平面向量垂直以及夹角的坐标表示

专题3:平面向量基本定理及坐标表示核心知识点1：平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．核心知识点2：平面向量的正交分解及坐标表示1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y i ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【知识微点评】点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．2．区别：(1)书写不同，如a ＝(1,2)，A (1,2)．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x ，y )在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x ，y )或向量(x ，y )．4．平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有下表：核心知识点3：平面向量的垂直与平行1．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时，a ∥b ．【知识微点评】两个向量共线条件的三种表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb ．这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 两个向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识微点评】1.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．2．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．3．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示模 |a |2＝x 21＋y 21或|a |＝x 21＋y 21 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(a ，b 为非零向量) 【知识微点评】向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 必考必会题型1：用基底表示向量【典型例题】在平行四边形ABCD 中，，且，则λ+μ＝ ．【题型强化】1.如图，在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若m ，则实数m 的值为 ．2.如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则．【名师点睛】用基底表示向量的两种基本方法：用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.必考必会题型2：平面向量基本定理在平面几何中的应用【典型例题】如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【题型强化】1.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．（1）试用向量表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，其中λ，μ∈R．当EF与AD重合时，λ＝1，μ，此时5；当EF与BC重合时，λ，μ＝1，此时5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式5恒成立，请说明理由．2.如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交AB，AC两边于点P，Q，设，请求出x、y的关系式，并记y＝f（x）（1）求函数y＝f（x）的表达式；（2）设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，且S1＝kS2，求实数k的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）必考必会题型3：平面向量坐标运算【典型例题】已知向量，．那么向量的坐标是．【题型强化】1.已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||||，则点P的坐标为．2.如图所示，在平面直角坐标系中，（2，﹣3），则点D的坐标为．【名师点睛】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.必考必会题型4：向量共线、垂直的坐标表示的应用【典型例题】已知向量（1，3），（2，），若单位向量与2平行，则．【题型强化】1.已知向量（1，3），（﹣2，1），（3，2）．若向量与向量k共线，则实数k＝．2.已知2，2，与的夹角为45°，且λ与垂直，则实数λ＝．【名师点睛】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路：借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助或(其中，)，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.必考必会题型5：向量坐标运算与平面几何的交汇【典型例题】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【题型强化】1.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．（1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线．2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O为△ABC的外心，，求x，y的值．【名师点睛】利用向量解决平面几何问题的基本思路：利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.必考必会题型6：向量坐标运算与三角函数的交汇【典型例题】设向量．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．【题型强化】1.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cos A，a﹣2b），（2c，1）且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2.已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量（2﹣2sin A，sin A+cos A）与向量（sin A﹣cos A，1+sin A）共线，且角A 为锐角．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数的值域． 【名师点睛】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路： 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算. 【课后巩固】 1．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．-3B ．-2C ．2D ．32．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC 3．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ） A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 5．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．07．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.8．已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 9．已知()2,1a =--，(),1b λ=，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______. 10．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,2m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 12．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ； （2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ， （1）求角C 的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B +的值．。

