生了解向量夹角的定义及其几何意义。

2. 讲解向量夹角的计算方法，引导学生掌握坐标表示下的向量夹角运算。

五、数量积、模、夹角的关系1. 讲解向量数量积、模、夹角之间的关系，让学生理解三者之间的内在联系。

2. 通过实例让学生掌握如何利用数量积、模、夹角之间的关系解决问题。

教学目标：1. 理解向量数量积的概念及其几何意义。

2. 掌握向量数量积的坐标表示及运算方法。

3. 熟悉向量的模及其计算方法。

4. 掌握向量的夹角及其计算方法。

5. 理解向量数量积、模、夹角之间的关系，并能应用于实际问题。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量数量积、模、夹角的概念及计算方法。

2. 利用多媒体辅助教学，展示向量数量积、模、夹角的图形表示。

3. 通过例题讲解，让学生熟悉坐标表示下的向量数量积、模、夹角运算。

4. 组织学生进行小组讨论，探讨向量数量积、模、夹角之间的关系。

5. 布置课后习题，巩固所学知识。

六、数量积的性质及应用1. 讲解数量积的性质，包括交换律、分配律、结合律等。

2. 引导学生了解数量积在几何中的应用，如求解向量构成的平行四边形的面积。

七、模的性质及应用1. 讲解模的性质，包括非负性、单调性等。

2. 引导学生了解模在几何中的应用，如求解向量所在直线的倾斜角。

八、夹角的性质及应用1. 讲解夹角的性质，包括范围、平分线等。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识与技能】1．掌握平面向量数量积的坐标表示;2．掌握向量垂直的坐标表示的等价条件及平面内两点间的距离公式.3．能用所学知识解决有关综合问题.【过程与方法】本节研究如何用向量坐标求向量的数量积、模和夹角，又是以“计算”研究几何性质的内容，学习时可先回顾§2.3.2、§的相关知识以便更好地掌握，而且本节公式较多，应仔细比较.一．教学目标1．掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式．（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．（3）根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式．2．通过本节内容的研究学习，培养学生的动手能力和探索精神．3．通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．二．教学重点平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的坐标表示的充要条件．教学难点平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用.三．教学过程1．设置情境我们知道，向量的表示形式不同，对其运算的表达方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？本节课我们就来讨论这一问题2．探索研究（1）请同学思考一下，如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？ 答：θcos b a b a =⋅，ba b a ⋅=θcos 运算律有1．a b b a ⋅=⋅2．()()()b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅3．()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+（2）已知()()2221,,y x y x ==b a ，怎样用a 、b 的坐标表示b a ⋅呢？请同学看下列问题（投影）①=⋅i i __1__ ②=⋅j j __1__③=⋅j i __0__ ④=⋅i j __0__你能推导出b a ⋅的坐标公式吗？()()j i j i b a 2211y x y x +⋅+=⋅2211221221j j i j i i y y y x y x x x +⋅+⋅+= 2121y y x x +=这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：2121y x +=a 2222y x +=b . 若设()11,y x A 、()22,y x B ()()212212y y x x -+-=，这就是A 、B 两点间的距离公式.问：请同学写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式.答：①222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ②0//1221=-⇔y x y x b a③02121=+⇔⊥y y x x b a（3）例题分析【例1】设()7,5-=a ，()4,6--=b ，求b a ⋅.解：()()()24765-=-⨯-+-⨯=⋅b a问：a 、b 夹角多大？【例2】已知()2,1A ，()3,2B ，()5,2-C ，求证ABC ∆是直角三角形. 证明：∵()()1,123,12=--=()()2,325,12-=---= ∴()03131=⨯+-⨯=⋅AC ABABC ∆是直角三角形.问：还有其他证明方法吗？，然后用勾股定理验证）【例3】求与向量()13,13+-=a 的夹角为︒45的单位向量. 分析：单位向量其长为1.解：设所求向量为()ααsin ,coa =x∵a 与x 成︒45 ∴2822=⋅=⋅x a 另一方面 ()()ααcos 13cos 13++-=⋅x a ∴()()2sin 13cos 13=++-αα……① 又1cos sin 22=+αα……②联立解之：23cos -=α，21sin =α或21cos -=α，23sin =α. ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,231x 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,212x说明：也可以设()n m ,=x ，还可以先把a 单位化.3．演练反馈（投影）（1）已知3=a ，()2,1=b 且b a //，求a .（2）已知()2,4=a ，求与a 垂直的单位向量.（3）ABC Rt ∆中，()3,2=，()k ,1=，求k 的值.提示：分类讨论参考答案：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=56,5356,53a a 或 （2）∵()n m,x =，则易证()m n,y -=或()m n,y -=与x 垂直.∴ 与a 垂直的单位向量为()4,21-a ，或()4,21-a ，而52=a . ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-52,51或⎪⎭⎫ ⎝⎛-52,51为所求答案. （3）解：①︒=90A 时，32-=k ②︒=90B 时，311=k ③︒=90C 时，2133±=k . 4．总结提炼 （1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角.（2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如()n m,a =与()m n,b -=总是垂直的。

