平面向量表示的夹角

探索探索与与研研究究平面向量的夹角问题重点考查平面向量的四则基本运算，对同学们的数学思维与计算能力有一定的要求.本文主要探讨一下解答平面向量问题的三种小措施.一、采用公式法公式法是求解平面向量夹角问题的常用方法.由向量的数量积公式可得向量a→、b→的夹角的余弦值为cosθ=a→∙b→||||||a→||||||b→，且夹角的范围为[0,π].将向量的坐标直接代入上述公式，即可求得两个向量的夹角的余弦值.通过余弦值cosθ的符号，可以判断出该角为锐角、钝角或直角.例1.已知非零向量a→、b→满足||||||a→=2||||||b→，且(a→-b→)⊥b→，求a→、b→的夹角.解：设a→、b→之间的夹角为θ，因为（a→-b→）⊥b→，所以（a→-b→）∙b→=a→∙b→-b→2=0，可得a→∙b→=b→2，所以cosθ=a→∙b→||||||a→||||||b→=||||||b→22||||||b→2=12，由于a→、b→夹角的取值范围为[0，π]，所以a→、b→的夹角为π3.首先从已知条件出发，将（a→-b→）⊥b→转化为向量a→、b→的关系式；然后根据已知关系式||||||a→=2||||||b→以及向量的夹角公式，求得向量夹角的余弦值；最后根据夹角的范围求得夹角的值.二、坐标法运用坐标法解题，先要仔细观察几何图形的特点，寻找或构造两条互相垂直的直线，并将其视为坐标轴，建立空间直角坐标系.给各个点赋予坐标后，就能够根据向量坐标的运算法则求得夹角的大小.在计算时，要注意运用平面向量夹角公式的坐标形式.例2.已知正方形ABCD的边长为2，DE=2BC，DF=12（ DC+ DB），求 BE与 DF的夹角.解：建立如图1所示的平面直角坐标系，可得点B(0,0)，E(2,23)，D(2,2)，因为DF=12（ D C+ D B），所以点F为线段BC的中点，所以F为(1,0)，得BE=(2，23)， DF=(-1,-2)，所以cosθ=BE∙DF|| BE| DF=所以BE与DF的夹角为34π.在解题时，要先建立坐标系，根据题目中的几何关系求得各个点的坐标以及所求向量的坐标；然后根据向量夹角公式的坐标形式进行计算.三、利用正余弦定理在求解平面向量的夹角问题时，可根据向量的几何意义来构造三角形，将所求的夹角看作三角形的一个内角，求得三角形的边、角的大小，或建立边角关系，即可根据正弦定理、余弦定理来计算出夹角的大小.例3.如图2所示，已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AD，BE分别为直角边BC,AC的中线，求AD,BE夹角的余弦值.解：设AD，BE的交点为M，所以AD,BE的夹角为∠DME，将△ABC补成正方形ACBF，令AC=1，则AD=BE=，设点G为AF的中点，连接BG,EG，则BG∥AD，所以∠DME=π-∠EBG，在△BEG中，BG=AD=BE=，EG，由余弦定理可得cos∠EBG=45，所以cos∠DME=-cos∠EBG=-45，所以AD,BE所成角的余弦值为-45.深入挖掘向量的几何意义，并据此构造三角形，即可将向量夹角问题转化为解三角形问题.再运用正余弦定理求三角形内角的大小，即可得出AD,BE夹角的余弦值.通过分析可知，解答平面向量夹角问题，可以通过夹角公式、坐标法、正余弦定理，顺利求得夹角或夹角余弦值的大小.相比较而已，公式法最简单、最常用，另两种方法则较为灵活.（作者单位：江苏省如东高级中学）王小梅图2图150。

平面向量的所有公式-向量夹角公式平面向量的所有公式 - 向量夹角公式1. 向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头来表示。