平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。

为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。

一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。

假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。

在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。

二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。

1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。

2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。

- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。

- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。

- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。

- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。

- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。

- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。

- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。

- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。

三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。

向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。

2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。

向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。

平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。

在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。

一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。

在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。

假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。

对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。

二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。

对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。

通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。

若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。

三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。

问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。

解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．二、过程与方法1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示．2．通过教师提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生经历的这种实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．三、情感、态度与价值观1．在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对“化归”、“数形结合”等数学思想的应用．2．在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点、难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．教学难点：平面向量基本定理的理解与应用．教学关键：平面向量基本定理的理解.教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位．教法与学法导航教学方法：启发诱导.学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律．教学准备.教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？二、主题探究，合作交流提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．师生互动：如上右图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C 作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM=λ1e1，ON=λ2e2．由于OM+=，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得：平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．定理说明：（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不唯一，关键是不共线;（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;（4）基底给定时，分解形式唯一．提出问题:①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a和b（如图），作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．显然，当θ=0°时，a与b同向;当θ=180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j ①这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ） ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i =（1，0），j =（0，1），0=（0，0）．教师应引导学生特别注意以下几点：（1）向量a 与有序实数对（x ，y ）一一对应．（2）向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，11B A 是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）．（3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：三、拓展创新，应用提高例1 已知向量e 1、e 2（如右图），求作向量-2.5e 1+3e 2．作法：（1）如图，任取一点O ，作OA =-2．5e 1，OB =3e 2．（2）作OAC B ．故OC 就是求作的向量．例2 如下图，分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标． 活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合．一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小．把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标．另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标．同样的方法，可以得到向量b 、c 、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．解：由图可知，a =1AA +2AA =2i +3j ，∴a =（2，3）．同理，b =-2i +3j =（-2，3）；c =-2i -3j =（-2，-3）；d =2i -3j =（2，-3）．点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合．五、课堂作业1．如图所示，已知AP =34AB ，AQ =31AB ，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（ ） A ．31OA +34OB B ．31-OA +34OB C ．31-OA -34OB D ．31OA -34OB 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|=m ，|e 2|=n ，若c =λ1e 1+λ2e 2（λ1，λ2∈R ），则|c |的最大值为（ ）A ．λ1m +λ2nB ．λ1n +λ2mC ．|λ1|m +|λ2|nD ．|λ1|n +|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且12A A =e 1，12B B =e 2，12C C =e 3，则12G G 等于（ ）A ．21（e 1+e 2+e 3） B ．31（e 1+e 2+e 3） C ．32（e 1+e 2+e 3） D ．31-（e 1+e 2+e 3） 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AC AB AB +，λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB =a +2b ，BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如右图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为________．参考答案：1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．6第2课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量的坐标的概念；2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线．二、过程与方法教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．教学重点、难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．教学关键：平面向量坐标运算的探究.教学突破方法：结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生探究发现，最终得到结论．教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导学习方法：在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上，在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．教学准备教师准备：多媒体、尺规．学生准备：练习本、尺规．教学过程一、创设情境，导入新课前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？二、主题探究，合作交流提出问题：①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），你能得出a +b ，a -b ，λa 的坐标表示吗？②如图，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？师生互动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：a +b =（x 1i +y 1j ）+（x 2i +y 2j ）=（x 1+x 2）i +（y 1+y 2）j ，即a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2）．同理a -b =（x 1-x 2，y 1-y 2）．又 λa =λ（x 1i +y 1j ）=λx 1i +λy 1j ．∴ λa =（λx 1，λy 1）．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系． 学生通过平移也可以发现：向量的模与向量的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：|AB |=||=221221)()(y y x x -+-．教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②=-=（x 2，y 2）-（x 1，y 1）=（x 2-x 1，y 2-y 1）．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件？ 师生互动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0．我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a =λb ．如果用坐标表示，可写为（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2），即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0． 这就是说，当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b （b ≠0）共线．我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的，但这与2211x y x y =是不等价的．因为当x 1=x 2=0时，x 1y 2-x 2y 1=0成立，但2211x y x y =均无意义．