第一课时2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）物理学中，在力的作用下，功的表达式W = |F|⋅|s|cosθ，θ是F与s的夹角.二、讲解教材：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与，b它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a⋅b = b⋅ca = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα =|b||OA|⇒a⋅b = b⋅c 但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、a⊥b⇔a⋅b = 02、当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|.特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a||b|cos θ，b ⋅ a = |b||a|cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b)⋅c = a ⋅c + b ⋅c4.有如下常用性质：22||a a = （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解例题：例1．已知|a|=12， |b|=9，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标：1、 掌握平面向量数量积的坐标表示方法2、 掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式.3、 能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.4、培养学生数形结合、转化与化归的数学思想教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习旧知： 1．a ⃗∙b ⃗⃗=|a ⃗||b⃗⃗|cos θ， 2．a ⃗∙a ⃗=|a ⃗|2或|a ⃗|=√a ⃗∙a ⃗，3．a ⃗⊥b ⃗⃗⟺a ⃗∙b⃗⃗=0， 4．cos θ=a ⃗⃗∙b ⃗⃗|a ⃗⃗||b⃗⃗| . 二、新课讲解1：平面向量数量积的坐标表示思考1：设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，则向量a 与b 用i 、j 分别如何表示？思考2：对于上述向量i 、j ，则i · i = ，j · j = ，i · j =根据数量积的运算性质，a · b =请用文字描述平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1：已知a ⃗=(1，√3)，b ⃗⃗=(−2，2√3)，求a ⃗∙b⃗⃗. 练习：a ⃗=(1，2)，b ⃗⃗=(3，−1)，c ⃗=(−3，4)，则a ⃗∙(b ⃗⃗∙c ⃗)=____________2：向量的模和和两点间的距离公式思考1：设向量a ＝(y x ,)，利用数量积的坐标表示，︱a ︱= 思考2：如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(11,y x ), (22,y x )，那么向量a 的坐标如何表示？︱a ︱=例2：已知a ⃗=(1，√3)，b ⃗⃗=(−2，2√3)，求|a ⃗|，|b ⃗⃗|，|a ⃗−b⃗⃗|. 3：向量夹角公式的坐标运算思考：设a 、b 是两个非零向量，其夹角为θ，若a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，那么cos θ如何用坐标表示？例3：已知a ⃗=(1，√3)，b ⃗⃗=(−2，2√3)，求a ⃗与b⃗⃗的夹角θ.4：两向量垂直坐标表示思考：设向量a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，若a ⊥b ，则11,y x ，22,y x 之间的关系如何？反之成立吗？例4：a ⃗=(3，4)，b ⃗⃗⊥a ⃗，且b⃗⃗起点坐标为(1，2)终点坐标为(x ，3x)，求b ⃗⃗的坐标.例5：已知()2,1A ，()3,2B ，()5,2-C ，试判断ABC ∆的形状，并给出证明。