一个平面向量用大写字母加箭头标记，例如A→。

2. 平面向量表示平面向量可以用两个坐标表示，即向量的横向和纵向分量。

设向量A→ 的横向和纵向分量分别为 A_x 和 A_y，则向量A→ 可表示为A→ = A_x i→ + A_y j→。

3. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量。

设向量A→ 和向量B→ 为平行向量，则存在一个实数 k，使得A→ = kB→。

4. 垂直向量两个向量的夹角为 90 度时，它们被称为垂直向量。

设向量A→ 和向量B→ 为垂直向量，则A→ · B→ = 0。

（其中，·表示向量的数量积）5. 向量夹角公式两个非零向量A→ 和B→ 的夹角θ 可以通过向量的数量积求得。

设向量A→ 和向量B→ 的数量积为A→ · B→，则cosθ = (A→ · B→) / (|A→| |B→|)其中，|A→| 表示向量A→ 的模长，|B→| 表示向量B→ 的模长。

6. 其他重要公式- 两个向量的和：C→ = A→ + B→- 两个向量的差：D→ = A→ - B→- 向量的数量积：E = A→ · B→ = |A→| |B→| cosθ- 向量的模长：|A→| = sqrt(A_x^2 + A_y^2)以上是平面向量的公式及其应用，掌握这些公式将帮助你更好地理解和计算平面向量的性质和运算。

平面向量夹角的计算问题（湖北省红安县职教中心 金哲 438400）摘要：“《平面向量》是中等职业教育课程改革国家规划新教材配套教学用书基础模块中的新增内容之一，是近几年技能高考（新教材）中的必考内容，已成为高三复习备考中的热点．从前几年高职统考以及这两年技能高考来看，除了对向量的基本概念的考查外，还要求学生掌握平面向量的坐标运算、内积、夹角的计算、模的计算。

本文将对平面向量夹角的计算问题进行一个归纳和整理，希望可以给将要技能高考的学生一点帮助。

【关键词】 平面向量的夹角定义，范围，夹角公式一、引言：1、平面向量的夹角定义：设两个非零a 与b ，作b OB a OA ==,,由射线OA 与OB 所形成的角叫做a 与b 的夹角，记作b a ,。

2、平面向量的夹角范围为[] 180,0 注:①若两向量方向相同，则夹角为0°②若两向量方向相反，则夹角为180°③若两向量垂直，则夹角为90°3、平面向量夹角公式： ba b a b a ∙∙=,cos 二、平面向量夹角的计算方法：在对2015年湖北省技能高考文化综合试卷数学部分进行分析，以及对2016年湖北省技能高考考试大纲和多套模拟试卷进行研究后，笔者总结归纳了中职生技能高考中平面向量的夹角计算方法。

欲求两向量a 与b 的夹角。

第一步，计算两向量的内积b a ∙ 和a ，b第二步，直接代入夹角公式ba b a b a ∙∙=,cos ，求出a 与b 的夹角的余弦值。

第三步，结合平面向量的夹角范围[] 180,0以及特殊角三 角函数值，确定a 与b 的夹角的大小。

三、经典例题例1、（2010年高职统考第16题）已知(1,3)a =- ,(1,2)b = ,(,6)c k = ,若向量b 和c 平行.求：（Ⅰ）实数k 的值；（Ⅱ）向量a 与c 的夹角.()()()c b k c b //,6,,2,1且由于Ⅰ解：== 02-61=⨯⨯k 因此，，3=k 故， ()()()6,3,3,1=-=c a 由于Ⅱ， ()5363,10312222=+==-+=c a 因此，, ()156331-=⨯-+⨯=∙c a 所以，由夹角公式有： 22531015,cos -=⨯-=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 43,π=c a 所以， 例2、（2012年高职统考第17题第三问）已知点A(3+1,1)、B(1,1)和C(1,2)，且向量a =CB→、b =AB →和c =CA →．求： a 与c 之间的夹角<a ,c >．()()()2111113，，，，，解：C B A + ()()()1,3,0,3,1,0-==-==-==∴CA c AB b CB a ()()11130=-⨯-+⨯=∙∴c a ()()()213,1102222=-+==-+=c a 代入夹角公式有： 21211,cos =⨯=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 3,π=c a 所以， 例3、（2015年文化综合29题第2问）已知向量()()()3,5,1,3,5,4=-==c b a ，求c a -与b 的夹角.θ解：由()()3,5,5,4==c a 有()2,1-=-c a又()1,3-=b ，则()()()51231=⨯+-⨯-=∙-b c a ()()1013,5212222=+-==+-=-b c a代入夹角公式中有： ()221055cos =⨯=∙-∙-=b c a b c a θ又[]πθ,0∈，所以4πθ= 注：对于两向量之间的夹角的求解，第一选择就是夹角公式，先求出夹角的余弦值，再结合两向量之间夹角的范围确定夹角的大小。