因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2-x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线．②充分不必要条件．提出问题：a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？师生互动：教师引导推证：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠a ，由a =λb ，（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2）⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ，得x 1y 2-x 2y 1=0． 讨论结果：a ∥b （b ≠0）的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0．教师应向学生特别提醒感悟：1. 消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0．2. 充要条件不能写成2211x y x y =（∵x 1、x 2有可能为0）．3. 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b （b ≠0）{1221.a λb x y x y =⇔= 三、拓展创新，应用提高例1 已知a =（2，1），b =（-3，4），求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a +b =（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a -b =（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a +4b =3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式． 例2 如图．已知ABC D 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如上图，设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵=（-1-（-2），3-1）=（1，2），=（3-x ，4-y ）．由=，得（1，2）=（3-x ，4-y ）．∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ，⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为（2，2）．方法二：如上图，由向量加法的平行四边形法则，可知BC BA AD BA BD +=+= =（-2-（-1），1-3）+（3-（-1），4-3）=（3，-1），而OD =OB +BD =（-1，3）+（3，-1）=（2，2），∴顶点D 的坐标为（2，2）．点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．例3 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y ．解：∵a ∥b ，∴4y -2×6=0．∴y =3．例4 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB =（1-（-1），3-（-1））=（2，4），AC =（2-（-1），5-（-1））=（3，6），又2×6-3×4=0，∴AB ∥AC ，且直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．例5 设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当21PP P P =λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P P 1=λ2PP ，知（x -x 1，y -y 1）=λ（x 2-x ，y 2-y ），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：（1）如图，由向量的线性运算可知OP =21 （OP 1+OP 2）=（.2,22121y y x x ++）． 所以点P 的坐标是（.2,22121y y x x ++） （2）如图（1）、（2），当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即21PP P P =21或21PP P P =2． 如果21PP P P =21，如图（1），那么 OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31（2OP -1OP ）=321OP +312OP =（32,322121y y x x ++）． 即点P 的坐标是（32,322121y y x x ++）．同理，如果21PP P P =2图（2），那么点P 的坐标是121222(,).33x x y y ++ 点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．四、小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．五、课堂作业1．已知a =（3，-1），b =（-1，2），则-3a -2b 等于（ ）A ．（7，1）B ．（-7，-1）C ．（-7，1）D ．（7，-1）2．已知A （1，1），B （-1，0），C （0，1），D （x ，y ），若AB 和是相反向量，则D 点的坐标是（ ）A ．（-2，0）B ．（2，2）C ．（2，0）D ．（-2，-2）3．若点A （-1，-1），B （1，3），C （x ，5）共线，则使=λ的实数λ的值为（ ）A ．1B ．-2C ．0D ．24．设a =（23，sin α），b =（cos α，31），且a ∥b ，则α的值是（ ） A ．α=2k π+π4（k ∈Z ） B ．α=2k π-π4（k ∈Z ） C ．α=k π+π4（k ∈Z ） D ．α=k π-π4（k ∈Z ） 5．向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？参考答案：1．B 2．B 3．D 4．C5．∵=（k ，12）， =（4，5），=（10，k ）， ∴=-=（4-k ，-7）， =-=（6，k -5）． ∵∥，∴（4-k ）（k -5）+7×6=0．∴k 2-9k -22=0．解得k =11或k =-2．教案 B第1课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底．2．了解向量的夹角与垂直的概念，以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义．二、过程与方法领会数形结合的数学思想，感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维．三、情感、态度与价值观通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志．教学重点平面向量基本定理和向量的坐标表示.教学难点平面向量的合成与分解.教学设想一、情境设置1．向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0．3．平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b 共线存在唯一实数λ，使b＝λa．4．如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？5．在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论．二、新知探究探究（一）平面向量基本定理 思考1．给定平面内任意两个向量e 1，e 2，如何求作向量3e 1＋2e 2和e 1-2e 2？2．如图，设OA 、OB 、OC 为三条共点射线，P 为OC 上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使四边形OMP N 为平行四边形？3．在下列两图中，向量OA 、OB 、OC 不共线，能否在直线OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OM +ON =？4．在上图中，设OA =e 1，OB = e 2，OC = a ，则向量OM 、ON 分别与e 1、e 2的关系如何？从而向量a 与e 1、e 2的关系如何？OM =λ1e 1，ON =λ2e 2，a ＝λ1e 1＋λ2e 2．5． 若上述向量e 1、e 2、a 都为定向量，且e 1、e 2不共线，则实数λ1、λ2是否存在？是否唯一？6．若向量a 与e 1或e 2共线，a 还能用λ1e 1＋λ2e 2表示吗？7．根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．8．上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a e 1 e 2OB CC的表示式是否相同？9． 两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积．即：如果 a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2），λa =（λx 1，λy 1） a ∥b 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1（需要证明）10． 任意给定平面中两个不平行的向量e 1、e 2，那么平面中所有向量a 都可以用这两个向量表示．即a =x e 1+y e 2．这里x 、y 是唯一确定的一对有序实数．｛e 1，e 2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；x e 1+y e 2叫做a 关于基底｛e 1，e 2｝的分解式．探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示思考1．不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a 和b ，作=a ，= b ，如图．为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB 为向量a 与b 的夹角．你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？[0°，180°]2．如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 3． 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i 、j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |=4，以向量i 、j 为基底，向量a 如何表示？a＝＋2j 4．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a ＝（x ，y ）．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示．那么x 、y 的几何意义如何？ 5．相等向量的坐标必然相等，作向量=a ，则= （x ，y ），此时点A 的坐标baAP是什么？三、例题解析例1 已知直角坐标平面内的两个向量a ＝（1，3），b ＝（m ，2m -3），使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．解：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ，∴a 与b 不共线，即2m -3≠3m ，∴m ≠-3．例2 如图，M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN . 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴（λ+2）BN +（3+3μ）NM = 0.由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴{2,1.λμ=-=- ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .例 3 设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =（3λe 1+4λe 2）+（-2μe 1+5μe 2）=（3λ-2μ）e 1+（4λ+5μ）e 2. 又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 325,45 1.u u λλ-=⎧⎨+=-⎩解之,得λ=1,μ=-1.四、小结1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点．2．向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°．3．向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义．将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标．第2课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标．2．深化对向量概念的理解，提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养．二、过程与方法1.通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；2.通过具体问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力．三、情感与价值在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一．教学重点平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示．教学难点向量的坐标运算原理的构建．教学设想：一、情境设置1．平面向量的基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝x i＋y j，则a＝（x，y）．3．用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径．我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等．二、新知探究。