一、 教学冃标1、 掌握平而向量数量积的坐标表示2、 会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以及垂二、 教学重点：平面向量数量积的坐标表示及几个公式教学难点：用坐标法处理长度、角度、垂直问题 三、 教学过程： 一、复习引入：1、 数量积的定义2、 2.两个向量的数量积的性质：设爪0为两个非零向量，e 是与方同向的单位向量.3° 当日与方同向时b 二|日| | 特别的二| a|2或la I 二亦万4° cos0 二 °"； 5° 分方 Wlal"l3. 平面向量数量积的运算律交换律：a • b - b • a 数乘结合1° c-a - a-c - a cos0； 2° 吐b u> a ・b = 0；当日与方反向时,a-b--\a\ \b\.律：（九$）•力二九3Z?）二日•（九Q二、讲解新课:1、平面两向量数量积的坐标表示向量的坐标表示为我们解决有关向量的加、减、乘方运算带来方便，那么坐标表示对数量积运算又带来哪些变化？已知两个非零向量a =，b = (x2,y2)，试用°和b的处标表不a • b・设，是x轴上的单位向量，_/是y轴上的单位向量，那么a = Xi i +yj, b = x2i-^-y2j 所以a-b = (x l i + yj)(x2i + y2j) = x{x2i2 + x x y2i • j + x2y\i • j + 儿y2j2又 = j • j = \ , i • j = j • i = 0 ,所以 a =兀]兀2 + )'』2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a-b = x i x2+ y l y2由a-b=同问cos0出发,5, 5可以用坐标表示，那么同，问能否用坐标表示呢？COS0呢？2、平面内两点间的距离公式—、设 a = (x,y),则I 6/12= %2 + y2或I a 1= Jx? +)".(2)如果表示向量°的有向线段的起点和终点的坐标分别为(坷j)、 (兀2，力)，那么1。

平面向量数目积的坐标表示、模、夹角一、教材剖析本课的地位及作用：平面向量数目积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数目积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题供给了崭新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点密切联系起来，是全章要点之一。

二．教课目的1．学会用平面向量数目积的坐标表达式，会进行数目积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能依据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（ 1）通出问题，把问题的求解与研究贯串整堂课，学生在自主研究中发现了却论（2）经过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历依据平面向量数目积的意义研究其坐标表示的过程，体验在此基础上研究发现向量的模、夹角等重要的胸怀公式的成功乐趣，培育学生的研究能力、创新精神、三、教课要点难点要点：平面向量数目积的坐标表示.难点：向量数目积的坐标表示的应用.四、学情剖析此以前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数目积观点及运算，但数目积是用长度和夹角这两个观点来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数目积，使之应用更方便，就是摆在学生眼前的一个亟待解决的问题。

所以，本节内容的学习是学生认知发展和知识建立的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采纳以学生自主达成为主，教师查漏补缺的教课方法。

所以联合中学生的认知构造特色和学生实际。

我将本节教课目的确立为：1、理解掌握平面向量数目积的坐标表达式，会进行数目积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能依据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历依据平面向量数目积的意义研究其坐标表示的过程，体验在此基础上研究发现向量的模、夹角等重要的胸怀公式的成功乐趣，培育学生的研究能力、创新精神。

五、教课方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．教案导学：见后边的教案。

3．新讲课教课基本环节：预习检查、总结迷惑→情境导入、展现目标→合作研究、精讲点拨→反省总结、当堂检测→发导教案、部署预习。

第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.⑶能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ aC数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=四、 讲解范例：五、 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .解：设x = (t ， s )，由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349s t s t b x a x ⎩⎨⎧-==⇒32s t ∴x = (2， -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2． 记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标. 解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2)∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(-例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23- 当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133± 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ）A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.)54,53(-或)53,54(- D.)54,53(-或)54,53(- 4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .七、 小结（略）八、 课后作业（略）九、 板书设计（略）十、 课后记：。