平面向量的角度和方向余弦平面向量是指在同一平面内有大小和方向的箭头，通常用字母加箭头表示，如向量a用符号a→表示。

平面向量的重要性在于它们能够用于描述力、速度和位移等物理量，并且有许多运算性质和几何意义。

在平面向量的研究中，角度和方向余弦是两个重要的概念。

角度是指平面向量之间的夹角，而方向余弦则表示每个向量在坐标轴上的投影。

一、平面向量的角度平面向量的角度可以通过点乘来求解。

设有两个非零向量a→和b→，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a→·b→)/(|a→||b→|)其中，·表示点乘，|a→|和|b→|分别表示向量a→和b→的模（长度）。

根据这个公式，我们可以推导出一些关于平面向量角度的重要性质。

1. 如果夹角θ等于0度，则a→和b→平行且同向。

当两个向量之间的夹角为0度时，表示它们的方向完全相同，即平行且同向。

此时，根据公式cos0° = 1，我们可以得出a→·b→ =|a→||b→|。

换句话说，两个平行向量的点乘等于它们的模的乘积。

2. 如果夹角θ等于180度，则a→和b→平行但方向相反。

当两个向量之间的夹角为180度时，表示它们的方向完全相反，即平行但方向相反。

此时，根据公式cos180° = -1，我们可以得出a→·b→ = -|a→||b→|。

换句话说，两个反向平行向量的点乘等于它们的模的乘积的相反数。

3. 如果夹角θ等于90度，则a→和b→垂直且长度无关。

当两个向量之间的夹角为90度时，表示它们垂直，即互相正交。

此时，根据公式cos90° = 0，我们可以得出a→·b→ = 0。

换句话说，两个垂直向量的点乘等于0，与它们的模的乘积无关。

通过这些性质，我们可以进一步探索平面向量的几何意义和运算性质。

二、平面向量的方向余弦方向余弦是指一个向量在坐标轴上的投影，它反映了向量在各个坐标轴上的分量大小。

平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。

在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。

一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。

在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。

假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。

对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。

二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。

对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。

通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。

若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。

三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。

问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。

解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。

【知识要点】一、两个非零向量的夹角的概念已知非零向量a 与b ，作,,OA a OB b ==，则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向；当2πθ=时，a 与b 垂直，记a b ⊥.（1）对于0,不谈它与其它向量的夹角问题.（2）a 与b 的夹角，记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如：A ∠>=<, 但是B ∠>≠<, B ∠->=<π,二、求两个向量的夹角一般有两种方法方法一：cos ,a b a b a b<>=方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=【方法讲评】 b a b求解.一般没有坐标背景.b ，||,|a b b a b求解.【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ （1）求||||x y 和；（2）求,x y 夹角的余弦值.【点评】（1）222||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用公式cos ,a b a b a b<>=求解时，要先求a b ，||,||a b 这些基本量，再代入公式.【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角.【例2】 如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1).（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦.【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.【点评】 此类问题的一般步骤是：先求,a b 的坐标，再cos θ=求解. 学科@网【反馈检测2】||1,||3,(3,1a b a b ==+=已知）， ||a b a b a b -+-（1）试求；（2）与的夹角.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第44讲:平面向量夹角的计算方法参考答案【反馈检测1答案】3a b π与的夹角为【反馈检测2答案】（1）2；（2）23π. 【反馈检测2详细解析】222||()242a b a b a a b b a b -=-=-+=-(1)22||224424a b a a b b a b +=∴++=∴+=20||42a b a b ∴=∴-==(2)设两个向量的夹角为α，22()()131442||||a b a b a b a b a b α+---∴===--+cos =203απαπ<<∴=。