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -， 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--， 因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =， 所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=， 因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便． 题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ． 因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-， 所以1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解． 题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=， 即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ， 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】 由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.． 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。

平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛的应用。

本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。

一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。

下面将详细介绍这两种表示方法。

1.有序数对表示法假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。

其中，x₂-x₁表示横坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。

例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。

2.分量表示法平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的元素是向量在各个坐标轴上的分量值。

假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为4。

二、平面向量的计算平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。

下面将逐一进行介绍。

1.向量的加法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。

例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。

2.向量的减法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。

例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。

3.数量乘法设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。

例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。

平面向量的基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【要点梳理】要点一：平面向量基本定理1．平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e 、 2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、 2e 唯一表示为a =1λ1e +2λ2e ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、 2e 的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a 与b 的夹角，记为〈a ，b 〉．当向量a 与b 不共线时，a 与b 的夹角()000,180θ∈；当向量a 与b 共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a 与b 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a 与b 的夹角是90，就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量a ⊥b 是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．要点三：平面向量的坐标表示1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．要点诠释：如果基底的两个基向量1e 、2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面上的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a =x i +y j .这样，平面内的任一向量a 都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(,)x y ，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．把a =(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =，AB CD =，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 要点四：平面向量的坐标运算1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运 算坐标语言加法与减法记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2) OA OB +=(x 1+x 2，y 1+y 2)，OB OA -=(x 2-x 1，y 2-y 1)实数与向量的乘积 记a →=(x ，y)，则λa →=(λx ，λy) 2．如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0. 要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →不能表示成,2121y y x x =因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线.【典型例题】类型一：平面向量基本定理例1．如果1e 、2e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）①12e e λμ+(,R)λμ∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个；③若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使得11122122()e e e e λμλλμ+=+；④若实数λ，μ使得120e e λμ+=，则0λμ==．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②【思路点拨】考查平面向量基本定理．【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量1112e e λμ+与2122e e λμ+均为零向量，即12120λλμμ====时，满足条件的实数λ有无数个．故选B ．【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．例2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为邻边的平行四边形，C 为对角线的交点．又13BM BC =，13CN CD =，试用a ，b 表示OM ，ON ．【解析】 由题意，得OB BA OA +=，所以BA a b =-， 则1()2BC a b =-，11()36BM BC a b ==-， 115()666OM OB BM b a b a b =+=+-=+． 144122()333233ON OC CN OC CD OC a b a b =+=+==⨯+=+． 【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】【变式1】如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示：（1）OE ；（2）BF ；（3）OG .