平面向量数量积平面向量数量积的坐标表示、模、夹角〔刘季梅〕一、教学目标〔一〕核心素养本节课是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算，它把向量的长度和三角函数联系了起来，这为解决有关的几何问题提供了方便，特别为解决线段垂直问题提供了有效的方法，不仅它自身有很丰富的内容，而且在数学、物理等学科中应用十分广泛，所以也是高中数学的一个重要概念通过本节课的学习，学生应了解尝试观察、归纳、类比、联想和数形结合等数学思想方法〔二〕学习目标1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行相关计算．2．掌握向量的模、平面上两点间的距离公式的坐标表示．3．掌握两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．〔三〕学习重点1．平面向量数量积的坐标表示．2．两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．〔四〕学习难点1．平面向量数量积的坐标表示的理解．2．平面向量数量积的应用．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务〔1〕读一读：阅读教材第106页至107页，填空：①两个非零向量，，那么ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．②向量，那么，其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．③，，那么，④两个非零向量，，那么．⑤两个非零向量，，是它们的夹角，那么．2．预习自测向量，，〔1〕____________，____________；〔2〕____________，____________，____________；〔3〕假设，那么____________；〔4〕____________，____________．【答案】〔1〕1，4；〔2〕，，；〔3〕1；〔4〕2,1；-8,16．〔二〕课堂设计1．知识回忆〔1〕两个非零向量，，那么ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．〔2〕向量，那么，其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．〔3〕，，那么，〔4〕两个非零向量，，那么．〔5〕两个非零向量，，是它们的夹角，那么．2．问题探究探究一平面向量数量积的坐标表示●活动①引出平面向量数量积坐标表示的概念〔讨论后举手答复〕〔1〕设单位向量，分别与平面直角坐标系中的轴、轴方向相同，O为坐标原点，假设向量，那么向量的坐标是，假设向量a=1，-2，那么向量a可用，表示为．〔2〕，，且，，那么ab= ．〔3〕两个非零向量，，怎样用a与b的坐标来表示ab呢？的坐标是：〔3，2〕，可以将a的起点平移至坐标原点，那么a可用，表示为；根据向量数量积的运算律和垂直向量数量积为0，得：ab=；观察第〔2〕问的计算过程，不难发现两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和∴ab=．【设计意图】通过学生互相讨论，教师设计问题的方式引导学生探索后得出平面向量数量积坐标表示的概念．●活动②平面向量垂直的坐标表示〔口答〕学习了平面向量数量积的坐标表示，请同学们思考当两个非零向量和垂直的充要条件更进一步可以怎样描述？【设计意图】稳固向量数量积的坐标表示，提炼两向量垂直的坐标表示这一重要的向量数量积的性质．探究二平面向量数量模〔长度〕的坐标表示●活动①平面向量的模〔长度〕的坐标表示〔举手答复〕向量，如何用向量的坐标表示的模？因为，所以．其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．【设计意图】通过设计问题的方式引导学生得出平面向量的模〔长度〕的坐标表示．●活动②平面向量的模〔长度〕的坐标表示〔口答〕原点，点，，那么如何用两点的坐标表示向量的模长？因为，所以．其含义是：向量的模等于两点之间的距离．【设计意图】通过设计问题的方式引导学生得出平面向量的模〔长度〕的坐标表示．●活动③平面向量数量积的性质的坐标表示〔举手答复〕两个非零向量，，为a与b的夹角．1当a与b同向时，，_____________________；2当a与b反向时，，_____________________；3____________________________________；4设为与向量同向的单位向量，那么向量〔___________，___________〕．