平面向量的模长与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。

本文将讨论平面向量的模长与向量的夹角之间的关系。

一、平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

平面向量常用字母加箭头（如→AB）表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

平面向量还可以使用坐标表示法，其中(x, y)表示向量在坐标轴上的投影长度。

当两个平面向量相等的时候，它们具有相同的大小和方向。

二、平面向量的模长平面向量的模长表示向量的大小。

对于一个平面向量→AB，它的模长表示为|→AB|或者AB。

对于一个平面向量→AB(x, y)，它的模长可以通过勾股定理计算得到：|→AB| = √(x² + y²)。

三、平面向量的夹角平面中的两个非零向量→AB和→CD，它们之间的夹角用符号θ表示。

夹角θ可以通过两向量的点积公式计算得到：cosθ = (→AB·→CD) / (|→AB| * |→CD|)。

在平面中，夹角θ的取值范围为0到π（弧度）之间。

四、模长和夹角的关系在平面向量中，模长和夹角之间有以下关系：1. 如果两个向量的模长相等，即|→AB| = |→CD|，则它们之间的夹角θ可能是0度、180度或其他角度。

当且仅当两个向量的方向相同时，夹角为0度；当且仅当两个向量的方向相反时，夹角为180度。

2. 如果两个向量的夹角为90度，即θ = π/2，那么它们之间的模长可能相等，也可能不相等。

3. 如果两个向量的夹角为0度，即θ = 0，那么它们之间的模长必然相等。

综上所述，平面向量的模长与向量的夹角之间的关系是复杂而多样的，取决于具体的向量和夹角大小。

五、案例分析为了更好地理解平面向量的模长与向量的夹角之间的关系，我们举例进行分析。

假设有两个平面向量→AB(3, 4)和→CD(-1, 2)：1. 计算模长：|→AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5|→CD| = √((-1)² + 2²) = √(1 + 4) = √52. 计算夹角：cosθ = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * √5) = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * 5) = (6 - 3) / 25 = 3 / 25由于夹角θ的取值范围为0到π之间，无法通过此结果得到夹角的具体值。

高中数学平面向量夹角解题技巧在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及到很多与几何形状和方向相关的问题。

其中，夹角是平面向量的一个重要性质，解题时经常需要计算夹角的大小。

本文将介绍一些高中数学平面向量夹角解题的技巧，帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、夹角的定义和性质首先，我们来回顾一下夹角的定义和性质。

对于平面上的两个非零向量a和b，它们的夹角θ定义为：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，a·b表示向量a和向量b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。

夹角的取值范围是0°到180°。

夹角有一些重要的性质：1. 夹角θ的余弦值cosθ的绝对值等于两个向量的数量积除以两个向量的模长的乘积。

2. 如果两个向量的数量积为0，则它们的夹角为90°，即两个向量互相垂直。

3. 如果两个向量的数量积大于0，则它们的夹角为锐角；如果两个向量的数量积小于0，则它们的夹角为钝角。

二、夹角解题的基本思路在解题时，我们需要根据给定的条件，利用夹角的定义和性质来计算夹角的大小。

下面通过一些具体的例题来说明夹角解题的基本思路。

例题1：已知向量a = (3, 4)和向量b = (5, -12)，求向量a和向量b的夹角。

解题思路：根据夹角的定义，我们需要计算向量a和向量b的数量积和模长。

首先计算数量积：a·b = 3×5 + 4×(-12) = -21然后计算模长：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5|b| = √(5^2 + (-12)^2) = 13将数量积和模长代入夹角的定义公式，得到：cosθ = -21 / (5×13) = -21 / 65由于cosθ的值为负数，说明向量a和向量b的夹角为钝角。

我们可以通过反余弦函数求得夹角的大小：θ = arccos(-21 / 65) ≈ 102.95°所以，向量a和向量b的夹角约为102.95°。

平面向量的性质向量共面与夹角的判定平面向量的性质、向量共面与夹角的判定在数学中，平面向量是研究向量的一部分。

它具有许多特性和性质，同时还可以通过判定向量的共面性和夹角来进行相关问题的求解。

本文将详细介绍平面向量的性质以及如何判定向量的共面性和夹角。

一、平面向量的性质1. 平移性：对于平行四边形的两条对角线，它们的两个共同端点可以任意选取，但它们的两个共同对角线必然是相等的，即平行四边形的两条对角线的向量相等。