【解析】（1）OE OB BE =+=13b BA +=1()3b OA OB +- =1()3b a b +- =1233a b + （2）BF OF OB =-=1122OA b a b -=- （3）在OAE ∆中，取13MA BA = 同理：//GE FM∴G 是BF 的中点=111222b a +⋅=1142a b + 类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．（2015春 山东枣庄月考）设1e ，2e 是二个不共线向量，知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-．（1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若123BF e ke =-，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．【答案】（1）略；（2）λ=3，k =12．【解析】（1）证明：124BD CD CB e e =-=-122(4)2//AB e e BD AB BD ⇒=-=⇒，∵AB 与BD 有公共点，∴A 、B 、D 三点共线（2）解：∵B 、D 、F 三点共线，∴存在实数λ，使BF BD λ=，∴121234e ke e e λλ-=-，∴12(3)(4)e k e λλ-=-，又∵1e ，2e 不共线，∴3040k λλ-=⎧⎨-=⎩， 解得λ=3，k =12．【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．举一反三：【变式1】（2016 山西朔州月考）设,a b 是不共线的两个非零向量．若2,3,3OA a b OB a b OC a b =-=+=-，求证：A 、B 、C 三点共线．【证明】∵(3)(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+，(3)(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-，∴,AB BC 共线，∵有公共端点B ．∴A 、B 、C 三点共线．类型三：平面向量的正交分解例4．如下图，分别用基底i ，j 表示向量a 、b 、c ，并求出它们的坐标．【解析】 由图可知23a OA OB i j =+=-+，∴a =（―2，3）．同理可知b =3i +4j =（3，4）． c =4i ―4j =（4，―5）．举一反三：【变式1】已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，||63OM =，∠xOM=120°，求OM 的坐标．【解析】设M （x ，y ），则63cos 6033x =-︒=-．63sin 609y =︒=，即(33,0)M -，所以(33,9)OM =-．【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．类型四：平面向量的坐标运算例5．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标.【思路点拨】根据题意可设出点M 、N 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】 已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-求点C ，D 的坐标和CD 的坐标. 【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=--因为11,,33AC AB DA BA ==-， 所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0x y =-⎧⎨=⎩ 所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =--类型五：平面向量平行的坐标表示例6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D（1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点，求AM 、CN 的坐标，并判断AM 、CN是否共线．【解析】 已知A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），又M 、N 分别为DC 、AB 的中点，∴∴(2.5,2.5)AM =，( 2.5, 2.5)CN =--，∴AM 、CN 共线．【总结升华】求出两向量的坐标，验证x 1y 2－x 2y 1=0即可．举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-，(,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA ，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．整理，得k 2―9k―22=0．解得k 1=―2或k 2=11．∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA ，CA 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】（2015秋 海南期末）已知(1,0)a =，(2,1)b =，（1）若k 为何值时，ka b -与2a b +共线．（2）若23AB a b =+，BC a mb =+，且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．【答案】（1）12k =-；（2）32m = 【解析】（1）(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--．2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+=．∵ka b -与2a b +共线∴2(k ―2)―(―1)×5=0，即2k －4+5=0， 得12k =-． （2）∵A 、B 、C 三点共线，∴//AB BC ．∴存在实数λ，使得23()a b a mb a mb λλλ+=+=+，又a 与b 不共线，∴23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =． 【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】例7．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==，则(44,4)AP OP OA λλ=-=-．(2,6)AC OC OA =-=-，由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=， 所以3(3,3)4OP OB ==．所以P 点坐标为（3，3）． 方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =，因为(4,4)OB =，且OP 与OB 共线，所以44x y =，即x=y ． 又(4,)AP x y =-，(2,6)AC =-，且AP 与AC 共线，则得(x －4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． 举一反三：【变式1】如图，已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．【解析】设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵(1(2),31)(1,2)AB =----=，(3,4)DC x y =--．由AB DC =，得（1，2）=（3―x ，4―y ）．∴1324x y =-⎧⎨=-⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩．∴顶点D 的坐标为（2，2）．。

平面向量的坐标表示与运算平面向量是几何中非常重要的概念，它能够用一个有序的数对来表示一个有大小和方向的量。

在数学中，平面向量通常用箭头来表示，箭头的起点表示该向量的起点，箭头的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。

对于平面向量的坐标表示与运算，下面将进行详细的介绍。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用一个二维有序数对来表示。

设向量的起点为原点O(0, 0)，终点为P(x, y)，向量的坐标表示为OP = (x, y)。

二、平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

1. 平面向量的加法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的和向量C的坐标表示为C(x₁+x₂, y₁+y₂)。