；；；由〔〕．其中性质〔3〕中是柯西不等式．【设计意图】稳固平面向量数量积的性质，并会用向量的坐标表示．探究三平面向量数量夹角和投影的坐标表示●活动①平面向量夹角的坐标表示〔举手答复〕设a与b是两个非零向量，，，为a与b的夹角，那么a与b的夹角的余弦值用向量的坐标如何表示？向量b在向量a方向上的投影的坐标表示？；b在向量a方向上的投影是．【设计意图】稳固平面向量数量积公式变形求向量夹角余弦值和求投影的性质，并会用向量的坐标表示．●活动②稳固根底，检查反应例1，，求，a与b的夹角θ．【知识点】向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示．【解题过程】；；；∴，又∵，∴．【思路点拨】利用向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示公式．【答案】；；；a与b的夹角为．同类训练，，a与b的夹角θ，求．【知识点】向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示．【解题过程】；；；∴．【思路点拨】利用向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示公式．【答案】；．【设计意图】稳固平面向量数量积公式，向量的模的坐标表示和两个向量夹角余弦值的坐标表示，并会进行具体计算．●活动③强化提升，灵活应用例2A1，2，B2，3，C-2，5，试判断的形状，并给出证明．【知识点】平面向量垂直的坐标表示．【数学思想】数形结合【解题过程】如图，在平面直角坐标系中标出A1，2，B2，3，C-2，5三点，发现为是以∠A为直角的直角三角形．证明如下：∵，，∴，∴，∴为直角三角形【思路点拨】作图判断三角形形状，并找到垂直的两个线段，表示两线段对应向量，然后求两向量的坐标数量积为0，从而到达证明的目的．【答案】为直角三角形，证明见解答过程．同类训练在中，设，，且是直角三角形，求的值．【知识点】平面向量垂直的坐标表示．【数学思想】分类讨论【解题过程】〔1〕假设，，∴，即，解得：；〔2〕假设，，，∴，即，解得：；〔3〕假设，，∴，即，解得：．综上：或或．【思路点拨】对三角形的三个角分别为直角进行分类讨论求值．【答案】或或．【设计意图】熟练平面向量垂直的坐标表示的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．3课堂总结知识梳理〔1〕两个非零向量，，那么ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．〔2〕向量，那么，其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．〔3〕，，那么，〔4〕两个非零向量，，那么．〔5〕两个非零向量，，是它们的夹角，那么．重难点归纳1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行相关计算．2．掌握向量的模、平面上两点间的距离公式的坐标表示．3．掌握两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．〔三〕课后作业根底型自主突破1．，，那么〔〕A．23B．57 C．63 D．83【知识点】向量数量积的坐标表示．【解题过程】．【思路点拨】熟练向量数量积的坐标表示和运算．【答案】D．2．，，那么a在b方向上的投影为〔〕A．B．C．D．【知识点】向量坐标表示投影，向量数量积的坐标表示，向量坐标表示模长．【解题过程】．【思路点拨】会用向量坐标表示投影．【答案】A．3．，，且恰好与垂直，那么实数的值为〔〕A．1B．C．1或D．以上均不对【知识点】向量的坐标运算，向量垂直的性质．【解题过程】，∵与垂直，∴，即：，解得：，经检验，满足条件．【思路点拨】向量加法和数乘的坐标运算，向量垂直的性质．【答案】B4．点，，，，那么四边形为〔〕A．正方形B．菱形C．梯形D．矩形【知识点】向量垂直和平行．【解题过程】∵，，∴．∴四边形为平行四边形．又∵，∴，又∵，∴四边形为矩形．【思路点拨】用向量的坐标判定向量的平行和垂直．【答案】D．5．点为坐标原点，向量，，在轴上有一点，使有最小值，那么点的坐标是〔〕A．B．C．D．【知识点】向量数量积，函数最值．【解题过程】设点的坐标为，那么，．故，当时，使有最小值1．【思路点拨】设点坐标并表示数量积，最后求二次函数最值．