2. 线性组合：对于向量a、b和实数k、l，k*a + l*b是一个平面向量，它的尾部是a和b尾部的和。

3. 平面向量的夹角：夹角的大小可以通过点积的性质求出，设有两个向量a和b，它们的夹角θ满足以下条件：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)，其中a·b为向量的点积，|a|和|b|为向量的模。

二、向量共面的判定一个平面上的向量可以通过它们的线性组合来表示。

当两个向量a和b可由另外两个向量c和d的线性组合得到时，即a = k1*c + l1*d，b = k2*c + l2*d，其中k1、l1、k2和l2为实数。

若存在k1、l1、k2和l2使得a = k1*c + l1*d，b = k2*c + l2*d成立，那么向量a、b、c和d共面。

反之，若不存在这些值，则说明a、b、c和d不共面。

三、夹角的判定1. 垂直判定：若两个向量a和b的点积为零，即a·b = 0，那么a和b垂直。

2. 平行判定：若两个向量a和b的夹角为0或180度，即cosθ = 1或-1，那么a和b平行。

3. 夹角判定：若两个向量a和b的夹角θ满足以下条件：cosθ > 0，那么a和b的夹角为锐角；cosθ = 0，那么a和b的夹角为直角；cosθ < 0，那么a和b的夹角为钝角。

四、示例和应用1. 判断三个向量是否共面：设有三个向量a、b和c，可以通过线性组合的方式判断它们是否共面。

向量夹角的范围
空间向量和平面向量夹角都是[0°,180°]。

空间向量的夹角公式：
cosθ=a*b/(|a|*|b|)，长度为0的向量叫做零向量，记为0。

模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。

记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

空间向量点乘的过程：
向量：u=(u1,u2,u3)v=(v1,v2,v3)
叉积公式：uxv={u2v3-v2u3,u3v1-v3u1,u1v2-u2v1}
点积公式：u*v=u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)
对于向量的运算，还有两个“乘法”，那就是点乘和叉乘了。

点乘的结果就是两个向量的模相乘，然后再与这两个向量的夹角的余弦值相乘。

或者说是两个向量的各个分量分别相乘的结果的和。

很明显，点乘的结果就是一个数，这个数对分析这两个向量的特点很有帮助。

如果点乘的结果为0，那么这两个向量互相垂直；如果结果大于0，那么这两个向量的夹角小于90度；如果结果小于0，那么这两个向量的夹角大于90度。

平面向量与向量的夹角在数学中，向量和平面向量是常见的概念。

而向量的夹角则是描述两个向量之间的方向关系和夹角大小的重要衡量指标。

本文将介绍平面向量的概念、向量的表示以及向量的夹角计算方法。

一、平面向量的概念平面向量是指在平面内有方向和大小的量。

它可以由有序的两个实数或复数表示，通常记作AB→，其中A为向量的起点，B为向量的终点。

平面向量还可以表示为a(i，j)，其中a为向量的模，i和j是固定的单位向量。

二、向量的表示在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示。

设A(x1，y1)和B(x2，y2)为平面上的两点，向量AB→ = (x2-x1，y2-y1)。

这种表示方式被称为坐标表示法。

另外，向量还可以通过模和方向角表示。

设向量AB→的模为a，与x轴的夹角为θ，那么向量AB→可以表示为a(cosθ，sinθ)。

这种表示方式被称为模和方向角表示法。

三、向量的夹角计算方法向量的夹角通常使用两个向量的夹角公式来计算。

给定两个向量AB→和CD→，它们之间的夹角θ可以通过以下公式进行计算：cosθ = (AB→·CD→) / (|AB→| * |CD→|)其中，AB→·CD→表示两个向量的数量积，|AB→|和|CD→|分别表示向量的模。