即C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 平面向量的减法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的差向量D的坐标表示为D(x₁-x₂, y₁-y₂)。

即D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂)。

3. 平面向量的数量乘法设平面向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k为任意实数，则k与A 的数量乘积的坐标表示为kA(kx, ky)。

三、平面向量运算的性质平面向量的运算满足如下性质：1. 加法的交换律和结合律：对于任意的两个向量A和B，有A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。

2. 减法的定义：向量减法可以等价于向量加法：A - B = A + (-B)。

3. 数量乘法的结合性：对于任意实数k和向量A，有(kl)A = k(lA)，其中l为实数。

4. 数量乘法的分配率：对于任意的实数k和向量A、B，有k(A + B) = kA + kB。

四、平面向量的模和方向角平面向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理求得。

设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的模表示为|A| = √(x² + y²)。

平面向量的夹角与垂直关系平面向量是我们在数学学习中经常遇到的一个概念。

它不仅在几何学中有重要的应用，而且在物理学和工程学领域也有广泛的运用。

在讨论平面向量时，其中一个重要的概念是夹角和垂直关系。

一、夹角的定义与性质夹角是指连接平面上两个向量的方向所形成的角度。

夹角可以用向量的点积或向量的坐标表示。

设有向量a和向量b，则夹角的定义可以表示为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，θ表示两个向量之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。

夹角的性质包括：1. 夹角的范围在0到π之间，单位为弧度。

2. 如果夹角为0，则表示两个向量方向相同。

3. 如果夹角为π/2，则表示两个向量垂直。

4. 如果夹角为π，则表示两个向量方向相反。

二、垂直关系的定义与性质垂直关系是指两个向量之间夹角为90度，即两个向量互相垂直。

如果向量a与向量b垂直，则可以表示为：a⊥b 或 a·b = 0其中，a⊥b表示向量a与向量b垂直，a·b表示向量a和向量b的点积。

垂直关系的性质包括：1. 如果两个向量相互垂直，则它们的点积为0。

2. 如果两个向量的点积为0，则它们相互垂直。

三、夹角与垂直关系的应用夹角与垂直关系在向量运算和几何学中有广泛的应用。

以下是一些应用示例：1. 决定两个向量是否垂直：通过计算两个向量的点积，如果结果为0，则表示两个向量相互垂直。

2. 构造垂直向量：通过旋转和缩放向量，可以构造新的垂直向量。

例如，对于向量(1,0)和向量(0,1)，通过旋转向量(1,0)45度并进行适当的缩放，可以得到两个相互垂直的向量。

3. 计算向量投影：向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。

夹角可以帮助确定投影的大小和方向。

4. 计算向量分解：通过将一个向量分解为与另一个向量垂直和平行的分量，可以简化向量运算和分析。

5. 解决几何问题：夹角和垂直关系在解决几何问题中经常被用到。

平面向量的垂直与夹角在数学中，平面向量是用来表示平面上具有大小和方向的量的。

而平面向量的垂直与夹角是指两个平面向量之间的夹角大小，以及它们是否垂直的性质。

本文将详细探讨平面向量的垂直与夹角的相关知识。

一、平面向量的概念与表示：平面向量是指在平面上既有大小又有方向的量。

一般用有向线段来表示平面向量，例如AB向量表示由起点A指向终点B的向量。

平面向量也可以用坐标来表示，假设平面上向量的起点为原点O，终点为点P，那么向量OP的坐标就是点P的坐标(x,y)。

二、平面向量的垂直性质：当两个平面向量的数量积为0时，我们可以判定它们垂直。

数量积又称为点积，记作A·B。

设A向量的坐标为(x1,y1)，B向量的坐标为(x2,y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2。