【答案】C6．假设，，，那么___________．【知识点】向量数量积运算律和坐标表示．【解题过程】∵，∴．【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律．【答案】．能力型师生共研7．假设平面向量与的夹角为，且，那么___________．【知识点】向量模长的坐标表示，共线反向向量．【解题过程】由题知：与共线且方向相反，所以．设，那么，即，∵，∴，即．解得：〔正值舍去〕．所以．【思路点拨】设向量坐标，根据条件列方程组求解，明确反向向量和向量模长的坐标特征．【答案】．8．向量，．〔1〕假设，求的值；〔2〕假设的值不超过，求的取值范围．【知识点】向量垂直和向量的模长．【解题过程】〔1〕∵，∴，即．解得：．〔2〕，∵，∴．解得．【思路点拨】明确垂直向量的坐标性质，向量坐标表示模长．【答案】1 =5,2探究型多维突破9．的三个顶点坐标分别为，，，且于点．〔1〕求点的坐标；〔2〕求的面积．【知识点】点表示向量，向量垂直，三角形的面积．【数学思想】方程的思想【解题过程】〔1〕设，那么，，．因为共线，所以．又因为，所以解得∴点的坐标为．〔2〕由〔1〕，知，，，所以．【思路点拨】设点的坐标，根据垂直向量的坐标性质和三点共线得到方程组，解方程组得点的坐标．【答案】〔1〕点的坐标为；〔2〕．10．设平面向量，，与不共线．〔1〕求证：向量与垂直；〔2〕假设向量与的模相等，求角．【知识点】向量垂直，向量数量积的运算律．【解题过程】〔1〕由，，∵，且与均为非零向量，∴向量与垂直．〔2〕由：．化简，得，所以．所以．又因为，所以或．【思路点拨】明确内积为0的两向量垂直．明确模长相等的向量的模长平方也相等，从而运用向量数量积的运算律，化简得到的方程到达求解的目的．【答案】〔1〕证明见解题过程；〔2〕或．自助餐1．a，b为平面向量，，，那么夹角的余弦值等于〔〕A．B．C．D．【知识点】向量坐标，向量夹角．【数学思想】方程组消元的思想．【解题过程】∵，∴，故，∴．【思路点拨】向量坐标的加减法运算，向量夹角余弦值的坐标表示．【答案】C．2．向量，，，假设向量满足，，那么等于〔〕A．B．C．D．【知识点】向量平行和垂直．【数学思想】方程的思想．【解题过程】设，由得，①；由得，②；联立①②得，，所以．【思路点拨】设向量的坐标，根据向量平行和垂直的坐标特征列方程组求解．【答案】D3．，那么与a垂直的单位向量的坐标为________．【知识点】向量垂直，单位向量．【数学思想】方程的思想．【解题过程】设所求向量为，由为单位向量得：，①；由得，②；联立①②得，；或，．所以与a垂直的单位向量的坐标为或．【思路点拨】设所求向量的坐标，根据单位向量和向量垂直的坐标特征列方程组求解．【答案】或．4．在中，，点在边上，那么的最小值为________．【知识点】向量数量积的最值．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】以的边为轴，边上的中线为轴建立平面直角坐标系，那么，．设，，∴，，所以，当时取最小值．【思路点拨】建立适宜的直角坐标系，设未知元表示向量内积求最值．【答案】5．a＝1,2，b＝－2，n，a与b的夹角是45°．〔1〕求b；〔2〕假设c与b同向，且a与c－a垂直，求c．【知识点】向量的夹角，同向向量和垂直向量．【解题过程】1a·b＝2n－2，|a|＝错误!，|b|＝错误!，∴co 45°＝错误!＝错误!，∴3n216n12＝0 n>1，∴n＝6或n＝－错误!舍，∴b＝2,6．2由1知，a·b＝10，|a|2＝同向，故可设c＝λbλ>0，ca·a＝0，∴λb·a|a|2＝0，∴λ＝错误!＝错误!＝错误!，∴c＝错误!b＝-1，3．【思路点拨】明确向量的夹角坐标公式，向量同向和垂直的性质．【答案】〔1〕b＝2,6 ；〔2〕c＝-1，36．平面向量a＝错误!，－1，b＝〔1〕证明：a⊥b；〔2〕假设存在不同时为零的实数和t，使c＝a＋t2－3b，d＝－a＋t b，且c⊥d，试求函数关系式＝ft．【知识点】向量垂直．【数学思想】函数的思想．【解题过程】〔1〕∵a·b＝错误!×错误!－1×错误!＝0，∴a⊥b．〔2〕∵c＝a t2－3b，d＝－a＋t b，且c⊥d，∴c·d＝[a＋t2－3b]·－a＋t b＝－a2＋tt2－3b2＋[t－t2－3]a·b＝0，又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4＋t3－3t＝0，∴＝ft＝错误!t≠0．【思路点拨】明确向量垂直的判定和性质．【答案】〔1〕证明见解题过程；〔2〕＝ft＝错误!t≠0．。