通过求解这个公式，我们可以得到向量的夹角的余弦值。

然后，我们可以使用反余弦函数进行夹角的计算：θ = arccos(cosθ)夹角的计算结果为弧度制，如果需要转换成角度制，可以使用以下公式进行换算：角度= (θ * 180) / π通过以上的计算方法，可以准确地计算出两个向量之间的夹角。

结语平面向量与向量的夹角是数学中一种重要的概念。

本文介绍了平面向量的概念、向量的表示以及向量夹角的计算方法。

掌握这些基础知识，可以帮助我们更好地理解和运用向量的概念。

在解决实际问题中，向量的夹角的计算可以帮助我们确定方向关系，解决角度相关的计算问题。

同时，我们也可以通过向量夹角的计算结果，了解向量之间的相互关系和几何特征。

平面向量的共线与向量的夹角在平面几何中，我们经常会遇到向量的共线与向量的夹角的问题。

本文将介绍平面向量的共线性及其判定方法，以及向量之间夹角的概念和计算方法。

一、平面向量的共线性共线性是指两个或多个向量在同一直线上的性质。

对于平面上的两个向量，它们共线的条件是存在一个实数k，使得这两个向量的模的比值相等，即：A = kB其中A和B为两个向量。

在坐标系中，假设向量A的坐标为（x1，y1），向量B的坐标为（x2，y2）。

则A和B共线的充分必要条件是x1/x2 = y1/y2。

利用这个条件，我们可以判断两个向量是否共线。

二、向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角，通过夹角我们可以判断向量之间的关系。

夹角一般由单位向量来表示。

对于平面上的两个非零向量A和B，它们的夹角θ满足如下余弦定理：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量的数量积（内积），|A|和|B|表示向量的模（长度）。

三、共线与夹角的关系对于平面上的两个向量A和B，如果它们共线，则它们的夹角θ满足以下条件：1. 当θ = 0度时，表示向量A和B方向相同。

2. 当θ = 180度时，表示向量A和B方向相反。

3. 当θ = 90度时，表示向量A和B垂直。

反之，如果两个向量的夹角θ满足以上条件之一，则它们必定共线。

四、实例分析为了更好地理解平面向量的共线与向量的夹角，我们来分析一个具体的实例。

假设有两个向量A(3, 4)和B(-6, -8)，我们首先判断它们是否共线。

根据上述共线性的判定条件，我们计算比值x1/x2 = 3/(-6) = -0.5，y1/y2 = 4/(-8) = -0.5。

由此可知，x1/x2 = y1/y2，所以向量A和B共线。

接下来我们计算向量A和B的夹角。

根据余弦定理，我们可以求得cosθ = (A·B) / (|A|·|B|) = (3*(-6) + 4*(-8)) / (sqrt(3^2 + 4^2) * sqrt((-6)^2 + (-8)^2)) = -1/5。

平面向量与平面直角坐标系中的夹角平面向量是高中数学中的重要概念之一，与平面直角坐标系密切相关。

平面直角坐标系中的向量夹角是指两个向量之间的夹角关系。

本文将从平面向量的定义、平面直角坐标系的特点以及求解平面向量夹角的方法等方面进行探讨。

一、平面向量的定义与性质平面向量是用有序数对表示的，它具有大小和方向两个要素。

设有平面上两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则用点A和点B所确定的向量记作△AB或者→AB。