如果A·B=0，则可以得出结论A与B垂直。

三、平面向量的夹角：平面向量的夹角可以通过余弦值来计算。

设有两个向量A和B，它们的夹角记作θ，则有以下公式：cosθ=(A·B)/(|A|*|B|)。

其中，|A|表示向量A的模长，|B|表示向量B的模长。

通过这个公式，我们可以计算出两个向量的夹角大小。

四、垂直与夹角的性质：根据向量的垂直性质，我们可以得出以下结论：1. 如果向量A和向量B垂直，则它们的数量积为0，即A·B=0。

2. 如果向量A和向量B平行，则它们的夹角为0度或180度，且cosθ=1或cosθ=-1。

3. 如果向量A和向量B夹角为90度，则它们垂直。

五、平面向量的应用：平面向量在几何学、力学等领域都有广泛的应用。

在几何学中，平面向量可以用来表示线段、角等几何概念。

在力学中，平面向量可以用来表示物体的位移、速度、加速度等物理量。

此外，平面向量还可以应用于计算机图形学、工程测量等领域。

综上所述，平面向量的垂直与夹角是数学中一个重要的概念。

通过平面向量的坐标、数量积与余弦公式，我们可以计算出向量的垂直性质和夹角大小。

平面向量的夹角与垂直关系平面向量是数学中的重要概念之一，它可以表示平面上的任意方向和大小。

在研究平面向量时，夹角和垂直关系是两个重要的性质。

本文将探讨平面向量的夹角和垂直关系，并给出相关的定义和性质。

一、平面向量的夹角在平面上，给定两个非零向量a和b，定义它们的夹角θ为：两个向量之间的夹角范围为0到π（即0到180°）。

夹角θ的大小可以通过向量的数量积进行计算。

向量的数量积是向量的一种运算，可以用来计算两个向量之间的夹角。

设向量a和b的数量积为a·b，它的计算公式为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（即长度），θ表示向量a和b的夹角。

根据数量积的定义，可以得到以下性质：性质1：夹角的余弦值与两个向量的数量积有关。

当a·b>0时，夹角θ为锐角（即0 < θ < π/2）；当a·b=0时，夹角θ为直角（即θ =π/2）；当a·b<0时，夹角θ为钝角（即π/2 < θ < π）。

性质2：两个向量的夹角θ为0时，它们之间存在如下关系：向量a 与向量b重合且同向；夹角θ为π时，它们之间存在如下关系：向量a 与向量b重合但反向。

性质3：两个向量a和b垂直（即正交）的充分必要条件是它们的数量积为0，即a·b=0。

由上述性质可知，两个向量的夹角与它们之间的关系密切，可以通过数量积来确定夹角的大小和性质。

二、平面向量的垂直关系当两个向量的数量积为0时，称这两个向量为垂直（或正交）向量。

在平面上，垂直向量的几何意义是两个向量的方向互相垂直。

垂直向量的性质如下：性质1：如果向量a与向量b垂直，那么它们之间的夹角θ为直角（即θ = π/2）。

性质2：如果两个向量a和b垂直，且向量a与向量c重合，则向量b与向量c也垂直。

性质3：如果两个向量a和b垂直，那么它们的数量积a·b等于0。

平面向量的夹角与垂直性质平面向量是数学中重要的概念之一，它不仅有大小和方向，还有一些与其相关的性质。

其中，夹角和垂直性质是我们在研究平面向量时常用到的重要概念。

本文将详细探讨平面向量的夹角和垂直性质，以帮助读者全面了解和应用这些概念。

一、平面向量的夹角夹角是指两个平面向量之间的角度关系。

使用夹角可以描述向量之间的偏离程度，也可以衡量向量之间的相似性或正交性。

对于给定的两个平面向量a和b，夹角θ可以通过向量的内积公式来计算：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的数量积或内积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模或长度。