向量△AB的大小记作|△AB|或者|→AB|，方向由起点A指向终点B。

向量的终点和起点可以交换，即→AB与→BA表示同一个向量。

平面向量的性质包括平移性、相等性、数量乘法以及加法等。

平移性是指如果有向量→AB，则存在向量→A'B'，使得向量→AB与→A'B'相等。

向量的相等性是指如果向量→AB与→CD的长度相等且方向相同，则两个向量相等。

向量的数量乘法是指将向量的大小乘以一个实数，得到一个新的向量。

向量的加法是指将两个向量的对应坐标相加得到一个新的向量。

二、平面直角坐标系的特点平面直角坐标系是通过两条互相垂直的坐标轴来确定平面上点的位置。

在平面直角坐标系中，水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。

平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。

平面直角坐标系中的点在平面上的位置由它在x轴和y轴上的投影决定。

平面直角坐标系的特点有以下几个方面。

首先，平面直角坐标系中的线段与向量一一对应，即平面直角坐标系中的向量可以用线段来表示，反之亦成立。

其次，平面直角坐标系中的长度可以通过坐标差来计算，即两个点的横坐标和纵坐标的差值可以直接得到两点之间的距离。

最后，平面直角坐标系中的向量的方向可以通过斜率来确定，斜率是指直线的倾斜程度。

三、求解平面向量夹角的方法在平面直角坐标系中，求解平面向量夹角的方法主要有向量的数量积以及余弦定理两种方式。

专题四 平面向量的夹角平面向量的夹角公式(1)平面向量夹角公式的非坐标形式：cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |．<a ，b >∈[0，π]． (2)平面向量夹角公式的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos<a ，b >＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22．<a ，b >∈[0，π]．考点一 平面向量的夹角问题【方法总结】求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步：分别求出这两个向量的模；第三步：根据公式cos ＜a ，b ＞＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 【例题选讲】[例1] (1)(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为__________．答案 π6 解析 因为cos<a ，b >＝a·b |a||b|＝1×3＋3×12×2＝32，所以a 与b 夹角的大小为π6． (2)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案 B 解析 a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以向量a 与b 的夹角为π3． (3)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 C 解析 设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2．因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°． (4)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案 B 解析 答案 B 解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b－|b |2＝0，又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B ． 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b ．因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B ． (5)已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________． 答案 90° 解析 由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2，由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2，则a·b ＝0，即a ⊥b ，∴a 与b 的夹角为90°．(6)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A ．π3B ．2π3C ．5π6D ．π6答案 D 解析 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2．由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6． (7)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A ．π2B ．π3C ．π6D ．π 答案 B 解析 ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a⊥b ．如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ．∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3．(8)(2020·全国Ⅰ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos<a ，a ＋b >等于( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案 D 解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49，∴|a ＋b |＝7，∴cos<a ，a ＋b >＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935． (9)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．答案 223 解析 ∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223． (10)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A ．126B ．－126C ．112D ．－112答案 B 解析 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126． (11)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________．答案 －1010解析 因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝A E →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010． 优解：因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E(2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝A E →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010．(12)(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2．又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1．cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5)＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829． 【对点训练】1．(2016·全国Ⅲ)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π2C ．5π6D ．2π33．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．4．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且|a ＋b |＝|2a －b |，则a 与b 的夹角为( )A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π65．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π36．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 8．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．3π49．不共线向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且b 2＝a·b ，则a 与b －a 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°10．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________． 11．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________．12．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( ) A ．55 B ．15 C ．－55 D ．－1513．在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，CA ＝33，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝2，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于________．14．△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°15．(2014·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ＝12(AB ＋AC )，则AB 与AC 的夹角为________． 16．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________．考点二 平面向量的夹角的应用【方法总结】(1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线．(2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．研究向量的夹角应注意“共起点”，两个非零共线向量的夹角可能是0或π．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．【例题选讲】[例1] (1)(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝________． 答案 2 解析 解法1 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b＝12，由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 解法2 由t ＋(1－t )＝1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则c ＝⎝⎛⎭⎫32，－32．把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2．(2)(2013·山东)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2．若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．答案 712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712． (3)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是_____．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞． (4)已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－34，12)∪(12，＋∞) 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m )．若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12．由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )．∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34．由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →．故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是(－34，12)∪(12，＋∞)． (5)已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是__________． 答案 (－∞，－1)∪(－1，1) 解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，所以|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a·b＝λ－1．因为a ，b 的夹角α为钝角，所以⎩⎨⎧ λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.所以λ<1且λ≠－1，所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．(6)已知向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是__________．答案 解析 因为2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，所以2t e 21＋(2t2＋7)(e 1·e 2)＋7t e 22<0．因为|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1·e 2＝1，所以2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12．若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线，由于e 1，e 2不共线，所以2t 1＝7t ，解得t ＝±142，所以t ≠±142，因此实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12． 【对点训练】1．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是 ________．2．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 3．若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A ．126 B ．－126 C ．112 D ．－1124．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．5．设向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，3)，且a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是___________．6．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．7．若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．。