基于夹角的性质，我们可以将向量按照其夹角的大小分为以下几种情况：1. 夹角为0°：当且仅当两个向量平行时，其夹角为0°。

此时，向量a可以表示为向量b的倍数，即a = k·b，其中k为常数。

这种情况下，向量a和向量b具有相同的方向。

2. 0°＜夹角＜90°：当夹角大于0°且小于90°时，称两个向量为锐角。

此时，两个向量之间存在一定的夹角差异，可以通过夹角的大小来比较其偏离程度。

3. 夹角为90°：当且仅当两个向量相互垂直时，其夹角为90°。

此时，两个向量的数量积为0，即a·b = 0。

两个垂直的向量可以用于求解几何中的垂直关系，例如直角三角形的边长关系等。

4. 90°＜夹角＜180°：当夹角大于90°且小于180°时，称两个向量为钝角。

与锐角相比，钝角的夹角差异更大。

二、平面向量的垂直性质垂直性质是指两个向量相互垂直的关系。

在平面向量中，我们可以通过向量的数量积来检验向量间的垂直性。

若向量a和向量b垂直，则它们的数量积等于0，即a·b = 0。

这一性质可以用于解决各种几何和物理问题，如判断线段的垂直性、计算向量投影等。

平面向量的垂直性判定方法平面向量是数学中的一个重要概念，经常应用于解决各种几何和物理问题。

在研究平面向量时，判定向量是否垂直是一个常见且关键的问题。

本文将介绍几种常用的平面向量垂直性判定方法，并提供相应的示例。

一、向量的内积法向量的内积是判定向量垂直性的一种常用方法。

已知两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，其内积为A·B = x1x2 + y1y2。

当两个向量的内积为零时，即A·B = 0，那么这两个向量垂直。

例如，已知向量A(1, 2)和向量B(4, -2)，计算它们的内积：A·B =1×4 + 2×(-2) = 4 - 4 = 0。

因为内积等于零，所以向量A与向量B垂直。

二、向量的坐标法向量的坐标法是另一种判定向量垂直性的方法。

已知两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果它们的坐标满足x1y2 + x2y1 = 0，那么这两个向量垂直。

举个例子，向量A(2, 3)和向量B(6, -1)，我们将它们的坐标代入判定条件：2×(-1) + 6×3 = -2 + 18 = 16 ≠ 0。

因为不满足判定条件，所以向量A与向量B不垂直。

三、向量的斜率法向量的斜率法是另一种判定向量垂直性的常用方法。

已知两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果它们的斜率满足k1 × k2 = -1，那么这两个向量垂直。

举个例子，向量A(3, 2)和向量B(-2, 3)，我们根据斜率公式求解：k1 = (2-0)/(3-0) = 2/3，k2 = (3-0)/(-2-0) = -3/2。

计算两个斜率的乘积：(2/3) ×(-3/2) = -1。

因为斜率的乘积等于-1，所以向量A与向量B垂直。

四、向量的夹角法向量的夹角法是判定向量垂直性的另一种常见方法。

已知两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果它们的夹角θ满足cosθ = 0，即θ = 90°，那么这两个向量垂直。

平面向量二级结论引言平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何学和物理学等领域。

在研究平面向量的性质和应用时，我们可以通过推理和证明得出一些重要的结论。

本文将深入探讨平面向量的二级结论，包括向量的共线性、向量的夹角、向量的垂直以及向量的平行等内容。

向量的共线性向量的共线性是指若干向量共线的情况，即它们处于同一直线上或平行于同一直线。

在研究向量的共线性时，我们可以根据向量的坐标表示或向量的线性组合来进行推导。

1. 坐标表示设有两个向量A和B，其中A的坐标表示为(Ax, Ay)，B的坐标表示为(Bx, By)。

若存在一个实数k，使得(kAx, kAy) = (Bx, By)，则向量A与向量B共线。

可以得到以下结论： - 若向量A与向量B共线，则向量A与向量B的坐标分量比例相等，即Ax / Bx = Ay / By。

- 若向量A与向量B的坐标分量比例相等，则向量A 与向量B共线。

2. 线性组合表示设有两个向量A和B，其中A的线性组合表示为k1A，B的线性组合表示为k2B。

若存在两个实数k1和k2，使得k1A = k2B，则向量A与向量B共线。

可以得到以下结论： - 若向量A与向量B共线，则存在一个实数k，使得A = kB。

- 若向量A与向量B的线性组合相等，则向量A与向量B共线。

向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角关系。

向量的夹角可以通过向量的坐标表示、向量的模长以及向量的点积来计算。

1. 坐标表示设有两个向量A和B，其中A的坐标表示为(Ax, Ay)，B的坐标表示为(Bx, By)。

向量A与向量B的夹角θ可以通过公式cosθ = (Ax * Bx + Ay * By) / (|A| * |B|)计算，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。

2. 模长表示设有两个向量A和B，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。

向量A与向量B的夹角θ可以通过公式cosθ = (A * B) / (|A| * |B|)计算，其中A * B表示向量A和向量B的点积。